механизмы чебышева использование их в жизни
4. 1. 003 Теория механизмов Чебышёва
4.1 Математика, механика
4.1.003 Теория механизмов Чебышёва
Математик, механик, педагог; доктор математики и астрономии; основатель и глава Петербургской математической школы, породившей, в свою очередь, русские математические школы — в теории вероятностей, теории чисел, теории приближения функций, теории механизмов; профессор Петербургского университета, академик Петербургской АН, почетный член всех российских университетов, член 25 академий и научных обществ мира; член Ученого комитета Министерства просвещения, рецензент учебников, составитель программы и инструкций для начальных и средних школ; кавалер Командорского креста Почетного легиона, лауреат Демидовской премии Петербургской АН; действительный тайный советник — Пафнутий Львович Чебышёв (1821—1894) является автором классических работ в механике, геометрии, баллистике, теории механизмов. Бесценен вклад ученого в интегральное исчисление, теорию вероятностей, теорию чисел. Чебышёв — основоположник теории приближения функций.
Пафнутия Львовича Чебышёва виднейшие ученые мира называли «гордостью науки в России, одним из величайших геометров всех времен», «гениальным математиком и одним из величайших аналистов всех времен» (Ш. Эрмит, М.Г. Миттаг-Леффлер).
Прямо говорили, что «для получения новых результатов в вопросе распределения простых чисел требуется ум, настолько превосходящий ум Чебышёва, насколько ум Чебышёва превосходит ум обыкновенного человека» (Д.Д. Сильвестр).
Русские ученые в один голос заявляли, что Чебышёв является «украшением нашей Академии», а все его труды «носят отпечаток гениальности». (http://matem.ok.nov.ru/).
Что характерно, среди панегиристов были и чистые математики-аналисты, и математики-прикладники, и геометры и техники. Практически во всех областях механики и математики Чебышёв получил фундаментальные результаты, выдвинул столько новых идей и методов, и так далеко определил развитие этих ветвей науки, что они и по сей день сохранили свое значение.
Три главных направления научной деятельности Чебышёва: теория чисел, теория вероятностей и теория механизмов равновелики — и сами по себе и своим влиянием на развитие науки «в мировом масштабе».
В каждом из них математик «изобрел новые методы для решения трудных вопросов, которые были поставлены давно и оставались нерешенными. Вместе с тем он поставил ряд новых вопросов, над разработкой которых трудился до конца своих дней» (академики А.А. Марков, И.Я. Сонин).
Выберем посему область, что поближе к нашей повседневной практике — теорию механизмов, но не забудем указать и самые значительные труды ученого из других сфер науки. Это — докторская диссертация Пафнутия Львовича «Теория сравнений» (1849), полвека служившая учебником для высшей школы; две статьи «Об определении числа простых чисел, не превосходящих данной величины» и «О простых числах» (1850), ставшие началом его теории чисел; работа «О средних величинах» (1867), легшая в основу теории вероятностей; трактаты «О функциях, наименее уклоняющихся от нуля» (1857), «Теория наилучшего приближения функции многочленами», явившиеся основанием теории приближений.
40 лет Чебышёв сотрудничал с военным артиллерийским ведомством, для которого выполнил ряд блестящих работ по усовершенствованию дальнобойности и точности артиллерийской стрельбы.
В исследовании «О черчении географических карт» (1856) Чебышёв поставил базовую задачу картографии (и начал решать ее) — найти картографическую проекцию любой страны, сохраняющую подобие в ее отдельных частях, с минимальным искажением масштаба. (Для Европейской России погрешность задавалась менее 2 % при реально достижимой тогда более 5 %). Эта задача была решена позднее учеником Чебышёва профессором Д.А. Граве.
Всех исследований, статей и сообщений Чебышёва, в которых он самыми элементарными (с точки зрения царицы наук) средствами получил великолепные научные результаты, не перечислишь, т.к. по подсчетам библиографов этот список занимает несколько журнальных страниц.
Одних только названий классических математических соотношений, связанных с именем математика, не один десяток: многочлены Чебышёва, неравенства, множество, система функций, фильтр, механизм, функции пси и тета, сеть, формула, полиномы и т.д.
Нельзя не упомянуть и о предложении Чебышёва Петербургской АН — избрать членом-корреспондентом С.В. Ковалевскую, а также о его учениках — А.М. Ляпунове, А.А. Маркове, В.А. Стеклове, Д.А. Граве, Г.Ф. Вороном, А.Н. Коркине, Е.И. Золотареве. Будущие академики и главы других математических школ завершили проработки и идеи учителя — по теории фигур равновесия вращающейся жидкости, по теории цепей и т.д.
Пафнутий Львович любые теоретические проблемы математики старался увязать с практической деятельностью людей. Не раз подчеркивая, что в любом деле надо по возможности добиваться как можно большей выгоды, Чебышёв свои математические открытия совершил при решении прикладных задач. Более того, теории механизмов и машин ученый отдал едва ли не треть своей жизни. Глубокие теоретические изыскания в этой области математик успешно сочетал с конструированием конкретных механизмов.
Ряд теоретических работ Чебышёва: «Об одном механизме», «О зубчатых колесах», «О центробежном уравнителе», «О кройке платьев» и т.п. были воплощены в конкретные машины и устройства.
Помимо этих сугубо практических вопросов Чебышёв вывел несколько сложнейших соотношений: структурную формулу плоских механизмов — т.н. формулу Грюблера (немецкий ученый, «открывший» ее на 14 лет позднее Чебышёва), теорему о существовании трехшарнирных четырехзвенников, описывающих одну и ту же шатунную кривую, нашедшую широкое применение на практике и т.д.
Многочисленные работы Чебышёва посвятил синтезу шарнирных механизмов, в частности параллелограмму Уатта, изучение которого натолкнуло математика на постановку задачи о наилучшем приближении функций.
Решив эту задачу, Чебышёв создал механизмы, в которых криволинейное движение свел к недостижимому ранее — прямолинейному (в некотором приближении), что вывело конструирование шарниров на принципиально новый уровень, а сами шарниры сделало значительно долговечнее.
Ученый построил также немало механизмов, одним своим названием говорящих об их неординарности: парадоксальный механизм, механизмы с остановками, «выпрямители движения» и т.д.
Всего ученый создал 41 оригинальный механизм и 40 их модификаций. Многие из них применяются ныне в современном автомато- и приборостроении.
На международной промышленной выставке в Чикаго (1893) Чебышёв представил свои конструкторские разработки, произведшие на посетителей неизгладимое впечатление: «стопоходящую» машину, воспроизводящую шаги четвероногого животного, самоходное кресло, лодку с гребным механизмом, сортировку для зерна, центробежный регулятор, быструю счетную машину (арифмометр), выполнявшую четыре арифметических действия.
Поговаривали даже, что академик изобрел «перпетуум мобиле» и ходящего деревянного «человека» (прообраз Буратино?)…
Все эти «чудеса» были созданы Чебышёвым не ради эффекта, а для очень конкретных и жизненно необходимых вещей. Так, например, сортировалка была сконструирована для сортировки зерна с целью отобрать лучшие — более тяжелые зерна; стопоходящая машина стала первым в мире шагающим автоматом с шарнирным механизмом, переводящим движение по окружности в прямолинейное движение (прототип советского «лунохода»); «велосипед» продемонстрировал идею ножного привода; наконец, арифмометр явился первой вычислительной машиной непрерывного действия…
Закончить очерк хочется теми же словами, которыми и начал его — России есть кем и есть чем гордиться, пока в ней есть такие люди, как П.Л. Чебышёв и созданная им русская школа математики.
Применение стопошагающих механизмов конструкции П. Чебышева в условиях современного производства
Работа призёра открытой городской научно-практической конференции «Наука для жизни» в секции «Математика и механика» среди работ учащихся 10−11 классов
Актуальность
В настоящее время практически во всех промышленно развитых странах интенсивно ведутся работы по созданию и исследованию шагающих механизмов. В транспортной сфере это вызвано тем, что шагающие машины по сравнению с колёсными и гусеничными машинами имеют ряд преимуществ перед традиционными способами передвижения. Особенно это важно при движении по поверхностям со сложным рельефом, таким как пресечённая местность, завалы, а также внутри зданий и сооружений, где необходимо перемещаться по лестницам и узким коридорам и шахтам. В случаях, когда желательно или необходимо, чтобы след от опор целевой мобильной платформы имел дискретный характер, достойную замену шагающей машине найти невозможно.
Применение подобной конструкции не ограничено лишь решением вопросов передвижения. Подобные механизмы могут использоваться как элементы штампующих механизмов, а также в качестве элементов амортизирующих конструкций. Одними из самых известных, практически и математически обоснованных механизмов, являются механизмы Чебышева. В рамках работы были изучены его особенности с целью оценки потенциального применения в различных сферах человеческой деятельности.
Цель
Исследовать возможность применения стопошагающих механизмов конструкции П. Чебышева в условиях производства.
Задачи
Оборудование
Описание
Разработку конструкции стопошагающего механизма условно можно разделить на 3 этапа: этап расчёта, этап моделирования и 3D-печать. Так как габаритные размеры механизма зависят от выбранной базовой величины L, то, учитывая возможности 3D-принтера, в качестве базовой была выбрана длина детали 2 см. В данном случае целесообразным оказалось придать базовой детали круглую форму для минимизации биения при вращении и избежания излишних нагрузок на соединительные части механизма. Используя данное соотношение, были смоделированы остальные элементы. Высота ноги со стопой фактически может быть произвольна.
В качестве материала 3D-печати использовался PLA пластик с заполнением модели 60% для достижения удовлетворительных показателей прочности конструкции и её массы. При печати использовалась технология FDM.
Ещё один важный параметр, принятый к сведению при моделировании, – это учёт размера двигателей с редукторами. Для передвижения механизма используются 2 редуктора с приводом из 4 моторов постоянного тока.
При проектировании была рассмотрена возможность использования одного мотора для приведения в движение всего механизма. Это возможно при использовании зубчато-ременной передачи между шкивами, насаженными на первичный вал. При этом прямой привод имеет только одна пара ног. Для этого в конструкцию базовой платформы на этапе проектирования были добавлены крепления под вал. Как следствие, необходима пересборка редуктора под другое передаточное соотношение.
Результаты работы/выводы
Целью практических испытаний устройства было выявить его существенные недостатки и наметить доработки для оценки потенциала использования. При ходовых испытаниях было выявлено, что для обеспечения нормального функционирования механизма требуется расширение его базы, так как из-за высокого центра тяжести может произойти опрокидывание. В результате тестов было выявлено, что для нормального функционирования механизма в качестве транспортной платформы необходима система программного управления, желательно работающая в совокупности с нейронной сетью, анализирующей маршрут и поверхность перед механизмом и вносящая поправки в управление на основе показаний датчиков. При проектировании механизма, обеспечивающего передвижение с низкой нагрузкой на грунт (за счёт увеличения площади стопы), очевидно, что необходимы двигатели, обеспечивающие большой крутящий момент, так как масса каждой из стоп и механизма в целом будет довольно высока.
При испытаниях было выявлено, что механизм без доработок может осуществлять только прямолинейное движение. Это в реальных условиях накладывает целый ряд ограничений в применении. Для решения этой проблемы рекомендуется использование сервоприводов либо гидроприводов большой мощности, позволяющих поворачивать части платформы с парами ног относительно друг друга на необходимый угол. Очевидно, что и здесь требуется управление контроллером либо компьютером.
В случае использования механизма как части привода клапанов или штампующих станков, стоит учесть, что во избежание люфта стопы и сохранения необходимой точности постановки стопы, помимо использования высококачественных подшипников для соединения подвижных частей необходимо применение направляющих. Ввиду применения подшипников в полноразмерных соединениях механизм будет достаточно тихим.
Стоит учесть, что при выполнении в больших габаритах данный механизм должен быть достаточно тихоходным, что компенсируется достаточно большой переносимой массой и низкой нагрузкой на грунт (механизм не оставляет глубокой колеи).
В целом, принципы, реализованные в данном механизме, могут применяться для решения производственных задач при условии внесения в конструкцию ряда озвученных изменений.
Парадоксальный механизм
Если раскрутить маховик так же, как и ведущее звено, по часовой стрелке, то за один оборот ведущего звена маховик сделает два оборота. А если же придать маховику движение против часовой стрелки, то за один оборот ведущего звена по часовой стрелке маховик сделает четыре оборота.
Музеи и архивы
Механизм хранится в Политехническом музее (г. Москва); фондохранилище, ПМ № 19461.
Механизм хранится в Musée des arts et métiers du Conservatoire national des arts et métiers (Париж, Франция); CNAM № 11472-0007.
Механизм хранится в Музее истории физики и математики Санкт-Петербургского университета.
Оригинальные статьи П. Л. Чебышева
О простейшей суставочной системе, доставляющей движения, симметричные около оси / По кн.: Полное собрание сочинений П. Л. Чебышева. Том IV. Теория механизмов. — М.—Л.: Изд-во АН СССР. 1948. С. 167–211.
Исследования
Другие материалы
Описание
Какое преобразование кривых может выполнять представленное сочленение с одним неподвижным красным шарниром?
Пусть серый шарнир скользит по кривой, симметричной относительно прямой, проходящей через закреплённый красный шарнир. Можно показать, что в таком случае траектория синего шарнира будет также симметрична относительно некоторой прямой, проходящей через неподвижный шарнир. Российский математик Пафнутий Львович Чебышев исследовал вопрос, какова же может быть эта траектория.
Важным частным случаем серой траектории является окружность. На практике он реализуется добавлением одного неподвижного (красного) шарнира и ведущего звена некоторой длины.
Для синей же траектории двумя важными случаями является схожесть её либо с отрезком прямой, либо с окружностью или её дугой. Чебышев пишет: «Здесь мы займёмся рассмотрением случаев, наиболее простых и наичаще представляющихся на практике, а именно когда имеется в виду получить движение по кривой, которой некоторая часть, более или менее значительная, мало разнится от дуги круга или от прямой линии».
Именно к выявлению наилучших параметров этого механизма, решающего перечисленные задачи, Пафнутий Львович впервые сам применяет теорию приближения функций, разработанную им незадолго до этого при изучении параллелограмма Уатта.
Подбирая параметры лямбда-механизма, Пафнутий Львович Чебышев добивается того, что шатунная кривая поочерёдно касается двух концентрических окружностей, оставаясь всё время между ними.
Достроим лябмда-механизм, добавив неподвижный шарнир и два звена, сумма длин которых равна радиусу большей окружности, а разность — радиусу меньшей.
Получившееся устройство имеет точки бифуркации или, как ещё говорят, сингулярные или особые точки. Находясь в такой точке, при одном и том же движении лямбда-механизма по часовой стрелке добавленные звенья могут начать вращаться либо по часовой стрелке, либо против. Таких точек бифуркации в нашем механизме шесть — когда добавленные звенья находятся на одной прямой.
Существует большое и важное направление в математике — теория особенностей — исследование предмета через изучение его особых точек. Очень простым частным случаем является изучение поведения функции через исследование точек её максимума и минимума.
Чтобы наш механизм проходил все шесть особых точек в одном наперёд выбранном направлении, маленькое звено связывают с маховиком, которое будучи раскрученным в какую-то сторону, выводит механизм из особой точки вращающимся в ту же сторону.
Если из точки бифуркации раскрутить маховик так же, как и ведущее звено, по часовой стрелке, то за один оборот ведущего звена маховик сделает два оборота.
Если же из особой точки придать маховику движение против часовой стрелки, то за один оборот ведущего звена по часовой стрелке маховик сделает целых четыре оборота!
В этом и заключается парадоксальность этого механизма, придуманного и сделанного Пафнутием Львовичем Чебышевым. Казалось бы, плоский шарнирный механизм должен работать однозначно, однако, как видим, это не всегда так. И причиной являются особые точки.
Этот первый в мире шагающий механизм, изобретённый российским математиком, получил всеобщее одобрение на Всемирной выставке в Париже 1878 года.
Пафнутий Львович Чебышев — выдающийся российский математик, чьи исследования касались широкого спектра научных проблем.
В своих трудах он стремился соединить математику с основами естествознания и техники. Ряд открытий Чебышева связан с прикладными исследованиями, в первую очередь касающимися теории механизмов. Кроме того, Чебышев является одним из основоположников теории наилучшего приближения функций с помощью многочленов. Он доказал в общей форме закон больших чисел в теории вероятностей, а в теории чисел — асимптотический закон распределения простых чисел и др. Исследования Чебышева явились основой для развития новых разделов математической науки.
Будущий прославившийся на весь мир математик родился 26 мая 1821 года в селе Окатово Калужской губернии. Отец его, Лев Павлович, был богатым землевладельцем. Воспитанием и образованием ребенка занималась мать, Аграфена Ивановна. Когда Пафнутию исполнилось 11 лет, семья перебралась в Москву, чтобы продолжить обучение детей. Здесь Чебышев познакомился с одними из лучших преподавателей — П. Н. Погоревским, Н. Д. Брашманом.
В 1837 году Пафнутий поступил в Московский университет. В 1841 году Чебышев написал работу «Вычисление корней уравнений», и она та удостоена серебряной медали. В этом же году Чебышев окончил университет.
В 1846 году Пафнутий Львович защитил магистерскую диссертацию, а через год он переехал в Петербург. Здесь он начал преподавать в Петербургском университете.
В 1849 году Чебышев защитил докторскую диссертацию «Теория сравнений» (она была удостоена Демидовской премии). С 1850 по 1882 год Чебышев являлся профессором Петербургского университета.
Значительное количество трудов Чебышева связано с проблемами математического анализа. Так, диссертация ученого на право чтения лекций посвящена интегрируемости некоторых иррациональных выражений в алгебраических функциях и логарифмах. Доказательство знаменитой теоремы об условиях интегрируемости дифференциального бинома в элементарных функциях изложено в работе 1853 года «Об интегрировании дифференциальных биномов». Еще несколько трудов Чебышева посвящены интегрированию алгебраических функций.
В 1852 году во время поездки в Европу Чебышев ознакомился с устройством регулятора парового двигателя — параллелограммом Дж. Уатта. Русский ученый задался целью «вывести правила для устройства параллелограммов прямо из свойств этого механизма». Результаты исследований, касающиеся данной проблемы, были из-ложены в труде «Теория механизмов, известных под названием параллелограммов» (1854). Этой работой одновременно были заложены основы одного из разделов конструктивной теории функций — теории наилучшего приближения функций.
В «Теории механизмов» Чебышев ввел ортогональные многочлены, которым впоследствии было присвоено его имя. Следует отметить, что, помимо приближения алгебраическими многочленами, ученый исследовал приближение тригонометрическими многочленами и рациональными функциями.
В дальнейшем Чебышев занялся разработкой общей теории ортогональных многочленов на основе интегрирования с помощью парабол по методу наименьших квадратов — одного из методов теории ошибок, применяемого для оценки неизвестных величин по результатам измерений, которые содержат случайные ошибки. Этот метод используется при обработке наблюдений.
Будучи членом артиллерийского отделения военно-ученого комитета, Чебышев решил ряд задач, связанных с квадратурными формулами — результаты изложены в работе «О квадратурах» (1873) — и теорией интерполяции. Квадратурные формулы используются для приближенного вычисления интегралов по значениям подынтегральной функции в конечном числе точек.
Интерполяцией в математике и статистике называется метод отыскания промежуточных значений величины по некоторым известным ее значениям.
Сотрудничество Чебышева с артиллерийским ведомством было направлено на усовершенствование дальнобойности и точности артиллерийской стрельбы. Известна формула Чебышева, предназначенная для вычисления дальности полета снаряда. Труды Чебышева оказали значительное влияние на развитие русской артиллерийской науки.
Исследовательский интерес Чебышева привлекали не только параллелограммы Уатта, но и другие шарнирные механизмы. Их изучению посвящен ряд работ ученого: «О некотором видоизменении коленчатого параллелограмма Уатта» (1861), «О параллелограммах» (1869), «О параллелограммах, состоящих из трех каких-либо элементов» (1879) и др.
Чебышев не только изучал уже существующие механизмы, но и сам занимался их конструированием, в частности он создал так называемую «стопоходящую машину», которая воспроизводит движения животного при ходьбе, автоматический арифмометр, механизмы с остановками и др.
В 1868 году Чебышевым было предложено особое устройство — плоский четырехзвенный шарнирный механизм для воспроизведения движения некоторой точки звена по прямой линии без применения направляющих. Это устройство было названо в честь русского математика параллелограммом Чебышева.
Ученого занимали и вопросы картографии, поиск способов получения оптимальной картографической проекции страны, позволяющей максимально точно воспроизводить соотношения объектов. Этой проблеме посвящена работа Чебышева «О построении географических карт» (1856).
Чебышев добился значительных успехов в решении проблемы распределения простых чисел. Результаты своих исследований он изложил в трудах: «Об определении числа простых чисел, не превосходящих данной величины» (1849) и «О простых числах» (1852).
Пафнутия Львовича Чебышева очень увлекала преподавательская деятельность. Он организовал школу русских математиков, выпускники которой стали известными математиками — Д. А. Золотарёв, А. Н. Ляпунов, К. А. Сохоцкий и др.
Далее в работе «Об одном арифметическом вопросе» (1866) ученый проанализировал проблему приближения чисел рациональными числами, что сыграло немалую роль в становлении теории диофантовых приближений. Следует отметить, что в теории чисел Чебышев явился основоположником целой школы русских ученых.
Труды Чебышева в этом направлении отметили важный этап в развитии теории вероятностей. Русский математик стал систематически использовать случайные величины, доказал неравенство, впоследствии названное его именем, разработал новый прием доказательства предельных теорем теории вероятностей, так называемый метод моментов, а также в общей форме обосновал закон больших чисел.
Чебышеву принадлежит целый ряд работ по теории вероятностей. Среди них «Опыт элементарного анализа теории вероятностей» (1845), «Элементарное доказательство одного общего положения теории вероятностей» (1846), «О средних величинах» (1867), «О двух теоремах относительно вероятностей» (1887). Однако ему не удалось довести до завершения исследование условий сходимости функций распределения сумм независимых случайных величин к нормальному закону. Это сделал А. А. Марков, один из учеников ученого. Исследования Чебышева в области теории вероятностей явились существенным этапом в ее развитии и стали базой для формирования русской школы теории вероятностей, первоначально состоявшей из учеников Чебышева.
Чебышев работал также над теорией приближения. Так называется раздел математики, который изучает возможности приближенного представления одних математических объектов другими, обычно более простой природы, а также проблемы оценки вносимой при этом погрешности.
Приближенные формулы для вычисления таких функций, как корень или констант, были разработаны еще в древности.
Однако началом современной теории приближения считается работа Чебышева «Sur les questions de minima qui se rattachent a la representation approximative des fonctions» (1857), которая посвящена полиномам, наименее уклоняющимся от нуля, в настоящее время называемым «полиномами Чебышева первого рода».
Теория приближений нашла применение при построении численных алгоритмов, а также при сжатии информации. В настоящее время выпускается несколько научных журналов, выходящих на английском языке и посвященных проблемам теории приближения: Journal on Approximation Theory (США), East Journal on Approximation (Россия и Болгария), Constructive Approximation (США).
Чебышев внес большой вклад и в развитие артиллерии. До сих пор в учебниках по баллистике присутствует формула, выведенная Чебышевым для вычисления дальности полета снаряда.
За свои заслуги Чебышев был избран членом Петербургской, Берлинской и Болонской, Парижской академий наук, членом-корреспондентом Лондонского Королевского общества, Шведской академии наук и др. Кроме того, выдающийся математик являлся почетным членом всех университетов страны.
Осенью 1894 года Чебышев заболел гриппом и в скором времени скончался. Однако имя выдающегося русского математика не забыто до сих пор.
В 1944 году Академия наук учредила премию имени П. Л. Чебышева.