проект по математике великое искусство и жизнь джероламо кардано

«Великое искусство и жизнь Джероламо Кардано» проект по математике

Индивидуальный проект по математике «Великое искусство и жизнь Джероламо Кардано» выполнил ученик 10 класса под руководством учителя. Рассмотрен способ решения уравнений третьей степени методом Кардано.Дляучащихся материал дополнительный. Вклад учёного,медика по профессии,в развитие математики.

Просмотр содержимого документа
«»Великое искусство и жизнь Джероламо Кардано» проект по математике»

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №5»

456040 г. Усть-Катав тел./факс (835167) 3-01-03 МКР-2, д.18 E-mail:burenkova-5@mail.ru

Великое искусство и жизнь

Выполнил: Кузин Андрей

обучающийся 10 класса

Наставник: Поздеева Л.И.

1. Цель проекта. Задача. 3

Краткая биография Д. Кардано………………………………….….5

Математические работы Д. Кардано…………………………….…9

4.Характеристика «решетки Кардано»…………………………………. …13

5.Свойства поворотной решетки……………………………….………. ….14

6.Формула Кардано: история и применение…………………….……..…..15

Несколько слов из истории формулы кубических уравнений…………………………………………………………15

Математические споры (диспуты) в среднеи века…….…….17

Примеры универсальных способов решения кубических уравнений………………………………………………………….23

7.Кубические уравнения и способы его решения…………………..…..…..16

Узнать о жизни Джероламо Карадано и о влияние его исследований на математику.

Разобрать решение уравнений по способу Джероламо Кардано

Проанализировать вклад Д. Кардано в развитие математики, криптографии, техники.

Меня заинтересовало что, Джероламо Карданов учился в университете Павии на медицинском факультете, занимался сначала исключительно медициной. И через несколько лет стал профессором по математике. Данная работа открывает перед учащимися уникальную возможность научиться решать уравнения по способу Кардано.

Краткая биография Д. Кардано

24 сентября 1501 года в Павии родился будущий итальянский математик, механик и врач Кардано Джироламо (Джеронимо или Иеронимус). Кардано получил образование в университетах Павии и Падуи. В 1534 г. стал профессором математики в Милане и Болонье.

В свободное время Кардано занимался самыми разными вещами. Так, его книга «О тонких материях» служила популярным учебником по статике и гидростатике в течение всего XVII в. Указаниям Кардано на возможность использования частоты собственного пульса для измерения времени последовал Галилей. Известны рассуждения Кардано о создании вечного двигателя, о различии между электрическим и магнитным притяжением.

Ученый занимался экспериментальными исследованиями и конструированием различных механизмов.

Кардано был страстным любителем азартных игр. Результатом этого увлечения книга «Об азартных играх» содержащая начала теории вероятности, формулировку закона больших чисел, некоторые вопросы комбинаторики. И хотя в нём Кардано допустил немало ошибок, это один из первых серьёзных трудов по комбинаторике и теории вероятностей.

Публикация книги «Великое искусство, или О правилах алгебры» вызвала знаменитую тяжбу Кардано относительно приоритета в решении кубических уравнений с Никколо Тартальей, лектором из Венеции. Способ решения кубических уравнений был найден СципиономдельФерро из Болоньи еще в 1515году. В 1535 Тарталья независимо от него изобрел свой метод и сообщил о нем Кардано, взяв с последнего клятву сохранить открытие в тайне. Тем не менее Кардано опубликовал в своей книге все известное ему о кубических уравнениях, заявив, что знал о содержании работы Ферро и это освобождает его от всех обязательств по отношению к Тарталье. В 1546 Тарталья обвинил Кардано в вероломстве. Тяжба окончилась после публичного диспута в 1548, в котором интересы Кардано представлял Феррари.

Последние годы жизни Кардано были омрачены трагическими событиями. Его сын, тоже миланский врач, был казнен в 1560 за отравление неверной жены. В 1562 Кардано был назначен профессором в Болонью, где его в 1570 арестовала инквизиция. В чем он обвинялся, точно не известно. Приговор был относительно мягким, но ему запрещалось публиковать своисочинения. Остаток жизни он провел в Риме, пытаясь добиться прощения.

В автобиографии, составленной на склоне лет, Кардано так пишет о себе: «Цель, к которой я стремился, заключалась в увековечении моего имени, поскольку я мог этого достигнуть, а вовсе не в богатстве или праздности, не в почестях, не в высоких должностях или власти».

Умер Кардано в Риме 20 сентября 1576.

Изобретения в технике

В книгах «О тонких материях» и «О разнообразии вещей» он обсуждал устройство и принцип действия огромного числа механизмов, аппаратов, машин и сооружений.

Например, Кардано принадлежит также целый ряд мелких изобретений:

масляный светильник с автоматической подачей масла,

дымоход, в котором проделаны отводящие трубы (по две на каждую сторону света) так, чтобы при «противных ветрах» дым мог выходить в соответствующие отверстия,

камера – обскура с установленной линзой у выходного отверстия и т.д.

В области механики Кардано занимался теорией рычагов и весов. Он изобрел шарнирный механизм, предназначенный для передачи вращения между пересекающимися осями, названный впоследствии карданным механизмом. Ему принадлежит изобретение устройства, позволяющего сохранить неизменным положение тела при любых поворотах кинематической системы. С именем Кардано связаны такие понятия, как карданный вал и карданная передача автомобиля.

В книге «О тонких материях» он описал «повозку императора», в которой сиденье устанавливалось на специальной подвеске, так что сиятельное тело сохраняло неизменное положение при езде по наклонным или ухабистым дорогам. Почти четыре века спустя об изобретении Кардано вспомнили автомобилестроители.

Особый интерес для Кардано представляли различные способы передачи движения и часовые механизмы. Он исследовал и описывал зубчатые, корончатые и червячные зацепления, канатные передачи, передачи гибкими нитями; приводил определение передаточного числа и пользовался им при подсчете чисел зубьев в зубчатой передаче; сообщал способы преобразования поступательного движения во вращательное и наоборот в насосах и воздуходувных машинах», приводил методику нарезания зубьев; сформулировал правила построения часовых механизмов с подробным описанием часовых пружин и баланса.

Он указывал, что добиться равномерности хода часов на протяжении суток невозможно: зубья колес неодинаковы, а натяжение пружины вначале сильнее, чем в конце. Грязь и пыль со временем ослабляют пружину, поэтому все часовые механизмы со временем идут медленнее и ни один не движется быстрее.

Математические работы Д. Кардано

Анализ этих работ представляет немалые трудности, так как Кардано писал почти обо всем, что знала математика Возрождения, перемежая новые, собственные, результаты с теми, которые уже были полученыдругими авторами. Однако, ни в одной из областей математики его достижения не являются столь весомыми и неоспоримыми, как в алгебре: даже многочисленные враги и критикине отказывали ему в славе крупнейшего алгебраиста XVI века.

(х 2 + 2х = 4 + 5х и х 2 = 4 + 3х), мы произведем операции ал-джабр и ал-мукабала соответственно. В «Краткой книге» содержались методы решения уравнений первой и второйстепени, которые автор приводил в числовой форме, но сопровождал геометрическимидоказательствами, заимствованными арабской наукой у древних греков. Сочинение «Мухаммеда, сына араба Мусы», переведенное на латинский язык, пользовалось большой известностью в средневековой Европе. Поначалу переводчики полностью переписывали заглавие «Краткой книги», но постепенно вторая часть стала воспроизводиться все реже и,наконец, совсем исчезла. Осталось только слово «ал-джабр», которое затем превратилосьв «алгебру».

Эти уравнения вслед за Кардано мы будем называл «уравнениями Тартальи».

Крометого, он следил, чтобы коэффициент при старшей степени неизвестной был равен единице.

Кардано удалось справиться лишь с уравнениями частного вида, но методы, которые он применял, заслуживают внимания, так как впоследствии он с успехомиспользовал их и в «Великом искусстве». Он подметил, что кубическое уравнение иногдаудается решить, если добавить в обе его части одно и то же выражение, так чтобы образовался общий делитель, который можно было бы сократить. При этом решение кубического уравнения сводилось к решению квадратного.

Например, если в обе части уравнения2х 3 + 4х 2 + 25 = 16х + 55 добавить 2х 2 + 10х + 5, то после простейших преобразованийможно получить (2х + 6) (х 2 + 5) = (2х + 6) (х + 10) или х 2 + 5 = х +10, откуда далее находится значение переменной x.

Однако общую формулу решения Кардано так и не удалось отыскать. В конце концов ему удалось заполучить «великий секрет», и с этого времени начался второй и наиболее плодотворный этап его алгебраического творчества.

Предложенный Кардано прием искусственных подстановок оказалсявесьма плодотворным для дальнейшего развития алгебры. Он стал той почвой, на которойвеликому французскому математику Франсуа Виету удалось создать применяемый и ныне «общий способ преобразования уравнений».

Кардано одним из первых в Европе допускал существование отрицательных корней уравнений. В его работе впервые появляются мнимые величины. Кардано также обнаружил, что кубическое уравнение может иметь три вещественных корня (этот факт остался незамеченным даже в трудах Омара Хайяма), причём сумма этих корней всегда равна коэффициенту при x 2 (одна из формул Виета).

Кардано первым из математиков нетолько дал способы решения уравнений, но и попытался проникнуть в их природу, сформулировать положения, общие для всех алгебраических уравнений.

Определенных успехов Кардано достиг и в других областях математики.

Еще одним разделом математики, привлекавшим внимание Кардано, была теория вероятности. Он рассматривал некоторые вероятностные задачи, связанные с игровыми ситуациями, в «Практике арифметики», причем, как утверждают некоторые историкиматематики, фактически уже пользовался теоремой сложения вероятностей, которая появилась значительно позже.

Писал Кардано и о совершенных и треугольных числах, о связи «магических» квадратов с планетами, о «полезных и вредных для человека числах», о различных геометрических проблемах, о правилах коммерческой арифметики, о календарных вычислениях и омногом другом.

В книге «О тонких материях» описано криптографическое средство, получившее название «решетки Кардано».

С помощью решетки секретное послание оказывалось сокрытым внутри более длинногои совершенно невинно выглядевшего открытого текста. В простейшем варианте она представляла собой лист плотного материала (картона или пергамента), в котором через неправильные интервалы прорезаны прямоугольные отверстия постоянной высоты и переменной длины, расположенные на различном расстоянии друг от друга (трафарет).

Человек,передающий сообщение, накладывал решетку на чистый лист бумаги и в перфорированных отверстиях писал текст сообщения, так что в каждом из них помещались либо буква,либо слог, либо целое слово. Затем решетка убиралась, а оставшиеся пробелы заполнялисьнеким текстом, маскирующим секретное сообщение. Для прочтения сообщения достаточно было наложить на лист бумаги аналогичную решетку и читать через «окна» текст.

Подобным криптографическим методом пользовались многие известные исторические лица,например кардинал Арман Жан дюПлесси Ришелье и А. С. Грибоедов (во время своейдипломатической миссии).

Свойства поворотной решетки

Формула Кардано: история и применение

Несколько слов из истории формулы кубических уравнений

Первые попытки найти решения задач, сводящихся к кубическим уравнениям, были сделаны математиками древности (например, задачи об удвоении куба и трисекции угла).

Математики средневековья Востока создали довольно развитую теорию (в геометрической форме) кубических уравнений; наиболее обстоятельно она изложена в трактате «О доказательствах задач алгебры и алмукабалы» Омара Хайама (около 1070 года), где рассмотрен вопрос о нахождении положительных корней 14 видов кубических уравнений, содержащих в обеих частях только члены с положительными коэффициентами.

В Европе впервые в тригонометрической форме решение одного случая кубического уравнения дал Виет (1593).

Первое решение в радикалах одного из видов кубических уравнений удалось найти С. Ферро (около 1515 года), однако оно не было опубликовано. Открытие независимо повторил Н. Тарталья (1535 г.), указав правило решения еще двух других видов кубических уравнений. Опубликованы эти открытия были в 1545 году Дж. Кардано, который упомянул об авторстве Н. Тартальи.

24 сентября 1501, Павия — 21 сентября 1576, Рим) — итальянский математик, инженер, философ, медик и астролог.

Никколо Фонтана Тарталья (итал. NiccolòFontanaTartaglia, 1499—1557) — итальянский математик.

Вообще история рассказывает, что формула изначально была открыта именноТартальей и передана Кардано уже в готовом виде, однако сам Кардано отрицал этот факт, хотя и не отрицал причастность Тартальи к созданию формулы.

За формулой прочно укоренилось название «формула Кардано», в честь ученого, который фактически объяснил и представил её публике.

Математические споры (диспуты) в средние века.

Диспуты в средние века всегда представляли собой интересное зрелище, привлекавшие праздных горожан от мала до велика. Темы диспутов носили разнообразный характер, но обязательно научный. При этом под наукой понимали то, что входило в перечень так называемых семи свободных искусств было, конечно, и богословие. Богословские диспуты были наиболее частыми. Спорили обо всем. Например, о том, приобщать ли мышь к духу святому, если съест причастие, могла ли Кумская сивилла предсказать рождение Иисуса Христа, почему братья и сестры спасителя не причислены к лику святых и т. д.

О споре, который должен был произойти между прославленным математиком и не менее прославленным врачом, высказывались лишь самые общие догадки, так как толком никто ничего не знал. Говорили, что один из них обманул другого (кто именно и кого именно, неизвестно). Почти все те, кто собрались на площади имели о математике самые смутные представления, но каждый с нетерпением ожидал начала диспута. Это всегда было интересно, можно было посмеяться над неудачником, независимо от того, прав он или нет.

Когда часы на ратуше пробили пять, врата широко распахнулись, и толпа бросилась внутрь собора. По обе стороны от осевой линии, соединяющей вход с алтарем, у двух боковых колонн были воздвигнуты две высокие кафедры, предназначенные для спорщиков. Присутствующие громко шумели, не обращая никакого внимания на то, что находились в церкви. Наконец, перед железной решеткой, отделявшей иконостас от остальной части центрального нефа, появился городской глашатай в черно-фиолетовом плаще и провозгласил: «Достославные граждане города Милана! Сейчас перед вами выступит знаменитый математик Никколо Тарталья из Брении. Его противником должен был быть математик и врач ДжеронимоКардано. Никколо Тарталья обвиняет Кардано в том, что последний в своей книге «Arsmagna» опубликовал способ решения уравнения 3-й степени, принадлежащий ему, Тарталье. Однако сам Кардано на диспут прийти не смог и поэтому прислал своего ученика Луидже Феррари. Итак, диспут объявляется открытым, участники его приглашаются на кафедры». На левую от входа кафедру поднялся неловкий человек с горбатым носом и курчавой бородой, а на противоположную кафедру взошел молодой человек двадцати с небольшим лет, с красивым самоуверенным лицом. Во всей его манере держаться сказывалась полная уверенность в том, что каждый его жест и каждое его слово будут приняты с восторгом.

— Уважаемые господа! Вам известно, что 13 лет назад мне удалось найти способ решения уравнения 3-й степени и тогда я, пользуясь этим способом, одержал победу в диспуте с Фиори. Мой способ привлек внимание вашего согражданина Кардано, и он приложил всё своё хитроумное искусство, чтобы выведать у меня секрет. Он не остановился ни перед обманом, ни перед прямым подлогом. Вы знаете также, что 3 года назад в Нюрнберге вышла книга Кардано о правилах алгебры, где мой способ, так бессовестно выкраденный, был сделан достоянием каждого. Я вызвал Кардано и его ученика на состязание. Я предложил решить 31 задачу, столько же было предложено и мне моими противниками. Был определен срок для решения задач – 15 дней. Мне удалось за 7 дней решить большую часть тех задач, которые были составлены Кардано и Феррари. Я напечатал их и послал с курьером в Милан. Однако мне пришлось ждать целых пять месяцев, пока я получил ответы к своим задачам. Они были решены неправильно. Это и дало мне основание вызвать обоих на публичный диспут.

Тарталья замолчал. Молодой человек, посмотрев на несчастного Тарталью, произнес:

— Уважаемые господа! Мой достойный противник позволил себе в первых же словах своего выступления высказать столько клеветы в мой адрес и в адрес моего учителя, его аргументация была столь голословной, что мне едва ли доставит какой-либо труд опровергнуть первое и показать вам несостоятельность второго. Прежде всего, о каком обмане может идти речь, если Никколо Тарталья совершенно добровольно поделился своим способом с нами обоими? И вот как пишет ДжеронимоКардано о роли моего противника в открытии алгебраического правила. Он говорит, что не ему, Кардано, «а моему другу Тарталье принадлежит честь открытия такого прекрасного и удивительного, превосходящего человеческое остроумие и все таланты человеческого духа. Это открытие есть поистине небесный дар, такое прекрасное доказательство силы ума, его постигнувшего, что уже ничто не может считаться для него недостижимым».

Мой противник обвинил меня и моего учителя в том, что мы будто бы дали неверное решение его задач. Но как может быть неверным корень уравнения, если, подставляя его в уравнение и выполняя все предписанные в этом уравнении действия, мы приходим к тождеству? И уже если сеньор Тарталья хочет быть последовательным, то он должен был ответить на замечание, почему мы, укравшие, по его словам, его изобретение и использовавшие его для решения предложенных задач, получили неверное решение. Мы — мой учитель и я — не считаем, однако изобретение синьора Тартальи маловажным. Это изобретение замечательно. Более того, я, опираясь в значительной мере на него, нашел способ решения уравнения 4-й степени, и в «Arsmagna» мой учитель говорит об этом. Что же хочет от нас сеньор Тарталья? Чего он добивается диспутом?

— Господа, господа, — закричал Тарталья, — я прошу вас выслушать меня! Я не отрицаю того, что мой молодой противник очень силен в логике и красноречии. Но этим нельзя заменить истинное математическое доказательство. Задачи, которые я дал Кардано и Феррари, решены неправильно, но и я докажу это. Действительно, возьмем, например, уравнение из числа решавшихся. Оно, как известно.

В церкви поднялся невообразимый шум, поглотивший полностью окончание фразы, начатой незадачливым математиком. Ему не дали продолжать. Толпа, требовала от него, чтобы он замолчал, и чтобы очередь была предоставлена Феррари. Тарталья, видя, что продолжение спора совершенно бесполезно, поспешно опустился с кафедры и вышел через северный притвор на площадь. Толпа бурно приветствовала «победителя» диспута Луиджи Феррари.

Так закончился этот спор, который и сейчас продолжает вызывать все новые и новые споры. Кому в действительности принадлежит способ решения уравнения 3-й степени? Мы говорим сейчас — Никколо Тарталье. Он открыл, а Кардано выманил у него это открытие. И если сейчас мы называем формулу, представляющую корни уравнения 3-й степени через его коэффициенты, формулой Кардано, то это — историческая несправедливость. Однако, несправедливость ли? Как подсчитать меру участия в открытии каждого из математиков? Может быть, со временем кто-то и сможет ответить на этот вопрос совершенно точно, а может быть это останется тайной.

Источник

Исследовательский проект «Формула Кардано: история и применение»

Выбранный для просмотра документ Формула Кардано.ppt

Описание презентации по отдельным слайдам:

Формула Кардано: история и применение Выполнила ученица 9 «Б» класса МКОУ Аннинская СОШ № 3 Генега Дарья Руководитель: учитель математики Конюхова Г. С. ЯНВАРЬ 2016

Никколо Фонтана Тарталья (итал. NiccolòFontanaTartaglia, 1499—1557) — итальянский математик. http://ru.wikipedia.org/wiki/Тарталья,_Никколо Джероламо Кардано 24 сентября 1501, Павия — 21 сентября 1576, Рим) — итальянский математик, инженер, философ, медик и астролог. http://ru.wikipedia.org/wiki/Кардано,_Джероламо

Пример 1: x3 +15x+124 = 0

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ

Интернет-ресурсы Книга: http://www.liveinternet.ru/users/4321745/post201324261/ Карандаш: http://allforchildren.ru/pictures/showimg/school5/school0519jpg.htm Линейка, циркуль, лекало: http://www.ineedsex.ru/main.php?g2_view=core.DownloadItem&g2_itemId=345&g2_serialNumber=2 Транспортир: http://knopka48.ru/images/detailed/1/26449_2.png Фон «тетрадная клетка»: http://radikal.ua/data/upload/49112/4efc3/3bd0a3d6bb.jpg

Выбранный для просмотра документ Аннотация исследовательского проекта.docx

Аннотация исследовательского проекта

«Формула Кардана: история и применение»,

выполненного ученицей 9″В» класса Митрофановой Натальей.

Руководитель: Конюхова Галина Станиславовна.

МКОУ Аннинская СОШ № 3, п.г.т. Анна, Воронежская область

Это проблемно-исследовательский проект с применением ИКТ. Познакомившись с работой, ребята освоят ещё один способ решения уравнений третьей степени. Рассмотренные задания имеют различный уровень трудности – от простых до более сложных. Каждый может найти среди них задачи посильного уровня сложности, отталкиваясь от которых, можно будет переходить к решению более трудных. Такой способ нахождения корней уравнений третьей степени поможет ученикам справиться с такими задачами при сдаче ОГЭ и ЕГЭ по математике.

Выбранный для просмотра документ РЕЦЕНЗИЯ.doc

РЕЦЕНЗИЯ

1. Предмет анализа: проектная работа по курсу математика учащейся 9 «В» класса Митрофановой Натальи по теме «Формула Кардано: история и применение».

2. Актуальность темы: для обычного школьника решение квадратного уравнения – знакомая процедура, идущая по знакомым правилам. Даже самые заядлые троечники с удовольствием по привычному алгоритму находят корни квадратного уравнения. Однако, как только степень уравнения превышает вторую, в ступор впадают даже отличники. Хочется какой-то определенности, каких-то четких правил. Остановимся поподробнее на кубических уравнениях. Логичен вопрос: существует ли наряду с этим алгоритмом алгоритм вычисления корней кубического уравнения (многочлена третьей степени)? Вообще в школе решать кубические уравнения при помощи определенных формул не требуется, обычно мы решаем его при помощи подстановки случайных чисел или деления многочленов для упрощения и последующего решения квадратных уравнений, или разложением на множители, реже графически. Считается, что интересующие нас формулы громоздки и неудобны для практических вычислений. Однако, решая задачи, сводящиеся к кубическим уравнениям, так и хочется применить соответствующую формулу, какой бы сложной она не оказалась.

3. Формулировка основного тезиса: объектом исследования выбраны уравнения третьей степени.

5. Общая оценка: оценивая работу в целом, можно сказать, что тема раскрыта полностью, суммируя результаты отдельных глав, напрашивается вывод о соответствии выбранной темы с её содержанием – каждый блок работы дополняет другой, наблюдается плавный переход от части к части. Таким образом, в рассматриваемой работе автор проявил умение разбираться в терминах, касающихся данной темы, систематизировал материал и обобщил его, благодаря чему углубляются школьные представления об исследуемой теме.

6. Выводы: работа может быть оценена «отлично», так как удовлетворяет всем основным требованиям.

Учитель: ___________ (Г.С. Конюхова)

Выбранный для просмотра документ автореферат Формула Кардано история и применение.docx

МУНИЦИПАЛЬНАЯ VII УЧЕНИЧЕСКАЯ НАУЧНО-ПРАКТИЧЕСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ « ЮНОСТЬ: ТВОРЧЕСТВО, ПОИСК, УСПЕХ»

Аннинский муниципальный район

Тема: «Формула Кардано: история и применение»

Автор работы: Митрофанова Наталья

МКОУ Аннинская СОШ №3, 9 «В» класс

Место выполнения работы: МКОУ Аннинская СОШ № 3, 9 «В» класс,

Воронежская область, п.г.т. Анна

г. АННА, 2014/2015учебный год

Формула Кардано: история и применение

Несколько слов из истории формулы кубических уравнений……………………..

Математические диспуты в средние века…………………………………………..

Примеры универсальных способов решения кубических уравнений……………

Математическое образование, получаемое в общеобразовательных школах, является важнейшим компонентом общего образования и обшей культуры современного человека. Практически все, что окружает человека, –это все так или иначе связано с математикой. А последние достижения в физике, технике, информационных технологиях не оставляет сомнения, что и в будущем положение вещей остается прежним. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые необходимо научится решать.

Линейные уравнения первой степени нас учили решать еще в первом классе, и особого интереса к ним мы не проявляли. Интереснее нелинейные уравнения – уравнения больших степеней. Математика выявляет порядок, симметрию и определенность, а это – высшие виды прекрасного.

Мы на занятиях решали уравнения и кубические, и степени выше 3-х. Решая уравнения разными методами, мы складывали, вычитали, умножали, делили коэффициенты, возводили их в степень и извлекали из них корни, коротко говоря, выполняли алгебраические действия. Есть формула для решения квадратных уравнений. А существует ли формула для решения уравнения третьей степени, т.е. указания, в каком именно порядке и какие именно алгебраические действия надо произвести с коэффициентами, чтобы получить корни. Мне стало интересно узнать, не попытались ли известныематематики отыскать общую формулу, пригодную для решения кубических уравнений? А если попытались, смогли ли они получить выражение корней через коэффициенты уравнения?

Объект исследования : алгебраическое уравнение третьей степени.

Предмет исследования: уравнения третьей степени, методы и приёмы их решения.

Методы исследования: моделирование, сравнение, обобщение, аналогии, изучение литературных и Интернет-ресурсов, анализ и классификация информации.

Цель исследования: систематизирование знаний о способах решения кубических уравнений, установление факта существования формулы для нахождения корней уравнения третий степени, а также связи между корнями и коэффициентами в кубическом уравнении.

Для достижения поставленной цели предусматриваем решение следующих задач :

Подобрать необходимую литературу.

Отобрать материал для исследования, выбрать главную, интересную, понятную информацию.

Проанализировать и систематизировать полученную информацию.

Найти различные методы и приёмы решенийуравнений третьей степени.

Создать электронную презентацию работы для представления собранного материала одноклассникам.

Гипотеза. Можно предположить, что формулы громоздки, неудобны для запоминания, а вычисления по ним занимают много времени. Также можно предположить, что можно предложить иные универсальные пути для решения кубических уравнений.

Формула Кардано: история и применение

Несколько слов из истории формулы кубических уравнений

Первые попытки найти решения задач, сводящихся к кубическим уравнениям, были сделаны математиками древности (например, задачи об удвоении куба и трисекции угла).

Математики средневековья Востока создали довольно развитую теорию (в геометрической форме) кубических уравнений; наиболее обстоятельно она изложена в трактате «О доказательствах задач алгебры и алмукабалы» Омара Хайама (около 1070 года), где рассмотрен вопрос о нахождении положительных корней 14 видов кубических уравнений, содержащих в обеих частях только члены с положительными коэффициентами.

В Европе впервые в тригонометрической форме решение одного случая кубического уравнения дал Виет (1593).

Первое решение в радикалах одного из видов кубических уравнений удалось найти С. Ферро (около 1515 года), однако оно не было опубликовано. Открытие независимо повторил Н. Тарталья (1535 г.), указав правило решения еще двух других видов кубических уравнений. Опубликованы эти открытия были в 1545 году Дж. Кардано, который упомянул об авторстве Н. Тартальи.

24 сентября 1501, Павия — 21 сентября 1576, Рим) — итальянский математик, инженер, философ, медик и астролог.

Никколо Фонтана Тарталья (итал. NiccolòFontanaTartaglia, 1499—1557) — итальянский математик.

Вообще история рассказывает, что формула изначально была открыта именноТартальей и передана Кардано уже в готовом виде, однако сам Кардано отрицал этот факт, хотя и не отрицал причастность Тартальи к созданию формулы.

За формулой прочно укоренилось название «формула Кардано», в честь ученого, который фактически объяснил и представил её публике.

Математические диспуты в средние века.

Диспуты в средние века всегда представляли собой интересное зрелище, привлекавшие праздных горожан от мала до велика. Темы диспутов носили разнообразный характер, но обязательно научный. При этом под наукой понимали то, что входило в перечень так называемых семи свободных искусств было, конечно, и богословие. Богословские диспуты были наиболее частыми. Спорили обо всем. Например, о том, приобщать ли мышь к духу святому, если съест причастие, могла ли Кумская сивилла предсказать рождение Иисуса Христа, почему братья и сестры спасителя не причислены к лику святых и т. д.

О споре, который должен был произойти между прославленным математиком и не менее прославленным врачом, высказывались лишь самые общие догадки, так как толком никто ничего не знал. Говорили, что один из них обманул другого (кто именно и кого именно, неизвестно). Почти все те, кто собрались на площади имели о математике самые смутные представления, но каждый с нетерпением ожидал начала диспута. Это всегда было интересно, можно было посмеяться над неудачником, независимо от того, прав он или нет.

Когда часы на ратуше пробили пять, врата широко распахнулись, и толпа бросилась внутрь собора. По обе стороны от осевой линии, соединяющей вход с алтарем, у двух боковых колонн были воздвигнуты две высокие кафедры, предназначенные для спорщиков. Присутствующие громко шумели, не обращая никакого внимания на то, что находились в церкви. Наконец, перед железной решеткой, отделявшей иконостас от остальной части центрального нефа, появился городской глашатай в черно-фиолетовом плаще и провозгласил: «Достославные граждане города Милана! Сейчас перед вами выступит знаменитый математик Никколо Тарталья из Брении. Его противником должен был быть математик и врач ДжеронимоКардано. Никколо Тарталья обвиняет Кардано в том, что последний в своей книге «Arsmagna» опубликовал способ решения уравнения 3-й степени, принадлежащий ему, Тарталье. Однако сам Кардано на диспут прийти не смог и поэтому прислал своего ученика Луидже Феррари. Итак, диспут объявляется открытым, участники его приглашаются на кафедры». На левую от входа кафедру поднялся неловкий человек с горбатым носом и курчавой бородой, а на противоположную кафедру взошел молодой человек двадцати с небольшим лет, с красивым самоуверенным лицом. Во всей его манере держаться сказывалась полная уверенность в том, что каждый его жест и каждое его слово будут приняты с восторгом.

— Уважаемые господа! Вам известно, что 13 лет назад мне удалось найти способ решения уравнения 3-й степени и тогда я, пользуясь этим способом, одержал победу в диспуте с Фиори. Мой способ привлек внимание вашего согражданина Кардано, и он приложил всё своё хитроумное искусство, чтобы выведать у меня секрет. Он не остановился ни перед обманом, ни перед прямым подлогом. Вы знаете также, что 3 года назад в Нюрнберге вышла книга Кардано о правилах алгебры, где мой способ, так бессовестно выкраденный, был сделан достоянием каждого. Я вызвал Кардано и его ученика на состязание. Я предложил решить 31 задачу, столько же было предложено и мне моими противниками. Был определен срок для решения задач – 15 дней. Мне удалось за 7 дней решить большую часть тех задач, которые были составлены Кардано и Феррари. Я напечатал их и послал с курьером в Милан. Однако мне пришлось ждать целых пять месяцев, пока я получил ответы к своим задачам. Они были решены не правильно. Это и дало мне основание вызвать обоих на публичный диспут.

Тарталья замолчал. Молодой человек, посмотрев на несчастного Тарталью, произнес:

— Уважаемые господа! Мой достойный противник позволил себе в первых же словах своего выступления высказать столько клеветы в мой адрес и в адрес моего учителя, его аргументация была столь голословной, что мне едва ли доставит какой-либо труд опровергнуть первое и показать вам несостоятельность второго. Прежде всего, о каком обмане может идти речь, если Никколо Тарталья совершенно добровольно поделился своим способом с нами обоими? И вот как пишет ДжеронимоКардано о роли моего противника в открытии алгебраического правила. Он говорит, что не ему, Кардано, «а моему другу Тарталье принадлежит честь открытия такого прекрасного и удивительного, превосходящего человеческое остроумие и все таланты человеческого духа. Это открытие есть поистине небесный дар, такое прекрасное доказательство силы ума, его постигнувшего, что уже ничто не может считаться для него недостижимым».

Мой противник обвинил меня и моего учителя в том, что мы будто бы дали неверное решение его задач. Но как может быть неверным корень уравнения, если подставляя его в уравнение и выполняя все предписанные в этом уравнении действия, мы приходим к тождеству? И уже если сеньор Тарталья хочет быть последовательным, то он должен был ответить на замечание, почему мы, укравшие, по его словами, его изобретение и использовавшие его для решения предложенных задач, получили неверное решение. Мы — мой учитель и я — не считаем, однако изобретение синьора Тартальи маловажным. Это изобретение замечательно. Более того, я, опираясь в значительной мере на него, нашел способ решения уравнения 4-й степени, и в «Arsmagna» мой учитель говорит об этом. Что же хочет от нас сеньор Тарталья? Чего он добивается диспутом?

— Господа, господа, — закричал Тарталья, — я прошу вас выслушать меня! Я не отрицаю того, что мой молодой противник очень силен в логике и красноречии. Но этим нельзя заменить истинное математическое доказательство. Задачи, которые я дал Кардано и Феррари, решены неправильно, но и я докажу это. Действительно, возьмем, например, уравнение из числа решавшихся. Оно, как известно.

В церкви поднялся невообразимый шум, поглотивший полностью окончание фразы, начатой незадачливым математиком. Ему не дали продолжать. Толпа, требовала от него, чтобы он замолчал, и чтобы очередь была предоставлена Феррари. Тарталья, видя, что продолжение спора совершенно бесполезно, поспешно опустился с кафедры и вышел через северный притвор на площадь. Толпа бурно приветствовала «победителя» диспута Луиджи Феррари.

Так закончился этот спор, который и сейчас продолжает вызывать все новые и новые споры. Кому в действительности принадлежит способ решения уравнения 3-й степени? Мы говорим сейчас — Никколо Тарталье. Он открыл, а Кардано выманил у него это открытие. И если сейчас мы называем формулу, представляющую корни уравнения 3-й степени через его коэффициенты, формулой Кардано, то это — историческая несправедливость. Однако, несправедливость ли? Как подсчитать меру участия в открытии каждого из математиков? Может быть, со временем кто-то и сможет ответить на этот вопрос совершенно точно, а может быть это останется тайной.

Источник