Лекции Тройной интеграл
Тройной интеграл, его свойства.
Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах.
Замена переменных в тройном интеграле. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах.
Вычисление тройного интеграла в сферических координатах.
S = 
Определение. Тройным интегралом от функции f(x, y, z) по области V называется предел интегральной суммы 
, если он существует.
Таким образом,
(1)
В дальнейшем будем считать, что все рассматриваемые тройные интегралы существуют.
Некоторые свойства тройного интеграла.
1) Если С – числовая константа, то
3) Аддитивность по области. Если область V разбита на области V 1 и V2, то
.
4) Объем тела V равен
( 2 )
Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах.
Такое тело назовем z-цилиндрическим. Тройной интеграл (1) по z-цилиндрическому телу V вычисляется переходом к повторному интегралу, состоящему из двойного и определенного интегралов:
( 3 )
В этом повторном интеграле сначала вычисляется внутренний определенный интеграл по переменной z, при этом x, y считаются постоянными. Затем вычисляется двойной интеграл от полученной функции по области D.
Если V x-цилиндрическое или y-цилиндрическое тело, то верны соответственно формулы
Решение. Вычислим объём при помощи тройного интеграла по формуле (2) 
Перейдем к повторному интегралу по формуле (3).
Для вычисления этого интеграла перейдем к полярным координатам. При этом круг D преобразуется во множество
Тройной интеграл с примерами решения и образцами выполнения
Обобщением определенного интеграла на случай функции трех переменных является так называемый «тройной интеграл».
Теория тройного интеграла аналогична теории двойного интеграла. Поэтому изложим ее в несколько сокращенном виде.
Пусть в замкнутой области V пространства Oxyz задана непрерывная функция и = f(x;y;z). Разбив область V сеткой поверхностей на п частей 
и выбрав в каждой из них произвольную точку 
, составим интегральную сумму 
для функции 
по области V (здесь 
— объем элементарной области 
).
Если предел интегральной суммы существует при неограниченном увеличении числа п таким образом, что каждая «элементарная область» стягивается в точку (т. е. диаметр области 
стремится к нулю, т.е. 
), то его называют тройным интегралом от функции и = f(х;у;z) по области V и обозначают
Таким образом, по определению, имеем:
Здесь dv = dx dy dz — элемент объема.
Теорема:
Если функция и = f(x;y,z) непрерывна в ограниченной замкнутой области V, то предел интегральной суммы (54.1) при 
существует и не зависит ни от способа разбиения области V на части, ни от выбора точек в них.
Тройной интеграл обладает теми же свойствами, что и двойной интеграл:
а пересечение 
состоит из границы, их разделяющей.
4. 
если в области V функция 
Если в области интегрирования 
то и
5.
так как в случае 
любая интегральная сумма имеет вид 
и численно равна объему тела.
6. Оценка тройного интеграла:
где m и М — соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x;y;z) в области V.
7. Теорема о среднем значении: если функция f(x; у, z) непрерывна в замкнутой области V, то в этой области существует такая точка 
, что
где V — объем тела.
Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах
В декартовых координатах вычисление тройного интеграла сводится к последовательному вычислению трех определенных интегралов.
Пусть областью интегрирования V является тело, ограниченное снизу поверхностью 
, сверху — поверхностью 
, причем 
— непрерывные функции в замкнутой области D, являющейся проекцией тела на плоскость Оху (см. рис. 225). Будем считать область V — правильной в направлении оси Oz: любая прямая, параллельная оси Oz, пересекает границу области не более чем в двух точках. Тогда для любой непрерывной в области V функции f(х; у, z) имеет место формула
сводящая вычисление тройного интеграла к вычислению двойного интеграла от однократного (доказательство формулы (54.2) не приводим). При этом сначала вычисляется внутренний интеграл по переменной г при постоянных х и у в пределах изменения z. Нижней границей интеграла является аппликата точки А — точки входа прямой, параллельной оси Oz в область V, т. е. ; верхней границей — аппликата точки В — точки выхода прямой из области V, т. е. . Результат вычисления этого интеграла есть функция двух переменных: х и у.
Если область D ограничена линиями 
и 
— непрерывные на отрезке [а, b] функции, причем 
(см. рис. 226), то, переходя от двойного интеграла по области D к повторному, получаем формулу
по которой вычисляется тройной интеграл в декартовых координатах.
Замечания:
Пример:
где V ограничена плоскостями х = 0, у =0, z = 1, x + y + z = 2 (рис. 227).
Решение:
Область V является правильной в направлении оси Oz (как, заметим, и в направлении осей Ох и Оу). Ее проекция на плоскость Оху является правильной в направлении оси Оу (и оси Ох). Согласно формуле (54.3), имеем:
Замена переменных в тройном интеграле. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических и сферических координатах
При вычислении тройного интеграла, как и двойного, часто применяется метод подстановки, т. е. совершается преобразование переменных.
Пусть совершена подстановка
Если эти функции имеют в некоторой области 
пространства Ouvw непрерывные частные производные и отличный от нуля определитель
то справедлива формула замены переменных в тройном интеграле:
Здесь I(u; v;w) — определитель Якоби, или якобиан преобразования (примем без доказательства).
Для вычисления тройного интеграла часто используют так называемые цилиндрические координаты.
Положение точки М(х; у; z) в пространстве Oxyz можно определить заданием трех чисел 
где r — длина радиуса-вектора проекции точки М на плоскость Оху, 
— угол, образованный этим радиусом-вектором с осью Ox, z — аппликата точки М (см. рис. 228).
Эти три числа () называются цилиндрическими координатами точки М.
Цилиндрические координаты точки связаны с ее декартовыми координатами следующими соотношениями:
Возьмем в качестве и, v, w цилиндрические координаты и вычислим якобиан преобразования:
Формула замены переменных (54.4) принимает вид
Таким образом, вычисление тройного интеграла приводится к интегрированию по r, по и по z аналогично тому, как это делается в декартовых координатах.
Замечание:
К цилиндрическим координатам бывает удобно перейти в случае, если область интегрирования образована цилиндрической поверхностью.
Пример:
Вычислить 
— область, ограниченная верхней частью конуса 
и плоскостью z = 1.
Решение:
На рис. 229 изображена область интегрирования V. Вычислим интеграл путем перехода к цилиндрическим координатам: 
Здесь 
Уравнение конуса примет вид 
Уравнение окружности 
(границы области D) запишется так: r= 1. Новые переменные изменяются в следующих пределах: r— от 0 до 1, — от 0 до 
, a z — от r до 1 (прямая, параллельная оси Oz, пересекающая область D, входит в конус z =r и выходит из него на высоте z = 1).
Таким образом, согласно формуле (54.5), получаем:
Заметим, что, не переходя к цилиндрическим координатам, получим:
Сферическими координатами точки М(х; у; z) пространства Oxyz называется тройка чисел 
где р — длина радиуса-вектора точки 
— угол, образованный проекцией радиуса-вектора 
на плоскость Оху и осью Ох, в — угол отклонения радиуса-вектора от оси Oz (см. рис. 230).
Сферические координаты связаны с декартовыми координатами х, у, z соотношениями:
В некоторых случаях вычисление тройного интеграла удобно производить, перейдя к сферическим координатам. Для этого нужно воспользоваться формулой замены переменных в тройном интеграле (54.4). Так как якобиан преобразования
Замечание:
Переходить к сферическим координатам удобно, когда область интегрирования V есть шар (уравнение его границы 
в сферических координатах имеет вид р = R) или его часть, а также если подынтегральная функция имеет вид 
Пример 54.3. Вычислить
где V — шар 
Решение:
Вычислим интеграл путем перехода к сферическим координатам: 
Тогда
Граница области V — сфера и ее уравнение имеет вид р = 1, подынтегральная функция после замены переменных примет вид 
Новые переменные изменяются в следующих пределах: р —от 0 до 1, у — от 0 до , 
Таким образом, согласно формуле (54.6),
Некоторые приложения тройного интеграла Объем тела
Объем области V выражается формулой 
или 
— в декартовых координатах,
Масса тела
Масса тела m при заданной объемной плотности 
вычисляется с помощью тройного интеграла как
где 
— объемная плотность распределения массы в точке M
Статические моменты
Моменты 
тела относительно координатных плоскостей Оху, Oxz, Oyz вычисляются по формулам
Центр тяжести тела
Координаты центра тяжести тела V находятся по формулам
Моменты инерции тела
Моменты инерции тела относительно координатных плоскостей вычисляются по формулам
а моменты инерции относительно координатных осей:
Пример:
Найти объем тела, ограниченного поверхностями
Решение:
Данное тело ограничено сверху плоскостью z = 1, снизу — параболоидом 
(см. рис. 231). Объем тела находим, используя цилиндрические координаты:
Пример:
Найти массу шара 
, если плотность в каждой точке шара обратно пропорциональна расстоянию от нее до начала координат (дополнительно: найти координаты центра тяжести).
Решение:
Уравнение сферы 
можно записать так: 
Центр шара расположен в точке 
(см. рис. 232). Пусть M(x;y;z) — произвольная точка шара. Тогда, по условию, плотность определяется формулой
где k — коэффициент пропорциональности, 
— расстояние от точки М до начала координат.
Итак,
Вычислять интеграл будем в сферических координатах. Уравнение сферы 
примет вид 
Поэтому сферические координаты будут изменяться в следующих пределах:
Подынтегральная функция примет вид 
Поэтому
Из соображений симметрии следует, что 
вычислив интеграл 
найдем 
Итак, координаты центра тяжести 
Тройной интеграл
Решение заданий и задач по предметам:
Дополнительные лекции по высшей математике:
Образовательный сайт для студентов и школьников
Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.
© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института
