Троичная система счисления что это

Троичная система счисления числа

Вы будете перенаправлены на Автор24

Троичная система счисления числа — это система счисления, основанная на целом числе три и позиционном задании разрядов.

Общие сведения

Базой для большинства вычислений, как несложных житейских, так и очень сложных математических, считается десятичная система счисления. Популярность троичной системы гораздо ниже, поскольку используется она в очень редких случаях. Большинство людей почти никогда не сталкивается с другими системами счисления, и им поначалу непросто абстрагироваться от обычных терминов типа, десятки, сотни и тому подобное.

Есть некоторое количество характеристик, которые присущи любой системе счисления. Это:

В название всех систем счисления заложено их основание, то есть в троичной системе основанием является тройка, а в десятичной десять (справедливо и обратное утверждение, в названии системы счисления заложено её основание).

Алфавит системы счисления — это символьный комплект, который в нашем конкретном случае применяется для отображения чисел. К примеру, десятичная система использует десять цифровых символов (учитывая ноль), двоичная всего два (ноль и единицу), а троичная — три (ноль, один и два).

Разрядная цифра — это самое маленькое число, которое возможно прибавить в разряде, а разрядное слагаемое — это цифра, которая записана в конкретном разряде и с требуемым числом нолей.

Самое большое допустимое число разрядного слагаемого определяется системой счисления. Если взять восьмеричную систему, то второй её разряд может быть максимум 70, в двоичной системе это будет 10, в десятичной 90, а в троичной 20. Например, при разложении десятичного числа 256 на слагаемые разрядов, получим такое выражение: 200+50+8 (три разряда).

Готовые работы на аналогичную тему

Троичная система счисления

Троичная система счисления может использовать обычные цифры 0,1,2, и в этом случае она позиционируется как несимметричная. В симметричной троичной системе применяются знаки «плюс» и «минус», то есть в обозначениях применяется число «-1». Другие его обозначения, это единица и сверху или снизу черта, или в виде буквы латинского алфавита i. Кроме того, цифры троичной системы, возможно представить в виде кодов с помощью трёх разных символов, к примеру «А, Б, В», но прежде надо указать их достоинство (например, А меньше чем Б, а Б меньше чем В).

Для перевода любого числа из десятичной системы счисления в троичную, можно использовать обобщённый алгоритм. Надо выполнять операцию деления десятичного числа на основание нужной нам системы (в нашем случае три) и писать остатки с правой стороны на левую. В качестве примера берём число тридцать. Сначала делим его на три и получаем в результате десять без остатка. Значит пишем ноль. Далее десять делим на три, получаем три и один в остатке, пишем один. И наконец три делим на три, после чего пишем в результат сначала остаток (ноль), а затем итог деления (единицу). Получилось следующее число в троичной системе счисления 1010.

Арифметические действия

Электронная вычислительная машина быстро и просто выполняет вычислительные процедуры в удобной для неё двоичной системе счисления, а человеку непросто переориентировать свой образ мысли, поскольку для людей базовой является десятичная система счисления.

Троичная система счисления более ёмкая в сравнении с двоичной, и процесс вычислений в ней более сложный, но в любой позиционной системе счисления может быть использована таблица сложения. Наверное, всем известен принцип организации сетки в игре «морской бой». По вертикали в левом столбике пишутся цифры, а вверху в горизонтальном столбике пишутся буквенные символы.

Составить сетку для операции сложения в троичной системе возможно на этом же принципе. К примеру, если взять несимметричную троичную систему, состоящую всего из трёх символов, то необходимо построить четыре столбца, в каждом из которых будет вписана последовательная цепочка цифр. Например, запишем нижний столбец по горизонтали в виде 0, 00, 01, 02. Второй столбец 1, 01, 02, 10, а третий будет 2, 02, 10, 11. Возможно расширение таблицы, если есть необходимость в числах других разрядов (к примеру, 001 и так далее). Рассмотрим умножение. При использовании троичного счисления таблица умножения получается более лаконичной и короткой, по сравнению с десятичной, а сама операция не очень сложная, поскольку перемножаются числа не более цифры два. Для умножения в столбик, нужно расположить два числа в троичном коде одно над другим, а далее поочерёдно умножать первый множитель на числа каждого разряда другого, не учитывая ноль. То есть получается перемножение чисел 102 на 101 можно представить как 2 • 1 = 2, 0 • 1 = 0,1 • 1 = 1. Пишем число 102. Затем опускаем ноль и перемножаем на один (это старший разряд второго множителя).

Впрочем, сложение в троичной системе счисления возможно выполнить без применения таблиц. Необходимо только освежить в памяти несложное правило, которое гласит, если результат сложения больше разряда, надо разделить второе число на два. Для примера выполним простую операцию сложения 6+8. Результат операции больше данной разрядности, значит надо разделить восемь пополам, что даёт в итоге 4. В итоге все выполненные действия можно представить в следующем виде: 6 + 8 = (6 + 4) + 4 =10 + 4 =14.

У троичной системы нечётное основание, поэтому присутствует симметричное положение цифр по отношению к нолю (-1, 0, 1), что даёт некоторые интересные особенности. В частности, отрицательные числа в троичной системе имеют более естественную форму и нет проблемы округления.

Экскурс в историю

Следует отметить, что даже обычные бытовые расчёты не всегда делались в десятичной системе счисления. Троичной системой иногда пользовались ещё древние шумеры. У них применялись меры весов и денег кратные трём. Ещё с древнего времени и по сей день рычажные весы оснащены подобием троичной системы. Знаменитый итальянский учёный Фибоначчи ещё в своё время предложил целочисленную симметричную троичную систему счисления. Как отметил известный французский учёный О.Л. Коши, таблица умножения в этой системе получилась короче примерно в четыре раза, если сравнивать с десятичной системой.

Источник

Троичная система счисления

Трои́чная систе́ма счисле́ния — позиционная система счисления с целочисленным основанием, равным 3.

Существует в двух вариантах: несимметричная и симметричная.

Содержание

Троичные цифры

Физические реализации

В цифровой электронике, независимо от варианта троичной системы счисления, одному троичному разряду в троичной системе счисления соответствует один троичный триггер как минимум на трёх инверторах с логикой на входе или два двоичных триггера как минимум на четырёх инверторах с логикой на входе.

Представление чисел в троичных системах счисления

Несимметричная троичная система счисления

Примером представления чисел в несимметричной троичной системе счисления может служить запись в этой системе целых положительных чисел:

Если в десятичной системе счисления имеется 10 цифр и веса соседних разрядов различаются в 10 раз (разряд единиц, разряд десятков, разряд сотен), то в троичной системе используются только три цифры и веса соседних разрядов различаются в три раза (разряд единиц, разряд троек, разряд девяток, …). Цифра 1, написанная первой левее запятой, обозначает единицу; эта же цифра, написанная второй левее запятой, обозначает тройку и т. д.

Показательные системы счисления

В показательных позиционных троичных системах счисления используются две системы:

Целое число в показательной позиционной системе счисления представляется в виде суммы произведений значений в разрядах (цифр) — на k-тые степени числа b:

Каждое произведение в такой записи называется (a, b)-ичным разрядом.

При c=b образуются (b, b)-ичные системы счисления с произведением — a_kb k и суммой — , которые при b=3 превращаются в обычную (3,3)-ичную (троичную) систему счисления. При записи первый индекс часто опускается, иногда, когда есть упоминание в тексте, опускается и второй индекс.

Весовой коэффициент разряда — b k — приписной и, в общем случае, может быть необязательно показательной функцией от номера разряда — k, и необязательно степенью числа 3. Множество значений a_k более ограниченно и более связано с аппаратной частью — числом устойчивых состояний триггеров или числом состояний группы триггеров в одном разряде регистра. В общем случае, a_k могут быть тоже необязательно из троичного множества a=<0,1,2>, но, чтобы спаренной системе быть троичной и называться троичной, как минимум, одна из двух систем должна быть троичной. a_k-тые ближе к аппаратной части и по a_k-тым из множества a= <0,1,2>или из множества a=<-1,0,+1>, определяется система кодирования: несимметричная троичная или симметричная троичная.

Показательные троичные системы счисления

Целое число в показательной позиционной троичной системе записывают в виде последовательности его цифр (строки цифр), перечисляемых слева направо по убыванию старшинства разрядов:

В показательных системах счисления значениям разрядов приписываются весовые коэффициенты , в записи они опускаются, но подразумевается, что k-тый разряд справа налево имеет весовой коэффициент равный .

Из комбинаторики известно, что количество записываемых кодов равно числу размещений с повторениями:
, где:
a=3 — 3-х элементное множество a= из которого берутся цифры a_k, n — число элементов (цифр) в числе x_3,b.
Количество записываемых кодов не зависит от основания показательной функции — b, которое определяет диапазон представляемых числами x_3,b величин.

Дробное число записывается и представляется в виде:

, где m — число разрядов дробной части числа справа от запятой,

В некоторых случаях этого может оказаться недостаточно, в таких случаях можно применить стро́енные (комтринированные), счетверённые и другие системы счисления.

Троичные системы счисления с дополнительным сомножителем

В показательных позиционных троичных системах счисления в вес разряда можно ввести дополнительный сомножитель. Например, сомножитель (b/с):

В общем случае c≠3.
При a_k из a=<0,1,2>, b=3 и c=3 образуется обычная несимметричная троичная система счисления.
При a=2, b=3 и c=2 образуется (2,3,2)-ичная система счисления с дополнительным нецелочисленным весовым коэффициентом в произведении равным (3/c)=(3/2)=1,5.
При других значениях a, b и c образуются другие показательные позиционные системы счисления с дополнительным сомножителем (b/c), число которых бесконечно.
Возможны бесконечные множества и других составных систем счисления.

Кодирование троичных цифр

Одна троичная цифра может кодироваться разными способами.

Трёхуровневые системы кодирования троичных цифр

1. Трёхуровневое кодирование троичных цифр (3-LevelTernary, 3LT, «однопроводное»):
Число трёхуровневых систем кодирования троичных цифр равно числу перестановок:

из них одна

Двухуровневые системы кодирования троичных цифр

2. Двухбитные двоичнокодированые троичные цифры (2-Bit BinaryCodedTernary, 2B BCT representation, «двухпроводное») с использованием 3-х кодов из 4-х возможных [1] :
Число возможных 2B BCT систем кодирования троичных цифр равно числу сочетаний без повторения:

умноженному на число перестановок в каждом наборе из 3-х цифр: то есть 4*6 = 24.

Вот некоторые из них:
2.1. [2]
(1,0) — 2 ;
(0,1) — 1 ;
(0,0) — 0.
2.2.
(1,1) — 2;
(0,1) — 1;
(0,0) — 0.
3. Двухбитные двоичнокодированые троичные цифры (2-Bit BinaryCodedTernary, 2B BCT representation, «двухпроводное») с использованием всех 4-х кодов из 4-х возможных (два из 4-х кодов кодируют одну и туже троичную цифру из 3-х).
3.1.
Вот одна из них [3] :
(0,0) — «0»
(1,1) — «0»
(0,1) — «-1»
(1,0) — «+1»
4. Трёхбитные двоичнокодированые троичные цифры (3-Bit BinaryCodedTernary, 3B BCT representation, «трёхпроводное») с использованием 3-х кодов из 8-ми возможных:
Число возможных 3B BCT систем кодирования троичных цифр равно числу сочетаний без повторения:

умноженному на число перестановок в каждом наборе из 3-х цифр: то есть 54*6 = 324.

Сравнение с двоичной системой счисления

При поразрядном сравнении троичная система счисления оказывается более ёмкой, чем двоичная система счисления.
При девяти разрядах двоичный код имеет ёмкость чисел, а троичный код имеет ёмкость числа, то есть в раза больше.
При двадцати семи разрядах двоичный код имеет ёмкость чисел, а троичный код имеет ёмкость чисел, то есть в раз больше.
При восьмидесяти одном разряде двоичный код имеет ёмкость числа, а троичный код имеет ёмкость чисел, то есть в раз больше.

Свойства

Троичная позиционная показательная несимметричная система счисления по затратам числа знаков (в трёхразрядном десятичном числе 3*10=30 знаков) наиболее экономична из позиционных показательных несимметричных систем счисления. [4] [5] [6] [7] [8] А. Кушнеров [5] приписывает эту теорему Джону фон Нейману.

Перевод целых чисел из десятичной системы счисления в троичную

Для перевода целое десятичное число делят нацело с остатком (целочисленное деление) на 3 до тех пор, пока частное больше нуля. Остатки, записанные слева направо от последнего к первому являются целым несимметричным троичным эквивалентом целого десятичного числа. [9]
Пример: десятичное целое число 48_10,10 переведём в несимметричное троичное целое число:
число = 48_10,10 делим на 3, частное = 16, остаток a₀ = 0
частное = 16_10,10 делим на 3, частное = 5, остаток a₁ = 1
частное = 5_10,10 делим на 3, частное = 1, остаток a₂ = 2
частное = 1_10,10 делим на 3, частное = 0, остаток a₃ = 1
Частное не больше нуля, деление закончено.
Теперь, записав все остатки от последнего к первому слева направо, получим результат 48_10,10 = (a₃a₂a₁a₀)_3,3 = 1210_3,3.

Таблицы сложения в троичных системах счисления

В троичной несимметричной системе счисления

С результатом в десятичной системе счисления:

С результатом в троичной несимметричной системе счисления:

В троичной симметричной системе счисления

С результатом в десятичной системе счисления:

С результатом в троичной симметричной системе счисления:

Симметричная троичная система счисления

Позиционная целочисленная симметричная троичная система счисления была предложена итальянским математиком Фибоначчи (Леонардо Пизанский) (1170—1250) для решения «задачи о гирях». [10] Задачу о наилучшей системе гирь рассматривал Лука Пачоли (XV в.). Частный случай этой задачи был опубликован в книге французского математика Клода Баше де Мезириака «Сборник занимательных задач» в XVII веке в 1612 г. Русский перевод книги К. Г. Баше «Игры и задачи, основанные на математике» вышел в Петербурге в 1877 г. Позже этой задачей занимался петербургский академик Леонард Эйлер, интересовался Д. И. Менделеев. [11] [12] [13] [14] [15]

Симметричность при взвешивании на рычажных весах использовали с древнейших времён, добавляя гирю на чашу с товаром. Элементы троичной системы счисления были в системе счисления древних шумеров, [16] в системах мер, весов и денег, в которых были единицы равные 3. Но только в симметричной троичной системе счисления Фибоначчи объединены оба этих свойства.

Симметричная система позволяет изображать отрицательные числа, не используя отдельный знак минуса. Число 2 изображается цифрой 1 в разряде троек и цифрой (минус единица) в разряде единиц. Число −2 изображается цифрой (минус единица) в разряде троек и цифрой 1 в разряде единиц.
Возможны шесть соответствий цифр (знаков) троичной симметричной системы счисления и цифр (знаков) троичной несимметричной системы счисления:

В соответствии 2. сохраняются числовые значения 0 и 1.

В троичной симметричной системе счисления знак 1 можно заменить знаком (не числом) i или 2 и, во втором случае, использовать для троичной симметричной системы счисления <-1,0,+1>знаки троичной несимметричной системы <2,0,1>.

Свойства

Благодаря тому что основание 3 нечётно, в троичной системе возможно симметричное относительно нуля расположение цифр: −1, 0, 1, с которым связано пять ценных свойств:

Представление отрицательных чисел

Наличие положительной и отрицательной цифр позволяет непосредственно представлять как положительные, так и отрицательные числа. При этом нет необходимости в специальном разряде знака и не надо вводить дополнительный (или обратный) код для выполнения арифметических операций с отрицательными числами. Все действия над числами, представленными в троичной системе счисления с цифрами 0, 1, −1, выполняются естественно с учётом знаков чисел. Знак числа определяется знаком старшей значащей цифры числа: если она положительна, то и число положительно, если отрицательна, то и число отрицательно. Для изменения знака числа надо изменить знаки всех его цифр (то есть инвертировать его код инверсией Лукасевича). Например:

Округление

Другим полезным следствием симметричного расположения значений цифр является отсутствие проблемы округления чисел: абсолютная величина части числа, представленной отбрасываемыми младшими цифрами, никогда не превосходит половины абсолютной величины части числа, соответствующей младшей значащей цифре младшего из сохраняемых разрядов. Следовательно, в результате отбрасывания младших цифр числа получается наилучшее при данном количестве оставшихся цифр приближение этого числа, и округление не требуется.

Перевод чисел из десятичной системы в троичную

Перевод в другие системы счисления

Всякое число, записанное в троичной системе счисления с цифрами 0, 1, −1, можно представить в виде суммы целых степеней числа 3, причём если в данном разряде троичного изображения числа стоит цифра 1, то соответствующая этому разряду степень числа 3 входит в сумму со знаком «+», если же цифра −1, то со знаком «-», а если цифра 0, то вовсе не входит. Это можно представить формулой

, где — целая часть числа, — дробная часть числа,

причём коэффициенты K могут принимать значения < 1, 0, −1 >.

Для того чтобы число, представленное в троичной системе, перевести в десятичную систему, надо цифру каждого разряда данного числа умножить на соответствующую этому разряду степень числа 3 (в десятичном представлении) и полученные произведения сложить.

Практические применения

Девятеричная форма представления команд

Представление команд троичным кодом при программировании и при вводе в машину неудобно и неэкономно, поэтому вне машины применяется девятеричная форма представления команд. Девятеричные цифры сопоставляются парам троичных цифр:

При выводе из машины отрицательные девятеричные цифры обозначают буквами:

Источник