product log function что это

Функция Ламберта

Содержание

История

Функция изучалась ещё в работе Леонарда Эйлера в 1779, но не имела самостоятельного значения и названия вплоть до 1980-х. Как самостоятельная функция была введена в системе компьютерной алгебры LambertW. Имя Иоганна Генриха Ламберта было выбрано, поскольку Эйлер ссылался в своей работе на труды Ламберта, и поскольку «называть ещё одну функцию именем Эйлера было бы бесполезно» [1]

Многозначность

Свойства

С помощью дифференцирования неявной функции можно получить, что при функция Ламберта удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению

С помощью теоремы об обращении рядов можно получить выражение для ряда Тейлора; он в окрестности нуля сходится при | z | :

С помощью интегрирования по частям можно найти интеграл от W(z):

Значение в некоторых точках

Решение уравнений с помощью W-функции

Решения многих трансцендентных уравнений могут быть выражены в форме W-функции.

Вычисление

Пример программы на языке Python:

Для приближённого вычисления можно использовать формулу [2] :

Ссылки

Полезное

Смотреть что такое «Функция Ламберта» в других словарях:

Функция Эйлера — Не следует путать с функцией распределения простых чисел. Первая тысяча значений Функция Эйлера φ(n) мультипликативная … Википедия

ЛАМБЕРТА ПРЕОБРАЗОВАНИЕ — интегральное преобразование вида Л. п. является непрерывным аналогом Ламберта ряда (при соответствии Имеет место следующая формула обращения. Пусть и тогда если t>0 и функция a(t).непрерывна при t=t то гдеm(n) Мёбиуса функция. Лит.:[1] W i d d … Математическая энциклопедия

Ламберт, Иоганн Генрих — В Википедии есть статьи о других людях с такой фамилией, см. Ламберт. Иоганн Генрих Ламберт Johann Heinrich Lambert … Википедия

Список математических функций — Эта страница информационный список. В математике, многие функции и группы функций настолько важны, что заслужили право на собственные имена. Ниже приведён список статей, которые содержат подробные описания некоторых из таких функций … Википедия

Иоганн Генрих Ламберт — (нем. Johann Heinrich Lambert; 26 августа 1728, Мюлуз, Эльзас 25 сентября 1777, Берлин) физик, философ, математик; был академиком в Мюнхене и Берлине. Его философские воззрения проявились под влиянием Вольфа, Мальбранша и Локка. По … Википедия

Иоганн Ламберт — Иоганн Генрих Ламберт Иоганн Генрих Ламберт (нем. Johann Heinrich Lambert; 26 августа 1728, Мюлуз, Эльзас 25 сентября 1777, Берлин) физик, философ, математик; был академиком в Мюнхене и Берлине. Его философские воззрения проявились под влиянием… … Википедия

Ламберт, Иоганн — Иоганн Генрих Ламберт Иоганн Генрих Ламберт (нем. Johann Heinrich Lambert; 26 августа 1728, Мюлуз, Эльзас 25 сентября 1777, Берлин) физик, философ, математик; был академиком в Мюнхене и Берлине. Его философские воззрения проявились под влиянием… … Википедия

Ламберт, Иохан Генрих — Иоганн Генрих Ламберт Иоганн Генрих Ламберт (нем. Johann Heinrich Lambert; 26 августа 1728, Мюлуз, Эльзас 25 сентября 1777, Берлин) физик, философ, математик; был академиком в Мюнхене и Берлине. Его философские воззрения проявились под влиянием… … Википедия

Ламберт И. — Иоганн Генрих Ламберт Иоганн Генрих Ламберт (нем. Johann Heinrich Lambert; 26 августа 1728, Мюлуз, Эльзас 25 сентября 1777, Берлин) физик, философ, математик; был академиком в Мюнхене и Берлине. Его философские воззрения проявились под влиянием… … Википедия

Источник

gives the principal solution for w in .

gives the k solution.

Details

Examples

Basic Examples (6)

Plot over a subset of the reals:

Plot over a subset of the complexes:

Series expansion at the origin:

Asymptotic expansions at Infinity :

Asymptotic expansions at a singular point:

Scope (36)

Numerical Evaluation (6)

Evaluate to high precision:

The precision of the output tracks the precision of the input:

Complex number input:

Evaluate efficiently at high precision:

ProductLog threads elementwise over lists and matrices:

Specific Values (4)

Values of ProductLog at fixed points:

Values at infinity:

Find a value of x for which the ProductLog [ x ] =0.5 using FindRoot :

Visualization (3)

Plot the ProductLog function:

Plot the real part of :

Plot the imaginary part of :

Polar plot with :

Function Properties (10)

ProductLog is defined for all complex values:

The two-argument form requires that be an integer and :

ProductLog is not an analytic function:

Nor is it meromorphic:

ProductLog is increasing on its real domain:

ProductLog is neither non-negative nor non-positive:

ProductLog is concave on its real domain:

Differentiation (3)

The first derivative with respect to z :

Higher derivatives with respect to z :

Plot the higher derivatives with respect to z :

Derivative of a nested logarithmic function:

Integration (3)

Compute the indefinite integral using Integrate :

Verify the anti-derivative:

Definite integral of ProductLog :

Series Expansions (5)

Find the Taylor expansions using Series :

Plots of the first three approximations around :

Expand the two-argument form:

The general term in the series expansion using SeriesCoefficient :

Find the series expansion at Infinity :

Find series expansions at branch points and branch cuts:

The series expansion at infinity contains nested logarithms:

Function Identities and Simplifications (2)

ProductLog gives the solution for the following equation:

Expand assuming real variables x and y :

Generalizations & Extensions (3)

Evaluate numerically on different sheets of the Riemann surface:

Find series expansions at branch points and branch cuts:

The branch points and branch cuts are different for :

Applications (9)

Solve an equation in terms of ProductLog :

Plot the real and imaginary parts of ProductLog :

Plot the Riemann surface of ProductLog :

Calculate the limit of :

Compare the exact result with explicit iterations for :

Determine the number of labeled unrooted trees from the generating function:

Solve Lotka – Volterra equations:

Find the frequency of the maximum of the blackbody spectrum:

Solve the Haissinski equation:

Equipotential curves of a plate capacitor:

Properties & Relations (5)

Compositions with the inverse function may need PowerExpand :

Use FullSimplify to simplify expressions containing ProductLog :

Solve a transcendental equation:

Possible Issues (2)

Generically :

On branch cuts, machine ‐ precision inputs can give numerically wrong answers:

Use arbitrary ‐ precision arithmetic to get correct results:

Источник

Solving Logarithmic Functions – Explanation & Examples

In this article, we will learn how to evaluate and solve logarithmic functions with unknown variables.

Logarithms and exponents are two topics in mathematics that are closely related. Therefore it is useful we take a brief review of exponents.

The exponential function 2 2 is read as “two raised by the exponent of five” or “two raised to power five” or “two raised to the fifth power.”

How to Solve Logarithmic Functions?

To solve the logarithmic functions, it is important to use exponential functions in the given expression. The natural log or ln is the inverse of e. That means one can undo the other one i.e.

To solve an equation with logarithm(s), it is important to know their properties.

Properties of logarithmic functions

Properties of logarithmic functions are simply the rules for simplifying logarithms when the inputs are in the form of division, multiplication, or exponents of logarithmic values.

Some of the properties are listed below.

The product rule of logarithm states the logarithm of the product of two numbers having a common base is equal to the sum of individual logarithms.

The quotient rule of logarithms states that the logarithm of the two numbers’ ratio with the same bases is equal to the difference of each logarithm.

The power rule of logarithm states that the logarithm of a number with a rational exponent is equal to the product of the exponent and its logarithm.

Other properties of logarithmic functions include:

Comparison of exponential function and logarithmic function

Whenever you see logarithms in the equation, you always think of how to undo the logarithm to solve the equation. For that, you use an exponential function. Both of these functions are interchangeable.

The following table tells the way of writing and interchanging the exponential functions and logarithmic functions. The third column tells about how to read both the logarithmic functions.

Let’s use these properties to solve a couple of problems involving logarithmic functions.

Example 1

Rewrite exponential function 7 2 = 49 to its equivalent logarithmic function.

Here, the base = 7, exponent = 2 and the argument = 49. Therefore, 7 2 = 64 in logarithmic function is;

Example 2

Write the logarithmic equivalent of 5 3 = 125.

5 3 = 125 ⟹ log ₅ 125 =3

Example 3

Solve for x in log ₃ x = 2

Example 4

If 2 log x = 4 log 3, then find the value of ‘x’.

Divide each side by 2.

Example 5

Find the logarithm of 1024 to the base 2.

Example 6

Find the value of x in log ₂ (x) = 4

Rewrite the logarithmic function log ₂(x) = 4 to exponential form.

Example 7

Solve for x in the following logarithmic function log ₂ (x – 1) = 5.

Solution
Rewrite the logarithm in exponential form as;

log ₂ (x – 1) = 5 ⟹ x – 1 = 2 5

Now, solve for x in the algebraic equation.
⟹ x – 1 = 32
x = 33

Example 8

Find the value of x in log x 900 = 2.

Write the logarithm in exponential form as;

Find the square root of both sides of the equation to get;

But since, the base of logarithms can never be negative or 1, therefore, the correct answer is 30.

Example 9

Solve for x given, log x = log 2 + log 5

Using the product rule Log _b (m n) = log _b m + log _b n we get;

⟹ log 2 + log 5 = log (2 * 5) = Log (10).

Example 10

Solve log _x (4x – 3) = 2

Rewrite the logarithm in exponential form to get;

Since the base of a logarithm can never be 1, then the only solution is 3.

Practice Questions

1. Express the following logarithms in exponential form.

2. Solve for x in each of the following logarithms

c. log (x + 2) + log (x – 1) = 1

d. log x 4 – log 3 = log(3x 2 )

3. Find the value of y in each of the following logarithms.

4. Solve for xif log _x (9/25) = 2.

5. Solve log ₂ 3 – log ₂24

6. Find the value of x in the following logarithm log ₅ (125x) =4

7. Given, Log ₁₀2 = 0.30103, Log ₁₀ 3 = 0.47712 and Log ₁₀ 7 = 0.84510, solve the following logarithms:

Источник

The Derivative of Cost Function for Logistic Regression

Introduction:

Linear regression uses Least Squared Error as a loss function that gives a convex loss function and then we can complete the optimization by finding its vertex as a global minimum. However for logistic regression, the hypothesis is changed, the Least Squared Error will result in a non-convex loss function with local minimums by calculating with the sigmoid function applied on raw model output.

However, we are very familiar with the gradient of the cost function of linear regression it has a very simplified form given below, But I wanted to mention a point here that gradient for the loss function of logistic regression also comes out to have the same form of terms in spite of having a complex log loss error function.

In order to preserve the convex nature for the loss function, a log loss error function has been designed for logistic regression. The cost function is split for two cases y=1 and y=0.

For the case when we have y=1 we can observe that when hypothesis function tends to 1 the error is minimized to zero and when it tends to 0 the error is maximum. This criterion exactly follows the criterion as we wanted

Combining both the equation we get a convex log loss function as shown below-

In order to optimize this convex function, we can either go with gradient-descent or newtons method. For both cases, we need to derive the gradient of this complex loss function. The mathematics for deriving gradient is shown in the steps given below

The Derivative of Cost Function:

Since the hypothesis function for logistic regression is sigmoid in nature hence, The First important step is finding the gradient of the sigmoid function. We can see from the derivation below that gradient of the sigmoid function follows a certain pattern.

Step 1:

Applying Chain rule and writing in terms of partial derivatives.

Step 2:

Evaluating the partial derivative using the pattern of the derivative of the sigmoid function.

Step 3:

Simplifying the terms by multiplication

Step 4:

Removing the summation term by converting it into a matrix form for the gradient with respect to all the weights including the bias term.

Conclusion:

This little calculus exercise shows that both linear regression and logistic regression (actually a kind of classification) arrive at the same update rule. What we should appreciate is that the design of the cost function is part of the reasons why such “coincidence” happens.

Thank you for reading.

If you like my work and want to support me:

Источник

Что такое лог (log) программы.

Решая различные компьютерные задачи, можно не раз столкнуться с таким понятием как лог (с англ. log). Лог какой-то программы. Давайте попробуем разобраться что это такое и для чего это нужно.

Log (с англ. журнал). У большинства программ, которые установлены на вашем компьютере, есть этот самый журнал.

Т.е. это такой же обычный файл, который мы с вами можем создать на компьютере. Таким же образом программа работая на компьютере, может создать этот файл и вносить туда программным образом какие-то текстовые пометки.

Зачем же программе вести какие-то записи, какой-то журнал?

Дело в том, что если мы с вами будем следить за человеком, который работает на компьютере, мы можем сказать, что этот человек делал в конкретный момент времени, какие программы он запускал, какие ошибки он совершал при работе на компьютере и.т.д.

Но, если мы говорим о компьютерной программе, здесь все не так ясно. Все действия, которые производит программа, они скрыты от взгляда обычного пользователя. Они обычно происходят с такой большой скоростью событий, что человеческий глаз просто не успеет за все этим уследить.

Для того, чтобы отслеживать состояние какой-то программы. Что делала программа в какой-то конкретный момент времени, какие при этом возникали ошибки, кто с этой программой взаимодействовал и др. вопросы. Все события, которые происходили с этой программой, эта программа может записывать в специальный журнал, так называемый лог-файл.

В каждой записи содержится информация о том, что происходило с программой и когда это происходило.

Давайте подведем итог, что такое лог и зачем он нужен. Это текстовый файл, в который программа записывает какие-то события, которые с ней происходят. Благодаря этим событиям мы можем получить какую-то дополнительную информацию, что происходило с этой программой в какой-то определенный момент времени, получить отладочную информацию, чтобы легче устранить какую-то ошибку.

Надеюсь, что стало понятнее что такое лог-файл и зачем он нужен и вы теперь будете использовать этот журнал в своей работе.

Источник