проект признаки делимости в жизни
Проект по математике на тему «Признаки делимости чисел»
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
«Признаки делимости чисел»
ученица 5 Г класса
6. Теория о признаках делимости
10. Список литературы
Мир вокруг нас поражает разнообразием различных тайн. Одним из ключей к загадкам Вселенной являются числа. Еще Пифагор сказал: «Мир построен на силе числа».
В школьном курсе я изучила признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10. Этого недостаточно и я решила расширить круг своих познаний по этому вопросу. Так и началась работа над этой темой.
Дополнить уже известные признаки делимости натуральных чисел, изучаемые в школе и дополнить свои знания о признаках делимости чисел.
1. Изучить дополнительную литературу, подтверждающую правильность гипотезы о существовании других признаков делимости натуральных чисел и правильность выявленных нами признаков делимости.
2. Выписать найденные из дополнительной литературы признаки делимости натуральных чисел на 7, 11, 12, 13, 14, 19, 37.
Если можно определить делимость натуральных чисел на 2, 3, 5, 9, 10, то должны быть признаки, по которым можно определить делимость натуральных чисел на другие числа.
Мы сталкиваемся с числами на каждом шагу, они сопровождают нас от рождения до старости.
В школе на уроках математики мы изучаем разные числа, выполняем действия с ними. Часто приходится выполнять деление для решения задачи.
При разложении чисел на простые множители мне пришлось число делить на 7. А как узнать, деление получится с остатком или без остатка? Нет ли признаков делимости на 7? А на другие числа?
Я нашла в энциклопедическом словаре определение признака делимости.
При помощи интернета и дополнительной литературы я нашла признаки делимости на числа, которые я не изучала по школьной программе :
1) Число делится на 7 тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7
(Например, 343 делится на 7, так как 34- (2*3) =34 – 6=28 делится на 7).
Также я обнаружила ещё один способ:
В процессе работы над этой темой я узнала, что существует пара совершенно разных признаков делимости на 11.
1) Число делится на 11, если сумма цифр, которые стоят на четных местах равна сумме цифр, стоящих на нечетных местах, либо отличается от неё на 11.
2) Ч исло разбивается справа налево на группы по две цифры в каждой и складывают эти группы. Если полученная сумма кратна 11, то и число кратно 11.
А для того чтобы узнать кратно ли число 12, нужно проверить делится ли оно на 4 и на 3 одновременно.
(Например, 24 делится на 4 и на 3, поэтому оно будет кратно 12).
Число которое делится на 14 можно проверить по такой же схеме как и на 12. Только число должно делиться на 7 и на 2.
(Например, число 42 делится одновременно на 2 и 7).
Число делится на 37 тогда и только тогда, когда при разбивании числа на группы по три цифры (начиная с единиц) сумма этих групп кратна 37.
Признаки делимости применяются в различных числовых фокусах. Например:
Один человек записывает на листочке бумаги любое трехзначное число. Передает другому. Второй приписывает к этому числу справа такое же число и передает эту запись уже шестизначного числа третьему. Третий пусть разделит данное число на 7 и передаст четвертому. Четвертый разделит этот результат на 11 и передаст пятому. Пятый разделит результат на 13 и передаст первому. Если все вычисления были выполнены правильно, то первый получит трехзначное число, которое он первоначально написал на бумаге. В данном фокусе удивляет не то, что первый получает записанное им число, а то что «фокусник» уверен, что данное число делится на 7, 11, 13 – что бывает не так уж и часто. Разгадка в том, что приписывая к трехзначному числу точно такое же трехзначное число это равносильно умножению на 1001. А 1001 равно произведению 7, 11, 13.
Я решила провести анкетирование среди своих одноклассников, чтобы выяснить, знают ли они признаки делимости, например, на 7, 11, 33, 14 и хотят ли они изучить их? Ответы ребят меня порадовали. Оказалось, что большинство, как и я, хотят узнать больше о признаках делимости, эта тема вызвала у них интерес.
Узнав много других признаков делимости, я сделала вывод :
Работая с разными источниками, я убедилась в том, что существуют другие признаки делимости натуральных чисел (на 7, 11, 12, 13, 14, 19, 37), что подтвердило правильность гипотезы о существовании других признаков делимости натуральных чисел.
Знание и использование вышеперечисленных признаков делимости натуральных чисел значительно упрощает многие вычисления, этим самым, экономя время; исключая вычислительные ошибки, которые можно сделать при выполнении действия деления. Следует отметить, что формулировки некоторых признаков трудные. Может, поэтому они не изучаются в школе.
Информацию по данной теме я искала в энциклопедии и интернет источниках. Все найденное поможет мне при решении примеров, сделает мою работу легче и быстрее.
1. И. Я. Депман, «История арифметики», Москва, 1965, «Просвещение»
2. Г. И. Глейзер, «История математики в школе», Москва, 1982, «Просвещение»
3. «1001 вопрос и ответ. Большая книга знаний», Москва, 2004, «Мир книги»
4. Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А.П. Савин.-М.: Педагогика, 1989
5. Я. И. Перельман, «Живая математика», Москва, 1978, «Наука»
6. Б. А. Кордемский, «Математическая смекалка», Москва, 1994, «Юнисам»
Проект признаки делимости в жизни
С древних времен человечество интересовалось числами. Люди научились считать еще в каменном веке. Конечно, это были весьма примитивные приемы счета – на пальцах, с помощью зарубок и так далее.
С развитием цивилизации познания людей в математике расширялись. Развивалась торговля, людям нужно было уметь считать товар и деньги, чтобы не быть обманутыми.
Постепенно стали возникать математические принципы, например такие:
— Два любых натуральных числа всегда можно сложить, а также умножить.
— Из одного натурального числа можно вычесть другое, но лишь тогда, когда вычитаемое меньше уменьшаемого.
— С делением несколько сложнее. Деление без остатка можно выполнить только для некоторых чисел, причем бывает довольно трудно заранее узнать, делится ли одно число на другое. Помимо того, есть числа, которые делятся только на единицу или сами на себя. Они называются «простыми» числами. А делить на ноль и вовсе нельзя.
В современной жизни у нас часто возникает необходимость узнать, делится ли одно число на другое без остатка. Не всегда под рукой имеются технические средства, чтобы это быстро рассчитать. Для подсчета без калькулятора можно использовать признаки делимости.
Признак делимости — правило, позволяющее сравнительно быстро определить, является ли число кратным заранее заданному числу без необходимости выполнять фактическое деление. [1]
Признаки делимости на 2, 3 и 5 были известны с давних времен. Так, например, признак делимости на 2 знали древние египтяне за две тысячи лет до нашей эры, а признак делимости на 9 был известен грекам в третьем столетии до нашей эры. Впервые признаки делимости на 2, 3 и 5 были обстоятельно изложены итальянским математиком Леонардо Фибоначчи (около 1179 – 1228). Выдающийся французский математик и физик Блез Паскаль (1623 – 1662) еще в раннем возрасте вывел общий признак делимости чисел, из которого следуют все частные признаки. [2]
Значимость признаков делимости в математике бесспорна. Ведь именно с помощью признаков делимости можно узнать, делится ли одно число на другое без остатка, не производя фактического деления. Также знание признаков делимости позволяет быстро находить НОК (Наименьшее Общее Кратное) и НОД (Наибольший Общий Делитель), а это не менее важно.
Я выбрал эту тему, потому что она является актуальной для меня и моих одноклассников, а значит – и для других школьников. Сейчас, в 5-м классе, мы изучаем основные признаки делимости на уроках математики.
Но существуют еще и другие признаки делимости, которые в школе не изучают. Меня заинтересовала эта тема, и я нашел много интересного материала по ней, которым хочу поделиться. В своей работе я постараюсь доказать, что признаки делимости – это важное и существенное понятие в математике, значительно облегчающее процесс расчетов.
Цель проекта и его практическая ценность – создание буклета со справочным материалом по признакам делимости натуральных чисел в помощь учащимся 5 – 9-х классов, и его применение в школьном курсе математики. (Приложение 1)
Предмет проекта: изучение и классификация признаков делимости натуральных чисел.
Методы исследования: поиск и изучение информации, обработка данных, анализ и систематизация материала по признакам делимости натуральных чисел.
1. Признаки делимости, изучаемые в школе
В математике существует несколько основных признаков делимости. Это признаки делимости на: 2, 3, 4, 5, 6, 9 и на 10. Именно их мы изучаем в школе. Повторим их.
Чтобы был понятен признак делимости на 2, нужно разобраться в чётных и нечётных числах. Итак, чётные числа – это те числа, которые делятся на 2 – то есть числа 0, 2, 4, 6, 8 и так далее, а вот нечётные – это числа, не делящиеся на 2 – то есть 1, 3, 5, 7, 9 и так далее.
Признак делимости на 2 предельно прост:
на 2 делятся только числа, оканчивающиеся на чётные цифры, включая 0.
Признак делимости на 4:
Например: 584 делится на 4, потому что число 84 делятся на 4. число 351 не делится на 4, потому что число 51 не делится на 4 без остатка.
Признак делимости на 5:
На 5 делятся только те числа, которые оканчиваются на цифры 5 или 0.
Например: число 745 делится на 5, потому что оно оканчивается на 5. Число 957 не делится на 5, потому что оно оканчивается на цифру 7. Число 370 делится на 5, потому что оно оканчивается на 0.
Признак делимости на 6:
На 6 делятся только те числа, которые делятся и на 2, и на 3.
Например: число 354 делится на 6, потому что сумма цифр этого числа делится на 3, а также оканчивается на четное число, и поэтому делится и на 2 тоже.
Признаки делимости на 3 и на 9 очень похожи.
Признак делимости на 3:
На 3 делятся только те числа, сумма цифр которых делится на 3 без остатка.
Например: число 426 делится на 3, потому что сумма цифр этого числа 4+2+6=12 – число, делящееся на 3 без остатка. Число 572 не делится на 3, потому что сумма цифр данного числа 5+7+2=14 – число, которое не делится на 3 без остатка.
Признак делимости на 9:
На 9 делятся только те числа, сумма цифр которых делится на 9 без остатка.
Например: число 738 делится на 9, потому что сумма цифр данного числа 7+3+8=18 – число, делящееся на 9. Число 623 не делится на 9, потому что сумма цифр этого числа 6+2+3=11– число, не делящееся на 9.
Признак делимости на 10:
На 10 делятся только те числа, которые оканчиваются на 0, то есть круглые числа.
Например: число 40 делится на 10, потому что оно оканчивается на 0, то есть круглое число. Число 27 не делится на 10, потому что оно не круглое.
Признак делимости на 100:
На 100 делятся только числа, оканчивающиеся на 00.
Например: 300 делится на 100, потому что оканчивается на 00. Число 845 не делится на 100, потому что оно оканчивается не на 00.
Признак делимости на 1000 аналогичен:
На 1000 делятся только числа, оканчивающиеся на 000.
Например: число 9000 делится на 1000, потому что оно оканчивается на 000. Число 7564 не делится на 1000, потому что оканчивается не на 000.
2. Классификация признаков делимости
Помимо основных признаков делимости существует множество других, знание которых может быть очень полезно. Я нашел много интересного материала по этой теме и хочу им поделиться в своей работе.
Признаки делимости натуральных чисел можно разделить на 4 группы:
2.1 Признаки делимости по последним цифрам числа
Признаки делимости на 2 и 5 мы уже рассмотрели в предыдущем разделе.
Признак делимости на 4:
Например: 584 делится на 4, потому что число 84 делятся на 4. число 351 не делится на 4, потому что число 51 не делится на 4 без остатка.
Признак делимости на 8:
На 8 делятся только те числа, у которых три последние цифры, образующие целое число, делятся на 8, или три последние цифры являются нулями.
Число 6824 делится на 8, потому что и цифра 8, и число 24 делятся на 8.
Число 5387 не делится на 8, потому что ни 3, ни 7 не делятся на 8.
Признак делимости на 20.
Число делится на 20, если две его последние цифры делятся на 20 или равны нулю.
Число 2220 делится на 20, так как 20 делится на 20.
Число 600 делится на 20, так как число оканчивается нулями.
Признак делимости на 25.
Число делится на 25, если оно заканчивается на: 00, 25, 50, 75.
Число 475 делится на 25, так как его последние цифры равны 75.
Признак делимости на 50.
Число делится на 50, если оканчивается на 50 или 00.
Число 6950 делится на 50, так как последние цифры это 50.
Число 4000 делится на 50, так как заканчивается двумя нулями.
Признак делимости на 125.
Число делится на 125, если три его последние цифры нули или образуют число, которое делится на 125.
Число 225000 делится на 125, т.к. три последние цифры – нули.
Число 589250 делится на 125, т.к. число 250 делится на 125.
2.2 Признаки делимости по сумме цифр числа
Признаки делимости на 3 и на 9 мы рассмотрели в предыдущем разделе и убедились, что они полностью соответствуют признакам делимости по сумме цифр числа.
Признак делимости на 7.
Число делится на 7, если утроенное число десятков, сложенное с числом единиц, делится на 7.
Например: число 112 делится на 7, так как 11*3+2=35
Еще один признак делимости на 8.
Трёхзначное число делится на 8, если число единиц, сложенное с
удвоенным числом десятков и учетверённым числом сотен, делится на 8.
Например: число 776 делится на 8, так как 7*4+2*7+6=28+14+6=48.
Признак делимости на 11. [ 3]
Число делится на 11, если разность суммы цифр, стоящих на нечетных местах, и суммы цифр, стоящих на четных местах, делится на 11 или если эти суммы равны.
Число 2310 делится на 11, так как 2+1=3 и 3+0=3. Суммы равны, значит число делится на 11.
Число 9482 делится на 11, так как 9+8=17 и 4+2=6, а 17-6=11. 11 делится на 11, поэтому и число делится на 11.
Признак делимости на 37.
Число делится на 37 тогда и только тогда, когда при разбивании числа на группы по три цифры (начиная с единиц) сумма этих групп кратна 37.
Например: число 21312 делится на 37, так как 21+312=333. Число 333 делится на 37, значит и число 21312 делится на 37.
Признак делимости на 75.
Число делится на 75, если сумма его цифр делится на 3 и две последние цифры этого числа делятся на 25.
Число 1275 делится на 75, так как 1+2+7+5=15, 15 делится на 3; также число 75 делится на 25. Итог – число 1275 делится на 75.
2.3 Признаки делимости с помощью математических действий с цифрами числа
Признак делимости на 7.
Число делится на 7 тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7.
Признак делимости на 13.
Число делится на 13, если сумма числа десятков с учетверенным числом единиц делится на 13.
Число 351 делится на 13, так как 35+1*4 = 39 – делится на 13.
Число 1313 делится на 13, так как 131+3*4 = 143. Если трудно определить, делится ли полученное число на 13, то можно сократить его ещё: 14+3*4 = 26 – делится на 13.
Признак делимости на 17.
Число делится на 17 тогда, когда разность числа десятков и пятикратного числа единиц делится на 17.
Число 221 делится на 17, т.к. 22-5*1 = 17 – делится на 17.
Признак делимости на 19.
Число делится на 19 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, делится на 19.
Число 2128 делится на 19, так как 212+ 2*8 =228, 22 + 8*2 =38 – делится на 19.
Число 4009 делится на 19, так как 400 + 2*9 =418, 41 + 8*2 = 57 – делится на 19.
Признак делимости на 29.
Число делится на 29 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с утроенным числом единиц, делится на 29.
Число 6119 делится на 29, так как 611+ 9*3 = 638, 63 + 8*3 = 87 – делится на 29.
Признак делимости на 33.
Число делится на 33, если сумма, составленная при разбивании числа справа налево на группы по две цифры, делится на 33, то и число делится на 33.
Число 396 делится на 33, так как 96+3 = 99 – делится на 33.
2.4 Признаки делимости на составные числа
Признаки делимости на составные числа строятся на признаках делимости простых чисел, на которые можно разложить любое составное число. Это признаки делимости на 6, 12, 14, 15, 18.
Признак делимости на 6:
На 6 делятся только те числа, которые делятся и на 2, и на 3.
Например: число 354 делится на 6, потому что сумма цифр этого числа делится на 3, а также оканчивается на четное число, и поэтому делится и на 2 тоже.
Признак делимости на 12:
На 12 делятся только числа, делящиеся и на 3, и на 4.
Например: число 3648 делится на 12, потому что сумма цифр данного числа делится на 3, а также на 2, потому что оканчивается на чётное число.
Признак делимости на 15 – аналогичен:
На 15 делятся только числа, делящиеся и на 5 и на 3.
Признак делимости на 14.
Число делится на 14, если оно делится и на 2, и на 7.
Число 826 делится 14, так как оно делится на 2 и на 7.
Число 126 делится на 14, так как оно делится на 2 и на 7.
Признак делимости на 18
Число делится на 18, если оно одновременно делится на 2 и на 9.
Число 162 делится на 18, так как сумма цифр – 1+6+2=9 – делится на 9.
Признак делимости на 30.
Число делится на 30, когда оно одновременно делится на 10 и на 3.
Число 12750 делится на 30, так как оно оканчивается 0, то есть делится на 10, и сумма цифр числа 1 + 2 + 7 + 5 = 15, то есть делится на 3.
3. Занимательные факты и задачи
Число на гробнице «2520» [4]
В Египетской пирамиде археологи нашли саркофаг с числом «2520» без какого-либо пояснения к нему. Математик Кордемский Б.А. в своей работе «Математическая смекалка» указал, что число это примечательно, как наименьшее общее кратное первых 10-ти чисел, то есть это самое маленькое число, которое можно без остатка поделить на все целые числа, начиная с 1 и заканчивая 10.
Необычное число 37
Любое число, состоящее из 3-х одинаковых цифр, делится на 37.
Например: числа 111, 222, 333 и все остальные, кратные 111 – делятся на 37.
Также, шестизначное число делится на 37, если при разложении его на две группы (по 3 цифры) сумма чисел этих групп делится на 37, либо составляет число из трех одинаковых цифр.
Число 259185 делится на 37, так как 259 + 185 = 444.
Число 346209 делится на 37, так как 346 + 209 = 555.
Покупатель взял в магазине пакет молока стоимостью 33 рубля, пачку творога стоимостью 36 рублей, 6 пирожных и 3 килограмма сахара. Когда кассир выбила чек на 296 рублей, покупатель потребовал проверить расчет и исправить ошибку. Как определил покупатель, что счёт неверен?
Стоимость приобретенных товаров каждого вида выражается числом, кратным 3-м (у молока и творога цена кратна 3-м, цена остальных товаров не известна, но их количество кратно 3-м). Если каждое из слагаемых делится на 3, то и сумма должна делиться на 3. Вспоминаем признак делимости на 3: На 3 делятся только те числа, сумма цифр которых делится на 3 без остатка.
Число 296 (2+9+6=17) на 3 не делится, следовательно, расчет неверен.
Задача про тарелки
В магазин привезли меньше 600, но больше 500 тарелок. Когда стали раскладывать их по 10, то не хватило трех тарелок до полного числа десятков, а когда стали раскладывать по 12 тарелок, то осталось 7 тарелок. Сколько было тарелок?
Если не хватило трех тарелок до полного числа десятков, то это значит, что, как и при раскладывании по 12 тарелок, оставалось 7 тарелок. Значит, число тарелок за вычетом семи штук делится без остатка на 10 и на 12, то есть на 60. Среди чисел, меньших 600 и больших 500, только одно число 540 делится на 60. Значит, тарелок было 540 + 7 = 547.
В процессе работы над проектом я узнал много нового о признаках делимости, а также о возможности их классификации,
Я узнал, что кроме известных мне признаков на 2, 3, 4, 5, 6, 9 и 10 существуют еще признаки делимости на 7, 8, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 19, 20, 25, 30, 33, 37, 50, 75, 125 и многие другие числа. Я понял, что в некоторых случаях без признаков делимости просто невозможно обойтись. Познакомившись с признаками делимости чисел, я считаю, что полученные знания смогу использовать в своей учебной деятельности, самостоятельно применить тот или иной признак к определенной задаче, применить изученные признаки в реальной жизненной ситуации. Также я уверен, что применение признаков делимости чисел в изучении математики является эффективным и функциональным. Знание их значительно ускоряет решение многих заданий.
Результатом моей проектной деятельности стал разработанный мной буклет «Признаки делимости и их практическое применение в обучении школьников». (Приложение 1) Его можно использовать как на уроках математики, так и во внеклассных занятиях, в помощь учащимся 5-9-х классов.
Я постарался изложить материал по признакам делимости доступным языком, чтобы каждый ученик, которому это интересно, мог взять разработанный мной буклет и самостоятельно получить дополнительные знания по признакам делимости чисел.
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Воробьев, К.Н. Признаки делимости / Воробьев К.Н.: М.: Издательство «Наука», 4-е изд., 1988. 94 с.
2. Депман, И.Я. История арифметики / Депман И.Я. – М.: Издательство Просвещение, 1965. – 142 с.
3. Перельман, Я.И. Занимательная Алгебра / Перельман Я.И. – М.: Триада-Литера, 1994.- 199 с.
4. Кордемский, Б.А. Математическая смекалка /Кордемский Б.А. – Л.: Издательство технико-теоретической литературы, 1956. – 231-241 с.
5. Депман, И.Я За страницами учебника математики. / Депман И.Я. Виленкин Н.Я. – М. Просвещение. 1989. – 97 с.
6. Савин, А.П. Энциклопедический словарь юного математика / Савин А.П. – М.: Педагогика, 1989.- 352 с.
Проектная работа «Признаки делимости» выполнена учащимися 6 класса
Выбранный для просмотра документ Исследовательская работа.doc
Муниципальное общеобразовательное казенное учреждение
Основная общеобразовательная школа с.Руновка Кировского района
Приморского края
Проект подготовили учащиеся 6 класса
Бондарчук Валерия и Тищенко Анастасия
Руководитель: Федченко Людмила Павловна
учитель математики первой категории
2. Признаки делимости натуральных чисел на 2, на 3(9) на 5, на 10,
3. Признаки делимости натуральных чисел на 4, 6, 8, 15, 25, 50, 100, 1000, полученные самостоятельно…………………………………………..6-7
4. Признаки делимости на 7, 11, 12, 13, 14, 19, 37, описанные в разных источниках. 8-11
5. Применение признаков делимости натуральных чисел при решении задач……. 11-14
Список использованной литературы(источников)…………………16
Гипотеза: Если можно определить делимость натуральных чисел на 2, 3, 5, 9, 10, то должны быть признаки, по которым можно определить делимость натуральных чисел на другие числа.
Объект исследования: Делимость натуральных чисел.
Предмет исследования: Признаки делимости натуральных чисел.
Цель: Дополнить уже известные признаки делимости натуральных чисел, изучаемые в школе и дополнить свои знания о признаках делимости чисел.
Изучить историографию вопроса.
Повторить признаки делимости на 2, 3. 5, 9, 10, изучаемые в школе.
Исследовать самостоятельно признаки делимости натуральных чисел
на 4, 6, 8, 15, 25, 50, 100, 1000.
Изучить дополнительную литературу, подтверждающую правильность гипотезы о существовании других признаков делимости натуральных чисел и правильность выявленных нами признаков делимости.
Выписать найденные из дополнительной литературы признаки делимости натуральных чисел на 7, 11, 12, 13, 14, 19, 37.
Составить слайдовую презентацию на тему: «Признаки делимости».
Составить брошюру «Признаки делимости натуральных чисел».
Методы исследования: Сбор материала, обработка данных, наблюдение, сравнение, анализ, обобщение.
Признак делимости – это правило, по которому, не выполняя деления можно определить, делится ли одно натуральное число на другое. Признаки делимости всегда интересовали ученых разных стран и времен.
Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10, были известны с давних времен. Признак делимости на 2 знали древние египтяне за 2 тысячи лет до нашей эры, а признаки делимости на 2, 3, 5 были обстоятельно изложены итальянским математиком Леонардо Фибоначчи (1170-1228г.г.).
При изучении темы: «Простые и составные числа» нас заинтересовал вопрос о составлении таблицы простых чисел, так как простые числа играют важную роль в изучении всех остальных чисел. Оказывается, над этим же вопросом в свое время задумался живший в 3 веке до нашей эры александрийский ученый Эратосфен. Его метод составления списка простых чисел назвали «решето Эратосфена». Пусть надо найти все простые числа до 100. Напишем подряд все числа до 100.
Оставив число 2, зачеркнем все остальные четные числа. Первым уцелевшим числом после 2 будет 3. Теперь, оставив число 3, зачеркнем числа, делящиеся на 3. Затем зачеркнем числа, делящиеся на 5. В результате все составные числа окажутся вычеркнутыми и останутся только простые числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. По этому методу можно составлять списки простых чисел, больших 100.
Вопросы делимости чисел рассматривались пифагорейцами. В теории чисел ими была проведена большая работа по типологии натуральных чисел. Пифагорейцы делили их на классы.
совершенных чисел (число равное сумме своих собственных делителей, например: 6=1+2+3),
дружественных чисел (каждое из которых равно сумме делителей другого, например 220 и 284: 284=1+2+4+5+10+20+11+22+44+55+110; 220=1+2+4+71+142),
фигурных чисел (треугольное число, квадратное число),
Блез Паскаль Пифагор. Леонардо Пизанский Эратосфен (Фибоначчи)
Большой вклад в изучение признаков делимости чисел внес Блез Паскаль (1623-1662г.г.). Юный Блез очень рано проявил выдающиеся математические способности, научившись считать раньше, чем читать.
Свой первый математический трактат «Опыт теории конических сечений» он написал в 24 года. Примерно в это же время он сконструировал механическую суммирующую машинку, прообраз арифмометра. В ранний период своего творчества (1640-1650г.г.) разносторонний ученый нашел алгоритм для нахождения признаков делимости любого целого числа на любое другое целое число, из которого следуют все частные признаки. Его признак состоит в следующем: Натуральное число а разделится на другое натуральное число b только в том случае, если сумма произведений цифр числа a на соответствующие остатки, получаемые при делении разрядных единиц на число b , делится на это число.
II . Признаки делимости натуральных чисел,
При изучении данной темы необходимо знать понятия делитель, кратное, простое и составное числа.
Делителем натурального числа а называют натуральное число b , на которое а делится без остатка.
Простыми называются натуральные числа, которые имеют два делителя: 1 и само число. Например, числа 5,7,19 – простые, т.к. делятся на 1 и само себя.
Числа, которые имеют более двух делителей, называются составными. Например, число 14 имеет 4 делителя: 1, 2, 7, 14, значит оно составное.
III . Признаки делимости натуральных чисел на 4, 6, 8, 15, 25, 50, 100, 1000, полученные нами самостоятельно .
Выполняя действия деления, умножения натуральных чисел, наблюдая за результатами действий, мы нашли закономерности и получили следующие признаки делимости.
Признак делимости на 4.
25·4=1 00 ; 56·4=2 24 ; 123·4=4 92 ; 125·4=5 00 ; 2345·4=93 80 ; 2500·4=100 00 ; …
Умножая натуральные числа на 4, мы заметили, что числа образованные из двух последних цифр числа делятся на 4 без остатка.
Признак делимости на 4 читается так:
Натуральное ч исло делится на 4 тогда, когда две его последние цифры 0 или образуют число, делящееся на 4.
Признак делимости на 6.
Заметим, что 6=2·3
Признак делимости на 6 :
Если натуральное число одновременно делится на 2 и на 3, то оно делится на 6.
216 делится на 2 (оканчивается 6) и делится на 3 (8+1+6=15, 15 ׃ 3), значит, число делится на 6.
625 не делится ни на 2, ни на 3, значит, не делится на 6.
2120 делится на 2 (оканчивается 0), но не делится на 3 (2+1+2+0=5, 5 не делится на 3), значит, число не делится на 6.
279 делится на 3 (2+7+9=18, 18:3), но не делится на 2 (оканчивается нечетной цифрой), значит, число не делится на 6.
Признак делимости на 8.
125·8=1 000 ; 242·8=1 936 ; 512·8=4 096 ; 600·8=4 800 ; 1234·8=9 872 ; 122875·8=983 000 ;…
Умножая натуральное число на 8, мы заметили такую закономерность, числа оканчиваются тремя нулями, или три последние цифры составляют число, которое делится на 8.
Значит, признак таков:
Натуральное ч исло делится на 8 тогда, когда три его последние цифры нули или составляют число, делящееся на 8.
Признак делимости на 15.
Заметим, что 15=3·5 Если натуральное число одновременно делится и на 5 и на 3, то оно делится на 15.
346725 делится на 5 (оканчивается 5) и делится на 3 (3+4+6+7+2+5=24, 24:3), значит, число делится на 15.
48732 делится на 3 (4+8+7+3+2=24, 24:3), но не делится на 5,значит, число не делится на 15.
87565 делится на 5 (оканчивается 5), но не делится на 3 (8+7+5+6+5=31, 31 не делится на 3), значит, число не делится на 15.
Признак делимости на 25.
Выполняя умножение натуральных различных чисел на 25, я увидел такую закономерность: произведения оканчиваются на 00, 25, 50, 75.
Значит, натуральное число делится на 25, если оканчивается цифрами 00, 25, 50, 75.
Признак делимости на 50.
Значит , натуральное число делится на 50 тогда и только тогда, когда оканчивается двумя нулями или 50.
Объединенный признак делимости на 10, 100, 1000, …
Если в конце натурального числа стоят столько же нулей сколько в разрядной единице, то это число делится на эту разрядную единицу.
25600 делится на 100, т.к. числа оканчиваются на одинаковое количество нулей.
8975000 делится на 1000, т.к. оба числа оканчиваются на 000.
IV . Признаки делимости натуральных чисел
на 7, 11, 12, 13, 14, 19, 37,
описанные в различных источниках.
Из дополнительной литературы мы нашли подтверждение правильности сформулированных нами признаков делимости натуральных чисел на 4, 6, 8, 15, 25, 50, 100, 1000. Так же мы нашли несколько признаков делимости на 7:
1. Натуральное число делится на 7 тогда и только тогда, когда разность числа тысяч и числа, выражаемого последними тремя цифрами, делится на 7.
478009 делится на 7, т.к. 478-9=469, 469 делится на 7.
479345 не делится на 7, т.к. 479-345=134, 134 не делится на 7.
2. Натуральное число делится на 7, если сумма удвоенного числа, стоящего до десятков и оставшегося числа делится на 7.
4592 делится на 7, т.к. 45·2=90, 90+92=182, 182 делится на 7.
57384 не делится на 7, т.к. 573·2=1146, 1146+84=1230, 1230 не делится на 7.
252 делится на 7, т.к. 2+5=7, 7/7.
636 не делится на 7, т.к. 6+3=9, 9 не делится на 7.
4. Трехзначное натуральное число вида b аа будет делиться на 7, если сумма цифр числа делится на 7.
455 делится на 7, т.к. 4+5+5=14, 14/7.
244 не делится на 7, т.к. 2+4+4=12, 12 не делится на 7.
882 делится на 7,т.к. 8+8-2=14, 14/7.
996 не делится на 7, т.к. 9+9-6=12, 12 не делится на 7.
6. Четырехзначное натуральное число вида b аа , где b -двухзначное число, будет делиться на 7, если b +2а делится на 7.
2744 делится на 7, т.к. 27+4+4=35, 35/7.
1955 не делится на 7, т.к. 19+5+5=29, 29 не делится на 7.
7. Натуральное число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7.
483 делится на 7, т.к. 48-3·2=42, 42/7.
564 не делится на 7, т.к. 56-4·2=48, 48 не делится на 7.
8. Натуральное число делится на 7 тогда и только тогда, когда сумма произведений цифр числа на соответствующие остатки получаемые при делении разрядных единиц на число 7, делится на 7.
10000 ׃ 7=1428 (ост 4)
100000 ׃ 7=14285 (ост 5)
1000000 ׃ 7=142857 (ост 1) и снова повторяются остатки.
Число 1316 делится на 7, т.к. 1· 6 +3· 2 +1· 3 +6=21, 21/7(6-ост. от деления 1000 на 7; 2-ост. от деления 100 на 7; 3- ост. от деления 10 на 7).
Признаки делимости на 11.
1. Число делится на 11, если разность суммы цифр стоящих на нечетных местах, и суммы цифр, стоящих на четных местах, кратна 11.
Разность может быть отрицательным числом или 0, но обязательно должна быть кратной 11. Нумерация идет слева направо.
2 1 3 5 7 0 4 2+3+7+4=16, 1+5+0=6, 16-6=10, 10 не кратно 11, значит, это число не делится на 11.
1 3 5 2 7 3 6 1+5+7+6=19, 3+2+3=8, 19-8=11, 11 кратно 11, значит, это число делится на 11.
2. Натуральное число разбивают справа налево на группы по 2 цифры в каждой и складывают эти группы. Если получаемая сумма кратна 11, то испытуемое число кратно 11.
Пример: Определим, делится ли число 12561714 на 11.
Разобьем число на группы по две цифры в каждой: 12/56/17/14; 12+56+17+14=99, 99 делится на 11, значит, данное число делится на 11.
3 I . Трехзначное натуральное число делится на 11, если сумма боковых цифр числа равна цифре, которая в середине. Ответ будет состоять из тех самых боковых цифр.
594 делится на11, т.к. 5+4=9, 9-в середине.
473 делится на 11, т.к. 4+3=7, 7- в середине.
861 не делится на 11, т.к. 8+1=9, а в середине 6.
Натуральное число делится на 12 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и 4 одновременно.
636 делится на 3 и на 4, значит, оно делится на 12.
587 не делится ни на 3, ни на 4, значит, оно не делится на 12.
27126 делится на 3, но не делится на 4, значит, оно не делится на 12.
1. Натуральное число делится на 13, если разность числа тысяч и числа, образованного последними тремя цифрами, делится на 13.
Число 465400 делится на 13, т.к. 465 – 400 = 65, 65 делится на 13.
Число 256184 не делится на 13, т.к. 256 – 184 = 72, 72 не делится на 13.
Признак делимости на 14
Натуральное число делится на 14 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 7 одновременно.
Число 45826 делится на 2, но не делится на 7, значит, оно не делится на 14.
Число 1771 делится на 7, но не делится на 2, значит, оно не делится на 14.
Число 35882 делится на 2 и на 7, значит, оно делится на 14.
Признак делимости на 19
Натуральное число делится на 19 без остатка тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, делится на 19.
Следует учесть, что число десятков в числе надо считать не цифру в разряде десятков, а общее число целых десятков во всем числе.
153 4 десятков-153, 4·2=8, 153+8=161, 161 не делится на 19,значит, и 1534 не делится на 19.
182 4 182+4·2=190, 190/19, значит, число 1824/19.
Признаки делимости на 37
1. Натуральное число делится на 37, если сумма чисел, образованных тройками цифр данного числа в десятичной записи делится соответственно на 37.
Пример: Определим, делится ли число 100048 на 37.
100/048 100+48=148, 148 делится на 37, значит, и число делится на 37.
2. Трехзначное натуральное число, написанное одинаковыми цифрами делится на 37 .
Числа 111, 222, 333, 444, 555, …делятся на 37.
Все перечисленные признаки делимости натуральных чисел можно разделить на 4 группы:
1группа- когда делимость чисел определяется по последней(им) цифрой (ми) – это признаки делимости на 2, на 5,на разрядную единицу, на 4, на 8, на 25, на 50;
2 группа – когда делимость чисел определяется по сумме цифр числа – это признаки делимости на3, на 9, на 7(1 признак), на 11, на 37;
3 группа – когда делимость чисел определяется после выполнения каких-то действий над цифрами числа – это признаки делимости на 7, на 11, на 13, на 19;
V . Применение признаков делимости натуральных чисел
Признаки делимости применяются при нахождении НОД и НОК, а также при решении текстовых задач на применении НОД и НОК.
Задача 1: (Использование общих делителей и НОД)
Ученики 5 класса купили 203 учебника. Каждый купил одинаковое количество книг. Сколько было пятиклассников, и сколько учебников купил каждый из них?
Решение: Обе величины, которые требуется определить должны быть целыми числами, т.е. находиться среди делителей числа 203. Разложив 203 на множители, получаем:
Ответ : 29 пятиклассников; 7 учебников
Задача 2 . Имеется 60 апельсинов, 165 орехов и 225 конфет. Какое наибольшее число одинаковых подарков для детей можно сделать из этого запаса? Что войдёт в каждый набор?
Количество подарков должно быть делителем каждого из чисел, выражающих количество апельсинов, конфет и орехов, причем наибольшим из этих чисел. Поэтому надо найти НОД данных чисел. НОД (60, 175, 225) = 15. Каждый подарок будет содержать: 60 : 15 = 4 – апельсина, 175 : 15 = 11 – орехов и 225 : 15 = 15 – конфет.
Ответ: В одном подарке – 4 апельсина, 11 орехов, 15 конфет.
Решение: Решением задачи должно являться число, кратное числам: 7, 3, 2. Найдем сначала наименьшее из таких чисел. НОК (7, 3, 2) = 42. Можно составить выражение по условию задачи: 42 – (42 : 7 + 42 : 3 + 42 : 2) = 1 – 1 неуспевающий.
Математические отношение отношения задачи допускают, что число учеников в классе 84, 126 и т.д. человек. Но из соображений здравого смысла следует, что наиболее приемлемым ответом является число 42.
В двух классах вместе 70 учеников. В одном классе 7/17 учеников не явились на занятия, а в другом 2/9 получили отличные отметки по математике. Сколько учеников в каждом классе?
Ответ: В первом классе – 34 ученика, во втором классе – 36 учеников.
Какое наименьшее число одинаковых подарков можно сделать из 320 орехов, 240 конфет, 200 яблок? Сколько орехов, конфет и яблок будет в каждом подарке?
Решение: НОД(320, 240, 200) = 40 (подарков), тогда в каждом подарке будет: 320:40 = 8 (орехов); 240: 40 = 6 (конфет); 200:40 = 5 (яблок).
Ответ: В каждом подарке по 8 орехов, 6 конфет, 5 яблок.
Два автобуса отправляются от одной площади по разным маршрутам. У одного из автобусов рейс туда и обратно длится 48 мин, а у другого 1 ч 12 мин. Через сколько времени автобусы снова встретятся на этой же площади?
Решение: НОК(48, 72) = 144 (мин). 144 мин = 2 ч 24 мин.
Ответ: Через 2 ч 24 мин автобусы снова встретятся на этой же площади.