Три квадрата расположены так как показано на рисунке докажите что ab cd

Три квадрата расположены так как показано на рисунке докажите что ab cd

Два квадрата и равнобедренный треугольник расположены так, как показано на рисунке (вершина K большого квадрата лежит на стороне треугольника). Докажите, что точки A, B и C лежат на одной прямой.

Решение

Первое решение. У равнобедренного треугольника есть ось симметрии. При симметрии относительно этой оси K переходит в C, а D переходит в A (см. левый рис.). Значит, AC образует тот же угол с основанием, что и диагональ квадрата KD, т. е. 45°. Но AB тоже образует с основанием угол 45°, как диагональ меньшего квадрата. Значит, точки A, B и C действительно лежат на одной прямой.

Второе решение (без использования симметрии). Введём обозначения так, как показано на рисунке справа и проведём отрезки AB и BC. Так как ∠ABH = 45°, достаточно доказать, что ∠KBC = ∠BCK = 45° (тогда ∠ABH + ∠HBK + ∠KBC = 45° + 90° + 45° = 180°, что равносильно утверждению задачи).

Используя равенство соответственных углов при параллельных прямых и равнобедренность треугольника AGD, получим: ∠GKC = ∠GAD = ∠GDA = ∠GCK. Следовательно, GK = GC, поэтому AK = CD. Значит, равны прямоугольные треугольники AKF и CDE (по гипотенузе и катету). Следовательно, CE = AF = BF, тогда BK = CK, откуда ∠KBC = ∠BCK = 45°, что и требовалось.

Источники и прецеденты использования

Источник

Задачка по геометрии из вьетнамской средней школы

Три дня назад на Яндекс.Дзене появилась короткая заметка с таким названием и таким рисунком.

Перед вами три квадрата (А, В и С). Красная полуокружность диаметра 5 пересекает эти три квадрата, как показано на рисунке. Точка O — это вершина квадрата В, она лежит на стороне квадрата A и на полуокружности. Требуется найти сумму площадей трёх квадратов.

Посмотреть разные способы решения задачи — правильные и не очень — можно по ссылке, приведённой выше. А мы решим задачу «по-нашему, по-неучёному», как говаривал Удодов-старший из чеховского «Репетитора».

Если бы радиус полуокружности был 5, то, припомнив египетский треугольник (3, 4, 5), выполним такое построение.

Итак, сторона клетки 1, радиус полуокружности 5, стороны квадратов 2, 4 и 6. Точка O лежит на пересечении стороны квадрата A, полуокружности и является вершиной квадрата B. В этом нас убеждает египетский треугольник. Сумма площадей трёх квадратов равна 16 + 4 + 36 = 56.

Линейные размеры в исходной задаче в два раза меньше, значит, сумма площадей квадратов там равна 56 : 4 = 14.

Дополнение от 3.07.2020. Сегодня я получил приятное письмо от Анны Кольнер — мамы моей бывшей ученицы из школы 679 Советского района г. Москвы. В нём есть другая идея решения задачи.

Здравствуйте, Александр Владимирович! Случайно наткнулась на Ваш сайт. Я — мама Вашей бывшей ученицы Кольнер Иры. Она всегда вспоминает с удовольствием Ваши уроки, а мы, ее родители, вспоминаем Вас с благодарностью. Сейчас занимаюсь с внуком геометрией, хочу предложить решение задачи из вьетнамской средней школы, которую увидела у Вас на сайте. Я думаю, надо вписать в окружность угол, опирающийся на диаметр, с вершиной в точке O пересечения окружности с вершиной угла самого маленького квадрата. Тогда в прямоугольном треугольнике, образованном сторонами этого угла и диаметром окружности, высота, опущенная из прямого угла, будет равна стороне среднего квадрата, например, y. Если сторона самого маленького квадрата равна x, то сторона самого большого равна x + y. А квадрат высоты y будет равен произведению отрезков, на которые основание высоты делит гипотенузу, то есть (y – x)(2x + y). Решая это уравнение, получим, что y = 2x. Тогда 5x = 5, x = 1, и искомая сумма площадей равна 1 + 4 + 9 = 14.

Анна, спасибо за весточку из той интересной жизни (если не ошибаюсь, прошло больше 35 лет).

Источник

Три квадрата расположены так как показано на рисунке докажите что ab cd

Квадраты ABCD и BEFG расположены так, как показано на рисунке. Оказалось, что точки A, G и E лежат на одной прямой.
Докажите, что тогда точки D, F и E также лежат на одной прямой.

Решение 1

Рассмотрим треугольники AGB и AGF (рис. слева): AG – общая сторона, GB = GF (равные стороны квадрата BEFG), ∠AGB = AGF = 135° (углы, смежные с углами BGE и FGE, равными по 45°). Следовательно, треугольники AGB и AGF равны по первому признаку. Значит, AB = AF = AD,
∠GAB = GAF = α, ∠GFA = 180° – ∠AGF – ∠GAF = 45° – α.
В равнобедренном треугольнике ADF ∠DAF = 90° – 2α, ∠DFA = ½ (90° + 2α) = 45° + α.
Таким образом, ∠DFG = ∠GFA + ∠DFA = (45° – α) + (45° + α) = 90°, а ∠DFG + ∠EFG = 180°. Значит, точки D, F и E лежат на одной прямой.

Решение 2

Опустим перпендикуляры AK и AL на прямые EF и EB соответственно (рис. справа). Достаточно доказать, что на одной прямой лежат точки D, K и F. Четырёхугольник AKEL – квадрат, так как три его угла – прямые, а диагональ EG – биссектриса угла E.
Треугольники DAK и BAL равны по первому признаку, так как AD = AB, AK = AL, ∠DAK = 90° – ∠BAK = ∠BAL.
Значит, ∠DKA = ∠BLA = 90°, откуда и следует, что точки D, K и F лежат на одной прямой.

Источники и прецеденты использования

Источник