Треугольник abc равносторонний известно что высота ah равна 6
Ответ или решение 2
Решение
Рассмотрим произвольную точку M внутри треугольника ABC. Проведем перпендикуляры MA1, MB1 и MC1 из этой точки к сторонам треугольника BC, CA и AB соответственно.
Поскольку расстояние от точки до прямой определяется по перпендикуляру, опущенному из этой точки к прямой, то длины высот MA1, MB1 и MC1 как раз и будут расстояниями от точки M до сторон треугольника ABC (см. рис. http://bit.ly/2zuHhXB).
Площадь треугольника ABC
Рассмотрим треугольники ABM, BCM, CAM и вычислим их площади. Так как перпендикуляры MA1, MB1 и MC1 являются высотами для этих треугольников, то для их площадей получим выражения:
Поскольку треугольник ABC разделен на три треугольника (ABM, BCM и CAM), то его площадь равна сумме площадей этих треугольников:
S(ABC) = S(ABM) + S(BCM) + S(CAM).
Подставив в это уравнение значения для S(ABM), S(BCM), S(CAM) и выполнив простые преобразования, получим:
S(ABC) = 1/2*AB*MC1 + 1/2*BC*MA1 + 1/2*CA*MB1;
S(ABC) = 1/2*a*MC1 + 1/2*a*MA1 + 1/2*a*MB1;
S(ABC) = 1/2*a (MC1 + MA1 + MB1) (1).
Составление и решение уравнения
Но с другой стороны, площадь треугольника ABC равна:
Сравнивая равенства (1) и (2), получим:
1/2*a*(MC1 + MA1 + MB1) = 1/2*a*AH.
MC1 + MA1 + MB1 = AH = 6(см).
M — произвольная точка внутри равностороннего треугольника ABC.
Отрезки МА, МВ, МС разбивают треугольник АВС на три треугольника.
Расстояния от точки М до сторон АВ, ВС, АС: MQ, MO, MP.
Для треугольников АМС, АМВ, ВСМ эти отрезки будут высотами.
Площадь треугольника ABC как сумма площадей трех треугольников с равными основаниями a:
S = (АВ * МО) / 2 + (BC * MP) / 2 + (AC * MQ) =
= (a * MO) / 2 + (a * MP) / 2 +(a * MQ) / 2 =