Правила применения уравнения состояния идеальных газов
Идеальный газ — что это за состояние
Идеальный газ — это газ, в котором пренебрегают потенциальным взаимодействием молекул газа между собой. Считается, что молекулы газа не сталкиваются друг с другом, а только со стенками сосуда.
Идеальными считают разреженные газы. Особенно близкими к идеальным считают гелий и водород.
Идеальный газ — это упрощенная математическая модель, широко применяемая для описания свойств и поведения реальных газов при атмосферном давлении и комнатной температуре.
Когда используют модель идеального газа, то предполагается:
Таким образом, между частицами газа нет дальнодействующего взаимодействия, например, электростатического и гравитационного. Дополнительное условия упругих столкновений между молекулами и стенками сосуда в рамках молекулярно-кинетической теории приводит к термодинамике идеального газа.
№
Допущения для описания модели идеального газа
1
Размеры молекул пренебрежимо малы по сравнению со средним расстоянием между ними, так что суммарный объем, занимаемый молекулами, много меньше объема сосуда.
2
Импульс передается только при соударениях, то есть силы притяжения между молекулами не учитываются, а силы отталкивания возникают только при соударениях молекул друг с другом.
3
Соударение частиц между собой и со стенками сосуда абсолютно упругие.
4
Количество молекул в газе велико и фиксировано, что позволяет вычислять средние величины по малому (по сравнению с размерами системы) объему.
5
Газ находится в термодинамическом равновесии со стенками сосуда и дополнительно отсутствуют макроскопические потоки вещества.
Тут следует уточнить, что градиенты термодинамических величин могут иметь место, как например, при включении внешнего поля, к примеру, гравитационного.
Таблица 1. Допущения, которые лежат в основе молекулярно-кинетической теории описания физической модели идеального газа.
Особенности, каким уравнением выражается
Соотношение, при котором определяется связь параметров состояния друг с другом, называется уравнением состояния данного тела. В самом простом случае равновесное состояние тела определяется значением следующих параметров:
Масса тела или системы, как правило, известна.
Существует эквивалентная макроскопическая формулировка идеального газа — это такой газ, который одновременно будет подчиняться закону Бойля-Мариотта и Гей-Люссака.
Уравнение Менделеева-Клапейрона
Термические свойства классического и квазиклассического идеального газа описываются уравнением состояния идеального газа, которое называется уравнением Менделеева-Клапейрона.
Также уравнение Клапейрона-Менделеева можно записать в ином виде:
Правила применения для решения задач
С помощью уравнения состояния идеального газа можно исследовать процессы, в которых масса и один трех параметров (давление, температура или объем) остаются неизменными.
Количественные зависимости между двумя параметрами газа при фиксированном третьем параметре называют газовыми законами.
Изопроцессы — это термодинамические процессы, во время протекания которых количество вещества и один из параметров состояния: давление, объем, температура или энтропия — остаются неизменными.
В зависимости от того, какой параметр остается неизменным, различают разные процессы:
Изотермический процесс (T=const)
Процесс изменения состояния термодинамической системы при постоянной температуре называют изотермическим.
Для поддержания постоянной температуры газа необходимо, чтобы он мог обмениваться теплотой с большой системой — термостатом. Им может служить атмосферный воздух, если температура его заметно не меняется на протяжении всего процесса.
Согласно уравнению Клапейрона-Менделеева, в любом состоянии с неизменной температурой произведение давления газа на объем одно и то же, то есть постоянно:
Этот закон был открыт экспериментально английским ученым Бойлем и несколько позднее французским ученым Мариоттом. Именно поэтому он называется законом Бойля-Мариотта.
Закон Бойля-Мариотта справедлив для любых газов, а также для смеси газов (например, для воздуха).
Зависимость давления газа от объема при постоянной температуре изображается графической кривой — изотермой. Изотерма для различных температур представлена в координатах pV на рис.1. и представляет собой гиперболу.
Рис.1. Изотерма в pV — координатах.
В изотермических условиях проводятся различные физико-химические процессы. Рассмотрим каким образом уравнение состояния идеального газа можно применить в задачах.
При уменьшении давления газа в 2,5 раза его объем увеличился на 12 л. Какой объем занимал газ в начальном состоянии, если температура на протяжении всего процесса оставалась постоянной?
По условию задачи температура в ходе всего процесса оставалась постоянной, откуда следует, что у нас изотермический процесс и мы можем воспользоваться для решения законом Бойля-Мариотта.
Откуда можем найти начальный объем:
Ответ: первоначальный объем газа был равен 8 л.
Объем пузырька воздуха при всплытии со дна озера на поверхность увеличился в 2 раза. Какова глубина озера?
Так как в условиях не говорится про изменение температуры в ходе данного процесса, то мы принимаем, что это изотермический процесс и можно использовать закон Бойля-Мариотта.
Где p 1 = ρ g h + p 0 — давление воздуха внутри пузырька в начальном состоянии (до всплытия), а V 1 — объем газа в начальном состоянии.
p 2 = p 0 — давление воздуха внутри пузырька газа в конечном состоянии (на поверхности водоема).
V 2 = 2 V 1 — объем пузырька воздуха в конечном состоянии.
( ρ g h + p 0 ) V 1 = 2 p 0 V 1
Откуда находим высоту, которая и является глубиной озера:
Берем давление при нормальных условиях в единицах системы СИ, то есть
Ответ: глубина озера 10,2 м.
Изохорный процесс (V=const)
Процесс изменения состояния термодинамической системы при постоянном объеме называют изохорным.
Из уравнения состояния следует, что отношение давлений газа данной массы при постоянном объеме равно отношению его абсолютных температур:
Газовый закон был установлен экспериментально в 1787 г. французским физиком Ж. Шарлем и носит название закона Шарля: давление данной массы газа при постоянном объеме прямо пропорционально абсолютной температуре.
Так, если в качестве одного из состояний газа выбрать состояние газа при нормальных условиях, тогда
p = p 0 T T 0 = p 0 γ T
Коэффициент γ называют температурным коэффициентом давления газа. Он одинаков для всех газов.
Зависимость давления газа от температуры при постоянном объеме графически изображается прямой, которая называется изохорой (Рис.2).
Рис.2 Изображение изохоры в pT-координатах.
Рассмотрим правила применения изохорного режима для решения задач.
Газ находится в баллоне при температуре 400 К. До какой температуры нужно нагреть газ, чтобы его давление увеличилось в 1,5 раза?
Так как нагревание газа по условиям данной задачи происходит при постоянном объеме, значит перед нами изохорный процесс.
уравнение состояния идеального газа, устанавливающее связь между его объемом V. давлением р и абс. температурой Т. Имеет вид:
где п — число молей газа, R = 8,31431 Дж/моль∙К) — газовая постоянная. Для 1 моля газа pv=RT, где v — молярный объем. К.-М. у. записывают также в форме: pV=NkT, где N — число частиц газа в объеме V, k — постоянная Больцмана. Если М — масса газа, а m — его мол. масса, то pV=(M/m)RT. К.-М. у. приближенно выполняется для реальных газов при достаточно низких давлениях; с повышением температуры область давлений, при которых состояние реального газа можно описывать К.-М. у., расширяется. Для молекулярных газов ( напр., атм. воздуха) при обычных температурах и давлениях до 1,01∙10 5 Па (1 атм) К.-М. у. выполняется достаточно точно. К.-М. у. широко используют при расчетах термодинамич. свойств газов, определения работы, совершаемой системой в к.-л. процессе. Ассоциированные газы, напр. пары HCOOH, CH3COOH, C3H7COOH и др. карбоновых кислот, не подчиняются К.-М. у. даже при очень низких давлениях. Уравнение было установлено опытным путем Б. П. Э. Клапейроном в 1834; оно имело вид: pV=ВТ, где В — постоянная, зависящая от природы газа и его массы. В совр. виде уравнение было получено в 1874 для 1 моля идеального газа Д. И. Менделеевым в результате объединения законов Гей — Люссака, Бойля-Мариотта и Авогадро. Вывод К.-М. у. возможен на основании представлений молекулярно-кинетич. теории газов (См. газы).
Уравнение состояния идеального газа (иногда уравнение Клапейрона или уравнение Клапейрона — Менделеева) — формула, устанавливающая зависимость между давлением, молярным объёмом и абсолютной температурой идеального газа. Уравнение имеет вид:
Так как , где — количество вещества, а , где — масса, — молярная масса, уравнение состояния можно записать:
Эта форма записи носит имя уравнения (закона) Менделеева — Клапейрона.
В случае постоянной массы газа уравнение можно записать в виде:
Последнее уравнение называют объединённым газовым законом. Из него получаются законы Бойля — Мариотта, Шарля и Гей-Люссака:
— закон Бойля — Мариотта. — закон Гей-Люссака. — закон Шарля (второй закон Гей-Люссака, 1808 г.)
С точки зрения химика этот закон может звучать несколько иначе: Объёмы вступающих в реакцию газов при одинаковых условиях (температуре, давлении) относятся друг к другу и к объёмам образующихся газообразных соединений как простые целые числа. Например, 1 объём водорода соединяется с 1 объёмом хлора, при этом образуются 2 объёма хлороводорода:
1 объём азота соединяется с 3 объёмами водорода с образованием 2 объёмов аммиака:
— закон Бойля — Мариотта.
Закон Бойля — Мариотта назван в честь ирландского физика, химика и философа Роберта Бойля (1627—1691), открывшего его в 1662 г., а также в честь французского физика Эдма Мариотта (1620—1684), который открыл этот закон независимо от Бойля в 1676 году.
В некоторых случаях (в газовой динамике) уравнение состояния идеального газа удобно записывать в форме
где — показатель адиабаты, — внутренняя энергия единицы массы вещества.
Эмиль Амага обнаружил, что при высоких давлениях поведение газов отклоняется от закона Бойля — Мариотта. И это обстоятельство может быть прояснено, как считал ещё М. В. Ломоносов, на основании молекулярных представлений.
С одной стороны, в сильно сжатых газах размеры самих молекул являются сравнимыми с расстояниями между молекулами. Таким образом, свободное пространство, в котором движутся молекулы, меньше, чем полный объем газа. Это обстоятельство увеличивает число ударов молекул в стенку, так как благодаря ему сокращается расстояние, которое должна пролететь молекула, чтобы достигнуть стенки.
С другой стороны, в сильно сжатом и, следовательно, более плотном газе молекулы заметно притягиваются к другим молекулам гораздо большую часть времени, чем молекулы в разреженном газе. Это, наоборот, уменьшает число ударов молекул в стенку, так как при наличии притяжения к другим молекулам молекулы газа движутся по направлению к стенке с меньшей скоростью, чем при отсутствии притяжения. При не слишком больших давлениях. более существенным является второе обстоятельство и произведение немного уменьшается. При очень высоких давлениях большую роль играет первое обстоятельство и произведение увеличивается.
теория по физике 🧲 молекулярная физика, МКТ, газовые законы
Уравнение состояния идеального газа было открыто экспериментально. Оно носит название уравнения Клапейрона — Менделеева. Это уравнение устанавливает математическую зависимость между параметрами идеального газа, находящегося в одном состоянии. Математически его можно записать следующими способами:
Уравнение состояния идеального газа
Внимание!При решении задач важно все единицы измерения переводить в СИ.
Пример №1. Кислород находится в сосуде вместимостью 0,4 м 3 под давлением 8,3∙10 5 Па и при температуре 320 К. Чему равна масса кислорода? Молярная масса кислорода равна 0,032 кг/моль.
Из основного уравнения состояния идеального газа выразим массу:
Уравнение состояния идеального газа следует использовать, если газ переходит из одного состояния в другое и при этом изменяется его масса (количество вещества, число молекул) или молярная масса. В этом случае необходимо составить уравнение Клапейрона — Менделеева отдельно для каждого состояния. Решая систему уравнений, легко найти недостающий параметр.
Подсказки к задачам
Давление возросло на 15%
p2 = 1,15p1
Объем увеличился на 2%
V2 = 1,02V1
Масса увеличилась в 3 раза
m2 = 3m1
Газ нагрелся до 25 о С
T2 = 25 + 273 = 298 (К)
Температура уменьшилась на 15 К (15 о С)
T2 = T1 – 15
Температура уменьшилась в 2 раза
Масса уменьшилась на 20%
m2 = 0,8m1
Выпущено 0,7 начальной массы
Важна только та масса, что осталась в сосуде. Поэтому:
Какую массу следует удалить из баллона?
Нужно найти разность начальной и конечной массы:
Газ потерял половину молекул
Молекулы двухатомного газа (например, водорода), диссоциируют на атомы
Озон (трехатомный кислород) при нагревании превращается в кислород (двухатомный газ)
M (O3) = 3Ar (O)∙10 –3 кг/моль M (O2) = 2Ar (O)∙10 –3 кг/моль
Открытый сосуд
Объем V и атмосферное давление pатм остаются постоянными
Закрытый сосуд
Масса m, молярная масса M, количество вещества ν, объем V, число N и концентрация n частиц, плотность ρ— постоянные величины
Нормальные условия
Температура T0 = 273 К Давление p0 = 10 5 Па
Единицы измерения давления
1 атм = 10 5 Па
Пример №2. В баллоне содержится газ под давлением 2,8 МПа при температуре 280 К. Удалив половину молекул, баллон перенесли в помещение с другой температурой. Определите конечную температуру газа, если давление уменьшилось до 1,5 МПа.
Так как половина молекул была выпущена, m2 = 0,5m1. Объем остается постоянным, как и молярная масса. Учитывая это, запишем уравнение состояния идеального газа для начального и конечного случая:
Преобразим уравнения и получим:
Приравняем правые части и выразим искомую величину:
На графике представлена зависимость объёма постоянного количества молей одноатомного идеального газа от средней кинетической энергии теплового движения молекул газа. Опишите, как изменяются температура и давление газа в процессах 1−2 и 2−3. Укажите, какие закономерности Вы использовали для объяснения.
Алгоритм решения
Решение
График построен в координатах (V;Ek). Процесс 1–2 представляет собой прямую линию, исходящую из начала координат. Это значит, что при увеличении объема растет средняя кинетическая энергия молекул. Но из основного уравнения МКТ идеального газа следует, что мерой кинетической энергии молекул является температура:
Следовательно, когда кинетическая энергия молекул растет, температура тоже растет.
Запишем уравнение Менделеева — Клапейрона:
Так как количество вещества одинаковое для обоих состояния 1 и 2, запишем:
Мы уже выяснили, что объем и температура увеличиваются пропорционально. Следовательно, давление в состояниях 1 и 2 равны. Поэтому процесс 1–2 является изобарным, давление во время него не меняется.
Процесс 2–3 имеет график в виде прямой линии, перпендикулярной кинетической энергии. Так как температуры прямо пропорциональна кинетической энергии, она остается постоянной вместе с этой энергией. Следовательно, процесс 2–3 является изотермическим, температура во время него не меняется. Мы видим, что объем при этом процессе уменьшается. Но так как объем и давление — обратно пропорциональные величины, то давление на участке 2–3 увеличивается.
На высоте 200 км давление воздуха составляет примерно 10 –9 от нормального атмосферного давления, а температура воздуха Т – примерно 1200 К. Оцените плотность воздуха на этой высоте.
Уравнение Менделеева Клапейрона: формулы для решения задач с газами
Сегодня мы рассмотри уравнение Уравнение Менделеева Клапейрона, которое используется для решения задач по термодинамике.
При решении термодинамических задач по физике, в которых возникают переходы между различными состояниями идеального газа, уравнение Менделеева-Клапейрона является важной опорной точкой. В данной статье рассмотрим, что это за уравнение и как им можно пользоваться при решении практических задач.
Газы реальные и идеальные
Все реальные газы при температурах порядка и выше комнатной (больше 300 К) и при давлениях порядка и ниже одной атмосферы (10 5 Па) можно считать идеальными.
Описывающие состояние газа термодинамические величины
Под термодинамическими величинами понимают макроскопические физические характеристики, которые однозначно определяют состояние системы. Существует три базовых величины:
Температура отражает интенсивность движения атомов и молекул в газе, то есть она определяет кинетическую энергию частиц. Измеряется эта величина в Кельвинах. Для перевода из градусов Цельсия в Кельвины следует использовать равенство:
Уравнение состояния Менделеева-Клапейрона
Запишем сразу это уравнение, а затем объясним его значение. Это уравнение имеет следующий общий вид:
Произведение давления на объем идеального газа является пропорциональным произведению количества вещества в системе на абсолютную температуру. Коэффициент пропорциональности R называется универсальной газовой постоянной. Ее значение равно 8,314 Дж/(моль*К). Физический смысл величины R заключается в том, что она равна работе, которую совершает при расширении 1 моль газа в случае его нагрева на 1 К.
Записанное выражение также называется уравнением состояния идеального газа. Его важность состоит в том, что оно не зависит от химического типа частиц газа. Так, это могут быть молекулы кислорода, атомы гелия или вообще газовая воздушная смесь, для всех этих веществ будет справедливо рассматриваемое уравнение.
Оно может быть записано в других формах. Приведем их:
Краткая история получения уравнения
Уравнение Клапейрона-Менделеева впервые было получено в 1834 году Эмилем Клапейроном в результате обобщения законов Бойля-Мариотта и Шарля-Гей-Люссака. При этом закон Бойля-Мариотта был известен уже во второй половине XVII века, а закон Шарля-Гей-Люссака впервые был опубликован в начале XIX века. Оба закона описывают поведение закрытой системы при фиксированном одном термодинамическом параметре (температуре или давлении).
Заслуга Д. Менделеева при записи современной формы уравнения идеального газа заключается в том, что он впервые заменил ряд констант одной единственной величиной R.
Отметим, что в настоящее время уравнение Клапейрона-Менделеева может быть получено теоретически, если рассмотреть систему с точки зрения статистической механики и применить положения молекулярно-кинетической теории.
Частные случаи уравнения состояния
Существует 4 частных закона, которые следуют из уравнения состояния идеального газа. Остановимся кратко на каждом из них.
Если в закрытой системе с газом поддерживать постоянную температуру, то любое увеличение в ней давления вызовет пропорциональное уменьшение объема. Этот факт может быть записан математически в таком виде:
Этот закон носит фамилии ученых Роберта Бойля и Эдма Мариотта. Графиком функции P(V) является гипербола.
Если в закрытой системе зафиксировать давление, то любое увеличение температуры в ней приведет к пропорциональному возрастанию объема, то есть:
Описанный этим уравнением процесс называется изобарным. Он носит фамилии французских ученых Шарля и Гей-Люссака.
Если в закрытой системе объем не меняется, то процесс перехода между состояниями системы называется изохорным. Во время него любое повышение давления приводит к аналогичному повышению температуры:
Это равенство получило название закона Гей-Люссака.
Графиками изобарного и изохорного процессов являются прямые линии.
Наконец, если зафиксировать макроскопические параметры (температуру и давление), тогда всякое увеличение количества вещества в системе приведет к пропорциональному возрастанию его объема:
Это равенство называется принципом Авогадро. Оно лежит в основе закона Дальтона для идеальных газовых смесей.
Решение задачи
Уравнение Менделеева-Клапейрона удобно использовать для решения различных практических задач. Приведем пример одной из них.
Кислород массой 0,3 кг находится в баллоне объемом 0,5 м 3 при температуре 300 К. Как изменится давление газа, если температуру увеличить до 400 К?
Полагая кислород в баллоне идеальным газом, воспользуемся уравнением состояния для вычисления начального давления, имеем:
Теперь вычислим давление, при котором газ будет находиться в баллоне, если поднять температуру до 400 К, получаем:
Изменение давления при нагреве составит:
Полученное значение ΔP соответствует 0,15 атмосферы.
, где 
— количество вещества, а 
, где 
— масса, 
— молярная масса, уравнение состояния можно записать:
— закон Бойля — Мариотта. 
— закон Гей-Люссака. 
— закон Шарля (второй закон Гей-Люссака, 1808 г.)
— закон Бойля — Мариотта.
— показатель адиабаты, 
— внутренняя энергия единицы массы вещества.
немного уменьшается. При очень высоких давлениях большую роль играет первое обстоятельство и произведение 
На графике представлена зависимость объёма постоянного количества молей одноатомного идеального газа от средней кинетической энергии теплового движения молекул газа. Опишите, как изменяются температура и давление газа в процессах 1−2 и 2−3. Укажите, какие закономерности Вы использовали для объяснения.
