Угольник что это такое математика

Все внешние углы правильного
n – угольника равны

Доказательства свойств углов многоугольника

Получим n треугольников:

что и требовалось доказать.

В соответствии рисунком 6 справедливы равенства

Источник

Многоугольники

Многоугольник — это геометрическая фигура, ограниченная замкнутой ломаной линией, не имеющей самопересечений.

Звенья ломаной называются сторонами многоугольника, а её вершины — вершинами многоугольника.

Углами многоугольника называются внутренние углы, образованные соседними сторонами. Число углов многоугольника равно числу его вершин и сторон.

Многоугольникам даются названия по количеству сторон. Многоугольник с наименьшим количеством сторон называется треугольником, он имеет всего три стороны. Многоугольник с четырьмя сторонами называется четырёхугольником, с пятью — пятиугольником и т. д.

Обозначение многоугольника составляют из букв, стоящих при его вершинах, называя их по порядку (по часовой или против часовой стрелки). Например, говорят или пишут: пятиугольник ABCDE :

В пятиугольнике ABCDE точки A, B, C, D и E — это вершины пятиугольника, а отрезки AB, BC, CD, DE и EA — стороны пятиугольника.

Выпуклые и вогнутые

Многоугольник называется выпуклым, если ни одна из его сторон, продолженная до прямой линии, его не пересекает. В обратном случае многоугольник называется вогнутым:

Периметр

Сумма длин всех сторон многоугольника называется его периметром.

Периметр многоугольника ABCDE равен:

Если у многоугольника равны все стороны и все углы, то его называют правильным. Правильными многоугольниками могут быть только выпуклые многоугольники.

Диагональ

Диагональ многоугольника — это отрезок, соединяющий вершины двух углов, не имеющих общей стороны. Например, отрезок AD является диагональю:

Единственным многоугольником, который не имеет ни одной диагонали, является треугольник, так как в нём нет углов, не имеющих общих сторон.

Если из какой-нибудь вершины многоугольника провести все возможные диагонали, то они разделят многоугольник на треугольники:

Треугольников будет ровно на два меньше, чем сторон:

где t — это количество треугольников, а n — количество сторон.

Разделение многоугольника на треугольники с помощью диагоналей используется для нахождения площади многоугольника, так как чтобы найти площадь какого-нибудь многоугольника, нужно разбить его на треугольники, найти площадь этих треугольников и полученные результаты сложить.

Источник

Многоугольники

Многоугольник — это геометрическая фигура, обычно определяемая как часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной. Если граничная ломаная не имеет точек самопересечения, многоугольник называется простым.

Содержание:

Общее понятие многоугольника

На рисунке 2.111 изображена замкнутая ломаная L с произвольным числом звеньев; эта ломаная разбивает множество не принадлежащих ей точек плоскости на две части. Их называют внутренней и внешней областями относительно этой ломаной. На рисунке 2.111 внутренняя область закрашена.

Две любые точки, лежащие в одной и той же области, можно соединить отрезком или ломаной, не пересекающей данную замкнутую ломаную (рис. 2.112). Для точек разных областей этого сделать нельзя.

Во внешней области найдется прямая, которая вся расположена в этой области. Во внутренней области такой прямой нет.

Определение. Объединение замкнутой ломаной и ее внутренней области называют многоугольником.

Саму ломаную называют границей многоугольника, а ее внутреннюю область — внутренней областью многоугольника. Звенья границы многоугольника называют сторонами многоугольника, а вершины — вершинами многоугольника.

Треугольник — это самый простой многоугольник, имеющий наименьшее число вершин и сторон — три. Далее идут четырехугольники. Они бывают различными (рис. 2.113).

Многоугольники с большим числом сторон (пятиугольники, шестиугольники и т.д.) уже не имеют столько разновидностей, как четырехугольники. Есть только различия в длинах их сторон и величине углов.

Отрезок, соединяющий две несоседние вершины многоугольника, называют его диагональю.

На рисунке 2.114 изображены диагонали АС и AD пятиугольника ABCDE.

В геометрии различают выпуклые и невыпуклые многоугольники.

Определение. Многоугольник называют выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, содержащей его сторону.

На рисунке 2.115 изображен невыпуклый многоугольник, а на рисунке 2.116 — выпуклый многоугольник, исходя из данного определения.

Углы многоугольника

Пусть дан многоугольник. Рассмотрим его вершину А и два луча АВ и AD, выходящие из вершины А и содержащие стороны АВ и AD данного многоугольника (рис. 2.117). Два луча с общим началом, как известно, задают два угла.

Тот из углов, которому принадлежит сам многоугольник ABCD, называют его внутренним углом (рис. 2.118).

Для краткости внутренним углом многоугольника иногда называют и величину этого угла. Ясно, что у каждого -угольника есть внутренних углов (иногда слово «внутренний» опускают).

Можно доказать две теоремы о свойствах внутренних углов выпуклых многоугольников.

Теорема 24. У выпуклого многоугольника каждый угол меньше 180°.

Теорема 25. Сумма внутренних углов выпуклого -угольника равна ( — 2)180°.

Параллелограмм

Определение. Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны, т. е. лежат на параллельных прямых.

На рисунке 2.119 четырехугольник ABCD — параллелограмм, у него АВ || DC и ВС || AD.

Используя определение параллелограмма и другие знания, можно доказать свойства параллелограмма:

— сумма внутренних углов параллелограмма равна 4d;

— каждая диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.

Можно доказать теорему о центре симметрии параллелограмма — еще одно свойство параллелограмма.

Теорема 26. Середина диагонали параллелограмма является его центром симметрии.

Из теоремы 26 можно получить следующие следствия.

Следствие 1. Противоположные стороны параллелограмма попарно равны.

Следствие 2. Противоположные углы параллелограмма попарно равны.

Признаки параллелограмма отвечают на вопрос: что надо знать о четырехугольнике, чтобы утверждать, что он является параллелограммом?

Теорема 27. Четырехугольник является параллелограммом, если он имеет две пары равных противоположных сторон.

Теорема 28. Четырехугольник является параллелограммом, если его диагонали, пересекаясь, делятся пополам.

Теорема 29. Четырехугольник является параллелограммом, если две его противоположные стороны равны и параллельны.

Используя свойства параллелограммов, можно доказать очень важную теорему геометрии — теорему Фалеса.

Теорема 30 (теорема Фалеса). Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Используя теорему Фалеса, можно легко разделить любой отрезок на любое число равных отрезков.

Пример 1.

Периметр параллелограмма равен 122 см. Одна из его сторон больше другой на 25 см. Найдите стороны параллелограмма.

Решение:

Из условия задачи имеем:

1. ABCD — параллелограмм.

2. Периметр параллелограмма равен 122 см.

3. ВС больше CD на 25 см.

4. Найдите стороны параллелограмма.

При решении этой задачи может помочь так называемый алгебраический метод. Его суть в следующем.

5. Обозначим одну сторону параллелограмма х, другую — у.

6. Получим систему: (1, 2, 3, 5).

7. Решая эту систему, получим х = 43, у = 18.

8. Стороны параллелограмма равны 18 и 43 см (5, 7).

Пример 2.

Разделите отрезок OA на пять равных отрезков.

Решение:

Из условия задачи имеем:

1. Отрезок OA (дан) (рис. 2.120).

2. Проведем через точку О луч и отложим на нем последовательно пять равных отрезков (рис. 2.121):

3. Проведем прямую и через точки — четыре прямые, параллельные этой прямой (рис. 2.122).

4. Эти прямые разделяют отрезок OA на пять равных отрезков (1, 2, 3, теорема 30).

Прямоугольник и квадрат

Определение. Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые.

Определение. Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Прямоугольник обладает следующими свойствами:

— серединные перпендикуляры к сторонам прямоугольника являются его осями симметрии (рис. 2.123);

— у прямоугольника есть две оси симметрии (рис. 2.124);

— диагонали прямоугольника равны.

Справедлива следующая теорема:

Теорема 31. Около прямоугольника всегда можно описать окружность.

Так как квадрат является прямоугольником (по определению), то у него есть две оси симметрии — серединные перпендикуляры к его сторонам; можно также доказать, что диагонали квадрата также являются его осями симметрии (рис. 2.125).

Пример 1.

Сторона прямоугольника равна 4 см и образует с диагональю угол 60°. Найдите эту диагональ.

Решение:

Из условия задачи имеем:

1. ABCD — прямоугольник.

2. ВС = 4 см. (рис. 2.126)

3.

5. — прямоугольный, в нем катет ВС = 4 см, a По свойству катета, лежащего в прямоугольном треугольнике против угла 30°, (1, 2, 3).

Определение. Параллелограмм, все стороны которого равны, называют ромбом.

На рисунке 2.127 изображен параллелограмм ABCD, у которого АВ = ВС = CD = DA. По определению этот параллелограмм является ромбом.

Так как ромб — параллелограмм, то он обладает всеми свойствами параллелограмма. Кроме того, у ромба есть и другие свойства.

Теорема 32. Прямая, содержащая диагональ ромба, является его осью симметрии (рис. 2.128).

Используя теорему 32, можно доказать следующие следствия — свойства ромба.

Следствие 1. Диагонали ромба делят его углы пополам.

Следствие 2. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

Квадрат является ромбом, поэтому он обладает свойствами как прямоугольника, так и ромба.

Пример:

Найдите углы ромба, если основание перпендикуляра, опущенного из вершины тупого угла, делит сторону ромба пополам.

Решение:

Из условия задачи имеем:

2. AKCD. (рис. 2.129)

4. Найдите углы ромба.

5. АВ = ВС = DC = DA (1, определение ромба).

Нужно использовать данные п. 2 и 3. Это подсказывает дополнительное построение:

6. Проведем диагональ ромба BD (рис. 2.130).

7. — равнобедренный с основанием BD (5, 6, определение равнобедренного треугольника).

8. — равнобедренный с основанием AD (2, 3, признак равнобедренного треугольника).

9. — равносторонний (7,8).

10. (9).

11. (1,10).

Трапеция

Определение. Четырехугольник, две стороны которого параллельны, а две другие не параллельны, называется трапецией.

На рисунке 2.131 изображена трапеция ABCD. Параллельные стороны трапеции называют ее основаниями, а непараллельные — боковыми сторонами (на рис. 2.131 ВС и AD — основания, АВ и CD — боковые стороны).

Определение. Если боковые стороны трапеции равны, то трапеция называется равнобедренной.

На рисунке 2.132 АВ = CD, значит, трапеция равнобедренная.

Определение. Трапецию, один из углов которой прямой, называют прямоугольной.

На рисунке 2.133 угол К прямой, значит, трапеция KLMN прямоугольная.

Определение. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется средней линией трапеции.

На рисунке 2.134 точки М и N — середины боковых сторон трапеции. Значит, MN — средняя линия ABCD.

Средняя линия трапеции обладает некоторыми свойствами: средняя линия трапеции параллельна основаниям, а длина ее равна полусумме длин оснований.

Пример:

Докажите, что середины сторон равнобедренной трапеции являются вершинами ромба.

Решение:

Из условия задачи имеем:

1. ABCD — равнобедренная трапеция, АВ = DC.

2. М, N, Р, К — середины сторон трапеции ABCD.

3. MNPK — четырехугольник.

4. MNPK — ромб (требуется доказать).

Чтобы доказать, что MNPK — ромб, нужно доказать, что MN || КР, МК || NP и что MN = NP =

= РК = КМ. Как это сделать? Помогает п. 2 и понятие средней линии треугольника.

5. Проведем диагонали АС и BD трапеции (построение) (рис. 2.136).

7. MN || AC, (5, теорема 7).

8. КР || AC, (5,теорема 7).

9. MN || КР и MN = КР (7, 8). Аналогично получаем, что МК || NP и МК = NP. Учитывая п. 6, задача решена.

Правильные многоугольники

Определение. Многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны, называют правильным.

На рисунке 2.137 изображены правильные треугольник, четырехугольник, пятиугольник, шестиугольник, восьмиугольник и десятиугольник.

По теореме 25 о сумме внутренних углов многоугольников можно вычислить величину каждого угла правильных многоугольников: для правильного треугольника — 60°, для правильного четырехугольника (квадрата) — 90°, для правильного пятиугольника — 108°, для правильного шестиугольника — 120°.

Пользуясь этим методом, можно узнать величину каждого угла любого правильного -угольника при любом . Кроме того, можно решить и обратную задачу: зная сумму углов правильного многоугольника, можно найти число его сторон.

Эта лекция взята со страницы полного курса лекций по изучению предмета «Математика»:

Смотрите также дополнительные лекции по предмету «Математика»:

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Источник

• ← осетр русский образ жизни
• сколько дней в первом полугодии 2021 всего →