применение множеств в жизни

Применение множеств в жизни

Научный руководитель: Мироновская Татьяна Викторовна, учитель математики высшей категории.

МБОУ «Средняя общеобразовательная школа №55 с углубленным изучением отдельных предметов» московского района г. Казани, Татарстан.

Нас окружает множество различной информации: множество жителей города, множество чисел, слов, продуктов, лекарств. Задачи с множеством данных встречаются не только в математике. Ценность задач, решаемых с помощью кругов Эйлера, состоит в том, что решения с громоздкими условиями и со многими данными, простыи наглядны. Актуальность состоит в том, что задачи имеют практический характер, что немаловажно в современной жизни. Задачи заставляют задумываться, подходить к решению какой-либо проблемы с другой стороны, уметь выбирать из множества способов решения, наиболее простой, легкий путь.В нашей жизни порой возникают следующие проблемы:

Происхождение названия «диаграмма Эйлера – Венна»

Одним из первых, кто использовал для решения задач круги в 17в., был немецкий математик и философ Готфрид Лейбниц. Затем, в 18 в. этот метод основательно развил швейцарский математик Леонард Эйлер. И рассказал об этом в «Письмах к немецкой принцессе». Но с наибольшей полнотой этот метод изложен в книге английского математика Джона Венна «Символическая логика», в 19 в. С тех пор используется название «диаграммы (или круги) Эйлера – Венна».

Понятие множества является одним из простейших и первоначальных понятий.

Множество – это совокупность, собрание, набор некоторых объектов, объединенных по какому-либо общему для них признаку.

Часть множества называют подмножеством.

Общую часть множеств называют пересечением.

Объединением называют множество всех элементов, принадлежащих данным множествам.

Решая олимпиадные задачи с помощью кругов Эйлера, сначала определяем количество множеств и чертим диаграмму Эйлера – Венна; потом рассуждаем и записываем результаты в части круга. Делаем вывод и записываем ответ.
Действуя таким образом можноисследовать окружающий нас мир и составлять задачи практического содержания.

Когда мама готовит праздничный ужин, то составляет список продуктов для приготовления нескольких блюд, чтобы сделать выводы о нужном количестве продуктов. Я расположил продукты из этого списка в круги диаграммы Эйлера-Венна. И увидел, что

В период эпидемий бывает нужно купить необходимые лекарства, находясь вне дома как можно меньше времени.

Оказалось, что во время эпидемии не во всех аптеках есть нужные лекарства. Я навел справки в близлежащих аптеках и составил таблицу. В ней указал наличие нужных лекарств.Если эти данные расположить в диаграмме Эйлера – Венна, то сразу видно, что аптека «Вита» содержит только такие лекарства, которые есть в других аптеках. Значит, за лекарствами из нашего списка рекомендуется идти в «Казанские аптеки» и аптеки сети «36,6»
Ко дню рождения моей бабушки Наташи я сделал «Множество пожеланий». Объединил пожелания мамы, папы и свои в диаграмме Эйлера – Венна. Когда это оформил семейными фотографиями, то получился отличный подарок. Бабушка была рада.
Возможно, и Вы не знаете, как поздравить родных или друзей с праздником?

Хотите быть оригинальными?

Предлагаю универсальную открытку «Множество пожеланий».

Достаточно лишь вписать

«Для кого», «От кого», и «Что»

Вы желаете и Ваш друг всегда будет помнить кто и что ему пожелал.

На 23 февраля круги, изображающие множества пожеланий заменены рисунком щита. Поля для записей изображены в форме флагов.
На 8 мартакруги, изображающие множества пожеланий заменены рисунком цветка нежного фиолетового цвета. Поля для записей изображены в форме листиков и росы на лепестках.

Этой открыткой я поздравил с женским праздником свою двоюродную сестру Настю, ее маму и бабушку.

Таким образом, множества в нашей жизни имеют немаловажное значение. Окружающая нас информация может быть упорядочена при помощи диаграммы Эйлера – Венна. Благодаря чему станет возможно оптимизировать поход по магазинам, приобретение необходимых лекарств и просто приятно удивить любимую бабушку или сестру.

Гипотеза о том, что с помощью множеств решаются некоторые жизненные проблемы, подтвердилась.

Цель исследования достигнута.

Планы на будущее: Разработать открытки на другие праздники. Найти другие возможности применения диаграммы Эйлера-Венна.

Кто наблюдает ветер, тому не сеять, и кто смотрит на облака, тому не жать. Екклесиаст, 11, 4
ещё >>

Источник

«Множества в нашей жизни»

Тема: Множества в нашей жизни.

— Закрепить знания о геометрических фигурах, умение ориентироваться в пространстве и во времени, закрепить счетные навыки, продолжать формировать понятия прямого счёта в пределах 8;

— Закрепить временные представления: дни недели, месяцы, времена года.

— Развивать основы логического мышления, навыки поисковоисследовательской деятельности, основы моделирования.

— Закрепить изобразительные навыки.

— Формировать этнокультурное самосознание, интерес и толерантное отношение к представителям других национальностей.

Материалы и оборудование

Раздаточный: геометрические фигуры: прямоугольники,круги, квадраты,

Дети стоят по кругу, взявшись за руки.

П. Здравствуйте. Какие вы все красивые, улыбающиеся. У вас хорошее настроение?

П. Посмотрите друг на друга, улыбнитесь, пожмите друг другу руки, передайте частичку тепла, любви. Молодцы! Скажит,: что вы любите делать больше всего?

П. А сейчас хотите поиграть? Д/и «Множества».

П. Где мы сейчас с вами находимся?

П. Обозначим наш Центр такой фигурой.

Педагог выкладывает узкий жёлтый прямоугольник. Какая это фигура?

Д. Прямоугольник жёлтого цвета.

П. А где находится Центр?

Д. В городе Владикавказ.

Педагог предлагает детям выбрать прямоугольник красного цвета, которым можно обозначить город Владикавказ. Дети выкладывают на ковёр такой же по длине, но более широкий прямоугольник красного цвета.

П. Как вы думаете, почему вы взяли больший прямоугольник для обозначения города?

Д. Потому что город больше, чем Центр.

П. Как это проверить: прямоугольник красного цвета больше или жёлтого?

Д. Наложить один прямоугольник на другой.

П. Проверьте, вдруг вы ошибаетесь и прямоугольники одинаковые по величине.

Дети выполняют задание.

П. Правильно! Молодцы! А где находится наш город?

Дети выкладывают такой же по длине, но более широкий прямоугольник белого цвета.

П. Какая это фигура?

Д. Это прямоугольник белого цвета.

П. Почему вы взяли именно этот прямоугольник для обозначения республики Северная Осетия?

Д. Потому что республика больше, чем город, а этот прямоугольник самый большой.

П. Как сравнить прямоугольники по величине?

Д. Наложить прямоугольники один на другой.

Дети выполняют задание.

П. Какого цвета средний по величине прямоугольник?

Д. Средний по величине прямоугольник красного цвета.

П. Посмотрите, на что похожи все эти фигуры?

Д. Они похожи на флаг нашей республики.

Д. Нет, не получится. Цвета у флага менять местами нельзя, т.к. получится другой флаг.

П. Правильно, есть такие множества (упорядоченные), в которых нарушать порядок нельзя. Вообще, порядок нужен везде и во всем. А где находится наша республика?

Д. Наша республика находится в стране Россия.

П. Я обозначила вот таким разноцветным прямоугольником нашу страну Россию. Как вы думаете, почему выбрала именно такой разноцветный прямоугольник?

Д. Наверное потому, что такой разноцветный прямоугольник похож на флаг России.

Но экране появляется корта России, на которой видны очертания Северной Осетии.

П. Где находится наша страна Россия?

Д. Страна Россия находится на земном шаре (на Земле). Наша страна часть всей Земли.

На экране появляются очертания глобуса и на глобусе видны очертания России. Затем появляются виды различных достопримечательностей Земли.

П. Как прекрасна наша Земля! Путешествуя по планете, можно увидеть много интересного.

На демонстрационной доске появляются фотографии разных людей (взрослых и детей) в национальных костюмах.

П. Верно. Все люди похожи или чем-нибудь люди отличаются друг от друга?

П. Люди, каких национальностей живут в нашей республике?

Д. В нашей республике Осетия живут осетины.

На демонстрационной доске появляются картинки с изображением осетин.

Д. А ещё у нас живут русские, армяне, грузины и люди многих других национальностей.

П. Люди, каких национальностей живут рядом с вами?

Д. Русские, армяне, таджики и другие.

П. Все мы разные, но все мы живем вместе одной семьей в нашей республике и в нашей стране. На какие множества можно разделить множество всех людей?

Д. Всех людей можно разделить на множество детей и множество взрослых.

П. На какие два множества можно разделить множество детей? Как их назовем?

Д. Мальчики и девочки.

П. Верно. Разделитесь на множество мальчиков и множество девочек.

Дети выполняют задание.

Как вы думаете, кого больше: девочек или мальчиков? На сколько больше? Как проверить?

Д. Построиться парами.

Дети строятся парами и выясняют, что мальчиков (например) больше чем девочек на 2, т.к. двум мальчикам не хватает пар.

Д/и «Веселая неделька». На ковре разложены карточки с цифрами.

Педагог предлагает детям взять по одной карточке, построиться в соответствии с полученным номером и рассчитаться по порядку, т.е. назвать свои порядковые номера. Дети выполняют задание.

Теперь послушайте правила новой игры. Вы превращаетесь в новое множество: дни недели. Сколько всего дней в неделе?

Д. Всего в неделе семь дней.

П. А вас сколько всего?

П. Значит, надо восстановить порядок.

Среда возвращается на своё место. Ребёнок с порядковым номером 8 следит за правильным выполнением задания.Дети делают вывод:

Д. Порядок нарушать нельзя. Дни недели идут друг за другом в строго определенном порядке.

Затем педагог задаёт вопросы. Какой сегодня день недели? А какой месяц? Какое время года?

На демонстрационной доске появляются весенние виды города Владикавказа. Посмотрите, вот какой наш город! Как называется наш город?

Д. Наш город называется Владикавказ.

П. Сегодня наши гости поедут на экскурсию по нашему городу, но сначала мы покажем им наш Центр, а после экскурсии они опять вернутся в наш Центр. Гуляя по городу, можно увидеть много интересного. Поможем нашим гостям и составим план экскурсии по городу. Обозначим квадратом – наш Центр, а другими геометрическими фигурами обозначим парки, памятники, театры.

На экране появляется план (схема). На этой схеме появляются стрелки, направленные от одной фигуры к другой.

Вот такой план экскурсии у нас получился. Выложите из геометрических фигур по порядку план экскурсии.

Дети составляют с помощью геометрических фигур план прогулки по предлагаемым схемам и считают по порядку количество использованных ими геометрических фигур.

Молодцы! Но в любом городе есть многоэтажные дома. Вы сумеете найти в многоэтажном доме необходимую квартиру?

Педагог обращает внимание детей на две модели многоэтажных домов.

Д. Круг, квадрат, треугольник.

П. Какие по цвету фигуры живут в каждом подъезде каждого дома?

Д. Синие, красные, желтые.

П. Замечательно, вы правильно разложили фигуры по адресам. Все в правильном порядке. Теперь и вы никогда не потеряетесь: зная свой адрес, найдете не только улицу, но и.

Д. Подъезд, этаж, квартиру.

Д. Надо посадить цветы.

Педагог предлагает детям цветы.

П. Правда, красивые цветы? Я купила семена цветов, но прежде, чем сажать цветы, надо представить, какая у нас получится клумба. Поэтому надо рассортировать цветы, т. е. разложить их (множества) по определённым признакам.

П. По каким признакам собирали цветы в каждое множество? Сколько цветков в каждом множестве? Каких цветков больше, а каких меньше и на сколько?

П. Молодцы! А теперь уберём обручи и полюбуемся полученным весенним ковром. Правда красиво? Дети с другой группы уже посадили цветы, но это комнатные растения. Хотите узнать, сколько цветов они посадили?

П. Тогда приготовьте счетные линейки.

Дети выполняют задание и решают разные задачи, например:

Алана посадила 5 цветков, а Диана на один цветок больше. Сколько цветков посадила Диана?

Кристина посадила 5 цветков. Ангелина посадила столько же, Сколько цветков посадила Ангелина? Сколько цветков посадили обе девочки?

П. Молодцы. Хотите и мы посадим комнатные цветы?

П. Что нового вы сегодня узнали? Из множества предметов, выберите те, которые напомнят вам об этом, и поясните свой выбор.

Дети выполняют задание.

Источник

Практическое применение множеств

Автор: angellone • Июль 6, 2021 • Реферат • 1,705 Слов (7 Страниц) • 75 Просмотры

Глава 1. Практическое применение множеств………. …. 4

1.1 Применение в программировании………. ……………. 4

1.2 Применение в промышленности. 5

1.3 Применение в 3D моделировании. 7

1.4 Применение в информационной безопасности. 9

1.5 Применение в искусственном интеллекте. 10

В математике понятие множества является одним из основных, фундаментальным, однако единого определения множества не существует. Одним из наиболее устоявшихся определений множества является следующее: под множеством понимают любое собрание определённых и отличных друг от друга объектов, мыслимых как единое целое. Создатель теории множеств немецкий математик Георг Кантор (1845-1918) говорил так: «Множество есть многое, мыслимое нами как целое».

Множества активно используются в повседневной жизни. Они обобщают некоторые понятия, помогают представить и отнести вещь к определенной совокупности предметов. Человек начинает использовать множества и логику множеств с детства.

Целью работы является описать практическое применение теории множеств.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Привести примеры практического применения теории множеств.

2. Описать актуальность применения теории множеств.

Первая глава рассказывает о практическом применении теории множеств.

В заключении описывается актуальность применении теории множеств.

Глава 1.Практическое применение множеств

1.1 Применение в программировании

Теория множеств, предложенная Л.А. Заде, в математике позволяет описать нечеткие знания и понятия, оперировать ими и делать нечеткие выводы. Благодаря основанным на данной теории методам построения нечетких систем с помощью компьютерных технологий значительно расширяются области применения компьютеров. В последнее время управление нечеткими множествами является одной из результативных областей исследований. Полезность нечеткого управления проявляется в определенной сложности технологических процессов с позиции анализа с использованием количественных методов.

В программу вносится общее множество товаров. Потом создаются отдельные подмножества различных категорий. Далее создаются подмножество необходимые

Источник

Введение в теорию множеств

Концепция бесконечности идеологически далека от обычной математической терминологии — ни одна другая тема не выходит за пределы математики так, что превращается из практического, аналитического инструмента в явление мифического порядка. Понятие бесконечности на короткой ноге с такими культурными темами, как религия и философия, и окутана загадочной аурой божественности.

Когда-то давным давно во всех академических дисциплинах было заложено фундаментальное убеждение — существует единственная бесконечность.

Но 1874 году довольно малоизвестный математик провёл серию революционных наблюдений, подвергавших сомнению это всеми принятое и глубоко укоренившееся убеждение. Георг Кантор в своей (теперь уже ставшей легендарной) публикации On a Property of the Collection of All Real Algebraic Numbers доказал, что множество вещественных чисел «более многочисленно», чем множество алгебраических чисел. Так он впервые показал, что существуют бесконечные множества разных размеров (не волнуйтесь — для прояснения этого мы вскоре подробно изучим его статью).

«Множество — это большое количество, которое позволяет воспринимать себя как одно» — Георг Кантор

С 1874 по 1897 год Кантор неистово публиковал статью за статьёй, разворачивая свою теорию абстрактных множеств в расцветающую дисциплину. Однако она была встречена упорным сопротивлением и критикой; многие педанты считали, что его теории перешли в область философии и нарушили принцип религии.

Однако когда начали находиться практические применения математического анализа, отношение к теории изменилось, а идеи и результаты Кантора начали получать признание. К первому десятилению 20-го века его наблюдения, теории и публикации достигли своей кульминации — признания современной теории множеств новой, совершенно уникальной областью математики:

Теория множеств — это математическая теория о точно определённых наборах (множествах) отдельных объектов, называемых членами или элементами множества.

Сколько чисел есть между 0 и 1?

Первая публикация Кантора, состоящая из четырёх с половиной страниц, является великолепным примером краткости. Она разделена на два отдельных доказательства, совместно приводящих к выводу о существовании по крайней мере двух уникальных видов множеств.

В первой части теории исследуется множество вещественных алгебраических чисел и доказывается, что это бесконечное счётное множество. Здесь не стоит путать — «счётное» не обязательно значит, что счёт ведётся строго в целых числах; в контексте теории множеств «счётное» означает, что множество, пусть даже состоящее из бесконечного числа элементов, можно описать повторяющимся рядом, например упорядоченной многочленной функцией. Кантор назвал это свойство бесконечного набора чисел соответствия «один к одному» с рядом, наличием взаимно однозначного соответствия.

Если говорить вкратце, то набор, или множество всех вещественных алгебраических чисел можно вывести с помощью какого-то теоретического ряда многочленов с различными степенями и коэффициентами; следовательно, множество всех вещественных алгебраических чисел является бесконечным счётным множеством.

Во второй части труда Кантора анализируется роль вещественных комплексных чисел, также называющихся трансцендентными числами. Транцендентные числа (лучшие примеры которых — это пи и e) имеют любопытное свойство: математически невозможно вывести их с помощью многочленной функции — они не являются алгебраическими. Вне зависимости от величин, количества частей, степеней или коэффициентов, никакой ряд никогда не может посчитать пи в своём наборе бесконечного счётного множества.

Затем Кантор указывает, что в любом замкнутом интервале [a,b] существует хотя бы одно транцендентное число, которое никогда нельзя будет подсчитать в бесконечном счётном множестве. Поскольку одно такое число существует, то предполагается, что в семействе вещественных чисел существует бесконечное количество транцендентных чисел.

Таким образом он доказал очень чёткое различие между множеством непрерывных, идущих потоком несчётных чисел и набора счётных чисел, которые можно представить как ряд, например, всех вещественных алгебраических чисел.

Далее: запись и операции

Первая публикация Кантора завершилась на этом потрясающем подтверждении существования по крайней мере двух разных видов бесконечности. После его первой статьи появился шквал дополнений, медленно, но верно прокладывавших путь к современной теории множеств.

Стоит также поделиться интересным наблюдением: большинство людей, использующих теорию множеств на практике, ценят скорее не эту конкретную теорему, а заданный ею обобщённый язык. Благодаря своей абстрактной природе теория множеств скрытно влияет на множество областей математики. В математическом анализе, который требует дифференциального и интегрального исчисления, необходимо понимание пределов и непрерывности функций, окончательно закреплённых в теории множеств. В алгебре логики логические операции «и», «или» и «не» соответствуют операциям пересечения, объединения и разности в теории множеств. И последнее, но не менее важное — теория множеств закладывает основы топологии — исследования геометрических свойств и пространственных отношений.

Вооружившись базовым пониманием истории множеств и совершив кратковременное погружение в глубины его влияния, мы можем приступать к знакомству с основами системы обозначений теории множеств.

Часть вторая. Краткий обзор операций, обозначений и диаграмм Венна.

Как сказано в предыдущей части, одно из фундаментальных преимуществ теории множеств произрастает не из какой-то конкретной теории, а из созданного ею языка. Именно поэтому основная часть этого раздела будет посвящена обозначениям, операциям и визуальному представлению теории множеств. Давайте начнём с объяснения базовых символов обозначения множества — соответствующих ему элементов. В таблице ниже показан пример одного множества A с тремя элементами:

A — это множество с элементами «1», «2» и «3»

«1» — элемент множества A

В первой строке показано множество A с тремя отдельными элементами (A = ); во второй строке показан правильный способ обозначения отдельного конкретного элемента 1, принадлежащего множеству A. Пока всё довольно просто, но теория множеств становится существенно интереснее, когда мы добавляем второе множество — начинается путешествие по стандартным операциям.

Операции: пересечение (intersection) — множество элементов, принадлежащих множеству A и множеству B;

объединение (union) — множество элементов, принадлежащих множеству A или множеству B;

подмножество (subset) — C является подмножеством A, множество C включено во множество A;

собственное (истинное) подмножество — C является подмножеством A, но C не равно A;

относительное дополнение (relative complement) — множество элементов, принадлежащих к A и не к B.

Вот и они, самые распространённые операции в теории множеств; они довольно популярны и в областях за пределами чистой математики. На самом деле, высока вероятность того, что вы уже видели подобные типы операций в прошлом, хоть и не совсем с такой терминологией, и даже пользовались ими. Хорошая иллюстрация: попросите любого студента описать диаграмму Венна из двух пересекающихся групп, и он интуитивно придёт к правильному результату.

Ещё раз взгляните на последнюю строку, относительное дополнение — какое необычное сочетание слов, правда? Относительное к чему? Если относительное дополнение A — B определяется как A и не B, то как нам обозначить всё, что не является B?

Универсальное множество — пустое множество

Оказывается, если мы хотим получить значимый ответ, то для начала нужно предоставить генеральной совокупности нашей задачи множеств некий контекст. Он часто явным образом задаётся в начале задачи, когда допустимые элементы множества ограничиваются некоторым фиксированным классом объектов, в котором существует универсальное множество, являющееся общим множеством, содержащим все элементы для этой конкретной задачи. Например, если мы хотели бы работать со множествами только из букв английского алфавита, то наше универсальное множество U состояло бы из 26 букв алфавита.

Для любого подмножества A множества U дополнение множества A (обозначаемое A′ или U − A) определяется как множество всех элементов в генеральной совокупности U, которое не находится в A. Если вернуться к поставленному выше вопросу, то дополнением множества B является всё в пределах универсального множества, что не принадлежит B, в том числе и A.

Прежде чем мы двинемся дальше, надо упомянуть ещё одно принципиальное множество, которое достаточно важно для базового понимания: нулевое или пустое множество. Учтите, что существует единственное пустое множество, поэтому никогда не говорят «пустые множества». Хотя мы не будем рассматривать в этой статье эквивалентность, основная теория гласит, что два множества эквивалентны, если они имеют одинаковые элементы; следовательно, может быть только одно множество без элементов. Поэтому существует единственное пустое множество.

Диаграммы Венна и остальное

Диаграммы Венна, официально изобретённые в 1880 году Джоном Венном, являются именно тем, что вы и представляете, хотя их научное определение звучит примерно так:

Схематичное изображение всех возможных отношений нескольких множеств

Ниже показано изображение шести самых распространённых диаграмм Венна, и почти во всех показаны недавно изученные нами операнды:

Объединение (union), пересечение (intersection), относительное дополнение (relative complement), симметрическая разность (symmetric difference), собственное множество (proper subset), абсолютное дополнение (universal дополнение).

Начав с очень простых обозначений множества и его элементов, мы узнали затем о базовых операциях, позволивших нарисовать эту визуальную подсказку. Мы рассмотрели все операции, за исключением симметрической разности (внизу слева). Чтобы не оставлять пробелов в знаниях, скажем, что симметрическая разность, также называемая дизъюнктивным объединением — это просто множество элементов, которые находятся в любом из множеств, но не входят в их пересечение.

Закончим мы этот раздел введением понятия мощности (кардинального числа). Мощность множества, обозначаемая символом абсолютного значения — это просто количество уникальных элементов, содержащихся в определённом множестве. Для показанного выше примера мощность трёх множеств равна: |A| = 3, |B| =6, |C| = 2.

Прежде чем двигаться дальше, дам вам пищу для размышлений — какова связь между мощностью и количеством возможных подмножеств?

Часть 3. Мощность и показательные множества

В предыдущих двух частях мы разобрались с основами теории множеств. В третьей части мы укрепим своё понимание, сосредоточившись на самом важном свойстве любого множества: общем количестве содержащихся в нём уникальных элементов.

Количество уникальных элементов во множестве, также известное как мощность, предоставляет нам фундаментальную опорную точку для дальнейшего, более глубокого анализа этого множества. Во-первых, мощность — это первое из рассматриваемых нами уникальных свойств, позволяющее нам объективно сравнивать различные виды множеств, проверяя, существует ли биекция (это, с небольшими оговорками, просто более изысканный термин для function ) одного множества на другое. Ещё один способ применения мощности, а также тема этой части статьи — мощность позволяет оценить все возможные подмножества, существующие в данном множестве. Что достаточно буквально можно применять в повседневных задачах распределения решений, будь то планирование бюджета на поездку в продуктовый магазин или оптимизация портфеля акций.

Примеры мощности множеств

Например, в таблице выше показаны пять отдельных множеств с их указанной справа мощностью. Как мы уже говорили, символ мощности напоминает символ абсолютного значения — значение, заключённое между двумя вертикальными линиями. Все примеры понятны, за исключением, возможно, последней строки, которая подчёркивает тот факт, что на мощность влияют только уникальные элементы множества.

Помните подмножества из предыдущей части статьи? Оказывается, что мощность некоторого множества A и количество возможных подмножеств множества A имеют удивительную связь. Ниже показано, что количество подмножеств, которые можно составить из некоторого подмножества, увеличивается с порядком мощности на предсказуемую величину:

Количество возможных подмножеств в C= 2 |C|

Давайте подробно рассмотрим показанный ниже пример. Однако для начала поразмыслим над формулой. Представим мощность как общее количество «позиций», которое представляет множество. При создании некоторого подмножества для каждой возможной позиции принимается булево решение (да/нет). Это означает, что каждый уникальный элемент, добавляемый к множеству (то есть увеличивающий мощность на единицу) увеличивает количество возможных подмножеств на множитель два. Если вы программист или учёный, то можете уяснить эту логику немного глубже, если поймёте, что все подмножества множества можно вычислить с помощью таблицы двоичных чисел.

Показательное множество (булеан)

Прежде чем мы вычислим все подмножества для примера множества C, я хотел бы ввести последнее понятие — булеан.

Булеан обозначается заглавной буквой S, за которой в скобках указывается исходное множество S(С). Булеан — это множество всех подмножеств C, включая пустое множество и само множество C. В таблице ниже показан булеан S(С) со всеми перестановками возможных подмножеств для множества C, содержащихся в одном большом множестве.

Для удобства форматирования я убрал запятые между множествами***

Чем может быть полезен булеан? На самом деле, вы скорее всего много раз интуитивно использовали булеаны, даже об этом не догадываясь. Каждый раз, когда вы выбираете подмножество элементов из более крупного множества, вы выбираете элемент булеана. Например ребёнок внимательно изучающий кондитерский магазин с купюрой в 5 долларов — какой элемент булеана множества всех доступных сладостей он выберет? Или если взять более технический пример: вам, как разработчику ПО может потребоваться запросить всех возможных пользователей базы данных, также обладающих свойством X и Y — ещё один случай, в котором одно подмножество выбирается из всех возможных подмножеств.

Эквивалентность и биективная функция

Теперь мы понимаем, что такое мощность множества, почему оно важно, и его связь с булеаном. Поэтому вернёмся ненадолго к тому, что упоминали в самом начале: что конкретно определяет эквивалентность в теории множеств?

Очевидно, что два множества с одинаковой мощностью имеют некое общее свойство, но на этом сходства заканчиваются — что если в одном из множеств есть многократно повторяющийся элемент? Что если два множества имеют одинаковую мощность и количество элементов? Нельзя отрицать, что они в какой-то степени «эквивалентны», но даже в этом случае всё равно есть возможность различий, потому что каждое множество может иметь разные элементы, повторяющиеся одинаковое количество раз. Смысл здесь в том, что концепция эквивалентности в теории множеств немного чужда другим областям математики. Установление эквивалентности в этом мире требует знакомства с этой концепцией и нового языка. В последней части этой статьи мы введём понятие эквивалентности, а также таких базисных свойств, как инъективные, биективные и сюръективные функции.

Часть 4. Функции.

В этой части мы подробнее расскажем о функциях в пределах теории множеств. Как и в случае с предыдущими понятиями, терминология стандартных функций в теории множеств слегка отличается от других областей математики, а потому требует объяснения. Терминологии довольно много, так что давайте сразу приступим к делу! В первой таблице внизу отражены понятия области определения, области значений и значения функции:

Функция в мире теории множеств — это просто соответствие некоторых (или всех) элементов из Множества A некоторым (или всем) элементам Множества B. В показанном выше примере набор всех возможных элементов A называется областью определения; элементы A, используемые в качестве входных значений, в частности называются аргументами. Справа набор всех возможных выходных значений (называющихся в других областях математики «областью значений»), называется кообластью; набор настоящих выходных элементов B, соответствующих A, называется образом.

Пока особо ничего сложного, только новый способ задания параметров функций. Далее мы расскажем о том, как описывать поведения этих функций соответствия при помощи обычных типов функций.

Инъекции, сюръекции и биекции

В теории множеств для классификации соответствия множеств обычно используются три понятия: инъекция, сюръекция и биекция. К сожалению, эти понятия имеют несколько разных названий, усиливающих неразбериху, поэтому мы сначала рассмотрим каждое определение, а затем изучим визуальные примеры. Все три термина описывают способ, которым отображаются аргументы на образы:

Прочитайте заново представленный выше список пунктов. Биекция — это просто функция, удовлетворяющая обоим предыдущим требованиям; то есть, функция инъективна и сюръективна. Инъективная функция не должна быть сюръективной, а сюръективная — инъективной. Ниже показан визуальный пример, в котором эти три классификации привели к созданию функций множеств, определяемых четырьмя возможными комбинациями инъективных и сюръективных свойств:

Биекция (инъекция + сюръекция), инъекция (инъекция + не-сюръекция), сюръекция (не-инъекция + сюръеция), без классификации (не-инъекция + не-сюръекция)

Вот и всё! Теперь мы обладаем элементарным пониманием самых часто встречаемых соотношений, встречающихся в мире множеств. Однако это ни в коем случае не конец нашего пути: напротив, это самое начало.

Фундаментальные основы теории множеств — ключ к пониманию более высокоуровневых областей математики. Чтобы продолжить наше движение вверх, к этим различным областям, далее нужно будет, пользуясь своими знаниями о теории множеств, уяснить одну из самых революционных теорий в истории математики: систему аксиом Цермело-Френкеля.

Источник