Что значит плоскости совпадают

Взаимное расположение плоскостей

Параллельные плоскости

Получим условия параллельности или совпадения двух плоскостей и заданных общими уравнениями:

Необходимым и достаточным условием параллельности или совпадения плоскостей (4.23) является условие коллинеарности их нормалей Следовательно, если плоскости (4.23) параллельны или совпадают, то т.е. существует такое число что

Плоскости совпадают, если помимо этих условий справедливо Тогда первое уравнение в (4.23) имеет вид т.е. равносильно второму, поскольку

Таким образом, плоскости (4.23) параллельны тогда и только тогда, когда соответствующие коэффициенты при неизвестных в их уравнениях пропорциональны, т.е. существует такое число что но Плоскости (4.23) совпадают тогда и только тогда, когда все соответствующие коэффициенты в их уравнениях пропорциональны: и

Условия параллельности и совпадения плоскостей (4.23) можно записать в виде

Отсюда следует критерий параллельности или совпадения двух плоскостей (4.23):

Поверхности уровня линейного четырехчлена

Поверхностью уровня функции трех переменных называется геометрическое место точек координатного пространства в которых функция принимает постоянное значение, т.е.

Для линейного четырехчлена уравнение поверхности уровня имеет вид

При любом фиксированном значении постоянной уравнение (4.24) описывает плоскость. Рассмотрим поведение семейства поверхностей уровня, отличающихся значением постоянной. Поскольку коэффициенты и не изменяются, то у всех плоскостей (4.24) будет одна и та же нормаль Следовательно, поверхности уровня линейного четырехчлена D представляют собой семейство параллельных плоскостей (рис.4.19). Поскольку нормаль совпадает с градиентом (см. пункт 3 замечаний 4.2), а градиент направлен в сторону наискорейшего возрастания функции, то при увеличении постоянной поверхности уровня (4.24) переносятся параллельно в направлении нормали.

Пересекающиеся плоскости

Необходимым и достаточным условием пересечения двух плоскостей (4.22) является условие неколлинеарности их нормалей, или, что то же самое, условие непропорциональности коэффициентов при неизвестных:

При этом условии система уравнений

имеет бесконечно много решений, которые определяют прямую пересечения плоскостей, заданных уравнениями (4.23).

Угол между плоскостями

Угол между двумя плоскостями можно определить как угол между их нормальными векторами. По этому определению получаются не один угол, а два смежных угла, дополняющих друг друга до В элементарной геометрии из двух смежных углов, как правило, выбирается меньший, т.е. величина угла между двумя плоскостями удовлетворяет условию

Если — нормали к плоскостям и соответственно (рис.4.20,а), то величина угла между этими плоскостями вычисляется по формуле:

Необходимым и достаточным условием перпендикулярности плоскостей (4.23) является условие ортогональности их нормалей, т.е.

При пересечении двух плоскостей образуются четыре двугранных угла (рис.4.20). Величина двугранного угла удовлетворяет условию

Пример 4.10. Найти величину того угла, образованного плоскостями и внутри которого лежит точка

Решение. По уравнениям плоскостей находим нормали а также величину угла между нормалями, используя (4.26):

Подставляя координаты точки в левые части уравнений плоскостей, выясняем, каким полупространствам принадлежит эта точка. Для плоскости имеем 0″ png;base64,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» style=»vertical-align: middle;» /> значит, точка лежит в положительном полупространстве, определяемом плоскостью Для плоскости имеем 0″ png;base64,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» style=»vertical-align: middle;» /> значит, точка лежит также в положительном полупространстве, определяемом плоскостью Поскольку точка принадлежит одноименным полупространствам (положительным), то искомый угол — это угол смежный найденному углу

Пучки плоскостей

Собственным пучком плоскостей называется совокупность всех плоскостей, проходящих через фиксированную прямую ( ось пучка ).

Несобственным пучком плоскостей называется совокупность плоскостей, параллельных фиксированной плоскости (осью несобственного пучка плоскостей считается бесконечно удаленная прямая).

Любые две плоскости и определяют пучок плоскостей, содержащий заданные плоскости и Если плоскости и пересекаются, то прямая пересечения является осью собственного пучка (рис.4.21,а). Если плоскости и параллельны, то они определяют несобственный пучок параллельных плоскостей (рис.4.21,б).

Пусть заданы уравнения двух плоскостей (4.23):

Линейной комбинацией этих уравнений называется уравнение

где числа — коэффициенты линейной комбинации. Его можно записать в форме

Заметим, что линейная комбинация уравнений является уравнением первой степени для любых значений коэффициентов, кроме случая, когда все коэффициенты при неизвестных равны нулю, т.е. при одновременном выполнении условий

Эти значения параметров считаются недопустимыми.

Уравнение (4.27) называется уравнением пучка плоскостей, содержащего плоскости

При любых допустимых значениях параметров уравнение (4.27) задает плоскость, принадлежащую пучку, и наоборот, для любой плоскости пучка найдутся такие значения параметров что уравнение (4.27) будет задавать эту плоскость.

Доказательство утверждения аналогично доказательству свойства пучка прямых.

Пример 4.11. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую пересечения плоскостей и через точку

Решение. Искомая плоскость входит в пучок плоскостей, задаваемый уравнением (4.27)

Подставляя координаты точки получаем:

Возьмем, например, и подставим в уравнение пучка:

Итак, искомое уравнение получено.

Связки плоскостей

Собственной связкой плоскостей называется совокупность всех плоскостей, проходящих через фиксированную точку ( центр связки ).

Несобственной связкой плоскостей называется совокупность плоскостей, параллельных фиксированной прямой (центром несобственной связки плоскостей считается бесконечно удаленная точка).

Уравнение собственной связки плоскостей с центром имеет вид

где — произвольные параметры, одновременно не равные нулю.

Уравнение связки плоскостей (собственной (рис.4.22,а) или несобственной (рис.4.22,6)) можно получить в виде линейной комбинации уравнений трех плоскостей:

где — коэффициенты линейной комбинации. Заметим, что линейная комбинация уравнений является уравнением первой степени для любых значений коэффициентов, кроме случая, когда все коэффициенты при неизвестных равны нулю. Эти значения параметров считаются недопустимыми.

Уравнение (4.28) называется уравнением связки плоскостей, содержащей три плоскости

При любых допустимых значениях параметров уравнение (4.28) задает плоскость, принадлежащую связке, и наоборот, для любой плоскости связки найдутся такие значения параметров что уравнение (4.28) будет задавать эту плоскость.

Доказательство утверждения аналогично доказательству свойства пучка прямых.

Источник

Лекция 3. Плоскость

3.1. Способы задания плоскости на ортогональных чертежах

Рисунок 3.1 – Способы задания плоскостей

Плоскость общего положения – это плоскость, которая не параллельна и не перпендикулярна ни одной из плоскостей проекций.

Следом плоскости называется прямая, полученная в результате пересечения заданной плоскости с одной из плоскостей проекций.

Плоскость общего положения может иметь три следа: горизонтальный – απ₁, фронтальный – απ₂ и профильный – απ₃, которые она образует при пересечении с известными плоскостями проекций: горизонтальной π₁, фронтальной π₂ и профильной π₃ (Рисунок 3.2).

Рисунок 3.2 – Следы плоскости общего положения

3.2. Плоскости частного положения

Плоскость частного положения – плоскость, перпендикулярная или параллельная плоскости проекций.

Плоскость, перпендикулярная плоскости проекций, называется проецирующей и на эту плоскость проекций она будет проецироваться в виде прямой линии.

Свойство проецирующей плоскости : все точки, линии, плоские фигуры, принадлежащие проецирующей плоскости, имеют проекции на наклонном следе плоскости (Рисунок 3.3).

Рисунок 3.3 – Фронтально-проецирующая плоскость, которой принадлежат: точки А, В, С; линии АС, АВ, ВС; плоскость треугольника АВС

Фронтально-проецирующая плоскость – плоскость, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций (Рисунок 3.4, а).

Горизонтально-проецирующая плоскость – плоскость, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций (Рисунок 3.4, б).

Профильно-проецирующая плоскость – плоскость, перпендикулярная профильной плоскости проекций.

Плоскости, параллельные плоскостям проекций, называются плоскостями уровня или дважды проецирующими плоскостями.

Фронтальная плоскость уровня – плоскость, параллельная фронтальной плоскости проекций (Рисунок 3.4, в).

Горизонтальная плоскость уровня – плоскость, параллельная горизонтальной плоскости проекций (Рисунок 3.4, г).

Профильная плоскость уровня – плоскость, параллельная профильной плоскости проекций (Рисунок 3.4, д).

Рисунок 3.4 – Эпюры плоскостей частного положения

3.3. Точка и прямая в плоскости. Принадлежность точки и прямой плоскости

Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости (Рисунок 3.5). Прямая принадлежит плоскости, если она имеет с плоскостью хотя бы две общие точки (Рисунок 3.6).

Рисунок 3.5 – Принадлежность точки плоскости

Рисунок 3.6 – Принадлежность прямой плоскости

\left.\begin\alpha=m\parallel n,\\D\in\alpha\\C\in\alpha\\\end\right\> \Longrightarrow CD\in\alpha

Упражнение

Рисунок 3.7 – Решение задачи

3.4. Главные линии плоскости

В плоскости можно построить бесконечное множество прямых, но есть особые прямые, лежащие в плоскости, называемые главными линиями плоскости (Рисунок 3.8 – 3.11).

Прямой уровня или параллелью плоскости называется прямая, лежащая в данной плоскости и параллельная одной из плоскостей проекций.

Горизонталь или горизонтальная прямая уровня h (первая параллель) – это прямая, лежащая в данной плоскости и параллельная горизонтальной плоскости проекций (π₁) (Рисунок 3.8, а; 3.9).

Фронталь или фронтальная прямая уровня f (вторая параллель) – это прямая лежащая в данной плоскости и параллельная фронтальной плоскости проекций (π₂) (Рисунок 3.8, б; 3.10).

Профильная прямая уровня p (третья параллель) – это прямая лежащая в данной плоскости и параллельная профильной плоскости проекций (π₃) (Рисунок 3.8, в; 3.11).

Рисунок 3.8 а – Горизонтальная прямая уровня в плоскости, заданной треугольником

Рисунок 3.8 б – Фронтальная прямая уровня в плоскости, заданной треугольником

Рисунок 3.8 в – Профильная прямая уровня в плоскости, заданной треугольником

Рисунок 3.9 – Горизонтальная прямая уровня в плоскости, заданной следами

Рисунок 3.10 – Фронтальная прямая уровня в плоскости, заданной следами

Рисунок 3.11 – Профильная прямая уровня в плоскости, заданной следами

3.5. Взаимное положение прямой и плоскости

Прямая по отношению к заданной плоскости может быть параллельной и может с ней иметь общую точку, то есть пересекаться.

3.5.1. Параллельность прямой плоскости

Признак параллельности прямой плоскости : прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой, принадлежащей этой плоскости (Рисунок 3.12).

\alpha=m\cap n\\\left.\begina_2\parallel m_2\\a_1\parallel m_1\\\end\right\> \Rightarrow a\parallel\alpha

Рисунок 3.12 – Параллельность прямой плоскости

3.5.2. Пересечение прямой с плоскостью

Для построения точки пересечения прямой с плоскостью общего положения (Рисунок 3.13), необходимо:

Рисунок 3.13 – Построение точки встречи прямой с плоскостью

Упражнение

Заданы: прямая АВ общего положения, плоскость σ⊥π₁. (Рисунок 3.14). Построить точку пересечения прямой АВ с плоскостью σ.

Рисунок 3.14 – Пересечение прямой общего положения с плоскостью частного положения

Упражнение

Заданы: плоскость σ = ΔАВС – общего положения, прямая EF (Рисунок 3.15).

Требуется построить точку пересечения прямой EF с плоскостью σ.

Рисунок 3.15 – Пересечение прямой с плоскостью

3.6. Определение видимости методом конкурирующих точек

При оценке положения данной прямой, необходимо определить – точка какого участка прямой расположена ближе (дальше) к нам, как к наблюдателям, при взгляде на плоскость проекций π₁ или π₂.
Точки, которые принадлежат разным объектам, а на одной из плоскостей проекций их проекции совпадают (то есть, две точки проецируются в одну), называются конкурирующими на этой плоскости проекций.
Необходимо отдельно определить видимость на каждой плоскости проекций.
Видимость на π₂ (рис. 3.15)
Выберем точки, конкурирующие на π₂ – точки 3 и 4. Пусть точка 3∈ВС∈σ, точка 4∈EF.
Чтобы определить видимость точек на плоскости проекций π₂ надо определить расположение этих точек на горизонтальной плоскости проекций при взгляде на π₂.
Направление взгляда на π₂ показано стрелкой.
По горизонтальным проекциям точек 3 и 4, при взгляде на π₂, видно, что точка 4₁ располагается ближе к наблюдателю, чем 3₁.
4₁∈E₁F₁ ⇒ 4∈EF ⇒ на π₂ будет видима точка 4, лежащая на прямой EF, следовательно, прямая EF на участке рассматриваемых конкурирующих точек расположена перед плоскостью σ и будет видима до точки K – точки пересечения прямой с плоскостью σ.
Видимость на π₁.
Для определения видимости выберем точки, конкурирующие на π₁ – точки 2 и 5.
Чтобы определить видимость точек на плоскости проекций π₁ надо определить расположение этих точек на фронтальной плоскости проекций при взгляде на π₁.
Направление взгляда на π₁ показано стрелкой.
По фронтальным проекциям точек 2 и 5, при взгляде на π₁, видно, что точка 2₂ располагается ближе к наблюдателю, чем 5₂.
2₂∈А₂В₂ ⇒ 2∈АВ ⇒ на π₁ будет видима точка 2, лежащая на прямой АВ, следовательно, прямая EF на участке рассматриваемых конкурирующих точек расположена под плоскостью σ и будет невидима до точки K – точки пересечения прямой с плоскостью σ.
Видимой из двух конкурирующих точек будет та, у которой координата «Z» или(и) «Y» больше.

3.7. Перпендикулярность прямой плоскости

Признак перпендикулярности прямой плоскости : прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в данной плоскости.

Рисунок 3.16 – Задание прямой, перпендикулярной плоскости

Теорема. Если прямая перпендикулярна плоскости, то на эпюре: горизонтальная проекции прямой перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали плоскости, а фронтальная проекция прямой перпендикулярна фронтальной проекции фронтали (Рисунок 3.16, б)

Теорема доказывается через теорему о проецировании прямого угла в частном случае.

Если плоскость задана следами, то проекции прямой перпендикулярной плоскости перпендикулярны соответствующим следам плоскости (Рисунок 3.16, а).

Пусть прямая p перпендикулярна плоскости σ=ΔАВС и проходит через точку K.

3.8. Взаимное положение двух плоскостей

3.8.1. Параллельность плоскостей

Две плоскости могут быть параллельными и пересекающимися между собой.

Признак параллельности двух плоскостей : две плоскости взаимно параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости.

Упражнение

Задана плоскость общего положения α=ΔАВС и точка F∉α (Рисунок 3.17).

Через точку F провести плоскость β, параллельную плоскости α.

Рисунок 3.17 – Построение плоскости, параллельной заданной

3.8.2. Пересечение плоскостей

Результатом пересечения 2-х плоскостей является прямая. Любая прямая на плоскости или в пространстве может быть однозначно задана двумя точками. Поэтому для того, чтобы построить линию пересечения двух плоскостей, следует найти две точки, общие для обеих плоскостей, после чего соединить их.

Рассмотрим примеры пересечения двух плоскостей при различных способах их задания: следами; тремя точками, не лежащими на одной прямой; параллельными прямыми; пересекающимися прямыми и др.

Упражнение

Рисунок 3.18 – Пересечение плоскостей общего положения, заданных следами

Упражнение

Алгоритм решения задачи :

\left.\beginAB\cap\sigma=K\\AC\cap\sigma=L\\\end\right\> \left.\begin\Rightarrow A_1B_1\cap\sigma_1=K_1 \rightarrow K_2\\\Rightarrow A_1C_1\cap \sigma_1=L_1 \rightarrow L_2\\\end\right.

KL – линия пересечения ΔАВС и σ (α∩σ = KL).

Рисунок 3.19 – Пересечение плоскостей общего и частного положения

Упражнение

Рисунок 3.20 – Пересечение двух плоскостей общего положения (общий случай)

Алгоритм решения задачи :

\left.\begin\alpha\cap\sigma=(4-5)\\\beta\cap\sigma=(3-2)\\\end\right\>\\\left.\begin\alpha\cap\tau=(6-7)\\\beta\cap\tau=(1-8)\\\end\right\>\left.\begin(4_1-5_1)\cap(3_1-2_1)=M_1\rightarrow M_2\\(6_1-7_1)\cap(1_1-8_1)=N_1\rightarrow N_2\\\end\right\>\rightarrow\\\left.\beginM_1N_1\\M_2N_2\\\end\right\>\Rightarrow\alpha\cap\beta=MN

Упражнение

Заданы плоскости α = ΔАВС и β = a//b. Построить линию пересечения заданных плоскостей (Рисунок 3.21).

Рисунок 3.21 Решение задачи на пересечение плоскостей

Решение: Воспользуемся вспомогательными секущими плоскостями частного положения. Введём их так, чтобы сократить количество построений. Например, введём плоскость σ⊥π₂, заключив прямую a во вспомогательную плоскость σ (σ∈a). Плоскость σ пересекает плоскость α по прямой (1-2), а σ∩β=а. Следовательно (1-2)∩а=K. Точка К принадлежит обеим плоскостям α и β. Следовательно, точка K, является одной из искомых точек, через которые проходит прямая пересечения заданных плоскостей α и β. Для нахождения второй точки, принадлежащей прямой пересечения α и β, заключим прямую b во вспомогательную плоскость τ⊥π₂ (τ∈b). Соединив точки K и L, получим прямую пересечения плоскостей α и β.

3.8.3. Взаимно перпендикулярные плоскости

Плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через перпендикуляр к другой.

Упражнение

Задана плоскость σ⊥π₂ и прямая общего положения – DE (Рисунок 3.22)

Требуется построить через DE плоскость τ⊥σ.

Рисунок 3.22 – Построение плоскости, перпендикулярной к заданной плоскости

По теореме о проецировании прямого угла C₁D₁ должна быть параллельна оси проекций. Пересекающиеся прямые CD∩DE задают плоскость τ. Итак, τ⊥σ. Аналогичные рассуждения, в случае плоскости общего положения.

Упражнение

Рисунок 3.23 – Построение плоскости, перпендикулярной к заданной ΔАВС

3.9. Задачи для самостоятельного решения

1. Задана плоскость α = m//n (Рисунок 3.24). Известно, что K∈α.

Постройте фронтальную проекцию точки К.

2. Постройте следы прямой, заданной отрезком CB, и определите квадранты, через которые она проходит (Рисунок 3.25).

3. Постройте проекции квадрата, принадлежащего плоскости α⊥π₂, если его диагональ MN //π₂ (Рисунок 3.26).

4. Построить прямоугольник ABCD с большей стороной ВС на прямой m, исходя из условия, что отношение его сторон равно 2 (Рисунок 3.27).

5. Задана плоскость α=a//b (Рисунок 3.28). Построить плоскость β параллельную плоскости α и удаленную от нее на расстоянии 20 мм.

6. Задана плоскость α=∆АВС и точка D вне плоскости. Построить через точку D плоскость β⊥α и β⊥π₁.

7. Задана плоскость α=∆АВС и точка D вне плоскости. Построить через точку D прямую DE//α и DE//π₁.

Источник