применение теоремы пифагора в жизни человека
Применение теоремы пифагора в жизни человека
Автор: Гасанова Елена Николаевна
Организация: МБОУ СОШ №35 им. Героя Советского Союза Д.Ф. Чеботарёва
Населенный пункт: Воронежская область, г. Воронеж
С помощью теоремы Пифагора, которая рассматривается в школьном курсе геометрии, можно решать не только задачи математические, но и задачи, связанные с повседневной жизнью.
Поэтому я бы хотела показать различные области применения теоремы Пифагора.
Формулировка теоремы Пифагора
Площадь квадрата гипотенузы равна сумме квадратов его катетов.
Изучение вавилонских клинописных табличек и древнекитайских рукописей (древних рукописных копий и того более) показало, что знаменитая теорема была известна задолго до Пифагора, возможно несколько тысячелетий до него.
Применение в жизни
Задачи в курсе физики средней школы требуют знания теоремы Пифагора.
Задача из курса физики за 9 класс:
Когда биатлонист стреляет по мишени, он делает «поправку на ветер». Если ветер дует справа, а спортсмен стреляет по прямой, то пуля уйдёт влево. Чтобы попасть в цель, надо сдвинуть прицел вправо на расстояние смещения пули. Для них составлены специальные таблицы (на основе следствий из т. Пифагора). Биатлонист знает, на какой угол смещать прицел при известной скорости ветра.
Сотовая телефонная связь.
Какую наибольшую высоту должна иметь антенна мобильного оператора, чтобы передачу можно было принимать в радиусе R=200 км? (радиус Земли равен 6380 км.)
Решение:
Пусть AB = x , BC=R= 200 км , OC= r =6380 км.
OB=OA; AB+OB = r + x.
С помощью теоремы Пифагора получим 2,3 км .
Как определить длину лестничного косоура?
Нужно знать отметки высот лестничных площадок и их расстояние друг от друга, тогда можно найти длину косоура (гипотенузу).
Например, отметки высот лестничных площадок +1,200 и +3,700, а расстояние между ними 3 м. Тогда по теореме Пифагора получим, что 2,5 2 +3 2 =(3,905) 2 м.
Как рассчитать длину лестницы при пожаре?
Нужно определить на каком расстоянии будет опираться лестница от возгорания и на какой высоте произошло возгорание. После, применяя теорему Пифагора, необходимо вычислить длину лестницы (гипотенуза).
Например, возгорание произошло на втором этаже, будем считать, что на высоте 7 м, лестницу отстоит от здания на 2,5 м, значит необходимая длина лестницы равняется 7,44 м.
Заключение
Теорема Пифагора нашла применение во многих аспектах нашей жизни. Сейчас невозможно представить как без неё можно обойтись.
Изучение информации о теореме Пифагора показало, что:
а ) теорема очень важная и проста для понимания;
б ) теорема Пифагора – является уникальной теоремой и занесена в книгу рекордов Гиннесса;
в ) область применения теоремы огромна и очень тяжело раскрыть ее в полной мере;
г ) загадки теоремы Пифагора продолжают удивлять людей и поэтому у всех есть возможность их раскрыть.
Список используемой литературы:
1. «Успехи математических наук», 1962, т. 17, № 6 (108)
2. Геометрия: Учеб. Для 7 – 11 кл. сред.шк./ Г.П. Бевз, В.Г. Бевз, Н.Г. Владимирова. – М.: Просвещение, 1992
Better Explained: удивительные применения теоремы Пифагора
Мы привыкли думать, что теорема Пифагора — это что-то про геометрию и треугольники. На самом деле область её применения гораздо шире, и автор ресурса Better Explained готов это доступно объяснить.
Теорема Пифагора — настоящая знаменитость в мире математики: уж если её формула засветилась в сериале «Симпсоны», она точно известна всем.
Большинство считает, что формула теоремы Пифагора применима только в геометрии и только к треугольникам. Скорее всего, при упоминании этой теоремы вы вспоминаете что-то такое:
А теперь вдумайтесь: теорема Пифагора работает для любых фигур и для всех квадратных уравнений.
Если вы продолжите читать статью, вы узнаете, как эта теорема возрастом в 2,5 тысячи лет может помочь нам разобраться в информационных технологиях, физике и даже в полной мере оценить силу социальных сетей.
Идём к пониманию площади
Всегда увлекательно посмотреть на привычное под новым углом. К примеру, до написания этой статьи я никогда не задумывался о глубинном понятии такого явления, как «площадь фигуры». Да, мы можем помнить формулы, но вот понимаем ли мы саму природу площади?
Удивительно, но площадь любой фигуры может быть вычислена путём возведения в квадрат любого линейного сегмента. Линейный сегмент — это отрезок прямой, который мы выбираем в геометрической фигуре. Например, в качестве линейного сегмента квадрата мы выбрали сторону. Тогда площадью квадрата является квадрат его стороны (сторона = 5, площадь = 25). В качестве линейного сегмента круга можно взять радиус, и тогда площадью круга будет являться число π, умноженное на квадрат его радиуса (радиус = 5, площадь = 25π). Куда проще?
Мы можем взять любой линейный сегмент и с его помощью вычислить площадь: каждый линейный сегмент, возведённый в квадрат, даст нам величину площади фигуры, если его помножить на определённый коэффициент. Так мы получаем универсальную формулу расчёта площади фигуры:
Площадь фигуры = Коэффициент * (линейный сегмент)²
Посмотрите на диагональ d квадрата. Сторона квадрата при этом будет вычисляться как d, поделённая на √2. В этом случае площадь квадрата будет вычисляться как 1/2 d². Если мы хотим использовать диагональ фигуры в качестве линейного сегмента, нашим коэффициентом будет являться число 1/2.
А теперь в качестве линейного сегмента используем периметр p. Сторона квадрата — это p/4, значит, его площадь вычисляется по формуле p²/16. В этом случае коэффициентом для p² будет являться 1/16.
А можно взять вообще любой линейный сегмент?
А как же! Между «традиционным» сегментом (ну, например, стороной квадрата) и любым другим по вашему вкусу (скажем, периметром) всегда существует взаимосвязь (несложно догадаться, что периметр будет равен четырём сторонам квадрата). Если мы можем конвертировать новый сегмент в традиционный, площадь вычисляется легко — изменится лишь коэффициент в уравнении.
А можно взять вообще любую геометрическую фигуру?
Почти. Универсальная формула работает для всех подобных фигур — тех, что являются увеличенными или уменьшенными версиями одной и той же фигуры. Ну, например:
Все квадраты похожи друг на друга (площадь квадрата — всегда квадрат одной его стороны). Все круги похожи друг на друга (площадь круга — всегда π*r²). Треугольники не похожи друг на друга: они бывают вытянутыми или плоскими, «толстенькими» и «тоненькими», и у каждого треугольника — свой коэффициент для вычисления площади в зависимости от того, какой линейный сегмент вы выбрали. Измените форму треугольника, изменится и уравнение.
В целом все треугольники подчиняются правилу «площадь = 1/2 основания * высоту». Но отношения между основанием и высотой зависят от вида треугольника, поэтому и коэффициент в универсальной формуле будет всегда разным.
Почему для сохранения универсальности уравнения необходимы подобные фигуры? Интуитивно понятно, что при масштабировании фигуры вы меняете её размер, но сохраняете пропорции. Периметр квадрата всегда будет вычисляться умножением размера его стороны на 4.
Поскольку коэффициент в формуле площади основывается на отношениях между элементами фигуры, формула будет работать для всех фигур с одинаковыми пропорциями (подобными фигурами). Это как сказать, что полный размах рук человека приблизительно соответствует его росту — вне зависимости от того, кто перед нами, ребёнок или баскетболист.
Так вот, основная концепция расчёта площади фигуры может быть выражена в следующих трёх постулатах:
Интуитивное понимание теоремы Пифагора
Никто не спорит с тем, что теорема Пифагора работает. Но почти все её доказательства основаны на механических действиях: переставляем местами фигуры, и вуаля! — уравнение всё равно работает. Давайте подумаем: вам правда интуитивно понятно, что уравнение должно выглядеть как a² + b² = c²? А почему не 2a² + b² = c²? Давайте попробуем найти в этом смысл.
Для начала нам понадобится осознать и принять удивительный факт: любой прямоугольный треугольник можно разбить на два подобных прямоугольных треугольника.
Круто, да? Всего один опущенный перпендикуляр, и один треугольник превращается в две свои маленькие копии.
Собственно, этот пример говорит нам об очень простой вещи:
Площадь (чего-то большого) = Площадь (кое-чего среднего) + Площадь (кое-чего поменьше)
Маленькие треугольники были получены из большого, поэтому мы просто складываем их площади. И да, самое главное: поскольку треугольники подобны, для них действует одна и та же формула вычисления площади.
Давайте назовём длинную сторону (с длиной 5) — с, среднюю сторону (с длиной 4) — b, и короткую сторону (с длиной 3) — a. Формула площади для этих треугольников выглядит так:
Площадь = F*гипотенуза²,
где F — это множитель (в этом случае — 6/25 или 0,24). С формулой можно поиграть:
Площадь (чего-то большого) = Площадь (кое-чего среднего) + Площадь (кое-чего поменьше)
Fc² = Fb² + Fa²
Просто уберите F, и вы получите:
c² = b² + a²
Ой, так это же наша любимая теорема! Мы знали, что она нас не подведёт, но теперь мы понимаем, почему:
Конечно, теорема Пифагора работает только в Евклидовой геометрии и не может применяться, например, к сферам. Но об этом нужно поговорить в другой раз.
Применение теоремы: Возьмём любую фигуру
Ранее мы использовали простую плоскую фигуру — треугольник. Но ведь линейный сегмент можно извлекать из абсолютно любой фигуры. Возьмём, к примеру, круг. На изображении мы видим три разных круга с радиусами, равными сторонам нашего пифагоровского треугольника.
Можно ли с большим кругом поступить так же, как мы поступили с большим треугольником — сложить площади меньших кругов? При этом мы будем помнить, что площадь каждого маленького круга мы можем высчитать, используя квадрат известного нам линейного сегмента, умноженный на конкретный коэффициент — в данном случае это будет число Пи.
Да-да, всё верно: Площадь круга радиусом 5 = Площадь круга радиусом 4 + Площадь круга радиусом 3.
Мы запросто подставляем в формулу нужный коэффициент, и она всё ещё работает.
Помните, что в качестве линейного сегмента может выступать любой элемент плоской фигуры. Вы могли выбрать радиус, диаметр или длину окружности — изменился бы только коэффициент, но отношения 3-4-5 остались бы неизменными.
Теорема Пифагора позволяет находить соотношение площадей любых подобных фигур. Это то, чему нас не учат в школе.
Применение теоремы: сохранение квадратов
Теорема Пифагора применяется к любому квадратному уравнению. Подобно тому, как вы разбиваете треугольники, вы можете разбить квадрат любого количества чего угодно (c²) на более малые его доли (a²+b²). Этим «чем угодно» может быть расстояние, энергия, человекочасы, время или количество пользователей в социальной сети.
Социальные сети.
Есть такой закон — закон Меткалфа, формулирующий уровень полезности социальной сети: он говорит, что ценность социальной сети растёт в квадратичной зависимости от количества пользователей в ней. Например:
Сеть из 50 млн. пользователей = Сеть из 40 млн. пользователей + Сеть из 30 млн. пользователей
Кажется удивительным, что полезность социальной сети в 50 миллионов человек выражается через полезность двух соцсетей, в сумме имеющих 70 миллионов человек, но это на самом деле так. Социальная сеть растёт нелинейно.
Информационные технологии.
Некоторым программам требуется n² времени для обработки n запросов. Другими словами:
50 запросов = 40 запросов + 30 запросов
Удивительно, но 70 элементов данных, разбитые на две группы, будут обработаны так же быстро, как одна группа из 50 элементов. Именно поэтому имеет смысл сортировать элементы по группам и подгруппам. Эта особенность используется почти во всех алгоритмах сортировки. Теорема Пифагора помогает понять, почему сортировка 50 элементов сразу менее эффективна, чем сортировка этого же количества элементов по отдельности.
Площадь поверхности.
Площадь поверхности сферы определяется как 4πr². Что это значит?
Площадь радиусом 50 = Площадь радиусом 40 + Площадь радиусом 30
В жизни нам встречается не так уж и много сфер, но вот портовым работникам это знание весьма полезно (в конце концов, корпус любого судна — это деформированная сфера). Количеством краски, необходимой для 50-тифутовой яхты, можно окрасить две яхты длиной 40 и 30 футов.
Физика.
Если вспомнить школьные уроки физики, можно привести в пример формулу расчёта кинетической энергии объекта массой m при скорости v: 1/2mv². Применяем теорему Пифагора.
Энергия при скорости в 500 км/ч = Энергия при скорости в 400 км/ч + Энергия при скорости в 300 км/ч
Значит, одного и того же количества энергии хватает либо на запуск одного предмета на скорости 500 км/ч, либо на запуск двух других на меньшей скорости.
Попробуйте сами
В теорему Пифагора можно подставлять абсолютно любые цифры. Она может помочь нам и в повседневной жизни. Например, мы никак не можем выбрать: заказать большую пиццу диаметром 50 см или две диаметром 30 см? Мы с теоремой уже знакомы хорошо и нас не обмануть: площадь одной пиццы в 50 см будет действительно больше, чем площадь двух пицц по 30 см в диаметре (можете проверить, мы не обманываем). Всегда можно подставить другие цифры, а для ленивых есть простой и удобный калькулятор.
Наслаждайтесь
Со школьной скамьи мы уверены, что теорема Пифагора — это что-то о треугольниках и геометрии. Мы с вами вместе убедились, что это не так.
Помните, что стороны прямоугольного треугольника могут превратиться в линейный сегмент любой фигуры, и стать переменными в любом квадратном уравнении. И это ошеломительно.
Спасибо великолепной статье на BetterExplained.
Проект по математике ученицы 8 класса «Теорема Пифагора и ее практическое применение»
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа № 50»
ПРОЕКТ
на тему «Теорема Пифагора и ее практическое применение»
по математике
Ученицы 8 класса
Руководитель проекта: учитель математики
Гаджиева Саида Гамзаевна
Глава I. Основное содержание….… 4
1.1 Биография Пифагора…. 4
1.2 История теоремы и её формулировка…. 4
Глава II. Практическая часть… 6
2.1 Исследование знаний о теореме…. 6
2.2 Применение теоремы в различных областях жизни…. 7
Объект исследования. Теорема Пифагора.
Гипотеза. Если теорема Пифагора так популярна и сегодня, то в ней заложены такие основы, которые позволяют использовать её в широком диапазоне.
Цели и задачи. Цель работы – показать значение теоремы Пифагора не только в математике, но и других отраслях нашей повседневной жизни.
Исходя из цели,были поставлены следующие задачи:
1. Найти в различных источниках и проанализировать найденную информацию о теореме и биографии Пифагора.
2. Изучить историю появления и развития теоремы Пифагора.
3. Провести опрос среди учащихся в виде анкетирования для выявления знаний о теореме Пифагора.
4. Установить какое значение имеет открытие теоремы в развитии математики.
5. Выяснить где может применяться теорема в повседневной жизни.
6. Обработать полученные данные и сделать вывод.
2. Изучение дополнительной литературы по данному вопросу.
3. Результаты опроса учеников 8 «б» класса школы №50.
Глава I. Основное содержание
1.1 Биография Пифагора.
В Кротоне Пифагор выступил организатором собственной школы, которая была одновременно и политической структурой, и религиозно-монашеским орденом со своим уставом и очень строгими правилами.
Прокатившаяся в то время волна демократических восстаний в Греции и колониях докатилась и до Кротона. После победы демократии Пифагор с учениками переселяется в Тарент, позднее в Метапонт. Когда они прибыли в Метапонт, там бушевало народное восстание, и в одном из ночных побоищ Пифагор погиб. Тогда он был глубоким старцем, ему было около 80 лет. Вместе с ним прекратила существование и его школа, ученики рассредоточились по всей территории страны.
Поскольку Пифагор считал свое учение тайной и практиковал только устную передачу его ученикам, собрания сочинений после него не осталось. Некоторые сведения все-таки стали явными, однако разграничить истину и выдумки невероятно сложно.
1.2 История теоремы и её формулировка.
Сегодня уже не проверишь, кто прав, а кто заблуждается. Известно лишь, что доказательства Пифагора, если оно когда-либо существовало, не сохранилось. Впрочем, высказываются предположения, что знаменитое доказательство из «Начал» Евклида может принадлежать как раз Пифагору, и Евклид его только зафиксировал.
Также мне оказался интересен тот факт, что задачи о прямоугольном треугольнике встречаются в египетских источниках времен фараона Аменемхета I, на вавилонских глиняных табличках периода правления царя Хаммурапи, в древнеиндийском трактате «Сульва сутра» и древнекитайском сочинении «Чжоу-би суань цзинь».
Во времена Пифагора теорема звучала так: «доказать, что квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника равновелик сумме квадратов, построенных на катетах» или «площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах.
В современных учебниках теорема гласит: «в прямоугольном треугольник квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов».
Глава II. Практическая часть.
2.1 Исследование знаний о теореме.
В школьном курсе геометрии с помощью теоремы Пифагора решаются только математические задачи. К сожалению, вопрос о практическом применении теоремы рассматривается крайне редко. Теорема Пифагора самая известная теорема в геометрии, о ней знает подавляющее большинство населения планеты. В связи с этим, мне стало интересно проанализировать знания по этому вопросу среди своих сверстников.Я провела в школе опрос на тему: «Знаете ли Вы теорему Пифагора?» Были полученыследующие результаты:
Знаете ли вы теорему Пифагора? Не слышал, не знаю Слышал, но теорему не знаю Знаю
1 человек 19 человек
Как Вы думаете, в какой области можно применять теорему Пифагора?
-при решении геометрических задач: 9 человек;
-в строительстве: 5 человек;
-в архитектуре: 3 человека;
-в инженерии: 2 человека;
-в искусстве: 1 человек;
-в информатике: 1 человек;
-не знают: 4 человека.
Мое исследование показало, что учащиеся в большинстве знают теорему Пифагора, а вот в каких областях нашей жизни ее можно применить… список ответов на этот вопрос оказался крайне скудным. Поэтому меня заинтересовал вопрос практического применения теоремы. Для того чтобы ответить на этот вопрос, мне пришлось обратиться к различным источникам.
2.2 Применение теоремы в различных областях жизни
Теорема Пифагора по праву является одной из основных теорем математики. Ещё в древности возникла необходимость вычислять стороны прямоугольных треугольников по двум известным сторонам, но ценность теоремы в современном мире также велика, поскольку она применяется во многих отраслях деятельности человека. Например, ее используют при производстве окон некоторых архитектурных стилей, при строительстве домов и коттеджей и даже при вычислении высоты антенн операторов мобильной связи. И это далеко не весь перечень практического применения данной теоремы. Вот почему очень важно знать теорему Пифагора и понимать ее значение.
2.2.1. При решении геометрических задач
Теорема Пифагора помогает нам найти длину стороны прямоугольного треугольника в том случае, когда известна длина двух других его сторон. Кроме того, она позволяет определить, является ли рассматриваемый треугольник прямоугольным, при условии, что длины всех трёх сторон заранее известны.
2.2.2. Строительство, архитектура
Теорема Пифагора нашла своё практическое применениев архитектуре и строительстве: в зданиях готического и романского стиля верхние части окон расчленяются каменными рёбрами, которые не только играют роль орнамента, но и способствуют прочности окон. На рисунке представлен простой пример такого окна в готическом стиле.
При строительстве домов и коттеджей часто встает вопрос о длине стропил для крыши, если уже изготовлены балки определённой длины.
При строительстве дома необходимо рассчитать длину лестницы от пола до окна.
На этой скамеечке хорошо отдохнуть в тени. Единственное условие – она должна быть прочной и удобной. Для этого подголовник и каркас соединяем планкой в виде прямоугольного треугольника. Размеры в мм.
Парник для огурцов.
Размер парника играет большую роль – от него зависит температура и влажность, а значит, сам процесс созревания урожая. Размеры в мм.
При изготовлении выкройки модели необходимо в зависимости от полноты фигуры рассчитать ширину и глубину выточек.
Меня обеспокоил женский вопрос: может ли в кулинарии быть использована теорема Пифагора? В качестве примера я взяла палку салями и решила проверить. Она имеет цилиндрическую форму. Отрезанные под углом куски представляют собой элипсы. Размер отрезанных кусочков определяется теоремой Пифагора, а их толщина, конечно, будет зависеть от того, насколько мы голодны.
2.2.5. Мобильная связь.
Кто в современном мире не пользуется сотовым телефоном? Каждый абонент мобильной связи заинтересован в её качестве. А качество, в свою очередь, зависит от высоты антенны мобильного оператора. Чтобы рассчитать, в каком радиусе можно принимать передачу, применяют теорему Пифагора.
2.2.6. В технике. Молниеотвод.
Молниеотвод, громоотвод, устройство для защиты зданий, промышленных, транспортных, коммунальных и других сооружений от ударов молнии. Известно, что молниеотвод защищает от молнии все предметы, расстояние которых от его основания не превышает его удвоенной высоты. Необходимо определить оптимальное положение молниеотвода на двускатной крыше, обеспечивающее наименьшую его доступную высоту.
В конце девятнадцатого века высказывались разнообразные предположения о существовании обитателей Марса подобных человеку. Это явилось следствием открытий итальянского астронома Скиапарелли и др. Естественно, что вопрос о том, можно ли с помощью световых сигналов объясняться с этими гипотетическими существами, вызвал оживленную дискуссию. Парижской академией наук была даже установлена премия в 100 000 франков тому, кто первый установит связь с каким – нибудь обитателем другого небесного тела. В шутку, хотя и не совсем безосновательно, было решено передать обитателям Марса световой сигнал в виде теоремы Пифагора.
Неизвестно, как это сделать; но для всех очевидно, что математический факт, выражаемый теоремой Пифагора, имеет место всюду и поэтому похожие на нас обитатели другого мира должны понять такой сигнал.
2.8. Искусство, театр.
Изображение луны в живописи, в театре и даже в кино часто изображается луна, размер и расположение которой представлены ошибочно. Как правило, чем ниже луна находится к горизонту, тем больше она кажется. Правильные размеры можно определить с помощью простых расчетов с использованием прямоугольных треугольников.
В ходе работы над проектом я разрешила, поставленные перед собой задачи. Важность теоремы состоит, прежде всего, в том, что из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии. К сожалению, невозможно привести все или даже самые красивые доказательства теоремы, однако приведенные примеры убедительно свидетельствуют об огромном интересе сегодня, да и вчера, проявляемом по отношению к ней. Теорема имеет огромное практическое значение: она применяется в нашей жизни буквально везде. В своём проекте я показала связь между теоремой Пифагора и другими дисциплинами; её практическую значимость. Попыталась собрать и обобщить информацию по данной теме. Мною было прочитано, изучено огромное количество литературы, посещено множество сайтов, кроме того, я пополнила свои знания о теореме Пифагора, убедилась, что значение теоремы Пифагора состоит в том, что с ее помощью можно решить множество интересных и важных задач как на уроках математики, так и практической жизни. Я считаю, что проведя такую большую работу, я достигла своей цели и думаю, что результаты моей работы будут полезны и интересны моим сверстникам и всем школьникам.
2. Еленьский Ш. По следам Пифагора. М., 1961.
3. Литцман В. Теорема Пифагора. М., 1960.
4. Глейзер Г. И. История математики в школе. – М. : Просвещение, 1981.
5. Энциклопедия. Я познаю мир. Математика. – М. : ООО «Издательство АСТ», 2003. – 408 с.