примеры нормального распределения в реальной жизни
Новичкам. Логнормальное распределение и допущения модели Блэка-Шоулза.
В тот раз мы разобрались с темой нормального распределения, а сегодня попытаемся для себя разобраться с новой темой, еще более интересной. Она очень важная, поэтому будет много текста из книги Натенберга.
До сих пор мы определяли волатильность как процентное изменение цены базового актива. В этом смысле процентная ставка и волатильность схожи, поскольку и то и другое дает представление о доходности. Основное различие между ними заключается в том, что процентный доход положителен, в то время как волатильность отражает как положительное, так и отрицательные доходности. Если вложить деньги под фиксированную ставку, то сумма всегда увеличивается. Но если вложить их в БА с волатильностью больше нуля, то цена этого инструмента может как повыситься, так и понизиться. Волатильность, определяемая как стандартное отклонение процентных изменений цены БА ничего не говорит о направлении изменения цены.
Когда проценты выплачиваются чаще, даже если годовая ставка не меняется, доходность увеличивается. В случае непрерывной выплаты процентов доходность будет максимальной (здесь используются сложные проценты, непрерывное начисление означает, что интервал между выплатами становится все меньше и меньше, в предельном случае — бесконечно малым, при этом рост суммы описывается функцией exp(r*t)).
В случае отрицательной процентной ставки убытки, как и отрицательная доходность, меньше, если убытки начисляются чаще, хотя годовая ставка остается неизменной.
Точно так же, как процентные выплаты могут начисляться с разными интервалами и давать различные эффективные доходности, так и волатильность может рассчитываться с разными интервалами. Для целей оценки опциона делается допущение, что цена БА меняется непрерывно (как вверх, так и вниз), а волатильность «накапливается» непрерывно со скоростью, соответствующей годовой волатильности данного БА (если точнее, то непрерывно накапливается не волатильность, а дисперсия, поэтому волатильность увеличивается пропорционально корню квадратному из времени).
Модель Блэка-Шоулза — это модель непрерывного времени. Она исходит из того, что волатильность БА в течение всего срока действия опциона постоянна, но эта волатильность рассчитывается по методу непрерывного начисления. Эти два допущения означают, что возможные цены БА распределяются логнормально. Это также объясняет, почему у опционов с более высоким страйком стоимость больше, чем у опциона со страйком пониже, когда обе цены как будто одинаково далеки от текущей цены БА.
Здесь ВНИМАНИЕ! Я собственными глазами видел, когда цены по равноудаленным страйкам от текущей цены БА были одинаковыми. И такое бывает очень часто. Вопрос аудитории на засыпку: почему так бывает?
Предположим, что цена фьюча РИ составляет ровно 100 000. Если мы принимаем во внимание нормальное распределение возможных цен, то 110 колл и 90 пут, которые оба вне денег на 10%, должны иметь одинаковую теоретическую стоимость. Но если мы допускаем в модели Блэка-Шоулза логнормальное распределение, то стоимость 110 колла всегда будет выше стоимости 90 пута. Логнормальное распределение предполагает более значительное в абсолютном выражении повышательное изменение цены.
Таким образом, для 110 колла характерна более высокая вероятность роста цены, чем для 90 пута. Сноска на полях: конечно же это только в теории, а на практике нет никакого закона, который гласил бы, что рыночная цена 90 пута не может превысить цену 110 колла.
Логарифмическая функция берется всегда от положительных значений, так было бы писать правильно, но саму идею Натенберг очень красиво изложил, логнормальное распределение чаще встречается в реальной жизни, потому что цена на товар не может быть отрицательной, если не считать WTI.
Не лишним будет также вспомнить про саму функцию логарифма и ее свойства:
Как мы увидим дальше, есть основания сомневаться и в правомерности третьего допущения о логнормальном распределении цен при экспирации. Для одних рынков оно правомерно, для других — нет. Здесь опять-таки важно, чтобы использующий модель трейдер знал, какие допущения принимаются при расчете теоретической стоимости опциона, тогда он сможет решить насколько точны эти допущения, а, следовательно, и полученные значения теоретической стоимости.
Если такие вот топики вам заходят, ставьте лайки и жмите колокольчик.
Новичкам. Опционы и Гауссово (нормальное) распределение.
Продолжаем грызть тему опционов по книгам Саймона и Натенберга, сегодня добрались до темы волатильность.
Волатильность — это то, что отличает торговлю фьючерсами от опционов. Кто не знает как работает волатильность, по каким законам она живет, не сможет работать с опционами. Там, где волатильность, там есть и теория вероятности, а там, где теория вероятности — сидит определенный математический аппарат.
Именно в этой точке гуманитарий опускает руки, потому что не может разобраться как работать с моделью Блэка-Шоулза, не знает элементарных понятий из теории вероятности, не знает как работает Гауссово распределение.
Будем двигаться понемногу, сегодня разберемся именно с Гауссовым распределением, я покажу на пальцах что это такое и уже потом будем постепенно углубляться в модель Блэка-Шоулза (да-да, уважаемые новички, без понимания как работает эта модель вы будете терять деньги на опционном рынке).
Что же такое Гауссово распределение, оно же распределение Гаусса-Лапласа? Это такое распределение вероятностей, которое в одномерном случае задаётся функцией плотности вероятности, совпадающей с функцией Гаусса:
Важно знать следующие свойства функции плотности распределения Гаусса:
С вероятностью 68,2% случайная величина не отклонится от своего математического ожидания дальше, чем 1 сигма.
С вероятностью 95,4% случайная величина не отклонится от своего математического ожидания дальше, чем 2 сигма.
С вероятностью 99,7% случайная величина не отклонится от своего математического ожидания дальше, чем 3 сигма.
Что это такое и как с этим работать трейдеру?
Есть удивительный индикатор Боллинджера, который показывает среднюю, верхнюю и нижнюю границу диапазона изменения цены актива, по умолчанию там настроен параметр 2сигма. Таким образом, если бы рынок подчинялся распределению Гаусса, то с вероятностью 95,4% цена не должна выходить за границы диапазона. Но почему же иногда она выходит? Потому что нормальное распределение по Гауссу это всего лишь математическая модель, рынки же в основе своей живут не по распределению Гаусса, на рынках есть тренд и память. Именно поэтому о каком-то случайном блуждании цены говорить не приходится, но в то же время рынки очень часто живут также и по Гауссу, мы это видим во время боковиков, когда цена хаотично движется туда-сюда, но не выходит за границы диапазона. Это как раз частный случай хаотичного движения (пропал тренд).
Более простого изложения на практике «куполообразного» распределение вероятностей я нигде не видел ранее, именно этим меня и цепанула книга Натенберга. Респект автору, умеет он всё же нетривиальные вещи объяснить простым языком.
Случайное блуждание.
Возьмем для примера игру пинбол. Шарик катится вниз через частокол штырьков. Наткнувшись на штырек, он отклоняется вправо или влево с вероятностью 50%. После этого шарик попадает на новый уровень, где натыкается на другой штырек. Наконец, внизу он падает в одну из лунок.
Движение шарика через частокол штырьков называют случайным блужданием. Как только шарик попадает в этот частокол, никто не может повлиять на его траекторию, равно как и предсказать эту траекторию.
Если бросить достаточное количество шариков, то можно получить распределение, которое называется Гауссовым — большинство шариков попадает в центр игрового поля; чем дальше лунки расположены от центра, тем меньше шариков в них оказывается. Такое распределение называется еще нормальным или колоколообразным:
Если бросить бесконечно большое количество шариков, то распределение будет описываться колоколообразной кривой, изображенной на рисунке.
Низковолатильное распределение.
Теперь давайте слегка изменим условия игры, поставив вертикальные перегородки таким образом, что теперь, наткнувшись на штырек и отклонившись влево или вправо, шарик опустится до соприкосновения со следующим штырьком не на один, а на два уровня. Если бросить достаточное количество шариков, то получится распределение, представленное кривой на рисунке (низковолатильное распределение):
Поскольку боковые движения шариков ограничены, пик этой кривой будет выше, а ее хвосты будут более узкими, чем у кривой на предыдущем рисунке. Несмотря на изменения формы, это по-прежнему кривая нормального распределения, но с несколько иными характеристиками (для тех, кто владеет математическим аппаратом — параметр эксцесс отвечает за высоту пика).
Высоковолатильное распределение.
Наконец, мы можем поставить горизонтальные перегородки так, что, попадая на следующий уровень, шарик будет каждый раз отклоняться на два штырька влево или вправо. И снова, если бросить достаточное количество шариков, то получится распределение, представленное на рисунке:
У этой кривой, которая также отражает нормальное распределение вероятностей, пик намного ниже, а хвосты убывают намного медленнее, чем у кривых на предыдущих рисунках.
Для чего нам всё это нужно было?
Пусть боковые движения шарика символизируют повышательные и понижательные изменения цены базового актива, а движение вниз — течение времени. Если предположить, что цена Ri каждый день повышается или понижается на 2500 пунктов (шаг 1 страйка), то распределение значений цены через 15 дней будет представлено на рисунке с «колоколообразной» плотностью распределения вероятностей.
Если предположить, что цена Ri повышается на 2500 пунктов каждые 2 дня, то распределение будет похоже на рисунок «низковолатильного распределения».
А если предположить, что цена Ri за день растет или падает на 5000 пунктов (2 страйка), то распределение будет напоминать рисунок «высоковолатильного распределения».
Если сегодня Ri стоит 107 500, а срок действия опциона истекает через 15 дней, то как определить стоимость 112 500 колла?
Об этом в следующих сериях.
Если такие вот топики вам заходят — ставьте лайки, жмите колокольчик, пишите каменты.
Да сопутствует вам всем удача в опционном мире!
Еще раз о нормальном распределении
После того, как Германия проиграла войну, экономическая ситуация в стране стала быстро ухудшаться. Все продукты были строго нормированы, а самый главный продукт питания, хлеб, выдавался из расчета 200 г. на душу населения в день. Все пекари получили строжайшую инструкцию изготовить специальные формы для выпечки 200-граммовых хлебцев — по 1 хлебцу в день на каждого из окрестных жителей.
Старый профессор Карл Z. каждое утро по дороге в университет заходил в булочную, чтобы купить дневную порцию хлеба. Однажды он заявил булочнику:
— Бесчестный вы человек! Вы обманываете своих покупателей! Ваши формы на 5% меньше, чем должны быть для выпечки 200-граммовых хлебцев, а сэкономленную муку вы продаете на черном рынке!
— Помилуйте, герр профессор! — возразил булочник. — Никто и никогда не выпекал хлебцы одного и того же размера. Одни хлебцы получаются на несколько процентов меньше нормы, другие — на несколько процентов больше.
— Вот именно! — подтвердил профессор. — В течение нескольких месяцев я ежедневно взвешивал хлебцы, которые покупал у вас, на точных весах в моей лаборатории. Разумеется, результаты взвешивания дали естественный разброс. Вот график, на котором показано число хлебцев различного веса по сравнению с правильным весом (нормой).
Как видите, одни хлебцы весят всего 185 г, другие — целых 205 г, но средний вес (среднее арифметическое всех измерений) равен 195 г, вместо положенных 200 г. Вам нужно срочно изготовить новые формы для хлебцев правильных размеров, иначе я буду вынужден сообщить о вас властям.
— Разумеется, я изготовлю новые формы завтра же, герр профессор! — пообещал перепуганный булочник. — Смею заверить вас, что ошибка больше не повторится.
Через несколько месяцев профессор Z. снова обратился к булочнику.
— Я сообщил о вас властям сегодня, — сказал профессор. — Вы не изменили формы и продолжаете обманывать своих покупателей.
— Но герр профессор! — воскликнул булочник. — Уж теперь-то вы не можете обвинять меня в том, что я обманываю покупателей. Разве в хлебцах, которые вы покупали у меня за последние несколько месяцев, был недовес?
— Недовеса не было. Все хлебцы были весом в 200 г или тяжелее. Но объяснялось это не тем, что вы изготовили формы больших размеров, а тем, что отбирали для меня хлебцы покрупнее.
— Ну, этого вы никогда не сможете доказать! — презрительно процедил булочник.
— Еще как смогу! — возразил профессор Z. — Вот какое статистическое распределение я получил, взвешивая хлебцы, купленные у вас за последние несколько месяцев:
Вместо стандартного распределения ошибок, открытого великим немецкие математиком Карлом Фридрихом Гауссом, получилась сильно искаженная кривая, обрезанная слева и медленно спадающая справа. Статистические отклонения от среднего не могут привести к такому распределению. Ясно, что оно создано искусственно — тем, что вы отбирали для меня хлебцы весом от 200 г и более. Кривая, которую вы видите, — хвост гауссова распределения, т. е. того самого распределения, которое я получил, взвешивая хлебцы перед нашим первым разговором. Не сомневаюсь, что власти, отвечающие за распределение продуктов, прислушаются к моему сообщению.
И повернувшись на каблуках, профессор Z. вышел из булочной.
Гамов Г., Стерн М. Занимательная математика. — Ижевск: Научно-издательский центр «Регулярная и хаотическая динамика», 2001, стр. 62-64.
Почему с нормальным распределением не все нормально
Нормальное распределение (распределение Гаусса) всегда играло центральную роль в теории вероятностей, так как возникает очень часто как результат воздействия множества факторов, вклад любого одного из которых ничтожен. Центральная предельная теорема (ЦПТ), находит применение фактически во всех прикладных науках, делая аппарат статистики универсальным. Однако, весьма часты случаи, когда ее применение невозможно, а исследователи пытаются всячески организовать подгонку результатов под гауссиану. Вот про альтернативный подход в случае влияния на распределение множества факторов я сейчас и расскажу.
Краткая история ЦПТ. Еще при живом Ньютоне Абрахам де Муавр доказал теорему о сходимости центрированного и нормированного числа наблюдений события в серии независимых испытаний к нормальному распределению. Весь 19 и начало 20 веков эта теорема послужила ученым образцом для обобщений. Лаплас доказал случай равномерного распределения, Пуассон – локальную теорему для случая с разными вероятностями. Пуанкаре, Лежандр и Гаусс разработали богатую теорию ошибок наблюдений и метод наименьших квадратов, опираясь на сходимость ошибок к нормальному распределению. Чебышев доказал еще более сильную теорему для суммы случайных величин, походу разработав метод моментов. Ляпунов в 1900 году, опираясь на Чебышева и Маркова, доказал ЦПТ в нынешнем виде, но только при существовании моментов третьего порядка. И только в 1934 году Феллер поставил точку, показав, что существование моментов второго порядка, является и необходимым и достаточным условием.
ЦПТ можно сформулировать так: если случайные величины независимы, одинаково распределены и имеют конечную дисперсию отличную от нуля, то суммы (центрированные и нормированные) этих величин сходятся к нормальному закону. Именно в таком виде эту теорему и преподают в вузах и ее так часто используют наблюдатели и исследователи, которые не профессиональны в математике. Что в ней не так? В самом деле, теорема отлично применяется в областях, над которыми работали Гаусс, Пуанкаре, Чебышев и прочие гении 19 века, а именно: теория ошибок наблюдений, статистическая физика, МНК, демографические исследования и может что-то еще. Но ученые, которым не достает оригинальности для открытий, занимаются обобщениями и хотят применить эту теорему ко всему, или просто притащить за уши нормальное распределение, где его просто быть не может. Хотите примеры, они есть у меня.
Коэффициент интеллекта IQ. Изначально подразумевает, что интеллект людей распределен нормально. Проводят тест, который заранее составлен таким образом, при котором не учитываются незаурядные способности, а учитываются по-отдельности с одинаковыми долевыми факторами: логическое мышление, мысленное проектирование, вычислительные способности, абстрактное мышление и что-то еще. Способность решать задачи, недоступные большинству, или прохождение теста за сверхбыстрое время никак не учитывается, а прохождение теста ранее, увеличивает результат (но не интеллект) в дальнейшем. А потом филистеры и полагают, что «никто в два раза умнее их быть не может», «давайте у умников отнимем и поделим».
Второй пример: изменения финансовых показателей. Исследования изменения курса акций, котировок валют, товарных опционов требует применения аппарата математической статистики, а особенно тут важно не ошибиться с видом распределения. Показательный пример: в 1997 году нобелевская премия по экономике была выплачена за предложение модели Блэка — Шоулза, основанной на предположении нормальности распределения прироста фондовых показателей (так называемый белый шум). При этом авторы явно заявили, что данная модель нуждается в уточнении, но всё, на что решилось большинство дальнейших исследователей – просто добавить к нормальному распределению распределение Пуассона. Здесь, очевидно, будут неточности при исследовании длинных временных рядов, так как распределение Пуассона слишком хорошо удовлетворяет ЦПТ, и уже при 20 слагаемых неотличимо от нормального распределения. Гляньте на картинку снизу (а она из очень серьезного экономического журнала), на ней видно, что, несмотря на достаточно большое количество наблюдений и очевидные перекосы, делается предположение о нормальности распределения.
Весьма очевидно, что нормальными не будет распределения заработной платы среди населения города, размеров файлов на диске, населения городов и стран.
Общее у распределений из этих примеров – наличие так называемого «тяжелого хвоста», то есть значений, далеко лежащих от среднего, и заметной асимметрии, как правило, правой. Рассмотрим, какими еще, кроме нормального могли бы быть такие распределения. Начнем с упоминаемого ранее Пуассона: у него есть хвост, но мы же хотим, чтобы закон повторялся для совокупности групп, в каждой из которых он наблюдается (считать размер файлов по предприятию, зарплату по нескольким городам) или масштабировался (произвольно увеличивать или уменьшать интервал модели Блэка — Шоулза), как показывают наблюдения, хвосты и асимметрия не исчезают, а вот распределение Пуассона, по ЦПТ, должно стать нормальным. По этим же соображениям не подойдут распределения Эрланга, бета, логонормальное, и все другие, имеющие дисперсию. Осталось только отсечь распределение Парето, а вот оно не подходит в связи с совпадением моды с минимальным значением, что почти не встречается при анализе выборочных данных.
Распределения, обладающее необходимыми свойствами, существуют и носят название устойчивых распределений. Их история также весьма интересна, а основная теорема была доказана через год после работы Феллера, в 1935 году, совместными усилиями французского математика Поля Леви и советского математика А.Я. Хинчина. ЦПТ была обобщена, из нее было убрано условие существования дисперсии. В отличие от нормального, ни плотность ни функция распределения у устойчивых случайных величин не выражаются (за редким исключением, о котором ниже), все что о них известно, это характеристическая функция (обратное преобразование Фурье плотности распределения, но для понимания сути это можно и не знать).
Итак, теорема: если случайные величины независимы, одинаково распределены, то суммы этих величин сходятся к устойчивому закону.
Теперь определение. Случайная величина X будет устойчивой тогда и только тогда, когда логарифм ее характеристической функции 
представим в виде:
где .
В самом деле, ничего сильно сложного здесь нет, просто надо объяснить смысл четырех параметров. Параметры сигма и мю – обычные масштаб и смещение, как и в нормальном распределении, мю будет равно математическому ожиданию, если оно есть, а оно есть, когда альфа больше одного. Параметр бета – асимметрия, при его равенстве нулю, распределение симметрично. А вот альфа это характеристический параметр, обозначает какого порядка моменты у величины существуют, чем он ближе к двум, тем больше распределение похоже на нормальное, при равенстве двум распределение становиться нормальным, и только в этом случае у него существуют моменты больших порядков, также в случае нормального распределения, асимметрия вырождается. В случае, когда альфа равна единице, а бета нулю, получается распределение Коши, а в случае, когда альфа равна половине, а бета единице – распределение Леви, в других случаях не существует представления в квадратурах для плотности распределения таких величин.
В 20 веке была разработана богатая теория устойчивых величин и процессов (получивших название процессов Леви), показана их связь с дробными интегралами, введены различные способы параметризации и моделирования, несколькими способами были оценены параметры и показана состоятельность и устойчивость оценок. Посмотрите на картинку, на ней смоделированная траектория процесса Леви с увеличенным в 15 раз фрагментом.
Именно занимаясь такими процессами и их приложением в финансах, Бенуа Мандельброт придумал фракталы. Однако не везде было так хорошо. Вторая половина 20 века прошла под повальным трендом прикладных и кибернетических наук, а это означало кризис чистой математики, все хотели производить, но не хотели думать, гуманитарии со своей публицистикой оккупировали математические сферы. Пример: книга «Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями» американца Мостеллера, задача №11:
Авторское решение этой задачи, это просто поражение здравого смысла:
Такая же ситуация и с 25 задачей, где даются ТРИ противоречащих ответа.
Но вернемся к устойчивым распределениям. В оставшейся части статьи я попытаюсь показать, что не должно возникать дополнительных сложностей при работе с ними. А именно, существуют численные и статистические методы, позволяющие оценивать параметры, вычислять функцию распределения и моделировать оные, то есть работать так же, как и с любым другим распределением.
Моделирование устойчивых случайных величин. Так как все познается в сравнении, то напомню сначала наиболее удобный, с точки зрения вычислений, метод генерирования нормальной величины (метод Бокса – Мюллера): если – базовые случайные величины (равномерно распределены на [0, 1) и независимы), то по соотношению
получится стандартная нормальная величина.
Теперь зададим заранее альфу и бету, пусть V и W, независимые случайные величины: V равномерно распределена на , W экспоненциально распределена с параметром 1, определим и , тогда по соотношению:
получим устойчивую случайную величину, для которой мю равна нулю, а сигма единице. Это так называемая стандартная устойчивая величина, которую для общего случая (при альфа не равном единице), просто достаточно помножить на масштаб и прибавить смещение. Да, соотношение сложнее, но оно все равно достаточно простое, чтобы его использовать даже в электронных таблицах (Ссылка). На рисунках снизу показаны траектории моделирования модели Блэка — Шоулза сперва для нормального, а затем для устойчивого процесса.
Можете поверить, график изменения цен на биржах больше похож на второй.
Оценка параметров устойчивого распределения. Так как вставлять формулы на хабре достаточно сложно, я просто оставлю ссылку на статью, где подробно разбираются всевозможные методы для оценки параметров, или на мою статью на русском языке, где приводятся только два метода. Также можно найти замечательную книгу, в которой собрана вся теория по устойчивым случайным величинам и их приложениям (Zolotarev V., Uchaikin V. Stable Distributions and their Applications. VSP. M.: 1999.), или ее чисто научный русский вариант (Золотарев В.М. Устойчивые одномерные распределения. – М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1983. – 304 с.). В этих книгах также присутствуют методы для вычисления плотности и функции распределения.
В качестве заключения могу лишь порекомендовать, при анализе статистических данных, когда наблюдается асимметрия или значения, сильно превосходящие ожидаемые, спрашивать самих себя: «правильно ли выбран закон распределения?» и «а все ли с нормальным распределением нормально?».