Тригонометрия что это алгебра или геометрия

Тригонометрия простыми словами

Официальное объяснение тригонометрии вы можете почитать в учебниках или на других интернет сайтах, а в этой статье мы хотим объяснить суть тригонометрии «на пальцах».

Для удобства работы с тригонометрическими функциями был придуман тригонометрический круг, который представляет собой окружность с единичным радиусом (r = 1).

Тогда проекции радиуса на оси X и Y (OB и OA’) равны катетам построенного треугольника ОАВ, которые в свою очередь равны значениям синуса и косинуса данного угла.

Тангенс и котангенс получаются соответстсвенно из треугольников OCD и OC’D’, построенных подобно исходному треугольнику OAB.

Для упрощения обучения тригонометрическим функциям в школе используют только некоторые удобные углы в 0°, 30°, 45°, 60° и 90°.

Значения тригонометрических функций повторяются каждые 90° и в некоторых случаях меняя знак на отрицательный.

Достаточно запомнить значения некоторых важных углов и понять принцип повтора значений для бОльших углов.

Значения тригонометрических функций
для первой четверти круга (0° – 90°)

Принцип повтора знаков тригонометрических функций

Угол может быть как положительный, так и отрицательный. Отрицательный угол считается угол, откладываемый в противоположную сторону.

В виду того, что полная окружность составляет 360°, значения тригонометрических функций углов, описывающих одинаковое положение радиуса, РАВНЫ.

Для лучшего понимания и запоминания значений тригонометрических функций воспользуйтесь динамическим макетом тригонометрического круга ниже. Нажимая кнопки «+» и «–» значения угла будут увеличиваться или уменьшаться соответственно.

Тригонометрический круг

Углы в радианах

Чтобы закрепить свои знания и проверить себя, воспользуйтесь онлайн-тренажером для запоминания значений тригонометрических функций.

Источник

Тригонометрия

Тригонометрические вычисления применяются практически во всех областях геометрии, физики и инженерного дела. Большое значение имеет техника триангуляции, позволяющая измерять расстояния до недалёких звёзд в астрономии, между ориентирами в географии, контролировать системы навигации спутников. Также следует отметить применение тригонометрии в таких областях, как теория музыки, акустика, оптика, анализ финансовых рынков, электроника, теория вероятностей, статистика, биология, медицина (включая ультразвуковое исследование (УЗИ) и компьютерную томографию), фармацевтика, химия, теория чисел (и, как следствие, криптография), сейсмология, метеорология, океанология, картография, многие разделы физики, топография и геодезия, архитектура, фонетика, экономика, электронная техника, машиностроение, компьютерная графика, кристаллография.

В Школе СССР имела статус учебного предмета.

Содержание

Определение тригонометрических функций

Первоначально тригонометрические функции были связаны с соотношениями сторон в прямоугольном треугольнике. Их единственным аргументом является угол (один из острых углов этого треугольника).

Данные определения позволяют вычислить значения функций для острых углов, то есть от 0° до 90° (от 0 до радиан). В XVIII веке Леонард Эйлер дал современные, более общие определения, расширив область определения этих функций на всю числовую ось. Рассмотрим в прямоугольной системе координат окружность единичного радиуса (см. рисунок) и отложим от горизонтальной оси угол (если величина угла положительна, то откладываем против часовой стрелки, иначе по часовой стрелке). Точку пересечения построенной стороны угла с окружностью обозначим A. Тогда:

Для острых углов новые определения совпадают с прежними.

Возможно также чисто аналитическое определение этих функций, которое не связано с геометрией и представляет каждую функцию её разложением в бесконечный ряд.

История

Древняя Греция

Древнегреческие математики в своих построениях, связанных с измерением дуг круга, использовали технику хорд. Перпендикуляр к хорде, опущенный из центра окружности, делит пополам дугу и опирающуюся на неё хорду. Половина поделенной пополам хорды — это синус половинного угла, и поэтому функция синус известна также как «половина хорды». Благодаря этой зависимости, значительное число тригонометрических тождеств и теорем, известных сегодня, были также известны древнегреческим математикам, но в эквивалентной хордовой форме.

Хотя в работах Евклида и Архимеда нет тригонометрии в строгом смысле этого слова, их теоремы представлены в геометрическом виде, эквивалентном специфическим тригонометрическим формулам. Теорема Архимеда для деления хорд эквивалентна формулам для синусов суммы и разности углов. Для компенсации отсутствия таблицы хорд математики времен Аристарха иногда использовали хорошо известную теорему, в современной записи — sin α/ sin β Средневековая Индия

Другие источники сообщают, что именно замена хорд синусами стала главным достижением Средневековой Индии. Такая замена позволила вводить различные функции, связанные со сторонами и углами прямоугольного треугольника. Таким образом, в Индии было положено начало тригонометрии как учению о тригонометрических величинах.

Индийские учёные пользовались различными тригонометрическими соотношениями, в том числе и теми, которые в современной форме выражаются как

Индийцы также знали формулы для кратных углов , , где .

Тригонометрия необходима для астрономических расчётов, которые оформляются в виде таблиц. Первая таблица синусов имеется в «Сурья-сиддханте» и у Ариабхаты. Позднее учёные составили более подробные таблицы: например, Бхаскара приводит таблицу синусов через 1°.

Южноиндийские математики в 16 веке добивались больших успехов в области суммирования бесконечных числовых рядов. По-видимому, они занимались этими исследованиями, когда искали способы вычисления более точных значений числа π. Нилаканта словесно приводит правила разложения арктангенса в бесконечный степенной ряд. А в анонимном трактате «Каранападдхати» («Техника вычислений») даны правила разложения синуса и косинуса в бесконечные степенные ряды. Нужно сказать, что в Европе к подобным результатам подошли лишь в 17-18 вв. Так, ряды для синуса и косинуса вывел Исаак Ньютон около 1666 г., а ряд арктангенса был найден Дж. Грегори в 1671 г. и Г. В. Лейбницем в 1673 г.

В 8 в. учёные стран Ближнего и Среднего Востока познакомились с трудами индийских математиков и астрономов и перевели их на арабский язык. В середине 9 века среднеазиатский учёный аль-Хорезми написал сочинение «Об индийском счёте». После того как арабские трактаты были переведены на латынь, многие идеи индийских математиков стали достоянием европейской, а затем и мировой науки.

Источник

Геометрия. Урок 1. Тригонометрия

Смотрите бесплатные видео-уроки по теме “Тригонометрия” на канале Ёжику Понятно.

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

Тригонометрия в прямоугольном треугольнике

Рассмотрим прямоугольный треугольник. Для каждого из острых углов найдем прилежащий к нему катет и противолежащий.

Синус угла – отношение противолежащего катета к гипотенузе.

sin α = Противолежащий катет гипотенуза

Косинус угла – отношение прилежащего катета к гипотенузе.

cos α = Прилежащий катет гипотенуза

Тангенс угла – отношение противолежащего катета к прилежащему (или отношение синуса к косинусу).

tg α = Противолежащий катет Прилежащий катет

Котангенс угла – отношение прилежащего катета к противолежащему (или отношение косинуса к синусу).

ctg α = Прилежащий катет Противолежащий катет

tg ∠ A = sin ∠ A cos ∠ A = C B A C

ctg ∠ A = cos ∠ A sin ∠ A = A C C B

tg ∠ B = sin ∠ B cos ∠ B = A C C B

ctg ∠ B = cos ∠ B sin ∠ B = C B A C

Тригонометрия: Тригонометрический круг

Тригонометрия на окружности – это довольно интересная абстракция в математике. Если понять основной концепт так называемого “тригонометрического круга”, то вся тригонометрия будет вам подвластна. В описании к видео есть динамическая модель тригонометрического круга.

Тригонометрический круг – это окружность единичного радиуса с центром в начале координат.

Рассмотрим прямоугольный треугольник A O B :

cos α = O B O A = O B 1 = O B

sin α = A B O A = A B 1 = A B

Итак, косинус угла – координата точки A по оси x (ось абсцисс), синус угла – координата точки A по оси y (ось ординат).

Давайте рассмотрим еще один случай, когда угол α – тупой, то есть больше 90 ° :

Ещё одно замечание.

Синус тупого угла – положительная величина, а косинус – отрицательная.

Основное тригонометрическое тождество

sin 2 α + cos 2 α = 1

Данное тождество – теорема Пифагора в прямоугольном треугольнике O A B :

A B 2 + O B 2 = O A 2

sin 2 α + cos 2 α = R 2

sin 2 α + cos 2 α = 1

Тригонометрия: Таблица значений тригонометрических функций

0 °30 °45 °60 °90 °sin α01 22 23 21cos α13 22 21 20tg α03 313нетctg αнет313 30

Тригонометрия: градусы и радианы

Как перевести градусы в радианы, а радианы в градусы? Как и когда возникла градусная мера угла? Что такое радианы и радианная мера угла? Ищите ответы в этом видео!

Тригонометрия: Формулы приведения

Тригонометрия на окружности имеет некоторые закономерности. Если внимательно рассмотреть данный рисунок,

можно заметить, что:

sin 180 ° = sin ( 180 ° − 0 ° ) = sin 0 °

sin 150 ° = sin ( 180 ° − 30 ° ) = sin 30 °

sin 135 ° = sin ( 180 ° − 45 ° ) = sin 45 °

sin 120 ° = sin ( 180 ° − 60 ° ) = sin 60 °

cos 180 ° = cos ( 180 ° − 0 ° ) = − cos 0 °

cos 150 ° = cos ( 180 ° − 30 ° ) = − cos 30 °

cos 135 ° = cos ( 180 ° − 45 ° ) = − cos 45 °

cos 120 ° = cos ( 180 ° − 60 ° ) = − cos 60 °

Рассмотрим тупой угол β :

Для произвольного тупого угла β = 180 ° − α всегда будут справедливы следующие равенства:

sin ( 180 ° − α ) = sin α

cos ( 180 ° − α ) = − cos α

tg ( 180 ° − α ) = − tg α

ctg ( 180 ° − α ) = − ctg α

Тригонометрия: Теорема синусов

В произвольном треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.

a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C

Тригонометрия: Расширенная теорема синусов

Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной вокруг данного треугольника окружности.

a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C = 2 R

Тригонометрия: Теорема косинусов

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c ⋅ cos ∠ A

b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c ⋅ cos ∠ B

c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b ⋅ cos ∠ C

Примеры решений заданий из ОГЭ

Модуль геометрия: задания, связанные с тригонометрией.

Тригонометрия: Тригонометрические уравнения

Это тема 10-11 классов.

Из серии видео ниже вы узнаете, как решать простейшие тригонометрические уравнения, что такое обратные тригонометрические функции, зачем они нужны и как их использовать. Если вы поймёте эти базовые темы, то вскоре сможете без проблем решать любые тригонометрические уравнения любого уровня сложности!

Источник

Тригонометрия

Когда-то в школе на изучение тригонометрии выделялся отдельный курс. В аттестат выставляли оценки по трём математическим дисциплинам: алгебре, геометрии и тригонометрии.

Затем в рамках реформы школьного образования тригонометрия перестала существовать как отдельный предмет. В современной школе первое знакомство с тригонометрией происходит в курсе геометрии 8 класса. Более глубокое изучение предмета продолжается в курсе алгебры 10 класса.

Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса сначала даются в геометрии через связь сторон прямоугольного треугольника.

Синусом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинусом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

Котангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение прилежащего катета к противолежащему.

Эти определения применимы только для острых углов (от 0º до 90°).

Например,

в треугольнике ABC, где ∠C=90°, BC — катет, противолежащий углу A, AC — прилежащий к углу A катет, AB — гипотенуза.

В курсе алгебры 10 класса вводятся определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса для любого угла (в том числе, отрицательного).

Рассмотрим окружность радиуса R с центром в начале координат — точке O(0;0). Точку пересечения окружности с положительным направлением оси абсцисс обозначим P₀.

В геометрии угол рассматривается как часть плоскости, ограниченная двумя лучами. При таком определении величина угла изменяется от 0° до 180°.

В тригонометрии угол рассматривают как результат поворота луча OP₀ вокруг начальной точки O.

При этом поворот луча против часовой стрелки договорились считать положительным направлением обхода, по часовой стрелке — отрицательным (это соглашение связано с истинным движением Солнца вокруг Земли).

Например, при повороте луча OP₀ вокруг точки O на угол α против часовой стрелки точка P₀ перейдёт в точку P_α,

при повороте на угол α по часовой стрелке — в точку F.

При таком определении величина угла может принимать любые значения.

Если продолжить вращение луча OP₀ против часовой стрелки, при повороте на угол α°+360°, α°+360°·2,…,α°+360°·n, где n — целое число (n∈Ζ), снова попадём в точку P_α:

Углы измеряют в градусах и в радианах.

1° — это угол, равный 1/180 части градусной меры развёрнутого угла.

1 радиан — это центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности:

Обозначения радиана обычно не пишут. Обозначение градуса в записи пропускать нельзя.

Точка P_α, полученная из точки P₀ поворотом луча OP₀ вокруг точки O на угол α против часовой стрелки, имеет координаты P_α(x;y).

Опустим из точки P_α перпендикуляр P_αA на ось абсцисс.

В прямоугольном треугольнике OP_αA:

P_αA — катет, противолежащий углу α,

OA — катет, прилежащий к углу α,

По определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса в прямоугольном треугольнике имеем:

Таким образом, в случае окружности с центром в начале координат произвольного радиуса синусом угла α называется отношение ординаты точки P_α к длине радиуса.

Косинусом угла α называется отношение абсциссы точки P_α к длине радиуса.

Тангенсом угла α называется отношение ординаты точки P_α к её абсциссе.

Котангенсом угла α называется отношение абсциссы точки P_α к её ординате.

Значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса зависят только от величины α и не зависят от длины радиуса R (это следует из подобия окружностей).

Поэтому удобно выбрать R=1.

Окружность с центром в начале координат и радиусом R=1 называется единичной.

1) Синусом угла α называется ордината точки P_α(x;y) единичной окружности:

2) Косинусом угла α называется абсцисса точки P_α(x;y) единичной окружности:

3) Тангенсом угла α называется отношение ординаты точки P_α(x;y) к её абсциссе, то есть отношение sinα к cosα (где cosα≠0):

4) Котангенсом угла α называется отношение абсциссы точки P_α(x;y) к её ординате, то есть отношение cosα к sinα (где sinα≠0):

Введённые таким образом определения позволяют рассматривать не только тригонометрические функции углов, но и тригонометрические функции числовых аргументов (если рассматривать sinα, cosα, tgα и ctgα как соответствующие тригонометрические функции угла в α радиан, то есть синус числа α — это синус угла в α радиан, косинус числа α — это косинус угла в α радиан и т.д.).

Свойства тригонометрических функций изучаются в курсе алгебры в 10 или 11 классе отдельной темой. Тригонометрические функции широко применяются в физике.

Источник

Тригонометрия – это просто и понятно

Презентация к уроку

Подходя к школе, слышу голоса ребят из спортивного зала, иду дальше – поют, рисуют… везде эмоции, чувства. Мой кабинет, урок алгебры, десятиклассники. Вот и наш учебник, в котором курс тригонометрии составляет половину его объема, и в нем две закладки – это те места, где я нашла слова, не относящиеся к теории тригонометрии.

К числу немногих относятся учащиеся, которые любят математику, чувствует ее красоту и не спрашивает, зачем нужно изучать тригонометрию, где применяется изученный материал? Большинство – кто просто выполняет задания, чтобы не получить плохую оценку. И твердо уверены в том, что прикладное значение математики – это получить знания, достаточные для успешной сдачи ЕГЭ и поступления в ВУЗ (поступить и забыть).

Основная цель представляемого урока – показать прикладное значение тригонометрии в различных сферах деятельности человека. Приведенные примеры помогут учащимся увидеть связь этого раздела математики с другими предметами, изучаемыми в школе. Содержание этого урока – элемент профессиональной подготовки учащихся.

Рассказать новое о, казалось бы, давно известном факте. Показать логическую связь между тем, что уже знаем, и то, что предстоит изучить. Немного приоткрыть дверь и заглянуть за рамки школьной программы. Необычные задачи, связь с событиями сегодняшнего дня – вот те приемы, которые я использую для достижения поставленных целей. Ведь школьная математика как предмет способствует не столько обучению, сколько развитию личности, его мышления, культуры.

2. Конспект урока по алгебре и началам анализа (10 класс).

Организационный момент: Расставить шесть столов полукругом (модель транспортира), листы с заданиями для учащихся на столах (Приложение 1).

Объявление темы урока: “Тригонометрия – это просто и понятно”.

В курсе алгебры и начал анализа мы приступаем к изучению тригонометрии, мне хотелось бы рассказать о прикладном значении этого раздела математики.

“Великая книга природы может быть прочтена только теми, кто знает язык, на котором она написана, и этот язык – математика”.
(Г. Галилей).

В конце урока подумаем вместе, смогли ли мы заглянуть в эту книгу и понять язык, на котором она написана.

Тригонометрия – слово греческое и в переводе означает “измерение треугольников”. Возникновение тригонометрии связано с измерениями на земле, строительным делом, астрономией. А первое знакомство с ней произошло тогда, когда вы взяли в руки транспортир. Обратили вы внимание на то, как стоят столы? Прикиньте в уме: если принять один стол за хорду, то какова градусная мера дуги, которую она стягивает?

Вспомним о мере измерения углов: 1 ° = 1/ 360 часть окружности (“градус” – от латинского grad – шаг). Знаете ли вы, почему окружность разделили на 360 частей, почему не разбили на 10, 100 или 1000 частей, как это происходит, например, при измерении длин? Расскажу вам одну из версий.

Раньше люди считали, что Земля – это центр Вселенной и она неподвижна, а Солнце совершает за сутки один оборот вокруг Земли, геоцентрическая система мира, “гео” – Земля (Рисунок № 1). Вавилонские жрецы, проводившие астрономические наблюдения, обнаружили, что в день равноденствия Солнце от восхода до заката описывает на небесном своде полуокружность, в которой видимый поперечник (диаметр) Солнца укладывается ровно 180 раз, 1 ° – след Солнца. (Рисунок № 2).

Долгое время тригонометрия носила чисто геометрический характер. В вы продолжаете знакомство с тригонометрией, решая прямоугольные треугольники. Узнаёте, что синус острого угла прямоугольного треугольника – это есть отношение противолежащего катета к гипотенузе, косинус – отношение прилежащего катета к гипотенузе, тангенс – отношение противолежащего катета к прилежащему катету и котангенс – отношение прилежащего катета к противолежащему. И запоминаете, что в прямоугольном треугольнике, имеющем данный угол, отношения сторон не зависят от размеров треугольника. Знакомитесь с теоремами синусов и косинусов для решения произвольных треугольников.

В 2010 году московскому метрополитену исполнилось 75 лет. Каждый день мы спускаемся в метро и не замечаем, что …

Задача № 1. Угол наклона всех эскалаторов московского метро равен 30 градусам. Зная это, количество ламп на эскалаторе и примерное расстояние между лампами, можно вычислить примерную глубину заложения станции. На эскалаторе станции “Цветной бульвар” 15 ламп, а на станции “Пражская” 2 лампы. Рассчитайте, какова глубина заложения этих станций, если расстояния между лампами, от входа эскалатора до первой лампы и от последней лампы до выхода с эскалатора равны 6 м (Рисунок № 3). Ответ: 48 м и 9 м

Домашнее задание. Самая глубокая станция московского метро – “Парк Победы”. Какова глубина её заложения? Предлагаю вам самостоятельно найти недостающие данные для решения домашней задачи.

У меня в руках лазерная указка, она же – дальномер. Измерим, например, расстояние до доски.

Китайский дизайнер Хуань Цяокун догадался соединить в одно устройство два лазерных дальномера, транспортир и получил инструмент, позволяющий определять расстояние между двумя точками на плоскости (Рисунок № 4). Как вы думаете, с помощью какой теоремы решается эта задача? Вспомните формулировку теоремы косинусов. Согласны ли вы со мной, что ваших знаний уже достаточно для того, чтобы сделать такое изобретение? Решайте задачи по геометрии и совершайте каждый день маленькие открытия!

Помимо плоской геометрии Евклида (планиметрии) могут существовать и другие геометрии, в которых рассматриваются свойства фигур не на плоскости, а на других поверхностях, например на поверхности шара (Рисунок № 5). Первый математик, заложивший фундамент для развития неевклидовых геометрий был Н.И. Лобачевский – “Коперник геометрии”. С 1827 г. в течение 19 лет он был ректором Казанский Университета.

Сферическая тригонометрия, являющаяся частью сферической геометрии, рассматривает соотношения между сторонами и углами треугольников на сфере, образованных дугами больших кругов на сфере (Рисунок № 6).

Исторически сферическая тригонометрия и геометрия возникли из потребностей астрономии, геодезии, навигации, картографии. Подумайте, какое из этих направлений в последние годы получило столь бурное развитие, что его результат уже применяется в современных коммуникаторах. … Современное применение навигации – это система спутниковой навигации, которая позволяет определить местоположение и скорость объекта по сигналу его приемника.

Глобальная Навигационная Система (GPS). Для определения широты и долготы приемника необходимо, как минимум, принимать сигналы от трех спутников. Прием сигнала от четвертого спутника позволяет определить и высоту объекта над поверхностью (Рисунок № 7).

Компьютер приемника решает четыре уравнения с четырьмя неизвестными до тех пор, пока не найдется решение, которое проводит все окружности через одну точку (Рисунок № 8).

Знания из тригонометрии острого угла оказались недостаточны для решения более сложных практических задач. При изучении вращательных и круговых движений значение величины угла и круговой дуги не ограничены. Возникла необходимость перехода к тригонометрии обобщенного аргумента.

В качестве модели, с помощью которой математики работают с углами, была выбрана окружность (Рисунок № 9). Положительные углы откладываются против часовой стрелки, отрицательные – по часовой. Знакомы ли вы с историей такого соглашения?

Как известно, механические и солнечные часы устроены так, что их стрелки вращаются “по солнцу”, т.е. в том же направлении, в каком мы видим кажущееся нам движение Солнца вокруг Земли. (Вспомните начало урока – геоцентрическая система мира). Но с открытием Коперником истинного (положительного) движения Земли вокруг Солнца, видимое нами (т.е. кажущееся) движение Солнца вокруг Земли является фиктивным (отрицательным). Гелиоцентрическая система мира (гелио – Солнце) (Рисунок № 10).

В 2010 прошли Зимние Олимпийские игры в Ванкувере, критерии выставления оценок за выполненное упражнение фигуристом мы узнаем, решив задачу.

Задача № 2. Если фигурист совершает поворот на угол 10 800 градусов при выполнении упражнения “винт” за 12 секунд, то он получает оценку “отлично”. Определите, какое количество оборотов совершит фигурист за это время и скорость его вращения (обороты в секунду). Ответ: 2,5 оборота/сек.

Домашнее задание. На какой угол поворачивается фигурист, получивший оценку “неудовлетворительно”, если при таком же времени вращения его скорость была 2 оборота в секунду.

Наиболее удобной мерой измерения дуг и углов, связанных с вращательными движениями, оказалась радианная (радиусная) мера, как более крупная единица измерения угла или дуги (Рисунок № 11). Эта мера измерения углов вошла в науку через замечательные труды Леонарда Эйлера. Швейцарец по происхождению, он 30 лет прожил в России, был членом Петербургской Академии наук. Именно ему мы обязаны “аналитической” трактовкой всей тригонометрии, он вывел формулы, которые вы сейчас изучаете, ввел единообразные знаки:. sin x, cos x, tg x, ctg x.

Если до 17-го века развитие учения о тригонометрических функциях строилось на геометрической основе, то, начиная с 17-го века, тригонометрические функции начали применять к решению задач механики, оптики, электричества, для описания колебательных процессов, распространения волн. Везде, где приходится иметь дело с периодическими процессами и колебаниями, нашли применение тригонометрические функции. Функции, выражающие законы периодических процессов, обладают особым только им присущим свойством: они повторяют свои значения через один и тот же промежуток изменения аргумента. Изменения всякой функции наиболее наглядно передаются на её графике (Рисунок № 12).

Мы уже обращались за помощью к своему организму, при решении задач на вращение. Давайте прислушаемся к биению своего сердца. Сердце – самостоятельный орган. Головной мозг управляет любой нашей мышцей, кроме сердечной. У нее есть собственный центр управления – синусный узел. При каждом сокращении сердца по всему организму – начиная от синусного узла (размером с просяное зерно)– распространяется электрический ток. Его можно зарегистрировать с помощью электрокардиографа. Он вычерчивает электрокардиограмму (синусоиду) (Рисунок № 13).

Теперь поговорим о музыке. Математика – это музыка, это союз ума и красоты.
Музыка – это математика по вычислениям, алгебра по абстрагированию, тригонометрия по красоте. Гармоническое колебание (гармоника) – это синусоидальное колебание. График показывает, как изменяется воздушное давление на барабанную перепонку слушателя: вверх и вниз по дуге, периодически. Воздух давит то сильнее, то слабее. Сила воздействия совсем невелика и колебания происходят очень быстро: сотни и тысячи толчков каждую секунду. Такие периодические колебания мы воспринимаем как звук. Сложение двух различных гармоник дает колебание более сложной формы. Сумма трех гармоник – еще сложнее, а естественные, природные звуки и звуки музыкальных инструментов складываются из большого количества гармоник. (Рисунок № 14.)

Каждая гармоника характеризуется тремя параметрами: амплитудой, частотой и фазой. Частота колебаний показывает, сколько толчков давления воздуха происходит за одну секунду. Большие частоты воспринимаются как «высокие», «тонкие» звуки. Выше 10 КГц – писк, свист. Маленькие частоты воспринимаются как «низкие», «басовые» звуки, рокот. Амплитуда – это размах колебаний. Чем размах больше, тем сильнее воздействие на барабанную перепонку, и тем громче звук, который мы слышим (Рисунок № 15). Фаза – это смещение колебаний во времени. Фаза может измеряться в градусах или радианах. В зависимости от фазы смещается нулевой отсчет на графике. Для задания гармоники достаточно указать фазу от –180 до +180 градусов, поскольку при больших значениях колебание повторяется. Два синусоидальных сигнала с одинаковыми амплитудой и частотой, но разными фазами складываются алгебраически (Рисунок № 16).

Итог урока. Как вы думаете, смогли мы прочитать несколько страниц из Великой книги природы? Узнав о прикладном значении тригонометрии, стала ли вам более понятна ее роль в различных сферах деятельности человека, понятен ли вам был изложенный материал? Тогда вспомните и перечислите сферы применения тригонометрии, с которыми вы познакомились сегодня или знали ранее. Я надеюсь, что каждый из вас нашел в сегодняшнем уроке что-то новое для себя, интересное. Быть может, это новое подскажет вам путь в выборе будущей профессии, но, кем бы вы ни стали, ваша математическая образованность поможет стать профессионалом своего дела и интеллектуально развитым человеком.

Домашнее задание. Ознакомиться с конспектом урока (Приложение № 2), решить задачи (Приложение № 1).

Источник