Тропическая математика что такое
Амебы и тропическая математика
Учение об амёбах комплексных поверхностей непрерывно связано с развитием тропической алгебраической геометрии, т.е. геометрии алгебраических множеств в тропической арифметике (max-plus арифметике). Тропическая математика (т.е. математика на основе тропической арифметики) возниклана стыке таких наук, как комбинаторика, информатика и термодинамика.
В работе с большими (или слишком маленькими) числами удобнее использовать иную арифметику, чем общепринятую. Одна из таких арифметик (так называемая « max –плюс» — арифметика) возникла в асимптотической теории в физико–математических исследованиях В.П. Маслова и его учеников [33] в 90-х годах прошлого столетия. Затем оказалось удобным использовать ее в компьютерной науке (Computer science) в связи с проблемой вывода изображения на экран монитора и в интервальном анализе.
Следует отметить, что анализ с « max –плюс» — арифметикой первоначально назывался идемпотентным анализом, а после интервенции Computer science в эту область появилось название «тропическая геометрия». Оно возникло в связи с тем, что в Бразилии активно работал пропагандист « max –плюс» методов, и когда эти методы стали внедряться европейскими математиками в комбинаторике и Computer science, их стали называть «тропическими». При этом слово ЋгеометрияЛ в указанном словосочетании отражает тот факт, что внимание акцентируется на исследовании вопросов алгебраической геометрии в рассматриваемой арифметике.
Напомним, что традиционно в рамках алгебраической геометрии исследуются решения систем алгебраических (полиномиальных) уравнений. В общем университетском образовании такие вопросы изучаются в курсе аналитической геометрии, где основными объектами являются прямые, плоскости, кривые и поверхности второго порядка (эллипс, эллипсоид, гипербола, гиперболоид и т.д.).
В течение последних лет интерес к тропической геометрии усилился в математической физике (теории суперструн и теории димеров), а также в компьютерной биологии. С помощью идей тропической геометрии была решена давняя проблема 1906 г. об изотопических типах гарнаковских кривых.
Математик Дмитрий Григорьев: о тропической математике, источниках вдохновения и сотрудничестве с ЛЭТИ
В декабре 2018 года и в марте 2019 года ученый с мировым именем в области теории сложности алгоритмов Дмитрий Юрьевич Григорьев прочитал студентам СПбГЭТУ «ЛЭТИ» лекции по тропической математике.
Автор более 170 научных работ по математике и информатике, Дмитрий Юрьевич Григорьев, окончивший в 1976 году Ленинградский государственный университет, в настоящее время является главным научным сотрудником Национального центра научных исследований Франции (Centre National de la Recherche Scientifique, CNRS) – организации, в которой работают около 10 тысяч специалистов в разных областях наук.
О том, каковы отличия тропической математики от классической, где она применяется и откуда математики черпают вдохновение, Дмитрий Юрьевич Григорьев рассказал посетителям сайта СПбГЭТУ «ЛЭТИ».
– Дмитрий Юрьевич, расскажите, пожалуйста, чем отличается тропическая математика от той, которую все учат в школе?
– В классической математике есть задачи, в которых найти полное решение – большая удача. Сегодня, в связи с развитием компьютеров, появилось возможность рассматривать трудные вычислительные задачи, которые не удается решить полностью. Тогда на помощь ученым приходит тропическая математика, которая в сложных системах позволяет найти главный член асимптотики и предложить упрощенную модель для поиска решения.
При помощи тропической математики можно упрощенными методами решать задачи из классической математики. В современной алгебраической геометрии есть ряд задач, которые решены путем замены алгебраических уравнений на тропическую модель.
С точки зрения теории это очень красивая область. Она заменяет обычную арифметику с действиями сложения и умножения на совершенно другую арифметику и геометрию, в которой сложение заменяется на минимум, а умножение – на сложение. Кроме того, с точки зрения методики преподавания тропическая математика проще, чем классическая. Поэтому я считаю, что студентам первого курса лучше сначала изучить именно ее, так как она проще для понимания алгоритмов.
«Тропическая математика берет свое начало еще со времен Исаака Ньютона. Ее подъем пришелся на 90-е годы XX века. Насчет столь необычного названия существует легенда о том, как два математика, отдыхая на пляже в Бразилии, обсуждали название нового направления. Один из них предложил: «Так как мы находимся здесь, где солнце и пальмы, то пусть она будет тропической». Так название и появилось».
Главный научный сотрудник Национального центра научных исследований Франции Дмитрий Юрьевич Григорьев
– Чем тропическая математика может быть полезна для современной жизни?
– У тропической математики много применений: нейронные сети, предсказание погоды и ситуации на финансовых рынках, расчет вероятности выигрыша в играх, описание метаболизма человека. В Нидерландах тропическая математика используется для составления расписания движения поездов – для этого достаточно ввести исходные данные и ограничения. Банк Англии предложил использовать тропическую кривую для составления начальной цены на аукционах. Это лишь малая часть областей применения тропической математики. На самом деле, ее возможности безграничны. Поэтому всем, кто планирует заниматься современными технологиями, нужно обязательно изучить ее.
Как тропическая геометрия спасла Банк Англии
Данное сообщение (материал) создано и (или) распространено иностранным средством массовой информации, выполняющим функции иностранного агента, и (или) российским юридическим лицом, выполняющим функции иностранного агента
Редкий и удивительный случай, когда экономическая теория приносит бюджету миллиарды и выручает экономики на грани краха
До провозглашения имен очередных нобелевских лауреатов по экономике остается две недели. Если бы в прошлом году премия не была вручена за дизайн рынков, то герой этой статьи был бы одним из основных претендентов на награду в этом году. Впрочем, я уверен, что рано или поздно он ее получит, так как редко кому из экономистов удается достичь исключительной репутации как в академических кругах, так и среди практиков. Но давайте обо всем по порядку.
Осень 2007 года ознаменовалась паникой на финансовом рынке Великобритании и «набегом» (bank run) на банк Northern Rock. Чтобы предотвратить эскалацию панических настроений и возможный крах банковской системы страны, Банку Англии нужно было срочно создать механизм распределения ликвидности среди коммерческих банков и строительных сберегательных касс. При ссуживании денег ЦБ был готов принимать в залог не только обычные гособлигации (gilts), но что-то и менее качественное и более рискованное, однако в таком случае и процент с заемщика брался бы солиднее. Иными словами, Банк Англии решил предложить банкам два альтернативных продукта – кредит с низкой ставкой, но требующий безрискового залога, и кредит с высокой ставкой, залогом которого могли служить более рискованные ценные бумаги. Перед ЦБ стояла реальная проблема – сколько кредитов каждого типа выдавать и какие процентные ставки назначать. Руководство Банка принялось за решение этой задачи со рвением и организовало несколько аукционов ликвидности. Однако все они оказались неудачными. Тогда Мервин Кинг, в то время – глава Банка Англии, вспомнил про Пола Клемперера, оксфордского профессора и специалиста по теории аукционов, и набрал его номер.
Клемперер – английский представитель старейшей фамильной династии немецких евреев, из которой вышло немало известных инженеров, физиков, химиков, актеров, композиторов, историков, архитекторов и, разумеется, банкиров. Однако настоящих экономистов до Пола династия не знала. Мое знакомство с профессором началось 14 лет назад, когда Клемперер возглавлял магистерскую программу в старейшем университете англосаксонского мира. Уже тогда профессор проявлял интерес к банкам.
Как-то ранним февральским утром 2000 года я решил отметить свой день рождения пропуском очередной лекции по теории аукционов. Как оказалось, зря. На том занятии Клемперер традиционно проводил одни нетривиальные торги – и профессор, и студенты делали ставки по хитрой схеме и опускали деньги в стеклянную банку. Призом победителю служила сама банка с деньгами, а выигрывал, как оказалось, тот, чей день рождения был наиболее близок к дате проведения аукциона. Не стоит объяснять, что, пропустив лекцию, я упустил стопроцентный шанс поправить свой нехитрый студенческий бюджет!
В Банке Англии, однако, ставки были гораздо круче: в банковский сектор страны ЦБ собирался влить аж 100 млрд фунтов! На самом деле проблема, стоявшая перед регулятором, была классической: организация аукциона похожих, но неидентичных продуктов. Экономическая теория гласит, что в таких случаях лучше организовать один многораундовый аукцион, где все продукты продаются одновременно, чем серию параллельных многораундовых аукционов для каждого продукта отдельного типа. В равновесии и в том, и в другом случае получаются почти идентичные цены. Однако выгоден именно единый аукцион, поскольку он позволяет аукционисту лучше учесть свои предпочтения по распределению продуктов между претендентами, и вдобавок такой аукцион более устойчив в свете возможного сговора претендентов или их хищнического поведения. Очевидно также, что проведение одного аукциона намного быстрее, чем проведение нескольких.
Клемперер как раз занимался такими аукционами уже тогда, когда разыгрывал с моей университетской группой банку с деньгами. В марте – апреле 2000 года вместе с Кеном Бинмором, математиком, экономистом и профессором Университетского колледжа в Лондоне, он помог британскому правительству организовать аукцион лицензий на частоты мобильной связи третьего поколения (3G). В результате аукциона правительство выручило 22,5 млрд фунтов, что составило 2,5% от ВНП. Это был величайший на тот момент аукцион в истории или, по крайне мере, как писали авторы, со времени продажи Преторианской гвардией римского императорского престола Юлиану Дидию в 195 г. н.э.
Из-за сложности многоэтапного процесса и его организации аукционирование пяти телеком-лицензий заняло семь недель. В случае же с аукционированием кредита задача была сложнее, так как Банк Англии собирался принять огромное количество ставок от большого числа различных банков, затем совместить ставки-банки в оптимальные пары и найти одно агрегированное решение. В ситуации, когда «кровь течет по улицам», как любили говорить в Сити, все обеспокоены возможной паникой и набегами на нуждающиеся банки, счет идет на секунды, а не недели. Возник логичный вопрос – как сжать весь процесс подачи заявок на кредиты под залог различных финансовых активов и процесс определения оптимальной ставки процента по таким кредитам в небольшой период времени?
К счастью, Клемперер достаточно быстро нашел решение. Надо, решил он, попросить банки, делающие ставки, рассказать что-то о своих предпочтениях. Если инженер процесса будет знать о предпочтениях банков достаточно много, то он сможет разработать эффективную процедуру многораундового аукциона. Тогда можно будет встроить предпочтения в компьютерную программу, описывающую систему представления ставок и распределения кредитов. Затем программа просимулирует развитие возможных ситуаций и покажет инженеру, что могло бы получиться, если аукцион проводился как семинедельный процесс.
Однако как вытянуть из банков сведения об их предпочтениях? Это было похоже на решение следующей задачи. Представьте, что у вас есть блюдо с различными фруктами – апельсинами, бананами, яблоками, виноградом и грейпфрутами. Вам надо распределить эти фрукты наиболее эффективным образом между различными людьми, учитывая предпочтения последних, о которых вы почти не имеете представления. Сделать это нужно в рамках одного процесса, таким образом, сравнивая пять различных видов фруктов. Иными словами, с одной стороны, фрукт – он и в Африке фрукт, а с другой – надо работать в пяти различных измерениях, чтобы оптимально отразить компромиссы (tradeoffs) в предпочтениях между пятью различными вещами.
По аналогии с блюдом фруктов вопросы, которые нужно задавать банкам, будут что-то вроде «сколько винограда для вас стоит одно яблоко?». Или, например, «предпочтете ли вы только один данный апельсин, или для вас лучше получить одновременно два апельсина в паре, в случае, если вы выиграете любой из них (так как у вас двое детей, и, принеся домой разные фрукты, вы спровоцируете драку между ними?)».
На практике такие предпочтения можно представить в виде математических графов, то есть совокупности непустого множества вершин и связей между ними. Клемперер любил работать с графами, поскольку серьезно увлекался геометрией с шестнадцатилетнего возраста. Он обнаружил, что геометрия оказывается исключительно полезной для решения многих задач размещения ресурсов, в частности, проблем, подобных тем, что предстала перед Банком Англии или заботит Гордона Рамзи с блюдом фруктов. Вместе с аспиранткой факультета экономики Оксфорда Элизабет Болдуин, прежде защитившей уже докторскую диссертацию по математике, Клемперер решил применить для решения проблемы распределения фруктов – кредитов так называемую тропическую геометрию.
Тропическая геометрия – это область математики, связанная с алгебраической и симплектической геометрией, которая стала активно развиваться лишь 10–15 лет назад. Эта наука манипулирует определенными кусочно-линейными объектами, которые выполняют роль классических алгебраических многообразий (например, поверхностей с особыми точками) в алгебраической геометрии. В силу этой вырожденной, кусочно-линейной природы основных объектов большинство классических математических проблем становится гораздо проще после их «тропиколизации». Это иногда позволяет строить алгоритмы нахождения единственного решения «тропического» аналога задачи, тогда как до тропиколизации задача могла иметь множество решений, то есть не давать однозначного ответа.
Вначале эта наука возникла в информатике, и название «тропическая» получила как дань бразильской школе – пионерским работам бразильского математика венгерского происхождения Имре Шимона. Однако существенный прорыв тропическая геометрия получила благодаря россиянам: петербуржцу Григорию Михалкину, ныне работающему в Университете штата Юта (США), открывшему ряд приложений теории в перечислительной алгебраической геометрии, а также москвичам Владимиру Данилову и Глебу Кошевому из Центрального экономико-математического института РАН, которые разработали некоторые экономические приложения теории.
Клемперер и Болдуин, однако, вывели приложения тропической геометрии в экономике на совершенно новый уровень (в частности, смотрите их статью 2012 года «Тропическая. геометрия для анализа спроса»). В нашей конкретной истории, начав в пяти измерениях и определив строгие правила, посредством которых можно было трансформировать графы предпочтений – суть кусочно-линейные объекты тропической геометрии, – они, в конце концов, поняли, как построить так называемый аукцион продуктовой смеси (product-mix auction), который и позволил эффективно распределить фрукты с блюда, или денежные средства из Банка Англии.
Успех идеи был ошеломляющим. Вскоре после проведения аукционов на практике один из исполнительных директоров Банка Англии отметил, что механизм распределения ликвидности был «Формулой 1» в мире центрального банкинга. По его словам, это был «потенциально значительный шаг вперед в практической выработке политик для поддержания финансовой стабильности». Более того, после регулярного использования нового дизайна, распределив с его помощью 100 млрд фунтов, Мервин Кинг в интервью журналу The Economist назвал результат «чудесным приложением теоретической экономики к практической проблеме, имеющей жизненно важное значение для финансовых рынков»!
Практическая полезность аукциона продуктовой смеси, однако, не исчерпывается рамками распределения ликвидности центральными банками. Пока другие стоят в очереди, Министерство энергетики Великобритании уже задействовало профессора Клемперера в работе над улучшением процессов лицензирования альтернативных видов топлива с учетом их потенциального влияния на изменение климата. Вместе с тем о каком бы практическом приложении мы ни говорили, для Клемперера вопрос всегда заключается в любви к процессу: он стремится понять силы, которые управляют событиями в реальности, чтобы затем привлечь всю силу и красоту математики для моделирования этих сил и управления ими во благо общества.
Прошедшим летом в июльском интервью британской газете Guardian Клемперер заявил, что было бы здорово, если бы правительство страны лучше понимало значение фундаментальных академических исследований, а также то, насколько бесценными могут быть немедленные их приложения в реальной жизни. Подобная ламентация особенно подходит и для нашей страны. Тем более что в истории, о которой я вам поведал, фундаментальные исследования были в области математики, чьи экономические приложения развились именно благодаря существенному вкладу российской математической школы. Сильные специалисты-экономисты по теории аукционов у нас также есть, например Сергей Измалков из московской РЭШ.
Между тем агентство Thomson Reuters уже выставило свой прогноз на нобелевских лауреатов по экономике 2013 года. Одним из наиболее вероятных претендентов называют сэра Девида Хендри, коллегу Клемперера по Оксфорду. О его трудах также можно написать красивую историю – однако, это тема для отдельной статьи. А пока – подождем две недели.
В статье используется материал, опубликованный в октябрьском номере СBonds Review.
Тропическая математика что такое
Мы используем файлы cookies для улучшения работы сайта НИУ ВШЭ и большего удобства его использования. Более подробную информацию об использовании файлов cookies можно найти здесь, наши правила обработки персональных данных – здесь. Продолжая пользоваться сайтом, вы подтверждаете, что были проинформированы об использовании файлов cookies сайтом НИУ ВШЭ и согласны с нашими правилами обработки персональных данных. Вы можете отключить файлы cookies в настройках Вашего браузера.
Книга
Модели и методы тропической математики в прикладных задачах экономики и управления
Тропическая (идемпотентная) математика представляет собой быстро развивающуюся область прикладной математики, которая связана с изучением полумодулей над полукольцами с идемпотентным сложением и имеет много приложений, включая задачи экономики и управления. Использование языка тропической математики позволяет некоторые нелинейные в обычном смысле задачи превращать в линейные, что в ряде случаев упрощает процедуру решения этих задач, а ткже облегчает представление самого решения и его содержательную интерпретацию.
Рассматриваются различные варианты CES-функций, получившие распространение в экономике. С точки зрения тропической математики CES-функция без весов интересна тем, что при изменении параметра, связывает идемпотентные операции max и min со стандартной динейно-алгебраической операцией +. Мы рассматриваем CES-функции с позиций тропической математики на основе введения операции обобщенного сложения. Исследуются свойства монотонности, взаимосвязь различных видов CES-функции, а также динамические модели экономики, задаваемые системой CES-функций.
В работе исследуется методология измерения и анализа зрелости управления проектами и портфелями проектов в компаниях. Показано влияние степени зрелости проектно-портфельного управления на уровне продуктов, технологий, положение компаний на рынке. Анализируются материалы обследования российских предприятий по управлению проектами и портфелями проектов. На основе предлагаемой методики произведены оценки уровней зрелости, проведен комплексный анализ по материалам российских компаний.
Для аспирантов и студентов вузов, научных работников, менеджеров компаний, занимающихся постановкой и развитием управления проектами и портфелями проектов.
Переводы классики по разделам экономической науки (ВЕХИ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ МЫСЛИ), учебники экономические, справочные и методические материалы, книжные серии, экономическая терминология
В статье рассмотрены место и роль управления проектами в университете в зависимости от специфических условии его функционирования и его типа. Вынесено предположение о том, что в большинстве случаев проектной деятельности университета основной акцент делается на внутренних показателях проекта и недооценивается значение его внешнего окружения, что предопределило необходимость осуществления стратегического анализа хода его реализации.
В работе излагается сущность, экономический смысл концепции постиндустриализма с системной точки зрения регионального развития, отмечается значение универсализированной методологии, направленной на устранение состояния стагнации промышленных отраслей и технологий.
Пленарный доклад посвящен связи темпов роста с наличием слабых звеньев в сетевых структурах, в частности, в городах и агломерациях, где слабые звенья связаны с недостаточными размеранми положительных эестерналий. Анализируются процуссы агломерации и диффузии при наличии двух типов агентов: «стационарных», имеющих постоянное местоположение, и «свободных», способных его менять, взаимодействуя со стационарными агентами в новом местоположении. Асимптотическое поведение модели исследовано методами тропической математики; переходная динамика соответствует реальным тенденциям процессов агломерации.
Оценка эффективности социальных и социально-политических проектов является одной из важных составляющих системы управления такими проектами. В настоящее время ни в теории, ни на практике не выработано убедительных методов оценки социальной эффективности инвестиционных проектов. Предлагается методика, которая могла бы дополнить традиционные подходы к оценке эффективности социальных проектов.
В настоящее время в зарубежной литературе все чаще проводятся параллели между повышением эффективности работы компании и управлением проектами, однако в отечественной бизнес-практике и академической сфере нет единого подхода к данной проблеме. В данной статье демонстрируются возможности применения проектного подхода для реализации действий, не направленных напрямую на получение дополнительных денежных потоков, а нацеленных на совершенствование работы компании.
При создании ИТ-решений перед всеми сторонами, вовлеченными в жизненный цикл проекта, возникает целый ряд вопросов, связанных с определением и детальным структурированием необходимых работ, с распределением прав и обязанностей, с управлением и контролем за исполняемыми работами. Одним из действенных инструментов для решения данных вопросов является использование унифицированных подходов, закрепленных в современных международных и российских стандартах и методологиях управления проектами. Представленный учебник содержит детальное описание процедур управления проектами внедрения информационных технологий. Отличительной особенностью данной книги является изложение материала с привязкой к этапам жизненного цикла создаваемого продукта, а не к фазам некоторого абстрактного проекта. Это позволяет читателю сформировать целостное представление о необходимых в ИТ-проекте управленческих процедурах, а также использовать материал последовательно во времени, по мере перехода от одного этапа технологического цикла создания продукта к другому.
Электронное издание является сборником материалов международной научно-практической конференции «Теория активных систем» (ТАС-2014)
Рассматриваются пространства функций на окружности, естественным образом возникающие в гармоническом анализе, и операторы замены переменной (суперпозиции с гомеоморфизмами окружности) в этих пространствах. В работе рассматривается вопрос о том, какие функции обладают тем свойством, что любая их суперпозиция с гомеоморфизмом принадлежит заданному пространству. Рассмотрен также многомерный случай.
Целью работы является сравнение режимов денежно-кредитной политики с точки зрения уязвимости экономики использующих их стран к кризисам. Работа состоит из двух частей. Первая часть содержит обзор литературы, где представлены результаты исследований, рассматривающие подверженность кризисам экономик, применяющих такие режимы денежно-кредитной политики, как таргетирование валютного курса, классическое и модифицированное инфляционное таргетирование. Также приводятся оценки эффективности накопления валютных резервов в качестве инструмента предотвращения или смягчения кризисов. Во второй части работы – эмпирической – описаны методология и результаты сравнения адаптационных способностей экономик, полученные на основе анализа динамики ключевых макроэкономических показателей в докризисный и посткризисный периоды в странах, сгруппированных по режимам денежно-кредитной политики. Кроме того, представлены оценки подверженности экономик кризисам на основе расчета частот наступления кризисов при различных режимах.