Что значит описанный четырехугольник
Описанные четырехугольники
AH = AE, BF = BE, CF = CG, DH = DG,
Складывая эти равенства, получим:
AH + BF + CF + DH =
= AD + BC,
AE + BE + CG + DG =
= AB + CD,
то справедливо равенство
что и требовалось доказать.
Следовательно, справедливы равенства
Окружность касается касается стороны BC (рис.4).
В этом случае четырёхугольник ABCD описан около окружности, и теорема доказана.
Рассмотрим случай 2а и приведём его к противоречию. В этом случае в силу того, что четырёхугольник ABKD является описанным, а также по условию теоремы справедливы равенства:
Совершенно аналогичные рассуждения позволяют заключить, что случай 2b также невозможен.
Итак, возможен и реализуется лишь случай 1.
Из доказательства теоремы 2 непосредственно вытекает
В следующей таблице приводятся примеры четырёхугольников, в которые можно вписать окружность. Доказательства утверждений непосредственно вытекают из теорем 1 и 2 и предоставляются читателю в качестве несложных упражнений.
Примеры описанных четырёхугольников
| Фигура | Рисунок | Утверждение |
| Ромб |  | В любой ромб можно вписать окружность |
| Квадрат |  | В любой квадрат можно вписать окружность |
| Прямоугольник |  | В прямоугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является квадратом |
| Параллелограмм |  | В параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом |
| Дельтоид |  | В любой дельтоид можно вписать окружность |
| Трапеция |  | В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у трапеции сумма длин боковых сторон рана сумме длин оснований |
В любой квадрат можно вписать окружность
В прямоугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является квадратом
В параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом
В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у трапеции сумма длин боковых сторон рана сумме длин оснований
Описанный четырехугольник
Сегодня ты узнаешь некоторые теоремы, которые помогут тебе в решении, казалось бы, сложных задач по геометрии.
Но после прочтения этой статьи они станут легкими!
Ведь ты будешь знать все об описанном четырехугольнике!
Коротко о главном
Четырехугольник называется описанным, если существует окружность, касающаяся всех его сторон.
В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны.
В буквах: \( \large AB+CD=AD+BC\)
Если в параллелограмм можно вписать окружность, то это – ромб.
Что такое описанный четырехугольник
Посмотри — сперва нарисуем:
Четырехугольник называется описанным, если существует окружность, касающаяся всех его сторон.
А что, разве не всегда существует такая окружность?
Ведь вон треугольник-то всегда является описанным – потому что во всякий треугольник можно вписать окружность. Чем же четырехугольник-то хуже? И вот оказывается, что чем-то, да хуже.
Представь себе, например, длинный прямоугольник.
Как вот в него, спрашивается, можно вписать окружность? Конечно, никак. И это лишь один из примеров четырехугольника, в которой НЕЛЬЗЯ вписать окружность.
А в какие же можно? Вот, оказывается есть такая теорема (утверждение то есть).
В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны.
Вот как это записывается в буквах:
\( \displaystyle a+c=b+d\)
или (то же самое)
\( \displaystyle AB+CD=AD+BC\)
Для лучшего понимания давай в буквальном смысле разберём на кусочки описанный четырехугольник. Смотри: пусть в четырехугольнике 𝐴𝐵𝐶𝐷 «сидит» окружность.
Но тогда у нас есть огромное количество касательных! Ты ещё помнишь, что отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны? Ну, вот, значит
\( \displaystyle BK=BN\) (обозначим \( \displaystyle x\))
\( \displaystyle CK=CL\) (обозначим \( \displaystyle y\))
\( \displaystyle DL=DM\) (обозначим \( \displaystyle z\))
\( \displaystyle AM=AN\) (обозначим \( \displaystyle u\))
А теперь получилось, что
\( \displaystyle \left| \begin
\( \displaystyle \left| \begin
То есть \( \displaystyle AB+CD=AD+BC\)! Здорово, правда?
А теперь получим простое, но красивое следствие из этой теоремы.
Следствие. Если в параллелограмм можно вписать окружность, то это ромб.
Почему? Давай разберёмся. Пусть есть параллелограмм \( \displaystyle ABCD\).
Раз параллелограмм, то \( \displaystyle AB=CD,
AD=BC\) (вспоминаем свойства параллелограмма). Обозначим \( \displaystyle \text
А теперь применим теорему. \( \displaystyle ABCD\) описанный \( \displaystyle \Rightarrow a+a=b+b\), то есть \( \displaystyle a=b\) – вот и получился ромб.
Видишь, как сработала теорема?
Вот и ты, если видишь в задачке надпись «в четырёхугольник вписана окружность» или, конкретнее, скажем, «в трапецию вписана окружность», то сразу вспоминай, что \( \displaystyle AB+CD=AD+BC\), – и задача решится!
Ну… или не сразу решится, но этот факт непременно тебе поможет.
Доказательство теоремы об окружности, вписанной в четырехугольник
Четырехугольник называется описанным, если существует окружность, касающаяся всех его сторон.
Давай прежде всего осознаем, что, в отличие от треугольника, далеко не во всякий четырехугольник можно поместить окружность так, чтобы она касалась всех его сторон.
А раз так, то математики, конечно же, не могли успокоиться, пока не придумали теорему, которая сообщит нам, что же такое нужно требовать от четырехугольника, чтобы в него можно было поместить окружность, касающуюся всех сторон.
И вот эта теорема:
В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны.
\( \large a+c=b+d\)
или (в других буквах)
\( \large AB+CD=AD+BC\)
Заметь, что (как всегда) слова «тогда и только тогда» означают сразу два утверждения: «туда» и «обратно». Итак, если подробнее, то теорема утверждает:
(Вспоминаем Алису с безумным шляпником и их «ем то, что вижу» и «вижу то, что ем»)
А теперь – доказательство!
Пункт 1 вообще ОЧЕНЬ лёгкий. Смотри:
Пусть в \( ABCD\) вписана окружность. Тогда получается из точек \( A,B,C,\) и \( D\) проведено по две касательных, которые равны!
(Вспоминаем о равенстве отрезков касательных проведённых из одной точки)
\( \displaystyle BK=BN\) (обозначим \( x\))
\( \displaystyle CK=CL\) (обозначим \( y\))
\( \displaystyle DL=DM\) (обозначим \( z\))
\( \displaystyle AM=AN\) (обозначим \( u\))
И теперь получается, что
\( \displaystyle \Rightarrow AB+CD=AD+BC!\)
Обе этих суммы состоят из одинаковых кусочков, просто взятых в разном порядке.
Готово: пункт 1 доказали.
А теперь, наоборот, пункт 2.
Пусть в \( \displaystyle ABCD\) выполняется \( \displaystyle AB+CD=AD+BC\)
Чтобы что-то понять, впишем окружность сперва в такую «кастрюлю» – \( \displaystyle ABCD\) без стороны \( \displaystyle AD\).
Обрати внимание, что это всегда можно сделать – центром \( \displaystyle O\) такой окружности будет пересечение биссектрис углов \( \displaystyle B\) и \( \displaystyle C\).
Ну вот, в «кастрюле» сидит окружность. При этом сторона \( \displaystyle AD\), если она НЕ касается этой окружности, может либо пересекать её, либо вовсе не иметь с ней общих точек.
Разберём эти случаи и убедимся, что оба они ведут к противоречию.
Пусть \( \displaystyle AD\) пересекает окружность. Давай тогда проведём \( \displaystyle A<
По пункту 1 для четырехугольника \( \displaystyle ABC<
а по условию для четырехугольника \( \displaystyle ABCD\)
Значит (вычитаем нижнее равенство из верхнего)
То есть \( \displaystyle D<
Но так СОВСЕМ не может быть – нарушается неравенство треугольника для \( \Delta AD<
Вот и противоречие. Поэтому точно выяснили, что \( AD\) НЕ МОЖЕТ пересекать окружность.
Пусть теперь \( AD\) «не дотягивается» до окружности:
Свойства вписанных и описанных четырёхугольников
Пусть в окружность с центром О вписан четырёхугольник ABCD (рис. 412). Требуется доказать, что ∠А + ∠С = 180° и ∠В + ∠D = 180°.
∠А, как вписанный в окружность О, измеряется 1 /2\(\breve
∠С, как вписанный в ту же окружность, измеряется 1 /2\(\breve
Следовательно, сумма углов А и С измеряется полусуммой дуг BCD и BAD в сумме же эти дуги составляют окружность, т.е. имеют 360°.
Отсюда ∠А + ∠С = 360° : 2 = 180°.
Аналогично доказывается, что и ∠В + ∠D = 180°. Однако это можно вывести и иным путём. Мы знаем, что сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника равна 360°. Сумма углов Аи С равна 180°, значит, на сумму других двух углов четырёхугольника остаётся тоже 180°.
Теорема 2 (обратная). Если в четырёхугольнике сумма двух противоположных углов равна 180°, то около такого четырёхугольника можно описать окружность.
Пусть сумма противоположных углов четырёхугольника ABCD равна 180°, а именно
∠А + ∠С = 180° и ∠В + ∠D = 180°(рис. 412).
Докажем, что около такого четырёхугольника можно описать окружность.
Доказательство. Через любые 3 вершины этого четырёхугольника можно провести окружность, например через точки А, В и С. Где будет находиться точка D?
Точка D может занять только одно из следующих трёх положений: оказаться внутри круга, оказаться вне круга, оказаться на окружности круга.
Допустим, что вершина окажется внутри круга и займёт положение D’ (рис. 413). Тогда в четырёхугольнике ABCD’ будем иметь:
Продолжив сторону AD’ до пересечения с окружностью в точке Е и соединив точки Е и С, получим вписанный четырёхугольник АВСЕ, в котором по прямой теореме
Из этих двух равенств следует:
но этого быть не может, так как ∠D’, как внешний относительно треугольника CD’E, должен быть больше угла Е. Поэтому точка D не может оказаться внутри круга.
Так же доказывается, что вершина D не может занять положение D» вне круга (рис. 414).
Остаётся признать, что вершина D должна лежать на окружности круга, т. е. совпасть с точкой Е, значит, около четырёхугольника ABCD можно описать окружность.
1. Вокруг всякого прямоугольника можно описать окружность.
2. Вокруг равнобедренной трапеции можно описать окружность.
В обоих случаях сумма противоположных углов равна 180°.
Требуется доказать, что АВ + CD =AD + ВС. Обозначим точки касания буквами М, N, К, Р, На основании свойств касательных, проведённых к окружности из одной точки, имеем:
Сложим почленно эти равенства. Получим:
АР + ВР + DN + CN = АК + ВМ +DK + СМ,
т. е. АВ + CD = AD + ВС, что и требовалось доказать.
Вписанная в четырехугольник окружность
Описанный четырехугольник — это четырехугольник, все стороны которого касаются окружности. При этом окружность называется вписанной в четырехугольник.
Какими свойствами обладает вписанная в четырехугольник окружность? Когда в четырехугольник можно вписать окружность? Где находится центр вписанной окружности?
В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противолежащих сторон равны.
В четырехугольник ABCD можно вписать окружность, если
И обратно, если суммы противоположных сторон четырехугольника равны:
то в четырехугольник ABCD можно вписать окружность.
Центр вписанной в четырехугольник окружности — точка пересечения его биссектрис.
O — точка пересечения биссектрис четырехугольника ABCD.
AO, BO, CO, DO — биссектрисы углов четырехугольника ABCD,
то есть ∠BAO=∠DAO, ∠ABO=∠CBO и т.д.
3. Точки касания вписанной окружности, лежащие на сторонах, выходящих из одной вершины, равноудалены от этой вершины.
AM=AN,
5. Площадь четырехугольника связана с радиусом вписанной в него окружности формулой
где p — полупериметр четырехугольника.
Так как суммы противолежащих сторон описанного четырехугольника равны, полупериметр равен любой из пар сумм противолежащих сторон.
Например, для четырехугольника ABCD p=AD+BC или p=AB+CD и
Соответственно, радиус вписанной в четырехугольник окружности равен
Четырехугольники, вписанные в окружность. Теорема Птолемея
Вписанные четырёхугольники и их свойства
Теорема 1 доказана.
Случай, когда точка D оказывается лежащей вне круга, рассматривается аналогично.
Теорема 2 доказана.
Перечисленные в следующей таблице свойства вписанных четырёхугольников непосредственно вытекают из теорем 1 и 2.
