Что значит раскрыть скобки
Раскрытие скобок
Продолжаем изучать основы алгебры. В данном уроке мы научимся раскрывать скобки в выражениях. Раскрыть скобки означает избавить выражение от этих скобок.
Чтобы раскрывать скобки, нужно выучить наизусть два правила. При регулярных занятиях раскрывать скобки можно с закрытыми глазами, и про те правила которые требовалось заучивать наизусть, можно благополучно забыть.
Первое правило раскрытия скобок
Рассмотрим следующее выражение:
Значение данного выражения равно 2. Раскроем скобки в данном выражении. Раскрыть скобки означает избавиться от них, не влияя на значение выражения. То есть после избавления от скобок значение выражения 8 + (−9 + 3) по прежнему должно быть равно двум.
Первое правило раскрытия скобок выглядит следующим образом:
При раскрытии скобок, если перед скобками стоит плюс, то этот плюс опускается вместе со скобками.
Итак, мы видим что в выражении 8 + (−9 + 3) перед скобками стоит плюс. Этот плюс нужно опустить вместе со скобками. Иными словами, скобки исчезнут вместе с плюсом, который перед ними стоял. А то, что было в скобках запишется без изменений:
Таким образом, между выражениями 8+(−9+3) и 8−9+3 можно поставить знак равенства, поскольку они равны одному и тому же значению:
Пример 2. Раскрыть скобки в выражении 3 + (−1 − 4)
Перед скобками стоит плюс, значит этот плюс опускается вместе со скобками. То, что было в скобках останется без изменений:
Пример 3. Раскрыть скобки в выражении 2 + (−1)
Перед скобками стоит плюс, значит этот плюс опускается вместе со скобками. То, что было в скобках останется без изменений:
В данном примере раскрытие скобок стало своего рода обратной операцией замене вычитания сложением. Как это понимать?
Поэтому первое правило раскрытия скобок можно использовать для упрощения выражений после каких-нибудь преобразований. То есть избавить его от скобок и сделать проще.
Чтобы упростить данное выражение, можно привести подобные слагаемые. Напомним, что для приведения подобных слагаемых, нужно сложить коэффициенты подобных слагаемых и результат умножить на общую буквенную часть:
Раскрыв одни скобки, по пути могут встретиться другие. К ним применяем те же правила, что и к первым. Например, раскроем скобки в следующем выражении:
Здесь два места, где нужно раскрыть скобки. В данном случае применимо первое правило раскрытия скобок, а именно опускание скобок вместе с плюсом, который стоит перед этими скобками:
2 + (−3 + 1) + 3 + (−6) = 2 − 3 + 1 + 3 − 6
Пример 3. Раскрыть скобки в выражении 6+(−3)+(−2)
В обоих местах, где имеются скобки, перед ними стоит плюс. Здесь опять же применяется первое правило раскрытия скобок:
Иногда первое слагаемое в скобках записано без знака. Например, в выражении 1+(2+3−4) первое слагаемое в скобках 2 записано без знака. Возникает вопрос, а какой знак будет стоять перед двойкой после того, как скобки и плюс, стоящий перед скобками опустятся? Ответ напрашивается сам — перед двойкой будет стоять плюс.
1 + (2 + 3 − 4) = 1 + 2 + 3 − 4
Пример 4. Раскрыть скобки в выражении −5 + (2 − 3)
Перед скобками стоит плюс, поэтому применяем первое правило раскрытия скобок, а именно опускаем скобки вместе с плюсом, который стоит перед этими скобками. Но первое слагаемое, которое в скобках записываем со знаком плюс:
Пример 5. Раскрыть скобки в выражении (−5)
Перед скобками стоит плюс, но он не записан по причине того, что до него не было других чисел или выражений. Наша задача убрать скобки, применив первое правило раскрытия скобок, а именно опустить скобки вместе с этим плюсом (даже если он невидим)
Пример 6. Раскрыть скобки в выражении 2a + (−6a + b)
Перед скобками стоит плюс, значит этот плюс опускается вместе со скобками. То, что было в скобках запишется без изменений:
Пример 7. Раскрыть скобки в выражении 5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d)
В данном выражении имеется два места, где нужно раскрыть скобки. В обоих участках перед скобками стоит плюс, значит этот плюс опускается вместе со скобками. То, что было в скобках запишется без изменений:
Второе правило раскрытия скобок
Теперь рассмотрим второе правило раскрытия скобок. Оно применяется тогда, когда перед скобками стоит минус.
Если перед скобками стоит минус, то этот минус опускается вместе со скобками, но слагаемые, которые были в скобках, меняют свой знак на противоположный.
Например, раскроем скобки в следующем выражении
Видим, что перед скобками стоит минус. Значит нужно применить второе правило раскрытия, а именно опустить скобки вместе с минусом, стоящим перед этими скобками. При этом слагаемые, которые были в скобках, поменяют свой знак на противоположный:
Таким образом, между выражениями 5−(−2−3) и 5+2+3 можно поставить знак равенства, поскольку они равны одному и тому же значению:
Пример 2. Раскрыть скобки в выражении 6 − (−2 − 5)
Перед скобками стоит минус, поэтому применяем второе правило раскрытия скобок, а именно опускаем скобки вместе с минусом, который стоит перед этими скобками. При этом слагаемые, которые были в скобках, записываем с противоположными знаками:
Пример 3. Раскрыть скобки в выражении 2 − (7 + 3)
Перед скобками стоит минус, поэтому применяем второе правило раскрытия скобок:
Пример 4. Раскрыть скобки в выражении −(−3 + 4)
Перед скобками стоит минус, поэтому применяем второе правило раскрытия скобок:
Пример 5. Раскрыть скобки в выражении −(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2)
Здесь два места, где нужно раскрыть скобки. В первом случае нужно применить второе правило раскрытия скобок, а когда очередь доходит до выражения +(−9 − 2) нужно применить первое правило:
−(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2) = 8 + 2 + 16 − 9 − 2
Пример 6. Раскрыть скобки в выражении −(−a − 1)
Перед скобками стоит минус, поэтому применяем второе правило раскрытия скобок:
Пример 7. Раскрыть скобки в выражении −(4a + 3)
Перед скобками стоит минус, поэтому применяем второе правило раскрытия скобок:
Пример 8. Раскрыть скобки в выражении a − (4b + 3) + 15
Перед скобками стоит минус, поэтому применяем второе правило раскрытия скобок:
Пример 9. Раскрыть скобки в выражении 2a + (3b − b) − (3c + 5)
Здесь два места, где нужно раскрыть скобки. В первом случае нужно применить первое правило раскрытия скобок, а когда очередь доходит до выражения −(3c+5) нужно применить второе правило:
2a + (3b − b) − (3c + 5) = 2a + 3b − b − 3c − 5
Пример 10. Раскрыть скобки в выражении −a − (−4a) + (−6b) − (−8c + 15)
Здесь три места, где нужно раскрыть скобки. Вначале нужно применить второе правило раскрытия скобок, затем первое, а затем опять второе:
−a − (−4a) + (−6b) − (−8c + 15) = −a + 4a − 6b + 8c − 15
Механизм раскрытия скобок
Правила раскрытия скобок, которые мы сейчас рассмотрели, основаны на распределительном законе умножения:
На самом деле раскрытием скобок называют ту процедуру, когда общий множитель умножают на каждое слагаемое в скобках. В результате такого умножения скобки исчезают. Например, раскроем скобки в выражении 3×(4+5)
3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5
Поэтому, если нужно умножить число на выражение в скобках (или выражение в скобках умножить на число) надо говорить раскроем скобки.
Но как связан распределительный закон умножения с правилами раскрытия скобок, которые мы рассматривали ранее?
Мы раскрыли скобки, воспользовавшись правилом раскрытия скобок. Но эти же скобки можно раскрыть, воспользовавшись распределительным законом умножения. Для этого сначала записываем перед скобками общий множитель 1, который не был записан:
Минус, который раньше стоял перед скобками относился к этой единице. Теперь можно раскрыть скобки, применяя распределительный закон умножения. Для этого общий множитель −1 нужно умножить на каждое слагаемое в скобках и полученные результаты сложить.
Для удобства заменим разность, находящуюся в скобках на сумму:
Далее умножаем общий множитель −1 на каждое слагаемое в скобках:
Но не мешает знать, как эти правила работают.
В данном уроке мы научились ещё одному тождественному преобразованию. Вместе с раскрытием скобок, вынесением общего за скобки и приведением подобных слагаемых можно немного расширить круг решаемых задач. Например:
Раскрыть скобки и привести подобные слагаемые в следующем выражении:
Здесь нужно выполнить два действия — сначала раскрыть скобки, а потом привести подобные слагаемые. Итак, по порядку:
1) Раскрываем скобки:
2) Приводим подобные слагаемые:
В получившемся выражении −10b+(−1) можно раскрыть скобки:
Пример 2. Раскрыть скобки и привести подобные слагаемые в следующем выражении:
1) Раскроем скобки:
2) Приведем подобные слагаемые. В этот раз для экономии времени и места, не будем записывать, как коэффициенты умножаются на общую буквенную часть
Пример 3. Упростить выражение 8m+3m и найти его значение при m=−4
m (8 + 3) = −4 (8 + 3) = −4 × 8 + (−4) × 3 = −32 + (−12) = −44
Раскрытие скобок: правила и примеры
Раскрытие скобок и правила применения — это одна из основных тем математике, на базе которой решаются многие задания во всех последующих классах. Поэтому правила раскрытия скобок необходимо усвоить в обязательном порядке.
Раскрытие скобок: правила
Правило раскрытия скобок при сложении
Если перед скобками стоит плюс, то скобки просто опускаются.
Иными словами, скобки исчезнут, а то, что было в скобках, запишется без изменений.
Например, (a−b) = a−b.
В данном правиле следует учитывать, что в математике не принято писать знак плюс, если он стоит в выражении первым. Например, если мы складываем два положительных числа 2 и 3, то запишем 2+3, а не +2+3. Значит перед скобками, которые стоят в начале выражения, стоит плюс, который не пишут.
Пример 1: 8+(5−3) = 10. Ответ: 8+5–3 = 10.
Пример 2: 6+(−1+2) = 7. Ответ: 6–1+2 = 7.
Пример 3: 8a + (3b −6a). Ответ: 8a + 3b −6a = 2a + 3b.
Правило раскрытия скобок при вычитании
Если перед скобками стоит минус, то скобки опускаются, а каждое слагаемое внутри нее меняет свой знак на противоположный.
Например, −(a−b) = −a+b
Пример 1: 8–(5–3) = 6. Ответ: 8 – 5 + 3 = 6.
Пример 2: 6 − (−1 + 2) = 5. Ответ: 6 + 1 – 2 = 5.
Пример 3: 8a–(3b −6a). Ответ: 8a – 3b + 6a = 14a – 3b.
Пример 4: −(5b −2). Ответ: −5b +2.
Раскрытие скобок при умножении
Если перед скобками стоит знак умножения, то каждое число внутри скобок умножается на множитель, стоящий перед скобками.
При этом умножение минуса на минус дает плюс, а умножение минуса на плюс дает минус.
Данное правило основано на распределительном законе умножения: a(b+c) = ab + ac.
Пример 1: 8×(5 − 3) = 16. Ответ: 8 ×5 − 8 ×3 = 16.
Пример 2: a×(7 +2). Ответ: a×7+a×2 = 7a + 2a = 9a.
Пример 3: 8×(3b −6a). Ответ: 8×3b – 8×6a = 24b–48a
Раскрытие скобок при делении
Если после скобок стоит знак деления, то каждое число, стоящее внутри скобок, делится на делитель, стоящий после скобок.
Пример 1: (25−15):5. Ответ: 25:5−15:5= 2.
Пример 2: (−14a +10):2. Ответ: −14a:2 +10:2 = −7a +5.
Пример 3: (36b + 6a):6. Ответ: 36b:6 + 6a:6 = 6b + a.
Раскрытие скобок при умножении двух скобок
При умножении скобки на скобку, каждое слагаемое первой скобки умножается на каждое слагаемое второй скобки.
Например, (c+d) × (a−b) = c×(a−b)+d×(a−b) = ca−cb+da−db
Пример. Раскрыть скобки: (2−a) × (3a−1).
Решение:
Шаг 1. Убираем первую скобку (каждое ее слагаемое умножаем на вторую скобку): 2 × (3a−1) − a × (3a−1).
Шаг 2. Раскрываем произведение скобок: (2×3a− 2×1) – (a×3a−a×1) = 2×3a− 2×1 – a×3a + a×1.
Шаг 3. Перемножаем и приводим подобные слагаемые: 6a–2–3a2+a = 7a–2–3a2
Раскрытие вложенных скобок
Иногда встречаются примеры со скобками, которые вложены в другие скобки. Чтобы решить такую задачу, нужно сначала раскрыть внутреннюю скобку (при этом остальное выражение оставить без изменений), а потом внешнюю скобку.
Пример 1. 7a + 2 × (5− (3a+b)).
Решение:
Шаг 1. Раскроем внутреннюю скобку (не трогая остальное): 7a + 2 × (5 − (3a+b)) = 7a + 2 × (5 − 3a − b).
Шаг 2. Раскроем внешнюю скобку: 7a + 2 × (5 − (3a+b)) = 7a + 2×5 − 2×3a − 2×b.
Шаг 3. Упростим выражение: 7a + 10 − 6a − 2b = a+10-2b.
Раскрытие скобок в натуральной степени
Если стоит скобка в натуральной степени (n), то чтобы раскрыть скобки, нужно найти произведение скобок, перемноженных несколько раз (n раз).
Например, в примере (a+b)2 = (a+b)×(a+b) нужно перемножить скобки (a+b) два раза, далее раскрываем скобки, где каждое слагаемое первой скобки умножается на каждое слагаемое второй скобки.
Раскрытие скобок: правила и примеры (7 класс)
Правила раскрытия скобок
Если перед скобкой стоит знак плюс, то скобка просто снимается, выражение в ней при этом остается неизменным. Иначе говоря:
Здесь нужно пояснить, что в математике для сокращения записей принято не писать знак плюс, если он стоит в выражении первым. Например, если мы складываем два положительных числа, к примеру, семь и три, то пишем не \(+7+3\), а просто \(7+3\), несмотря на то, что семерка тоже положительное число. Аналогично если вы видите, например, выражение \((5+x)\) – знайте, что перед скобкой стоит плюс, который не пишут.
Пример. Раскройте скобку и приведите подобные слагаемые: \((x-11)+(2+3x)\).
Решение: \((x-11)+(2+3x)=x-11+2+3x=4x-9\).
Если перед скобкой стоит знак минус, то при снятии скобки каждый член выражения внутри нее меняет знак на противоположный:
Здесь нужно пояснить, что у \(a\), пока оно стояло в скобке, был знак плюс (просто его не писали), и после снятия скобки этот плюс поменялся на минус.
Пример. Раскройте скобку и приведите подобные слагаемые \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Решение: \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).
Если перед скобкой стоит множитель, то каждый член скобки умножается на него, то есть:
Пример. Раскройте скобки \(-2(-3x+5)\).
Решение: Как и в предыдущем примере, стоящие в скобке \(-3x\) и \(5\) умножаются на \(-2\).
Осталось рассмотреть последнюю ситуацию.
При умножении скобки на скобку, каждый член первой скобки перемножается с каждым членом второй:
Шаг 2. Раскрываем произведения скобки на множитель как описано выше:
— сначала первое…
Шаг 3. Теперь перемножаем и приводим подобные слагаемые:
Так подробно расписывать все преобразования совсем необязательно, можно сразу перемножать. Но если вы только учитесь раскрывать скобок – пишите подробно, меньше будет шанс ошибиться.
Скобка в скобке
Иногда в практике встречаются задачи со скобками, вложенными внутрь других скобок. Вот пример такого задания: упростить выражение \(7x+2(5-(3x+y))\).
Чтобы успешно решать подобные задания, нужно:
— внимательно разобраться во вложенности скобок – какая в какой находиться;
— раскрывать скобки последовательно, начиная, например, с самой внутренней.
При этом важно при раскрытии одной из скобок не трогать все остальное выражение, просто переписывая его как есть.
Давайте для примера разберем написанное выше задание.
Пример. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые \(7x+2(5-(3x+y))\).
Решение:
Выполнять задание начнем с раскрытия внутренней скобки (той, что внутри). Раскрывая ее, имеем дело только с тем, что к ней непосредственно относиться – это сама скобка и минус перед ней (выделено зеленым). Всё остальное (не выделенное) переписываем также как было.
Теперь раскрываем вторую скобку, внешнюю.
Упрощаем получившееся выражение…
Пример. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
Решение:
Здесь тройная вложенность скобок. Начинаем с самой внутренней (выделено зеленым). Перед скобкой плюс, так что она просто снимается.
Теперь нужно раскрыть вторую скобку, промежуточную. Но мы перед этим упростим выражение привидением подобный слагаемых в этой второй скобке.
Вот сейчас раскрываем вторую скобку (выделено голубым). Перед скобкой множитель – так что каждый член в скобке умножается на него.
И раскрываем последнюю скобку. Перед скобкой минус – поэтому все знаки меняются на противоположные.
Как и когда ставить текст в скобках. Правила русского языка
Скобки – парный знак препинания, который выполняет выделительную функцию. Различают круглые, квадратные, фигурные и угловые скобки. Копирайтеры в своей работе чаще всего ставят круглые скобки. Рассмотрим более подробно варианты использования скобок в тексте.
Вставные конструкции со скобками
Круглые скобки необходимы, если в предложении содержатся вставные конструкции. Такие конструкции могут находиться только в середине или в конце предложения и обычно заключаются в скобки. Этот знак препинания является рекомендованным, может заменяться запятыми или тире.
Скобки ставят, если надо уточнить значение отдельных слов, дать попутное указание, разъясняющее смысл фразы, или вставить замечание, дополняющее высказывание. Приведем примеры основных значений вставных конструкций:
Конкретизация в маркированных списках, прайс-листах: Штукатурка (выравнивание стен). Монтаж пластикового уголка (наружного, внутреннего).
Пояснение отдельных слов: Рекомендации по профилактике эмоционального выгорания предоставил Иванов И.И. (доктор медицинских наук, член-корреспондент РАН).
Пояснение основного содержания: Ключевая задача рекламы товара – максимально отличаться от конкурента (выступать как опознавательный знак) и быть узнаваемой потребителями.
Дополнение смысла высказывания: Нужна постоянная практика и знание правил копирайтинга (часть их Вы уже изучили).
Выражение эмоций автора текста: Каждый человек обязан (я подчеркиваю – обязан!) заботиться о своем физическом и психическом здоровье.
Скобки при оформлении цитат
Если требуется после цитаты указать источник цитирования или фамилию автора, то эта информация заключается в скобки. Приведем примеры.
Верховный суд указал, что «цитирование производится для иллюстрации, подтверждения или опровержения высказывания автора» (Определение ВС РФ № 78-ГОЗ-77 от 05.12.2003).
«Клиент получает ту рекламу, которую он заслуживает!» (Огилви Д. Откровения рекламного агента). Заглавие источника отделяется точкой от фамилии автора и не заключается в кавычки.
Сочетание скобок и других знаков
Важно помнить, что перед скобкой (открывающей или закрывающей) никогда не ставится знак препинания: запятая, двоеточие, точка с запятой, тире. Эти пунктуационные знаки уместны после закрывающей скобки.
Возьмите на заметку! Не используйте предложения с двойными скобками. Если внутри одной вставной конструкции надо вставить еще одну, то внешнее (первое вводное предложение) выделяется скобками, а внутреннее – при помощи тире.
Скобки редко встречаются в тексте и поэтому привлекают внимание читателей. Всегда помните, что и как ставить в скобки.
6.4.2. Раскрытие скобок. Приведение подобных слагаемых
1. Раскрытие скобок, перед которыми стоит знак «+» или не стоит никакого знака.
Если перед скобками стоит знак «+» или не стоит никакого знака, то убираем скобки, знак «+» и записываем слагаемые, стоявшие в скобках, без изменений.
Примеры. Раскрыть скобки.
1в) 7x+(-a-2b+5c-k) = 7x-a-2b+5c-k.
2. Раскрытие скобок, перед которыми стоит знак «-».
Если перед скобками стоит знак «-», то убираем скобки, знак «-» и записываем слагаемые, стоявшие в скобках, с противоположными знаками.
Примеры. Раскрыть скобки.
Числовой множитель, стоящий перед буквенным множителем, называют коэффициентом. Так, в выражении 5а коэффициент равен 5, а в выражении (-а) коэффициент равен (-1).
Нахождение алгебраической суммы подобных слагаемых называется приведением подобных слагаемых.
Чтобы привести подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и полученный результат умножить на их общую буквенную часть (т.е. к полученному результату приписать их общую буквенную часть).
Примеры. Привести подобные слагаемые.
3в) 5,2с-2,8с-6,4с+9с = (5,2-2,8-6,4+9)с = 5с.
4. В алгебраическом выражении могут быть различного вида подобные слагаемые. В этом случае подобные слагаемые подчеркиваются одинаковыми линиями.
Примеры. Привести подобные слагаемые.
5. Для преобразования алгебраических выражений с помощью раскрытия скобок используют распределительное свойство умножения: чтобы сумму чисел умножить на третье число, можно каждое слагаемое умножить на третье число и сложить результаты.
Примеры. Раскрыть скобки.
5а) 2 (4х-5у) = 2 ∙ 4х+2 ∙ (-5) = 8х-10у;
6. Упростить алгебраическое выражение – это значит раскрыть скобки, выполнить указанные действия, привести подобные слагаемые.
Примеры. Упростить выражение.
7. Примеры для самостоятельного решения. Упростить: