практическое применение матриц в жизни

От действий над матрицами к пониманию их сути…

Очень уважаю людей, которые имеют смелость заявить, что они что-то не понимают. Сам такой. То, что не понимаю, — обязательно должен изучить, осмыслить, понять. Статья «Математика на пальцах», и особенно матричная запись формул, заставили меня поделиться своим небольшим, но, кажется, немаловажным опытом работы с матрицами.

Лет эдак 20 назад довелось мне изучать высшую математику в вузе, и начинали мы с матриц (пожалуй, как и все студенты того времени). Почему-то считается, что матрицы — самая лёгкая тема в курсе высшей математики. Возможно — потому, что все действия с матрицами сводятся к знанию способов расчёта определителя и нескольких формул, построенных — опять же, на определителе. Казалось бы, всё просто. Но… Попробуйте ответить на элементарный вопрос — что такое определитель, что означает число, которое вы получаете при его расчёте? (подсказка: вариант типа «определитель — это число, которое находится по определённым правилам» не является правильным ответом, поскольку говорит о методе получения, а не о самой сути определителя). Сдаётесь? — тогда читаем дальше.

Сразу хочу сказать, что я не математик ни по образованию, ни по должности. Разве что мне интересна суть вещей, и я порой пытаюсь до них «докопаться». Так же было и с определителем: нужно было разобраться со множественной регрессией, а в этом разделе эконометрики практически всё делается через… матрицы, будь они неладны. Вот и пришлось мне самому провести небольшое исследование, поскольку ни один из знакомых математиков не дал внятного ответа на поставленный вопрос, изначально звучавший как «что такое определитель». Все утверждали, что определитель — это такое число, которое особым образом посчитано, и если оно равно нулю, то… В общем, как в любом учебнике по линейной алгебре. Спасибо, проходили.

Если какую-то идею придумал один человек, то другой человек должен быть в состоянии её понять (правда, для этого порой приходится вооружаться дополнительными знаниями). Обращение к «великому и могучему» поисковику показало, что «площадь параллелограмма равна модулю определителя матрицы, образованной векторами — сторонами параллелограмма». Говоря простым языком, если матрица — это способ записи системы уравнений, то каждое уравнение в отдельности описывает вектор. Построив из точки начала координат векторы, заданные в матрице, мы таким образом зададим в пространстве некоторую фигуру. Если наше пространство одномерное, то фигура — это отрезок; если двумерное — то фигура — параллелограмм, и так далее.

Получается, что для одномерного пространства определитель — это длина отрезка, для плоскости — площадь фигуры, для трёхмерной фигуры — её объём… дальше идут n-мерные пространства, вообразить которые нам не дано. Если объём фигуры (то есть определитель для матрицы 3*3) равен нулю, то это означает, что сама фигура не является трёхмерной (она может быть при этом двухмерной, одномерной или вообще представлять собой точку). Ранг матрицы — это истинная (максимальная) размерность пространства, для которого определитель не равен нулю.

Так, с определителем почти всё понятно: он определяет «объёмность» фигуры, образованной описанными системой уравнений векторами (хотя непонятно, почему его значение не зависит от того, имеем мы дело с исходной матрицей, или с транспонированной — возможно, транспонирование — это вид аффинного преобразования?). Теперь нужно разобраться с действиями над матрицами…

Если матрица — это система уравнений (а иначе зачем нам таблица каких-то цифр, не имеющих к реальности никакого отношения?), то мы можем с ней делать разные вещи. Например, можем сложить две строки одной и той же матрицы, или умножить строку на число (то есть каждый коэффициент строки умножаем на одно и то же число). Если у нас есть две матрицы с одинаковыми размерностями, то мы их можем сложить (главное, чтобы при этом мы не сложили бульдога с носорогом — но разве математики, разрабатывая теорию матриц, думали о таком варианте развития событий?). Интуитивно понятно, тем более что в линейной алгебре иллюстрациями подобных операций являются системы уравнений.

Однако в чём смысл умножения матриц? Как я могу умножить одну систему уравнений на другую? Какой смысл будет иметь то, что я получу в этом случае? Почему для умножения матриц неприменимо переместительное правило (то есть произведение матриц В*А не то что не равно произведению А*В, но и не всегда осуществимо)? Почему, если мы перемножим матрицу на вектор-столбец, то получим вектор-столбец, а если перемножим вектор-строку на матрицу, то получим вектор-строку?

Ну, тут уж не то что Википедия, — тут даже современные учебники по линейной алгебре бессильны дать какое-либо внятное объяснение. Поскольку изучение чего-либо по принципу «вы сначала поверьте — а поймёте потом» — не для меня, копаю в глубь веков (точнее — читаю учебники первой половины XX века) и нахожу интересную фразу…

Если совокупность обычных векторов, т.е. направленных геометрических отрезков, является трёхмерным пространством, то часть этого пространства, состоящая из векторов, параллельных некоторой плоскости, является двумерным пространством, а все векторы, параллельные некоторой прямой, образуют одномерное векторное пространство.

В книгах об этом напрямую не говорится, но получается, что векторам, параллельным некоторой плоскости, необязательно лежать на этой плоскости. То есть они могут находиться в трёхмерном пространстве где угодно, но если они параллельны именно этой плоскости, то они образуют двумерное пространство… Из приходящих мне на ум аналогий — фотография: трёхмерный мир представлен на плоскости, при этом вектору, параллельному матрице (или плёнке) фотоаппарата, будет соответствовать такой же вектор на картинке (при условии соблюдении масштаба 1:1). Отображение трёхмерного мира на плоскости «убирает» одно измерение («глубину» картинки). Если я правильно понял сложные математические концепции, перемножение двух матриц как раз и представляет собой подобное отражение одного пространства в другом. Поэтому, если отражение пространства А в пространстве В возможно, то допустимость отражения пространства В в пространстве А — не гарантируется.

Любая статья заканчивается в тот момент, когда автору надоедает её писать. Поскольку я не ставил перед собой цели объять необъятное, а исключительно хотел понять суть описанных операций над матрицами и то, как именно матрицы связаны с решаемыми мной системами уравнений, я не полез в дальнейшие дебри линейной алгебры, а вернулся к эконометрике и множественной регрессии, но сделал это уже более осознанно. Понимая, что и зачем я делаю и почему только так, а не иначе. То, что у меня получилось в этом материале, можно озаглавить как «глава о сути основных операций линейной алгебры, которую почему-то забыли напечатать в учебниках». Но ведь мы же не читаем учебников, правда? Если честно, когда я учился в университете, мне очень не хватало именно понимания затронутых здесь вопросов, поэтому я надеюсь, что, изложив этот непростой материал по возможности простыми словами, я делаю доброе дело и помогаю кому-то вникнуть в саму суть матричной алгебры, переведя операции над матрицами из раздела «камлание с бубном» в раздел «практические инструменты, применяемые осознанно».

Источник

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МАТРИЦ В ПОВСЕДНЕВНОЙ ЖИЗНИ

Данные по потреблению ресурсов (табл.1) внесем в матрицу :

Вычислим общую сумму расходов по услугам в месяц за оба помещения:

каждый элемент получившейся матрицы – это значение, которое соответствует плате за определенную услугу потребления. Общая сумма коммунальных платежей находится по формуле:

При решении практических задач матрицы являются хорошими помощниками, так же они используются в решении экономических задач в сферы планирования и управления с помощью линейного программирования [1].

Агишева Д.К., Зотова С.А., Матвеева Т.А., Светличная В.Б. Линейное программирование: учебное пособие //Успехи современного естествознания. – 2010. – № 9. – С. 61-62.

Источник

Матрица, ее история и применение

Разделы: Математика

Матрица, её история и применение

Термин « матрица » имеет много значений. Например, в математике матрицей называется система элементов, имеющая вид прямоугольной таблицы, в программировании матрица – это двумерный массив, в электронике – набор проводников, которые можно замкнуть в точках их пересечений. Покерные фишки также имеют непосредственное отношение к матрице. Фишки для покера изготавливаются из высококачественного композиционного материала, зачастую с металлической сердцевиной. В свою очередь композиционный материал или композит имеет матрицу и включенные в нее армирующие элементы (исключение составляют слоистые композиты).
Матрица в фотографии – это интегральная микросхема (аналоговая или цифро-аналоговая), которая состоит из фотодиодов (светочувствительных элементов). Благодаря светочувствительной матрице происходит преобразование спроецированного на нее оптического изображения в электрический сигнал аналогового типа, а при наличии в составе матрицы АЦП, то преобразование происходит в поток цифровых данных.
Матрица – основной элемент цифровых фотоаппаратов, всех современных видео- и телекамер, фотокамер, встроенных в мобильный телефон и системы видеонаблюдения.

Основное значение термин «матрица» имеет в математике.

Ма́трица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля (например, целых или комплексных чисел), которая представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся её элементы. Количество строк и столбцов матрицы задают размер матрицы. Хотя исторически рассматривались, например, треугольные матрицы, в настоящее время говорят исключительно о матрицах прямоугольной формы, так как они являются наиболее удобными и общими.

Впервые матрицы упоминались ещё в древнем Китае, называясь тогда «волшебным квадратом». Основным применением матриц было решение линейных уравнений. Так же, волшебные квадраты были известны чуть позднее у арабских математиков, примерно тогда появился принцип сложения матриц. После развития теории определителей в конце 17-го века, Габриэль Крамер начал разрабатывать свою теорию в 18-ом столетии и опубликовал «правило Крамера» в 1751 году. Примерно в этом же промежутке времени появился «метод Гаусса». Теория матриц начала своё существование в середине XIX века в работах Уильяма Гамильтона и Артура Кэли. Фундаментальные результаты в теории матриц принадлежат Вейерштрассу, Жордану, Фробениусу. Термин «матрица» ввел Джеймс Сильвестр в 1850 г.

Матрицы широко применяются в математике для компактной записи систем линейных алгебраических или дифференциальных уравнений. В этом случае, количество строк матрицы соответствует числу уравнений, а количество столбцов — количеству неизвестных. В результате решение систем линейных уравнений сводится к операциям над матрицами.

Матрицы допускают следующие алгебраические операции:

Матрица – множество чисел, образующих прямоугольную таблицу, которая содержит m – строк и n – столбцов. Для обозначения матрицы используется надпись:

А=,

а_ij, где i – номер строки, j – номер столбца

Далее рассмотрим виды матриц.

С=; D=.

Матрица, которая содержит только одну строчку или один столбец называется вектором. В таких матрицах можновыделить вектор-строка и вектор-столбец. Так, матрица K – это вектор-строка, а матрица F – вектор-столбец.

K=; F=.

Квадратная матрица, у которой в главной диагонали стоят ненулевые элементы, а все остальные – нули называется диагональной матрицей. Матрица L – диагональная матрица третьего порядка. Если ненулевые элементы равны только единицам, то это единичная матрица, она всегда обозначается буквой Е. В нашем случае матрица Е – тоже единичная матрица третьего порядка.

L= E=.

Если все элементы матрицы нули, то это нулевая матрица. Например, матрица V – нулевая матрица третьего порядка.

V=.

Если в данной матрице поменять строки и столбцы местами, то получится транспонированная матрица данной. Например, дана матрица М, каждую строчку этой матрицы перенесем в соответствующий столбец матрицы, стоящей на рисунке рядом. Вторая матрица – это транспонированная матрица матрицы М.

К середине XIX в. матрицы стали самостоятельными объектами математических исследований. К этому времени были сформулированы правила сложения и умножения матриц. Основную роль в их разработке сыграли работы Гамильтона, Кэли и Сильвестра (J.J.Sylvester, 1814–1897). Современное обозначение матрицы предложил Кэли в 1841 году. Исследования Вейерштрасса (K.Th.W.Weierstrass, 1815–1897) и Фробениуса (F.G.L. Frobenius, 1849–1917) далеко продвинули теорию матриц, обогатив ее новым содержанием.

Но существует ещё особая разновидность матриц, называемая магическим квадратом. Магический квадрат – квадратная таблица из целых чисел, в которой суммы чисел вдоль любой строки, любого столбца и любой из двух главных диагоналей равны одному и тому же числу.

Магический квадрат – древнекитайского происхождения. Согласно легенде, во времена правления императора Ю (ок. 2200 до н.э.) из вод Хуанхэ (Желтой реки) всплыла священная черепаха, на панцире которой были начертаны таинственные иероглифы и эти знаки известны под названием лошу и равносильны магическому квадрату. В 11 в. о магических квадратах узнали в Индии, а затем в Японии, где в 16 в. магическим квадратам была посвящена обширная литература. Европейцев с магическими квадратами познакомил в 15 в. византийский писатель Э.Мосхопулос. Первым квадратом, придуманным европейцем, считается квадрат А.Дюрера изображенный на его знаменитой гравюре Меланхолия 1. Дата создания гравюры (1514) указана числами, стоящими в двух центральных клетках нижней строки. Магическим квадратам приписывали различные мистические свойства. В 16 в. Корнелий Генрих Агриппа построил квадраты 3-го, 4-го, 5-го, 6-го, 7-го, 8-го и 9-го порядков, которые были связаны с астрологией 7 планет. Бытовало поверье, что выгравированный на серебре магический квадрат защищает от чумы. Даже сегодня среди атрибутов европейских прорицателей можно увидеть магические квадраты.

В 19 и 20 вв. интерес к магическим квадратам вспыхнул с новой силой. Их стали исследовать с помощью методов высшей алгебры и операционного исчисления.

Магические квадраты нечетного порядка можно построить с помощью метода французского геометра 17 в. А.де лаЛубера. Рассмотрим этот метод на примере квадрата 5-го порядка. Число 1 помещается в центральную клетку верхней строки. Все натуральные числа располагаются в естественном порядке циклически снизу вверх в клетках диагоналей справа налево. Дойдя до верхнего края квадрата (как в случае числа 1), продолжаем заполнять диагональ, начинающуюся от нижней клетки следующего столбца. Дойдя до правого края квадрата (число 3), продолжаем заполнять диагональ, идущую от левой клетки строкой выше. Дойдя до заполненной клетки (число 5) или угла (число 15), траектория спускается на одну клетку вниз, после чего процесс заполнения продолжается.

Где ещё применяются матрицы?

В физике и других прикладных науках матрицы – являются средством записи данных и их преобразования. В программировании – в написании программ. Они еще называются массивами. Широко применение и в технике. Например, любая картинка на экране – это двумерная матрица, элементами которой являются цвета точек.

В психологии понимание термина сходно с данным термином в математике, но взамен математических объектов подразумеваются некие «психологические объекты» – например, тесты.

Кроме того, матрицы имеет широкое применение в экономике, биологии, химии и даже в маркетинге.

Также авторы нашли абстрактную модель – теорию бракосочетаний в первобытном обществе, где с помощью матриц были показаны разрешенные варианты браков для представителей и даже потомков того или иного племени, что явилось свидетельством разнопланового применения матриц.

Теперь подробнее остановимся на некоторых областях применения матриц.

Рассмотрим теорию бракосочетаний, о которой уже упоминалось.

В некоторых первобытных обществах существуют строгие правила относительно того, в каких случаях допустимы браки. Эти правила направлены на предотвращение браков между слишком близкими родственниками.

Эти правила допускают точную математическую формулировку в терминах «p-матриц». Одним из первых изложил эти правила в виде аксиом Андре Вейль.

Правила бракосочетания характеризуются следующими аксиомами:

Из аксиом следует, что нужно задать зависимость между типом родителей и типами сыновей и дочерей.

Для установления отношения родства пользовались следующими обозначениями:

Вот примеры видов отношений:

Данные схемы далее объединяются в большие матрицы, где условные обозначения преобразуются в числа. С помощью таких матриц удобно видеть кровное родство в нескольких поколениях.

Понятие матрицы и основанный на нем раздел математики – матричная алгебра – имеют чрезвычайно важное значение для экономистов. Объясняется это тем, что значительная часть математических моделей экономических объектов и процессов записывается в достаточно простой, а главное – компактной матричной форме.

С помощью матриц удобно записывать некоторые экономические зависимости.

Например, рассмотрим таблицу распределения ресурсов по отдельным отраслям экономики (усл. ед.):

Данная таблица может быть записана в компактной форме в виде матрицы распределения ресурсов по отраслям:

А=

Далее рассмотрим применение матриц в психологии.

Прогрессивные матрицы Равена– тест на наглядное и в то же время абстрактное мышление по аналогии (тест интеллекта), разработанный англ. психологом Дж. Равеном (1938).

Каждая задача состоит из 2 частей: основного рисунка (какого–либо геометрического узора) с пробелом в правом нижнем углу и набора из 6 или 8 фрагментов, находящихся под основным рисунком. Из этих фрагментов требуется выбрать один, который, будучи поставленным на место пробела, точно подходил бы к рисунку в целом. Прогрессивные матрицы Равена разделяются на 5 серий по 12 матриц в каждой. Благодаря увеличению числа элементов матриц и усложнению принципов из взаимоотношений задачи постепенно усложняются как в пределах одной серии, так и при переходе от серии к серии. Имеется также облегченный вариант прогрессивных матриц Равена, предназначенный для исследования детей и взрослых с нарушениями психической деятельности.

На рисунке показаны примеры таких матриц:

Мы рассмотрели основные области применения матриц. Выяснилось, что данный термин употребляется не только в математике, но и в других науках, таких, как информатика, биология, химия, физика, психология, экономика и т. д. Кроме того, матрицы могут быть практически применимы, например, как это делали в первобытном обществе для определения разрешённых вариантов брака.

МАТРИЦА— (нем., Matrize, от лат. matrix матка). 1) в литейном производстве: медная форма для отливки букв, а также монет. 2) в типографском деле: бумажная форма для отливки стереотипа.

С помощью матриц можно решать системы уравнений, в них удобно представлять какие-либо данные.

Таким образом, мы пришли к выводу, что матрицы широко применялись и применяются до сих пор.

Литература:

Источник

Матричная алгебра в жизни человека

Виды матриц, линейные операции над ними. Умножение квадратных матриц первого и второго порядков. Вычисление обратных матриц второго и третьего порядков. Решение линейных уравнений методами Крамера и Гаусса. Применение матриц в различных областях науки.

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Самарский областной лицей

Матричная алгебра в жизни человека

2. Виды матриц. Векторы

3. Равенство матриц

4. Линейные операции над матрицами

5. Умножение матриц

7. Вычисление обратных матриц второго и третьего порядков

8. Решение простейших матричных уравнений

9. Решение линейных уравнений по формулам Крамера

10. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

11. Системы линейных уравнений

12. Общее решение системы линейных уравнений

13. Применение матриц на практике

В наше время тема матриц и матричной алгебры является актуальной.

Объект исследования: применения матриц на практике, в экономике, математике и других науках.

Предмет исследования: матрица.

Цель исследования: выявить принципы применения матриц в различных областях науки.

— научиться выполнять действия над матрицами.

— правильно составить математическую модель ситуации.

— решить полученную матрицу.

— выбрать правильный ответ.

Достоверность результатов исследования обеспечивалась обоснованностью исходных теоретических данных, опорой на доказательства и методы решения линейных уравнений.

Практическая ценность: я смогу применять свои знания в старших классах и ВУЗе при решении линейных систем уравнений. Помогать своим сверстникам, если у них возникнут затруднения в решении уравнений.

Теоретическая значимость результатов обусловлена подбором задач для подтверждения теорий.

матрица уравнение линейный

Матрицей называется множество чисел, образующих прямоугольную таблицу, которая содержит m строк и n столбцов. Для записи матрицы используется следующее обозначение:

2. Виды матриц. Векторы

Если число строк матрицы не равно числу столбцов, то матрица называется прямоугольной.

Если число строк равно числу столбцов, то матрица называется квадратной.

Число строк или столбцов квадратной матрицы называется ее порядком. Рассмотрим квадратную матрицу порядка n:

Среди квадратных матриц выделим матрицы, у которых отличны от нуля только элементы, находящиеся на главной диагонали. Такие матрицы называют диагональными.

Если в скалярной матрице все числа главной диагонали равны единице, то матрица называется единичной и обозначается буквой Е. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей.

В прямоугольной матрице типа m*n возможен случай, когда m=1. при этом получается матрица-строка. В случае, когда n=1, получаем матрицу-столбец.

Такие матрицы-строки и матрицы-столбцы иначе будем называть векторами.

3. Равенство матриц

Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковое число строк m и одинаковое число столбцов n и их соответствующие элементы равны: aіј=bіј Равные матрицы обязательно имеют одно и то же строение: либо обе они прямоугольные типа m*n, либо квадратные одного и того же порядка n.

Если в матрице типа m*n переставить строки со столбцами, получим матрицу типа n*m, которую будем называть транспонированной матрицей.

В том случае, когда матрица состоит из одной строки (матрица-строка), транспонированная матрица является матрицей-столбцом.

4. Линейные операции над матрицами

Суммой матриц А и В условимся называть такую матрицу, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В. Складывать можно только матрицы, имеющие одинаковое строение: или прямоугольные типа m*n, или квадратные порядка n.

Мы видим, что сложение матриц сводится непосредственно к сложению их элементов, являющихся числами. Поэтому на сложение матриц распространяются важнейшие свойства чисел:

1) Переместительный закон сложения:

2) Сочетательный закон сложения:

Из сказанного выше вытекает равенство

т.е. существует такая нулевая матрица (того же порядка или того же типа), что её сумма с матрицей А любого типа равна матрице А.

т.е. матрица, противоположная А.

Произведением матрицы А на число k называется такая матрица k А, каждый элемент которой равен k a іј.

Умножение матрицы на число сводится к умножению на это число всех элементов матрицы.

5. Умножение матриц

Рассмотрим умножение квадратных матриц второго порядка.

Чтобы найти элемент первой строки и первого столбца матрицы С, нужно каждый элемент первой строки матрицы А умножить на соответствующий элемент первого столбца матрицы В и полученные произведения сложить.

Чтобы найти элемент первой строки и второго столбца матрицы С, нужно умножить все элементы первой строки ( и ) на соответствующие элементы второго столбца (b12 и b22) и полученные произведения сложить.

Аналогично находятся элементы.

Вообще, чтобы получить элемент, стоящий на пересечении i-й строки и j-го столбца, матрицы произведения, нужно все элементы i-й строки матрицы А умножить на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В и полученные произведения сложить.

Правило нахождения матрицы-произведения распространяется на умножение прямоугольных матриц. Для них справедливы следующие правила:

1) Умножение матрицы А на матрицу В имеет смысл только в том случае, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.

2) В результате умножения двух прямоугольных матриц получается матрица, содержащая столько строк, сколько строк в первой матрице и столько столбцов, сколько столбцов во второй матрице.

Свойства умножения матриц.

1. Сочетательный закон

2. Распределительный закон

Возможен случай, когда произведение двух ненулевых матриц может оказаться равным нулевой матрице.

Определитель матрицы. Вычисление определителей второго порядка.

Пусть дана квадратная матрица второго порядка:

Определитель (или детерминант) второго порядка записывается так:

Отметим, что определитель второго порядка равен разности попарных произведений элементов главной и побочной диагоналей.

Определителем (или детерминантом) третьего порядка, соответствующим данной матрице называется число:

Определитель третьего порядка записывается так:

При вычислении определителей третьего порядка удобно пользоваться правилом треугольника (правилом Сарруса)

Три положительных члена определителя представляют собой произведения элементов главной диагонали (а11 а22 а33) и элементов, находящихся в вершинах двух равнобедренных треугольников, основания которых параллельны главной диагонали (а11 а23 а31). Три отрицательных его члена есть произведения элементов побочной диагонали (а13 а22 а31) и элементов, находящихся в вершинах двух равнобедренных треугольников, основания которых параллельны побочной диагонали (а12 а21 а33 и а11 а23 а32).

1) Определитель не изменится, если его строки поменять местами с соответствующими столбцами (т.е. транспонировать). Это свойство называется свойством равноправности строк и столбцов. 2) При перестановке двух строк (или столбцов) определитель изменит свой знак на противоположный.

3) Общий множитель всех элементов строки (или столбца) можно вынести за знак определителя.

4) Определитель с двумя одинаковыми строками или столбцами равен нулю.

5) Если все элементы двух строк (столбцов) определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

Определение обратной матрицы.

Квадратная матрица А называется вырожденной, если её определитель равен нулю, и невырожденной, если её определитель не равен нулю.

Если обратная матрица существует, то матрица называется обратимой.

Если обратная матрица существует, то матрица называется обратимой. Операция вычисления обратной матрицы при условии, что она существует, называется обращением матрицы. Нахождение обратной матрицы имеет большое значение при решении систем линейных уравнений и в вычислительных методах линейного программирования.

Для того чтобы квадратная матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы матрица А была невырожденной, т.е. чтобы её определитель был отличен от нуля.

Миноры и алгебраические дополнения элементов определителя.

Минором М іј элемента a іј определителя D=, где i и j меняются от 1 до n, называется такой новый определитель, который получается из данного определи-теля вычеркиванием строки и столбца, содержащих данный элемент.

Получается, если вычеркнуть из определителя D первую строку и второй столбец.

Алгебраическим дополнением элемента a іј определителя D называется минор

7. Вычисление обратных матриц второго и третьего порядков

1. Найти определитель матрицы А.

2. Найти алгебраические дополнения всех элементов a іј матрицы А и записывают новую матрицу.

3. Поменять местами столбцы полученной матрицы (транспонировать матрицу)

4. Умножить полученную матрицу на 1/D.

8. Решение простейших матричных уравнений

Пусть дана система уравнений

Рассмотрим матрицу, составленную из коэффициентов при неизвестных

Свободные члены и неизвестные можно записать в виде матриц-столбцов:

Тогда, используя правило умножения матриц, эту систему уравнений можно записать так: АХ=В или

Это равенство называется простейшим матричным уравнением.

Используя сочетательный закон умножения, перепишем это равенство в виде

Алгоритм решения матричных уравнений:

1) Найти обратную матрицу.

2) Найти произведение обратной матрицы на матрицу-столбец свободных членов.

3) Пользуясь определением равных матриц, записать ответ.

9. Решение линейных уравнений по формулам Крамера

Теорема: Система n уравнений с n неизвестными, определитель которой отличен от нуля, всегда имеет решение и притом единственное. Оно находится следующим образом: значение каждого из неизвестных равно дроби, знаменателем которой является определитель системы, а числитель получается из определителя системы заменой столбца коэффициентов при искомом неизвестном на столбец свободных членов.

Когда определитель системы равен нулю она может иметь либо бесконечное множество решений, либо не иметь корней.

Решить систему уравнений:

Вычислим определитель системы и определители

Найдем значения х и у по формулам Крамера

Итак, решение системы (3;-1).

10. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

При решении систем линейных уравнений используют также метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных). Он состоит в следующем: систему уравнений приводят к эквивалентной ей системе с треугольной матрицей (системы называются эквивалентными, если множества их решений совпадают). Эти действия называют прямым ходом. Из полученной треугольной системы переменные находят с помощью последовательных подстановок (обратный ход).

При выполнении прямого хода используют следующие преобразования:

1)Умножение или деление коэффициентов свободных членов на одно и то же число

2)Сложение и вычитание уравнений

3)Перестановку уравнений системы

4)Исключение из системы уравнений, в которых все коэффициенты при неизвестных и свободные члены равны нулю.

Решить систему уравнений:

Переставим третье уравнение на место первого. Запишем расширенную матрицу:

Чтобы в первом столбце получить а21=а31=0, умножим первую строку сначала на 3, а затем на 2 и вычтем результаты из второй и третьей строк.

Разделим вторую строку на 8, полученные результаты умножим на 3 и вычтем из третьей строки:

Запишем новую эквивалентную систему, которой соответствует расширенная матрица. Выполняя обратный ход, с помощью последовательных подстановок находим неизвестные. Получаем ответ (1;2;3).

11. Системы линейных уравнений

Рассмотрим систему из m уравнений с n неизвестными.

Система задается своей расширенной матрицей A*, получае-мой объединением матрицы системы A и столбца свободных членов b.

Транспонируем матрицу А системы (1) и рассмотрим систему из п линейных уравнений

Для того чтобы система (1) имела решения, необходимо и достаточно, чтобы каждое решение сопря-женной однородной системы (3) удовлетворяло уравнению

Приведенная система. Сопоставим системе линейных урав-нений (1) однородную систему с той же матрицей коэффициентов:

По отношению к системе (1) она называется приведенной.

Это предложение сводит задачу описания множества решений системы линейных уравнений к описанию множества решений ее приведенной системы.

Матрица F, состоящая из столбцов высо-ты n, называется фундаментальной матрицей для однородной системы с матрицей A размеров т п, если:

б) столбцы F линейно независимы;

Столбцы фундаментальной матрицы называются фундамен-тальной системой решений.

Столбец х будет решением системы Ах = 0 тогда и только тогда, когда существует такой столбец с, что

12. Общее решение системы линейных уравнений

при любом с является решением системы (1). Наоборот, для каждого решения х найдется такой столбец с, что оно будет представлено формулой (7).

13. Применение матриц на практике

Матрицы нашли применение во многих отраслях человеческой деятельности.

· Матричный язык, обозначения и матричные вычисления широко используются в различных областях современной математики и её приложений. Матрицы являются основным математическим аппаратом линейной алгебры и применяются при исследовании линейных отображений векторных пространств, линейных и квадратичных форм, систем линейных уравнений. Матрицы используются в математическом анализе при интегрировании систем дифференциальных уравнений, в теории вероятностей.

· Матрицы используются в механике и теоретичной электротехнике при исследовании малых колебаний механических и электрических систем, в квантовой механике.

· При решении задач проектирования дорожных машин возникает необходимость в вычислениях координат вершин тел в пространстве. Такие вычисления удобно производить с помощью матриц в системе МАТLАВ.

· Широкое применение матрицы находят при расчете сооружений с использованием современной вычислительной техники.

В десятом классе в понедельник не пришли в школу одна девочка и пять мальчиков. Тогда число девочек в классе оказалось в два раза больше числа мальчиков. Во вторник не пришли один мальчик и девять девочек. Тогда число мальчиков оказалось в 1,5 раза больше числа девочек. В среду на уроки пришли все ученики. Сколько школьников присутствовало на уроках в среду?

В понедельник было (х-1) девочек, (у-5) мальчиков. При этом оказалось, что девочек вдвое больше, т.е. х-1=2(у-5).

Во вторник было (х-9) девочек, (у-1) мальчиков. При этом оказалось, что мальчиков в 1,5 раза больше, т.е. у-1=1,5(х-9)

Математическая модель ситуации составлена:

Упростим каждое уравнение системы:

Выпишем и вычислим:

Фабрика может выпустить не четыре наименования продукции, а 10 или 20 различных наименований, которые запишутся в виде матрицы-строки. В общем случае рассматривается матрица:

Сумма двух таких матриц дает новую матрицу, которая определяет выпуск продукции фабрикой за два месяца. Разность указывает, на сколько изменилось количество изделий, выпускаемых фабрикой за второй месяц по сравнению с первым.

Если мы хотим иметь данные не за один месяц, а за k месяцев сразу, то для этого достаточно составить таблицу:

Аналогично можно найти разность количества продукции.

Предположим, что нас интересует вопрос: на какую сумму фабрика выпустила изделий в первом, втором, … k-м месяце? Для этого матрицу А, определяющую выпуск n видов изделий за k месяцев, надо умножить на матрицу-столбец, составленную из стоимости этих изделий.

с2=ф21и1+ф22и2+…+ф2титб …б ал=фл1и1+фл2и2+…+флтитю

Получим сумму, на которую фабрика выпустила определенных изделий. Рассчитаем на примере:

Составим матрицу А, описывающую, какое количество продукции выпущено фабрикой за январь:

Пусть матрица В описывает, какое количество продукции фабрика выпустила за февраль:

Допустим, нам нужно узнать, какое количество продукции фабрика выпустила за январь и февраль. Для этого найдем сумму двух матриц:

А+В= (350 920 534 897)

Получаем, что фабрика за январь и февраль выпустила 350 стульев, 920 столов, 534 шкафов, 897 диванов.

Чтобы узнать, на сколько изменился выпуск продукции в феврале по сравнению с январем, найдем разность матриц:

Получим, что в феврале выпуск продукции увеличился на 50 стульев, 60 столов, 189 диванов. Выпуск шкафов не изменился.

Составим матрицу, описывающую выпуск продукции за четыре месяца:

Пусть имеется вторая фабрика, выпускающая такую же продукцию. Пусть количество продукции, выпущенной второй фабрикой за январь и февраль описывается матрицей С:

Найдем совместный выпуск в январе и феврале:

Q= (539 1236 686 972)

Допустим, нас интересует, на какую сумму первая фабрика выпустила продукции в первом, во втором, в k месяце. Для этого домножим матрицу А на матрицу L, описывающую цену на продукцию.

В моей работе я доказала, что матрицы могут быть применимы в обыденной жизни. Например, при решении задач о количестве учеников в классе, при строительстве сооружений, в экономике, при подсчете количества выпущенной продукции и её цены.

Так же в моей работе присутствует теория о матрицах, правилах действий над ними, изложенная в доступной форме, примеры решения систем уравнений с помощью определителей и т.д.

Я убедилась, что любую реальную ситуацию можно представить в виде математической модели, а затем найти её решения.

1. «Математика для техникумов. Алгебра и начала анализа» Часть первая. Редакция Г.Н. Яковлева. 1981г. Издательство «Наука».

2. «Алгебра и элементарные функции» Р.А. Калнин. 1967г. Издательство «Наука».

4. «Основы линейной алгебры» Мальцев А.И. 4 изд. 1975г.

5. «Матрицы и вычисления» Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А., 1984г.

Размещено на Allbest.ru

Подобные документы

Основные операции над матрицами и их свойства. Произведение матриц или перемножение матриц. Блочные матрицы. Понятие определителя. Панель инструментов Матрицы. Транспонирование. Умножение. Определитель квадратной матрицы. Модуль вектора.

реферат [109,2 K], добавлен 06.04.2003

Элементы линейной алгебры. Виды матриц и операции над ними. Свойства определителей матрицы и их вычисление. Решение систем линейных уравнений в матричной форме, по формулам Крамера и методу Гаусса. Элементы дифференциального и интегрального исчислений.

учебное пособие [1,5 M], добавлен 06.11.2011

Понятие матрицы и линейные действия над ними. Свойства операции сложения матриц. Определители второго и третьего порядков. Применение правила Саррюса. Основные методы решения определителей. Элементарные преобразования матрицы. Свойства обратной матрицы.

учебное пособие [223,0 K], добавлен 04.03.2010

Линейные операции над матрицами. Умножение и вычисление произведения матриц. Приведение матрицы к ступенчатому виду и вычисление ранга матрицы. Вычисление обратной матрицы и определителя матрицы, а также решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

учебное пособие [658,4 K], добавлен 26.01.2009

Применение матриц и их виды (равные, квадратные, диагональные, единичные, нулевые, вектор-строка, вектор-столбец). Примеры действий над матрицами (умножение на число, сложение, вычитание, умножение и транспонирование матриц) и свойства полученных матриц.

презентация [74,7 K], добавлен 21.09.2013

Расчет денежных расходов предприятия на выпуск изделий, при выражении их стоимости при помощи матриц. Проверка совместимости системы уравнений и их решение по формулам Крамера и с помощью обратной матрицы. Решение алгебраических уравнений методом Гаусса.

контрольная работа [576,6 K], добавлен 28.09.2014

Выполнение действий над матрицами. Определение обратной матрицы. Решение матричных уравнений и системы уравнений матричным способом, используя алгебраические дополнения. Исследование и решение системы линейных уравнений методом Крамера и Гаусса.

контрольная работа [63,2 K], добавлен 24.10.2010

Источник