Что значит площадь прямоугольника
Математика. 5 класс
Конспект урока
Площадь прямоугольника. Единицы площади
Перечень рассматриваемых вопросов:
— понятие площади фигуры;
-единицы измерения площади;
— площадь прямоугольника, квадрата;
— приближенное измерение площади фигуры на клетчатой бумаге.
Прямоугольник – четырёхугольник, у которого все углы прямые (равны 90 градусам).
Квадрат – прямоугольник, у которого все стороны равны.
Площадь прямоугольника– число, которое показывает, сколько квадратных единиц содержится в прямоугольнике.
Никольский С. М. Математика. 5 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений.// С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017. – 272 с.
1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5 класс.// П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина. – М.: Просвещение, 2009. – 142 с.
2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 классы.// И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2014. – 95 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Сегодня мы начнём занятие с задачи. Представим, что две девочки пришли в магазин, чтобы купить в подарок подруге на день рождения коробку конфет. На витрине были разложены самые разные наборы сладостей. Девочки решили купить ту коробку, которая больше. А какая из них больше? Как это измерить? Можно сравнить коробки по длине и ширине или просто положить их друг на друга. Но одна коробка оказалась длиннее, а другая – шире. Какая же из них больше? Как это узнать?
Чтобы ответить на эти вопросы, мы поговорим о вычислении площади прямоугольника.
Для начала введём понятие площади фигуры.
За единицу измерения площадей принимают не только квадратный сантиметр, но и квадратный миллиметр, квадратный дециметр, квадратный метр.
Это площади квадратов, длины сторон которых равны одному миллиметру, одному дециметру и одному метру соответственно.
Далее покажем, что подразумевается под площадью прямоугольника.
Площадью прямоугольника называют число, которое показывает, сколько квадратных единиц содержится в прямоугольнике.
Называя величину площади, необходимо указывать единицу измерения.
Найдём площадь прямоугольника ABCD, который имеет длину АВ = 6 см и ширину ВС = 7 см. Для этого разделим его на квадратные сантиметры. Сосчитаем, сколько квадратных сантиметров в нём содержится.
В прямоугольнике ABCD квадратный сантиметр содержится сорок два раза – значит, его площадь равна: S = 42 см 2 = 6 см · 7 см = АВ · ВС.
Поэтому можно ввести формулу для нахождения площади прямоугольника.
Чтобы найти площадь прямоугольника S, нужно умножить его длину a на ширину b.
Так как квадрат является прямоугольником, у которого все стороны равны, то его площадь можно вычислить как квадрат его стороны а.
Далее найдём соотношение между единицами измерения площадей.
Соответственно, 1 дм 2 = 10 2 см 2 = 100 см 2
1 м 2 = 10 2 дм 2 = 100 дм 2
Для измерения небольших площадей земельных участков используют специальную единицу измерения– ар, которая равна площади квадрата со стороной десять метров. В обиходе ар называют соткой, так как один ар– это сто квадратных метров.
1 ар = 10 2 м 2 = 100 м 2
Для обмера больших земельных территорий ввели единицу один гектар, которая соответствует площади квадрата со стороной сто метров.
1 га = 100 2 м 2 = 10000 м 2 = 100 а
Найдём площадь прямоугольника.
При измерении окажется, что стороны с недостатком приближенно равны трём и пяти сантиметрам. Значит, площадь прямоугольника больше, чем произведение этих сторон, то есть пятнадцати квадратных сантиметров.
S (с недостатком) = 3 · 5 = 15 см 2
Если взять стороны в приближении с избытком, то есть четыре и шесть сантиметров, то площадь будет меньше произведения сторон, а именно равна двадцати четырём квадратным сантиметрам.
S (с избытком) = 4 · 6 = 24 см 2
Таким образом, площадь этого прямоугольника варьируется от пятнадцати до двадцати четырёх квадратных сантиметров.
Отметим, что равные прямоугольники имеют равную площадь.
Сравним площади закрашенных квадратов, изображённых на рисунке.
Решение: если посмотреть внимательно на рисунок, то можно заметить, что все фигуры расположены в одинаковых квадратах со стороной 9 клеток, следовательно, площади этих квадратов одинаковы. На верхнем рисунке шесть фигур – два квадрата и четыре треугольника. На нижнем рисунке пять фигур – квадрат и четыре треугольника.
Далее внимательно посмотрим на треугольники – все они одинаковы, следовательно, их площади одинаковы. И, если из больших квадратов, в которых расположены наши фигуры, мы отнимем сумму площадей равных треугольников, получится, что площади оставшихся фигур (квадратов) верхней и нижней части равны.
Примеры заданий из Тренировочного модуля
№ 1. В квадрате все стороны равны 5 см. Чему равна площадь квадрата?
Решение: Для нахождения площади квадрата воспользуемся следующей формулой:
S = а 2 = 5см · 5 см = 25 см 2
№ 2. Найдите площадь фигуры.
Как найти площадь прямоугольника – 9 способов с формулами и примерами
Самый простой способ – перемножить две стороны. Но иногда эти две стороны неизвестны.
Умножьте его ширину на высоту. Это самый простой способ найти площадь прямоугольника. Например, если ширина прямоугольника равна 4 см, а высота – 2 см, то площадь будет равна 4*2 = 8 см.
По диагонали и стороне
Должна быть известна диагональ и любая из сторон. Действия:
Пример. Сторона прямоугольника равна 3 см, а диагональ – 5 см. Найдите площадь.
Диагональ в прямоугольнике – это гипотенуза, потому что она всегда находится напротив угла в 90 градусов. Найти диагональ можно по формуле нахождения гипотенузы, например, поделив катет угла A на синус угла A.
По стороне и диаметру описанной окружности
Вокруг любого прямоугольника можно описать окружность. Вам надо знать диаметр этой окружности и любую из сторон прямоугольника.
Пример. Найдите площадь прямоугольника, если диаметр описанной окружности равен 10 см, а одна из сторон равна 8 см.
Диаметр описанной окружности всегда равен диагонали прямоугольника. Смотрите:
А найти диагональ можно по формуле гипотенузы прямоугольного треугольника.
Диаметр равен двум радиусам, потому что радиус – это половина диаметра.
По радиусу описанной окружности и стороне
Можно просто найти диаметр (умножить радиус на два) и использовать формулу выше.
Пример. Найдите площадь прямоугольника, если радиус описанной окружности равен 5 см, а одна из сторон равна 6 см.
Радиус = половине диаметра.
Радиус = половине гипотенузы прямоугольного треугольника, вокруг которого описана окружность. Потому что эта гипотенуза = диагонали прямоугольника = диаметру.
По стороне и периметру – 1 способ
Периметр – это сумма всех сторон прямоугольника. P=a+b+a+b. Другая формула периметра: P=2(a+b).
Если известен периметр и одна сторона, надо найти вторую сторону и перемножить их.
Пример. Периметр прямоугольника равен 14 см, а одна из сторон равна 3 см. Найдите площадь.
По стороне и периметру – 2 способ
Пример. Сторона прямоугольника равна 8, а периметр равен 28. Найдите площадь.
По диагонали и углу между диагоналями
Диагонали прямоугольника всегда равны.
Пример. Найдите площадь прямоугольника, диагональ которого равна 10 см, а угол между диагоналями – 30 градусов.
Вот еще вам таблица основных значений из тригонометрии. Там как раз отмечено, что синус 30 градусов всегда равен 0,5 (1/2).
По радиусу описанной окружности и углу между диагоналями – первый способ
Радиус описанной окружности равен половине ее диаметра, а диаметр равен диагонали прямоугольника. Надо найти диаметр и посчитать площадь по формуле выше.
Пример. Найдите площадь прямоугольника, если радиус описанной окружности равен 6 см, а угол между диагоналями – 30 градусов.
По радиусу описанной окружности и углу между диагоналями – второй способ
Пример. Найдите площадь прямоугольника, если радиус описанной окружности равен 6, а угол между диагоналями – 30 градусов.
Покритикуйте статью и стиль подачи материала в комментариях, я внесу правки. Это моя вторая статья по математике, я хочу, чтобы они все были образцовыми.
Площадь прямоугольника
Площадь прямоугольника очень часто требуется найти в задачах по геометрии. И не только — в повседневной жизни очень многие плоскости имеют форму прямоугольника и надо найти площадь прямоугольника. Как это сделать? Давайте рассмотрим все формулы и примеры.
Мы учимся вычислять площадь прямоугольника или площадь прямоугольника в школе. Однако, когда вы станете старше, вполне возможно, что вы не будете помнить, как найти площадь прямоугольника. Для начала давайте вспомним, что такое прямоугольник.
Что такое прямоугольник
Давайте не будем «срезать углы». Чтобы иметь возможность вычислить площадь прямоугольника, естественно, что мы сначала знаем, что это такое. Поэтому для начала необходимо помнить, что прямоугольник является четырехугольником. Другими словами, это геометрическая фигура, которая имеет четыре стороны и четыре прямых угла. Противоположные стороны прямоугольника имеют одинаковую длину. Две самые длинные стороны представляют его длину, а две другие стороны представляют его ширину.
Не все четырехугольники являются прямоугольниками. Действительно, обязательно, чтобы они имели следующие свойства, чтобы мы могли сказать, что это действительно прямоугольник:
Характеристики прямоугольника
Противоположные стороны должны быть параллельны.
Формула площади прямоугольника
Как рассчитать площадь прямоугольника? Обратите внимание, что базовую формулу для вычисления площади (или площади) прямоугольника очень легко запомнить. Вы просто должны умножить его длину на ширину.
Например, площадь прямоугольника длиной 4 сантиметра и шириной 2 сантиметра равна 4 x 2 = 8 см².
Принцип расчета площади прямоугольника
Чтобы вычислить площадь прямоугольника, мы посчитаем количество единиц областей, которые содержит прямоугольник:
В прямоугольнике выше 12 квадратов по 1 см². Его площадь составляет 12 см² (4 х 3).
Примечание. В этом расчете длина L и ширина l прямоугольника должны быть выражены в одной и той же единице длины. Результат будет выражен в той же единице измерения, возведенной в квадрат. Например, если длина прямоугольника выражена в метрах, ширина также должна быть выражена в метрах, а результат формулы для расчета площади прямоугольника даст результат в квадратных метрах (м²).
Пример расчета
Рассмотрим прямоугольник длиной L = 4 см и шириной l = 2 см. Площадь S его поверхности равна:
A = L x l = 4 x 2 = 8 см².
Как рассчитать площадь прямоугольника, если мы знаем только одну сторону и диагональ
Можно определить площадь прямоугольника другим способом. Формула, которая была изложена ранее, не является единственным методом, который можно использовать. Действительно, вполне возможно сделать это по-другому. Для этого нам нужно будет, по крайней мере, измерить только одну сторону и необходимо знать длину диагонали. В этом случае мы делаем расчет, используя теорему Пифагора.
Что такое теорема Пифагора
Это формула, которая используется для определения длины третьей стороны прямоугольного треугольника, когда вы уже знаете значение двух других его сторон.
Обратите внимание, что прямоугольник состоит из двух прямоугольных треугольников. Действительно, диагональ представляет гипотенузу этого типа треугольника.
Теорема Пифагора
Кроме того, это также самая длинная сторона, которую можно найти на рисунке. Длина и ширина, с другой стороны, представляют две другие его стороны (скажем, смежные стороны). Это причина, почему можно использовать эту формулу для определения площади прямоугольника.
Теорема Пифагора основана на довольно простом уравнении, которое выглядит следующим образом: a² + b² = c². Где a и b используются для представления двух соседних сторон — катетов прямоугольного треугольника, а c представляет гипотенузу треугольника.
Чтобы полностью понять использование этой формулы, мы начнем с очень конкретного примера. Для этого предположим, что диагональ прямоугольника 10 см, а другая сторона 6 см. Если мы ссылаемся на формулу a² + b² = c², следовательно, сторона «a» составляет 6 см, а гипотенуза «c» — 10 см. Теперь нам нужно просто заменить буквенные значения числовыми значениями, которые у нас есть. Что дает нам:
a² + b² = c²
6² + b² = 10²
b² = 10² — 6²
b² = 100 — 36
b² = 64
b= 8
Мы получаем длину смежной стороны прямоугольника «b», которая равна 8 см. Теперь мы можем рассчитать площадь прямоугольника:
S = 8 см х 6 см
Следовательно, S = 48 см².
Общие сведения
В различных задачах с физико-математическим уклоном приходится вычислять площадь прямоугольника. Однако формула расчета применяется не только в математике и физике, но и во время ремонтных работ. Например, следует посчитать количество расходных материалов, которое зависит от квадратуры комнаты или здания.
Очень важно не только знать основные соотношения, но и корректно переводить единицы измерения из одной в другую. От знаний полностью зависит экономия денежных средств. Например, при клейке обоев в комнате требуется определенное количество рулонов. Это количество можно купить в строительном магазине «на глаз» или рассчитать квадратуру комнаты. Во втором случае можно существенно сэкономить. Для того чтобы посчитать квадратные метры помещения, нужно вычислить его площадь.
Площадь фигуры
Для вычисления значения двухплоскостной размерности фигуры применяется интегральный метод. Однако бывают частные случаи, когда вычислять интеграл необязательно. Существуют определенные формулы, полученные с помощью интегрального метода. Чтобы ими воспользоваться, нужно просто подставить числовые значения сторон.
Нахождение площади получило широкое распространение в физике. Например, для вычисления электрического сопротивления нужно найти площадь поперечного сечения проводника. Она зависит от его формы. Площадь можно вычислить и у объемной поверхности, но для этого применяется интегрирование.
Единицы измерения
При решении задач на нахождение значения площади нужно знать единицы ее измерения. Кроме того, следует правильно выполнять перевод одной единицы в другую. В системе исчисления используются квадратичные единицы измерения. За основу следует брать размер стороны прямоугольника. Например, при указании площади в кв. м нужно измерять в метраже стороны объекта. Это стандартная единица измерения площади.
Существуют также производные единицы. Самой маленькой из них является квадратный миллиметр (кв. мм или мм 2 ). В некоторой литературе или программировании можно встретить такую запись: sqr (m), которая означает квадратный метр. Основные производные единицы площади:
Последние применяются для измерения земельного участка. Однако необязательно их все помнить. Они легко выводятся при помощи простейших математических вычислений. Например, для выполнения расчетов нужно перевести кв. м в кв. см. Однако человек мог забыть, сколько см 2 в квадратном метре. Следует взять метрическую форму (1 м = 100 см). Затем нужно возвести обе части выражения в квадрат: 1 м 2 = 100 * 100 = 10000 (см 2 ).
Информация о прямоугольнике
Прямоугольник — четырехугольная геометрическая фигура, противолежащие стороны которой равны и углы являются прямыми. Частным случаем данной фигуры считается квадрат. У него все углы прямые, а также все стороны равны между собой. Для выполнения расчетов нужно знать основные соотношения, свойства и признаки.
Важным аспектом является идентификация фигуры и применение к ней формул и соотношений. В двухмерной геометрии, которую еще называют эвклидовой, можно встретить необычный признак, позволяющий определить принадлежность четырехугольника к прямоугольнику. Его формулировка следующая: достаточно хотя бы трех углов, равных 90 градусам, чтобы четырехугольник считался прямоугольником.
Утверждение легко доказывается. Это связано с тем, что по теореме о сумме внутренних углов произвольного четырехугольника, составляющей 360 градусов, четвертый угол тоже равен 90. Нужно выполнить следующие расчеты для определения градусной меры четвертого угла: D = 360 — (90 + 90 + 90) = 90. Необходимо отметить, что смежные с ними углы равны 90.
Свойства и признаки
Очень часто новички путают свойства и признаки фигуры. Однако это совсем различные понятия. Признаками фигуры называются характерные особенности, которые позволяют отнести ее к тому или иному классу. Свойства — совокупность аксиом, позволяющих использовать некоторые данные при решении или доказательстве теорем и тождеств. Прямоугольник обладает следующими признаками:
Очень важно уметь различать геометрические фигуры. Поскольку прямоугольник является параллелограммом, то их часто путают. Основное его отличие — это равенство всех углов 90 градусов. У параллелограмма и ромба углы будут равняться 90 в том случае, когда они являются квадратами. Последний отличается от искомой фигуры (прямоугольника) равенством всех сторон. Поскольку прямоугольник является частным случаем параллелограмма, то обладает такими же свойствами:
Однако свойств и признаков фигуры недостаточно для решения задач. Следует знать основные соотношения и формулы.
Периметр и размерность
Нужно ввести некоторые обозначения. Пусть стороны прямоугольника АВСД обозначаются литерами a и b. Поскольку диагонали равны, то можно только обозначить размерность одной буквой «d». Периметром называется сумма всех сторон заданной фигуры. Он обозначается литерой P. Для его нахождения применяется формула такого вида: P = 2 * (a + b). Однако бывает случай, когда известна только одна его сторона и диагональ. Формула приобретает следующий вид: P = 2a + [2 * (2d 2 — 2a 2 )]^(1/2) и P = 2b + [2 * (2d 2 — 2b 2 )]^(1/2).
Чтобы вычислить площадь прямоугольника, следует воспользоваться таким соотношением: S = a * b. Эта базовая формула, которая используется также в строительной сфере и физике. Однако существует еще один способ, с помощью которого можно узнать площадь прямоугольника. Она находится с помощью формулы Герона для треугольников с площадями S1 и S2, а затем результат умножается на 2. Эта особенность основывается на свойстве фигуры, поскольку диагональ делит его на два равных треугольника.
Соотношение имеет следующий вид: S = S1 + S2 = 2S1= 2 * [p * (p — a) * (p — b) * (p — d)]^(1/2). Переменная «p» — полупериметр треугольника. Он находится таким методом: p = P / 2 = (a + b + d) / 2.
Примеры решения
Задачи на нахождение площади применяются в нескольких дисциплинах. В геометрии применяются различные комбинации, при которых известны некоторые величины:
Для расчета расходных материалов и площади поперечного сечения проводника можно всегда измерить стороны прямоугольника. Существует два способа нахождения: автоматизированный и ручной. В первом случае используется специализированное программное обеспечение. Однако вовсе не обязательно применять сложные алгоритмы и программные модули, поскольку формула является очень простой. Для расчета специалисты рекомендуют применять онлайн-калькулятор.
При ручном режиме расчета нужно подставлять значения в формулу. После этого выполнять вычисления. Возможна и оптимизация процесса вычисления. Для этой цели рекомендуется использовать Excel. Приложение входит в состав стандартного офисного пакета MS Office.
Геометрия на плоскости
Задача сводится к тому, что необходимо высчитать S, зная размеры сторон (a = 25 и b = 10). В этом случае следует воспользоваться базовой формулой: S = a * b = 25 * 10 = 250 (ед 2 ). В ответе указывается условная единица измерения, поскольку явная не указана в условии задачи.
Еще один вариант задания немного сложнее предыдущего. Он имеет следующее условие: одна из сторон прямоугольника равна 6 м и диагональ 10 м. Нужно найти площадь прямоугольника. Формулой в этом случае является теорема Пифагора. Треугольник, который образуется при проведении диагонали, считается прямоугольный (неравносторонний, а разносторонний). Решается задача следующим образом:
Находится неизвестная сторона: b =(d 2 — a 2 )^(1/2) = (100 — 36)^(1/2) = 8 (м).
Площадь (произведение сторон): S = 6 * 8 = 48 (м 2 ).
Можно использовать двойную формулу Герона, однако метод усложняет вычисления. Для сравнения скорости и объема вычислений следует решить задачу вторым способом:
Значение площади будет вычисляться таким образом: S = 2 * [12 * (12−6) * (12−8) * (12−10)]^(1/2) = 2 * 24 = 48 (м 2 ).
Второй способ считается неправильным, поскольку необходимо во всех задачах оптимизировать вычисления. Сложным типом задачи, кроме интегрирования, считается нахождение площади, когда неизвестны стороны, а известна только диагональ (10). Известно также, что одна из сторон больше другой на 3 метра. В этом случае надо выражать одну сторону через другую. Алгоритм решения следующий:
Раскрыть скобки: x 2 — 3x — 10 = 0.
Нахождение дискриминанта: D = b 2 — 4* a * c = 9 — (4 * 10) 2 ). Однако берется не исходное значение, а приближенное. Его нужно округлять только в большую сторону, т. е. править 3,75 на значение 4. Следует руководствоваться таким правилом: результат округляется в большую сторону.
Таким образом, для расчета площади прямоугольника можно воспользоваться формулой, а не выполнять интегрирование. Однако перед этим нужно внимательно изучить основные понятия и математические отношения.