Треугольник пенроуза что это такое
Треугольник Пенроуза и его братья
Треугольник Пенроуза, приведенный на Рис. 1—метафизическая графика, насыщенная смыслами.
Рис. 1: Роджер Пенроуз, “Три мира, три тайны” 
В “Дороге к реальности” Сэра Роджера этот образ поясняется следующими словами:
“Что касается загадки номер один — той, что связывает платоновский математический мир с миром физическим, — из рисунка видно, что непосредственное отношение к процессам физического мира имеет лишь некая малая часть мира математики. В самом деле, подавляющее большинство исследований в современной чистой математике не связаны сколько-нибудь очевидным образом ни с физикой, ни с иными науками (см. § 34.9), хотя математика и не устает удивлять нас своими неожиданными и важными практическими применениями. Аналогичное заключение можно сделать и относительно второй загадки: каким образом в определенных физических структурах (если точнее, то в здоровых и бодрствующих человеческих мозгах) возникает феномен мыслительной деятельности — я отнюдь не настаиваю на том, что структуры, способные на ментальные процессы, должны непременно преобладать в физическом мире. Возможно, мозг кошки и впрямь способен развить в себе ментальные качества, однако от, скажем, камня того же ожидать, наверное, не стоит. И наконец, третья загадка — здесь, полагаю, и без пояснений очевидно, что размышления об абсолютных математических истинах составляют весьма малую долю от нашей совокупной мыслительной деятельности.”
Стоит заметить, что согласно Рис. 1, физический мир не вполне задан математическими структурами; соответствующий конус его покрывает не полностью. Такое представление отражает открытость физического мира, вошедшие в него небытие или ничто пифагорейцев и платоников, беспричинные отклонения атомов (клинамены) Эпикура, квантовый принцип неопределенности. Аналогичным образом, ментальный мир лишь частично детерминирован физикой, что отражает автономию мысли, свободу воли. И, наконец, лишь частичная открытость математического мира для мысли передает как бесконечность математических форм, так и гёделевскую неполноту, бесконечность недоказуемых утверждений формальной системы.
Согласно авторскому пояснению, связи между тремя мирами могут быть обозначены как “законы природы”, “жизнь” и “разум”; эту схему можно назвать “треугольником метафизики”, см. Рис. 2.
Рис. 2: Миры Пенроуза: Треугольник Метафизики.
В силу фундаментальности схемы, ее связи-стрелки могут пониматься как универсальные, независящие от конкретно-земных условий, дефиниции законов природы, жизни и разума. Законы природы, таким образом, есть атемпоральная логико-математическая структура физического мира; направление соответствующей им стрелки напоминает платонов миф о творении, о Создателе Демиурге, запечатлевшем формы своего ума в лоне “восприемницы и кормилицы всего сущего”, Небытия, Ничто. Жизнь понимается как движение физического мира к ментальному. В этой связи можно говорить о древе эволюции, произраставшим в направлении все более умных существ; жизнь предстает интерфейсом сознания. Эволюция от простейших ко все более умным существам понимается таким образом не как одно из свойств, но как дефиниция жизни. Разум же раскрывается как движение мысли к созерцанию эйдосов (theorein—созерцать, греч.), чистых форм самих по себе, как эволюция теоретического познания.
Каждая из сфер Пенроуза имеет свой особый статус в отношении времени. Время физического мира континуально, непрерывно. Физический мир задан законами природы; с этой точки зрения, нового в нем ничего не появляется, физическая эволюция вселенной в принципе предопределена и направлена в сторону деградации структур, росту энтропии, тепловой смерти. Напротив, эволюция жизни, как и мысли, придает дискретный смысл времени, как маркеру появления нового. Время физического мира континуально и уничтожающе, время же мысли дискретно и плодотворно, понимание приходит скачкообразно. Живое принадлежит обоим мирам, а потому и разворачивается в двух временах. Платонический мир атемпорален, сам по себе он вне времени. Будучи, однако же, связанным с двумя другими мирами, именно в силу этих связей он содержит две темпоральности как особого рода логические свойства (что было отмечено Лёвой). В качестве обращенного к физическому миру, платоновский содержит математические структуры законов природы, где время есть элемент, переменная, параметр. Как обращенные к ментальному миру, платоновские формы обладают внутренней логикой развития идей: аксиомы предшествуют теоремам, одни теоремы служат логическими основаниями другим. Итак, платонический мир атемпорален, физический мир движется в непрерывном времени к тепловой смерти, тогда как мир мысли являет себя в дискретном времени рождения нового.
Радикально различаются и типы наблюдения объектов трех сфер. Существование элемента физического мира устанавливается процедурой наблюдения, с ее универсальностью и воспроизводимостью. Осмысление результата наблюдения в терминах принятой теории и позволяет заключить о качественных и количественных характеристиках наблюдаемой реальности. Изменение теории ведет к изменению картины природы и к пересмотру прежних заключений о существовании чего бы то ни было. Существование элемента ментального мира, какой-либо мысли, бывшей у кого-то, устанавливается воспоминанием, если речь о себе, и вопрошанием, обращением к свидетелям, документам, артефактам в общем случае. Существование платоновской формы устанавливается самим актом ее описания. Дать дефиницию формы и означает уже наблюдать ее. Более глубоко проблема существования ставится Декартом в его методическом сомнении, картезианском dubbio. Каким образом я вообще могу быть уверен, что устанавливаемые мной существования элементов той или иной сферы не основаны на какой-то фундаментальной и неискоренимой иллюзии, не есть какой-то сон или фабрикация могущественного демона, “Матрицы” одноименного фильма? Ответ Декарта на поставленный им же вопрос—доверие Творцу мироздания, вера в то, что “Бог не обманывает” есть фундаментальное условие смысла познания, установления существования чего бы то ни было. А потому,—заключает отец науки Рене Декарт,—каким бы странным этот вывод ни показался, существование Бога более достоверно, чем существование звезд над головой, земли под ногами и даже собственного тела.
О какой же достоверности говорит здесь Декарт? Почему бы ему не признать видения, навеваемые гипотетическим могущественным демоном, или каким-то крепким сном, за своего рода достоверную реальность? Чем была бы плоха такая «реальность»? Да вот не согласен Декарт участвовать в таких демонических мероприятиях, решительно не согласен. Настолько заботит его такая опасность, что без надежной гарантии от нее он и пускаться в плавание познания не будет. Гарантию же эту он находит в вере во всесовершенного Бога, чье совершенство несовместимо с обманом. Иными словами, достоверность декартова Бога есть гарантия высокой ценности познания, познания подлинно того мира, который этим Богом и сотворен. И тут меня могут спросить: а как же некоторые великие физики прошлого и нынешнего веков могли заявлять себя атеистами? Как же у них, при заявляемом атеизме, получилось удержать ценности познания? Ричарду Фейнману, например, или Стивену Вайнбергу как это удалось? Пусть мой ответ не покажется актом непочтительности к великим ученым, иного ответа у меня нет: великие физики не отрефлектировали свой атеизм. Они не прошли по философским стопам не то что Платона, Плотина или Августина, но даже гораздо более близких к ним отцов науки Декарта и Лейбница, или великого мыслителя Просвещения Канта, не разобрали их теистических аргументов, а потому и отмолчались по существу, ограничиваясь легкомысленной околофилософской болтовней. Великие физики Фейнман и Вайнберг попросту оказались философскими двоечниками. Ценности познания они некритически унаследовали от породившей их среды, кипевшей научным энтузиазмом. Ценности жили своей жизнью, а атеизм своей. И очень мало кому приходило в голову, что эти две вещи несовместимы. Мозги работали, но работали в иных направлениях, а тут они не включались. Таков был дух времени: «shut up and calculate». Надо ли удивляться, что и Фейнман, и Вайнберг открыто высказывали свою нелюбовь к философии? А ведь тут оксюморон, к слову сказать.
Стрелки на схеме отражают как последовательность Творения, так и логику антропного принципа. Каким должен быть физический мир, чтобы в нем была возможна жизнь, приводящая к сознанию? Каковы должны быть фундаментальные законы этого мира? Каким должно быть сознание, способное постигать эти законы?
Треугольник Пенроуза отражает пифагорейско-платоновское воззрение на Бытие, где человек постигает формы, замысел Творца, запечатленный в структуре вселенной. Мыслителям этих школ человеческий ум представлялся подобным божественному, что и указывало как на возможность познания, так и на его душеспасительный смысл. Согласие платонизма со св. Писанием, учившем о богочеловечестве, предопределило их христианский синтез. Однако же, раз мироздание есть воплощенная божественная мысль, и человек поистине богоподобен, то следует ожидать, что космическое троемирие Пенроуза имеет подобие в масштабе человеческой истории. И действительно, такое подобие, известное как “Три мира Карла Поппера”, имеет место. Оно представлено на Рис. 3 как “треугольник истории”.
Рис. 3: Миры Поппера: Треугольник Истории
Материальный мир Поппера есть материальный мир, преобразованный человеком. Субъективный мир Поппера есть синоним ментального мира Пенроуза, мира мышления, сознания, рефлексии, “я”, бытия от первого лица. Наконец, сфера объективного знания есть зафиксированное в формах языка и культуры транс-субъектное, передаваемое, общественное содержание результатов мышления. В отличие от треугольника метафизики, отражающего вечную структуру мироздания, треугольник истории рождается во времени; оборот по его стрелкам переводит его в новое состояние. Во избежание недоразумений заметим, что сам Карл Поппер свои три мира не объединял в замкнутый контур; препятствием к этому служило понимание того, что связь объективного знания и материального мира осуществляется не непосредственно, но через субъекта, реализующего эту связь. Справедливо однако же заметить, что ведь и вообще реализация связи каждой пары миров обязательно и существенным образом опирается на участие в этой связи третьего из них. Действительно, охраняющая и формирующая субъекта связь “цивилизация” реализуется через существенное участие объективного знания, тогда как обогащение объективного знания через разнообразные “изобретения” творческого субъекта мотивируется и вдохновляется той или иной ситуацией материального мира. Существенное участие третьего мира в каждой из связей и отражено на рисунке посредством третьего цвета линии связи.
Подобие треугольника истории треугольнику метафизики ставит вопрос об их синтезе. Каким образом метафизическое Бытие может стать историческим? Очевидно, именно это происходит в разворачивающейся истории познания. Первым шагом познания является рождение субъекта, ставящего вопрос о Бытии. Этот вопрос, знаменующий рождение субъекта, означает также его принципиальную раздвоеннность на вопрошающего и на элемент вопрошаемого, на мыслящего и на часть того, о чем мысль, на часть Бытия. Символически этот момент представлен на рис. 4, обозначенном как “начало познания”.
Рис. 4: Начало познания.
Обратим внимание, что здесь происходит не только рождение субъекта, но и нарастание нового слоя самого Бытия, ибо, задавая вопрос, субъект выходит в ничто и в поисках ответа творит в нем новое Бытие. Вопрошание о Бытии рождает ответы, открытия, чье содержание сохраняется в объективном, или транс-субъектном, знании. Далее, это накапливаемое знание о Бытии передается, замыкая цикл познания, изображенный на Рис. 5.
Рис. 5: Цикл познания
Как и для попперовского треугольника истории, цвета стрелок, дополнительные к цветам соединяемых ими сфер, подчеркивают существенную роль третьей сферы в соединении двух. Специфическая ситуация рис. 5 соответствует вопрошанию, непосредственно не нацеленному на субъект или объективное знание. Такова, например, ситуация науки. В случае нацеленности вопроса на субъект (как напр. в логике) или на объективное знание (как напр. в культурологии) цвет внутренних кругов был бы соответственно изменен. Возможность трех типов вопросов, открытий и знаний отражается присутствием всех трех сфер в каждой из них. Иными словами, каждая сфера обнимает весь треугольник предыдущего этапа познания, являясь также и одним из элементов следующего этапа—что и представлено на Рис. 6 как потенциально бесконечная рефлективная иерархия, составляющая духовную эволюцию Бытия.
Рис. 6: Рефлективная иерархия познания.
Ну и что же—может спросить читатель—зачем вообще нужны эти треугольники, неужели нельзя то же самое сказать и без них? Можно, разумеется. Треугольник Пенроуза и его братья, треугольник Поппера и предлагаемый треугольник познания есть не более чем графические средства философского дискурса. Хорошо известно, что графика играет громадную роль в таких областях познания как физика, химия, биология, экономика. В философии же возможности графики как средства мысли и коммуникации до сих пор едва задействованы. Гениальный треугольник Пенроуза показал, что такая графическая скудость языка философии есть скорее упущение, чем неизбежность, нацелив автора этой заметки на предлагаемую здесь разработку философско-графической темы, представляющейся интересной и важной.
Мои размышления над треугольниками сопровождались вдохновляющими и проясняющими беседами на эти темы с двумя молодыми людьми—сыном Львом Буровым и коллегой Тимофеем Золкиным. Я очень благодарен им обоим за многочисленные вопросы, замечания и предложения как вербального, так и графического характера. Спасибо и вам, дорогие друзья по снобовским дискуссиям, весьма содействовавшим появлению этой статьи—тебе, Миша Аркадьев и тебе, Алеша Цвелик!
Парадоксальный мир невозможных объектов
Наши глаза познавать не умеют
природу предметов.
А потому не навязывай им
заблуждений рассудка.
Расхожее выражение «обман зрения» по сути своей неверно. Глаза не могут обмануть нас, поскольку являются только промежуточным звеном между объектом и мозгом человека. Обман зрения обычно возникает не из-за того, что мы видим, а из-за того, что бессознательно рассуждаем и невольно заблуждаемся: «посредством глаза, а не глазом смотреть на мир умеет разум».
Одним из наиболее эффектных направлений художественного течения оптического искусства (op-art) является имп-арт (imp-art, impossible art), основанный на изображении невозможных фигур. Невозможные объекты представляют собой рисунки на плоскости (любая плоскость двухмерна), изображающие трехмерные структуры, существование которых в реальном трехмерном мире невозможно. Классической и одной из самых простых фигур является невозможный треугольник.
В невозможном треугольнике каждый угол сам по себе является возможным, но парадокс возникает, когда мы рассматриваем его целиком. Стороны треугольника направлены одновременно и к зрителю, и от него, поэтому отдельные его части не могут образовать реальный трехмерный объект.
 |  |
| Невозможный треугольник Пенроуза | Треугольник, воспринимаемый как «возможный» |
Собственно говоря, наш мозг интерпретирует рисунок на плоскости как трехмерную модель. Сознание задает «глубину», на которой находится каждая точка изображения. Наши представления о реальном мире сталкиваются с противоречием, с некоей непоследовательностью, и приходится делать некоторые допущения:
Человеческое сознание сначала создает общее изображение предмета, а затем рассматривает отдельные части. Каждый угол совместим с пространственной перспективой, но, воссоединившись, они образуют пространственный парадокс. Если закрыть любой из углов треугольника, то невозможность пропадает.
История невозможных фигур
Ошибки пространственного построения встречались у художников и тысячу лет тому назад. Но первым построившим и проанализировавшим невозможные объекты по праву считается шведский художник Оскар Рейтерсвэрд (Oscar Reutersvärd), нарисовавший в 1934 г. первый невозможный треугольник, состоявший из девяти кубиков.
 |  |
| Водопад Эшера | «Москва», графика (тушь, карандаш), 50х70 см, 2003 г. |
Независимо от Рейтерсвэрда английский математик и физик Роджер Пенроуз повторно открывает невозможный треугольник и публикует его изображение в британском журнале по психологии в 1958 г. В иллюзии использована «ложная перспектива». Иногда такую перспективу называют китайской, так как подобный способ рисования, когда глубина рисунка «двусмысленна», часто встречался в работах китайских художников.
 Невозможный куб |
В 1961 г. голландец М. Эшер (Maurits C. Escher), вдохновленный невозможным треугольником Пенроуза, создает известную литографию «Водопад». Вода на картине течет бесконечно, после водяного колеса она проходит дальше и попадает обратно в исходную точку. По сути это изображение вечного двигателя, но любая попытка в реальности построить данную конструкцию обречена на неудачу.
С тех пор невозможный треугольник не раз использовался в работах других мастеров. Помимо уже упомянутых можно назвать бельгийца Жоса де Мея (Jos de Mey), швейцарца Сандро дель Пре (Sandro del Prete) и венгра Иштвана Ороса (Istvan Orosz).
Как из отдельных пикселов на экране формируются изображения, так и из основных геометрических фигур можно создавать объекты невозможной реальности. Например, рисунок «Москва», на котором изображена не совсем обычная схема московского метрополитена. Сначала мы воспринимаем изображение целиком, но прослеживая взглядом отдельные линии, убеждаемся в невозможности их существования.
 «Три улитки (RDL-куб)», графика (тушь, карандаш), 50х70 см, 2003 г. |
На рисунке «Три улитки» маленький и большой кубы ориентированы не в нормальной изометрической проекции. Меньший по размерам куб сопрягается с большим по передним и задним сторонам, а значит, следуя трехмерной логике, он имеет такие же размеры некоторых сторон, что и большой. Сначала рисунок кажется реальным представлением твердого тела, но по мере анализа выявляются логические противоречия этого объекта.
Рисунок «Три улитки» продолжает традиции второй знаменитой невозможной фигуры — невозможного куба (ящика).
 |  |
| «IQ», графика (тушь, карандаш), 50х70 см, 2001 г. | «Вверх и вниз», М. Эшер |
Сочетание различных объектов можно найти и в не совсем серьезном рисунке «IQ» (intelligence quotient — коэффициент интеллекта). Интересно, что некоторые люди не воспринимают невозможные объекты из-за того, что их сознание не способно отождествлять плоские картины с трехмерными объектами.
Дональд Е. Симанек высказал мнение, что понимание визуальных парадоксов является одним из признаков того вида творческого потенциала, которым обладают лучшие математики, ученые и художники. Многие работы с парадоксальными объектами можно отнести к «интеллектуальным математическим играм». Современная наука говорит о 7-мерной или 26-мерной модели мира. Моделировать подобный мир можно только с помощью математических формул, человек представить его просто не в состоянии. И здесь оказываются полезными невозможные фигуры. С философской точки зрения они служат напоминанием о том, что любые явления (в системном анализе, науке, политике, экономике и т. д.) следует рассматривать во всех сложных и неочевидных взаимосвязях.
 Компьютерная графика на основе картины «Невозможный алфавит», 70х50 см, 1999 г. |
Разнообразные невозможные (и возможные) объекты представлены на картине «Невозможный алфавит».
Третьей популярной невозможной фигурой является невероятная лестница, созданная Пенроузом. Вы будете по ней непрерывно или подниматься (против часовой стрелки) или спускаться (по часовой стрелке). Модель Пенроуза легла в основу знаменитой картины М. Эшера «Вверх и вниз» («Ascending and Descending»).
Существует еще одна группа объектов, реализовать которые не получится. Классической фигурой является невозможный трезубец, или «чертова вилка».
При внимательном изучении картинки можно заметить, что три зубца постепенно переходят в два на едином основании, что приводит к конфликту. Мы сравниваем количество зубцов сверху и снизу и приходим к выводу о невозможности объекта.
 |  |
| Невероятная лестница Пенроуза | «Чертова вилка» |
Есть ли какая-либо более существенная польза от невозможных рисунков, чем игра ума? В некоторых больницах специально развешивают изображения невозможных объектов, поскольку их рассматривание способно надолго занять больных. Логично было бы развесить такие рисунки в кассах, в милиции и прочих местах, где ожидание своей очереди длится порой целую вечность. Рисунки могли бы выступить в роли этаких «хронофагов», т.е. пожирателей времени.
Что делает невозможную фигуру невозможной?
Jun 27 · 4 min read
Невозможные фигуры образуются линиями, соединенными между собой самым противоречивым образом, с искажением перспективы. При зрительном восприятии таких изображений возникает эффект оптической иллюзии, запредельной реальности. Предлагаю вашему вниманию небольшую коллекцию из этих причудливых фигур.
Треугольник Пенроуза
Автором треугольника Пенроуза, или невозможного треугольника (трибара Пенроуза), является шведский художник Оскар Реутерсвард. Свое знаменитое изображение, принесшее ему славу “отца невозможных фигур”, он создал в 18 лет совершенно случайно. Это произошло в 1934 году на уроке латыни, на котором гимназист Оскар Реутерсвард занимался разрисовыванием учебника.
Внимание широкой публи к и треугольник Реутерсварда привлек в 1950-х годах, когда психиатр Лайонел Пенроуз и его сын сэр Роджер Пенроуз — впоследствии выдающийся математик, лауреат Нобелевской премии — признали “абсолютную невозможность” этой фигуры. В 1958 году в Британском журнале психологии они опубликовали статью “Невозможные объекты: особый тип визуальной иллюзии”. Кроме того, объекты невозможных геометрических форм были представлены в работах голландского художника-графика М. К. Эшера.
В Викисловаре треугольник Пенроуза определяется как “оптическая иллюзия, возникающая при взгляде на невозможный монолитный объект, состоящий из трех прямолинейных брусков квадратного сечения, которые встречаются попарно под прямым углом в вершинах образуемого ими треугольника”.
Из этого описания следует, что линии невозможной фигуры соединены каким-то неправдоподобным образом. Подобные формы могут существовать только вопреки законам евклидовой геометрии.
При рассмотрении этого рисунка может показаться, что правая сторона треугольника удаляется от вас, в то время как левая приближается. Тем не менее, они соединены одним и тем же прямоугольным бруском и находятся в одной плоскости.
В 1854 году Пенроуз посетил лекцию Эшера и был настолько восхищен его магической геометрией, что начал сам придумывать невообразимые конструкции. Одна из них вдохновила Эшера на создание знаменитой литографии “Водопад”.
В рамках той же концепции была создана еще одна невероятная фигура, известная как Невозможный / Иррациональный куб.
Ребра куба кажутся находящимися одновременно впереди и позади, что невозможно с точки зрения геометрии.
Лестница Пенроуза
Лестница Пенроуза — это каскад ступеней, бесконечно ведущих вверх или вниз. Первое впечатление от конструкции приводит в замешательство, в голове возникает вопрос: “Как такое может быть?”. Но стоит вам изменить угол зрения и внимательнее присмотреться к фигуре, как иллюзия исчезает.
Упомянутая выше статья Пенроуза также содержала описание созданной им невозможной лестницы. По словам ученого, эта структура “воспринимается как лестничный пролет, но связи между ее частями таковы, что картина в целом выглядит противоречиво”.
Два года спустя, в 1960 году, в литографии “Восхождение и нисхождение” Эшер запечатлел собственный образ невозможной лестницы. Произошло это под влиянием статьи Пенроуза, в которой тот признавался, что на создание невозможной лестницы его мотивировало творчество Эшера. Получив от Пенроуза копию этой публикации, художник, в свою очередь, выразил ему свое почтение:
“Несколько месяцев назад один мой друг прислал мне фотокопию вашей статьи… Ваши фигуры 3 и 4, “непрерывный лестничный пролет”, поразили меня своей новизной и настолько впечатлили, что в конце концов вдохновили на создание новой картины, которую я хотел бы послать вам в знак моего уважения”.
Примечательно, что изображение невозможной лестницы впервые было создано Оскаром Реутерсвардом в 1937 году, однако ни Пенроуз, ни Эшер ничего не знали об этом
Лестница Пенроуза — это абсолютно невозможная конструкция: визуально поднимаясь или спускаясь по ней, вы останетесь на том же уровне, в каком бы направлении ни двигались — по часовой стрелке (вниз) или против (вверх).
Идея бесконечной лестницы Пенроуза была использована в научно-фантастическом триллере “Начало” (2010) режиссера Кристофера Нолана. Никуда не приводящий лестничный пролет появляется и в боевике “Мстители” (1998).
Более того, в апреле 2014 года была выпущена видеоигра Monument Valley (“Долина монументов”). Ее разработчик — Ustwo Games — впечатлил пользователей множеством оптических иллюзий и невозможных фигур.
Невозможные фигуры выявляют бесконечную одержимость своих творцов всем непостижимым. Но не только в этом их притягательная сила. Они словно говорят нам: “Не верь глазам своим”. Вглядываясь в них, мы понимаем, как легко поддаемся иллюзиям восприятия и как сильно оно отличается от впечатлений других людей, наблюдающих то же самое.