sec что это в тригонометрии
СЕКАНС
Смотреть что такое «СЕКАНС» в других словарях:
СЕКАНС — (лат., от secare сечь, рассекать). В тригонометрии: радиус круга, проведенный из центра круга до конца касательной черты, за окружность. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. СЕКАНС лат. secans, от secare … Словарь иностранных слов русского языка
СЕКАНС — (лат. secans секущая) одна из тригонометрических функций … Большой Энциклопедический словарь
СЕКАНС — [сэ], секанса, муж. (латин secans, букв. рассекающий) (мат.). Тригонометрическая функция угла, в прямоугольном треугольнике равная отношению гипотенузы к катету, прилежащему к углу. Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935 1940 … Толковый словарь Ушакова
СЕКАНС — муж. тригоном. луч (радиус) круга, протянутый до конца касательной черты, за окружность. Толковый словарь Даля. В.И. Даль. 1863 1866 … Толковый словарь Даля
секанс — сущ., кол во синонимов: 1 • функция (49) Словарь синонимов ASIS. В.Н. Тришин. 2013 … Словарь синонимов
секанс — секанс. Произносится [сэканс] … Словарь трудностей произношения и ударения в современном русском языке
Секанс — Рис. 1 Графики тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса, секанса, косеканса, котангенса Тригонометрические функции вид элементарных функций. Обычно к ним относят синус (sin x), косинус (cos x), тангенс (tg x), котангенс (ctg x),… … Википедия
секанс — а; м. [от лат. secans секущий] Матем. Одна из тригонометрических функций угла, в прямоугольном треугольнике равная отношению гипотенузы к катету, прилежащему к данному углу. * * * секанс (лат. secans секущая), одна из тригонометрических функций … Энциклопедический словарь
Секанс — [лат. secans, здесь секущая (прямая); от seco режу, рассекаю], одна из тригонометрических функций (См. Тригонометрические функции); обозначение sec. В прямоугольном треугольнике С. острого угла называют отношение гипотенузы к катету,… … Большая советская энциклопедия
Тригонометрия простыми словами
Официальное объяснение тригонометрии вы можете почитать в учебниках или на других интернет сайтах, а в этой статье мы хотим объяснить суть тригонометрии «на пальцах».
Для удобства работы с тригонометрическими функциями был придуман тригонометрический круг, который представляет собой окружность с единичным радиусом (r = 1).
Тогда проекции радиуса на оси X и Y (OB и OA’) равны катетам построенного треугольника ОАВ, которые в свою очередь равны значениям синуса и косинуса данного угла.
Тангенс и котангенс получаются соответстсвенно из треугольников OCD и OC’D’, построенных подобно исходному треугольнику OAB.
Для упрощения обучения тригонометрическим функциям в школе используют только некоторые удобные углы в 0°, 30°, 45°, 60° и 90°.
Значения тригонометрических функций повторяются каждые 90° и в некоторых случаях меняя знак на отрицательный.
Достаточно запомнить значения некоторых важных углов и понять принцип повтора значений для бОльших углов.
Значения тригонометрических функций
для первой четверти круга (0° – 90°)
Принцип повтора знаков тригонометрических функций
Угол может быть как положительный, так и отрицательный. Отрицательный угол считается угол, откладываемый в противоположную сторону.
В виду того, что полная окружность составляет 360°, значения тригонометрических функций углов, описывающих одинаковое положение радиуса, РАВНЫ.
Для лучшего понимания и запоминания значений тригонометрических функций воспользуйтесь динамическим макетом тригонометрического круга ниже. Нажимая кнопки «+» и «–» значения угла будут увеличиваться или уменьшаться соответственно.
Тригонометрический круг
Углы в радианах
Чтобы закрепить свои знания и проверить себя, воспользуйтесь онлайн-тренажером для запоминания значений тригонометрических функций.
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Если — прямоугольные декартовы координаты точки А, то Т. ф. синус и косинус определяются формулами
Остальные Т. ф. могут быть определены формулами
Все Т. ф.- периодические функции. Графики Т. ф. даны на рис. 2.
Основные свойства Т. ф.: область определения, множество значений, четность и участки монотонности приведены в табл.
sin (–α) = – sin α | tg (–α) = – tg α |
cos (–α) = cos α | ctg (–α) = – ctg α |
sec (–α) = sec α | cosec (–α) = – cosec α |
sin (α + 2kπ) = sin α | cos (α + 2kπ) = cos α |
tg (α + kπ) = tg α | ctg (α + kπ) = ctg α |
sec (α + 2kπ) = sec α | cosec (α + 2kπ) = cosec α |
Периодичность синуса и косинуса следует из того, что все точки P a + 2k p , где k = 0, ±1, ±2,…, совпадают, а периодичность тангенса и котангенса – из того, что точки P a + k p поочередно попадают в две диаметрально противоположные точки окружности, дающие одну и ту же точку на оси тангенсов.
Основные свойства тригонометрических функций могут быть сведены в таблицу:
Формулы приведения.
1) название функции сохраняется, если k четное, и меняется на «дополнительное», если k нечетное;
Формулы сложения.
sin ( a b ) = sin a cos b
cos a sin b ;
cos ( a b ) = cos a cos b
sin a sin b
Формулы кратных углов.
Эти формулы выводятся прямо из формул сложения:
sin 2 a = 2 sin a cos a ;
cos 2 a = cos 2 a – sin 2 a = 2 cos 2 a – 1 = 1 – 2 sin 2 a ;
sin 3 a = 3 sin a – 4 sin 3 a ;
cos 3 a = 4 cos 3 a – 3 cos a ;
Если в формулах двойного аргумента заменить a на a /2, их можно преобразовать в формулы половинных углов:
;
;
Формулы универсальной подстановки.
Используя эти формулы, выражение, включающее разные тригонометрические функции от одного и того же аргумента, можно переписать как рациональное выражение от одной функции tg ( a /2), это бывает полезно при решении некоторых уравнений:
Формулы преобразования сумм в произведения и произведений в суммы.
До появления компьютеров эти формулы использовались для упрощения вычислений. Расчеты производились с помощью логарифмических таблиц, а позже – логарифмической линейки, т.к. логарифмы лучше всего приспособлены для умножения чисел, поэтому все исходные выражения приводили к виду, удобному для логарифмирования, т.е. к произведениям, например:
2 sin a sin b = cos ( a – b ) – cos ( a + b );
2 cos a cos b = cos ( a – b ) + cos ( a + b );
2 sin a cos b = sin ( a – b ) + sin ( a + b ).
Формулы для функций тангенса и котангенса можно получить из вышеприведенных.
Формулы понижения степени.
Из формул кратного аргумента выводятся формулы:
sin 2 a = (1 – cos 2 a )/2; | cos 2 a = (1 + cos 2 a )/2; |
sin 3 a = (3 sin a – sin 3 a )/4; | cos 3 a = (3 cos a + cos 3 a )/4. |
С помощью этих формул тригонометрические уравнения можно приводить к уравнениям более низких степеней. Таким же образом можно вывести и формулы понижения для более высоких степеней синуса и косинуса.
Производные и интегралы тригонометрических функций | |
(sin x)` = cos x; | (cos x)` = –sin x; |
(tg x)` = | (ctg x)` = – |
т sin x dx = –cos x + C; | т cos x dx = sin x + C; |
т tg x dx = –ln |cos x| + C; | т ctg x dx = ln |sin x| + C; |
Каждая тригонометрическая функция в каждой точке своей области определения непрерывна и бесконечно дифференцируема. Причем и производные тригонометрических функций являются тригонометрическими функциями, а при интегрировании получаются так же тригонометрические функции или их логарифмы. Интегралы от рациональных комбинаций тригонометрических функций всегда являются элементарными функциями.
Представление тригонометрических функций в виде степенных рядов и бесконечных произведений.
Все тригонометрические функции допускают разложение в степенные ряды. При этом функции sin x b cos x представляются рядами. сходящимися для всех значений x:
Эти ряды можно использовать для получения приближенных выражений sin x и cos x при малых значениях x:
Функции sin x и cos x могут быть представлены в виде бесконечных произведений:
(эта формула была получена Эйлером в 1740);
Тригонометрические функции комплексного аргумента
определяются как аналитические продолжения соответствующих тригонометрических функций действительного аргумента в комплексную плоскость. Так, sin z и cos z могут быть определены с помощью рядов для sin x и cos x, если вместо x поставить z:
,
.
Эти ряды сходятся по всей плоскости, поэтому sin z и cos z – целые функции.
Тангенс и котангенс определяются формулами:
,
.
Функции tg z и ctg z – мероморфные функции. Полюсы tg z и sec z – простые (1-го порядка) и находятся в точках z = p /2 + p n, полюсы ctg z и cosec z – также простые и находятся в точках z = p n, n = 0, ±1, ±2,…
Все формулы, справедливые для тригонометрических функций действительного аргумента, справедливы и для комплексного. В частности,
т.е. четность и нечетность сохраняются. Сохраняются и формулы
т.е. периодичность также сохраняется, причем периоды такие же, как и для функций действительного аргумента.
Тригонометрические функции могут быть выражены через показательную функцию от чисто мнимого аргумента:
;
;
.
Обратно, e iz выражается через cos z и sin z по формуле:
Эти формулы носят название формул Эйлера. Леонард Эйлер вывел их в 1743.
Тригонометрические функции также можно выразить через гиперболические функции:
z = –i sh iz, cos z = ch iz, z = –i th iz.
где sh, ch и th – гиперболические синус, косинус и тангенс.
Тригонометрические функции комплексного аргумента z = x + iy, где x и y – действительные числа, можно выразить через тригонометрические и гиперболические функции действительных аргументов, например:
Синус и косинус комплексного аргумента могут принимать действительные значения, превосходящие 1 по абсолютной величине. Например:
Если неизвестный угол входит в уравнение как аргумент тригонометрических функций, то уравнение называется тригонометрическим. Такие уравнения настолько часто встречаются, что методы их решения очень подробно и тщательно разработаны. С помощью различных приемов и формул тригонометрические уравнения сводят к уравнениям вида f(x) = a, где f – какая-либо из простейших тригонометрических функций: синус, косинус, тангенс или котангенс. Затем выражают аргумент x этой функции через ее известное значение а.
Поскольку тригонометрические функции периодичны, одному и тому же а из области значений отвечает бесконечно много значений аргумента, и решения уравнения нельзя записать в виде одной функции от а. Поэтому в области определения каждой из основных тригонометрических функций выделяют участок, на котором она принимает все свои значения, причем каждое только один раз, и находят функцию, обратную ей на этом участке. Такие функции обозначают, приписывая приставку агс (дуга) к названию исходной функции, и называют обратными тригонометрическими функциями или просто аркфункциями.
Обратные тригонометрические функции.
Для sin х, cos х, tg х и ctg х можно определить обратные функции. Они обозначаются соответственно arcsin х (читается «арксинус x»), arcos x, arctg x и arcctg x. По определению, arcsin х есть такое число у, что
Аналогично и для других обратных тригонометрических функций. Но такое определение страдает некоторой неточностью.
Если отразить sin х, cos х, tg х и ctg х относительно биссектрисы первого и третьего квадрантов координатной плоскости, то функции из-за их периодичности становятся неоднозначными: одному и тому же синусу (косинусу, тангенсу, котангенсу) соответствует бесконечное количество углов.
Так же решаются другие простейшие тригонометрические уравнения:
где п = 0, ±1, ±2. (рис. 16);
где п = 0, ±1, ±2. (рис. 17);
где п = 0, ±1, ±2. (рис. 18).
Основные свойства обратных тригонометрических функций:
arcsin х (рис. 19): область определения – отрезок [–1, 1]; область значений – [– p /2, p /2], монотонно возрастающая функция;
arccos х (рис. 20): область определения – отрезок [–1, 1]; область значений – [0, p ]; монотонно убывающая функция;
arctg х (рис. 21): область определения – все действительные числа; область значений – интервал (– p /2, p /2); монотонно возрастающая функция; прямые у = – p /2 и у = p /2 – горизонтальные асимптоты;
arcctg х (рис. 22): область определения – все действительные числа; область значений – интервал (0, p ); монотонно убывающая функция; прямые y = 0 и у = p – горизонтальные асимптоты.
Т.к. тригонометрические функции комплексного аргумента sin z и cos z (в отличие от функций действительного аргумента) принимают все комплексные значения, то и уравнения sin z = a и cos z = a имеют решения для любого комплексного a:
,
.
Функции tg z и ctg z принимают все комплексные значения, кроме ±i: уравнения tg z = a, ctg z = a имеют решения для любого комплексного числа a № ± i:
,
.
Для любого z = x + iy, где x и y – действительные числа, имеют место неравенства
из которых при y ® Ґ вытекают асимптотические формулы (равномерно относительно x)
Кочетков Е.С., Кочеткова Е. С. Алгебра и элементарные функции, ч. 1–2, М., 1966
Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. М., 1969