показательная функция в жизни

Показательная функция в жизни

Целью моей работы является исследование сфер применения показательной функции.

Объект исследования: показательная функция.

Показательная функция часто применяется в физике, химии, биологии, географии, экономике и иных науках.

Рост количества бактерий, концентрация адреналина в крови, способность почек выводить из крови радиоактивные изотопы, восстановление концентрации гемоглобина в крови, рост количества древесины, количество радиоактивного вещества, изменение количества населения – все это измеряется по законам показательной функции.

В жизни нередко приходиться встречаться с такими фактами, когда скорость изменения какой-либо величины пропорциональна самой величине. В этом случает рассматриваемая величина будет изменяться по закону, имеющему вид y=y0ax

Практическая значимость работы заключается в том, что она позволяет объективно оценить значимость показательной функции, основываясь на рассмотренных фактах, раскрывая особенности применения показательной функции в современной жизни человека.

Материал исследовательской работы может быть использован в форме презентации для выступления различных публичных мероприятиях, в школе; для публикации в печатных изданиях (в научно-популярной литературе), размещения данных о проекте на сайте нашей школы и других сайтах определенной тематики.

Данная работа состоит из следующих этапов:

Подбор, изучение, анализ информации о функциях, в частности, показательной функции.

Анкетирование с целью узнать, насколько люди осведомлены о сфере применения показательной функции.

Исследование свойств показательной функции.

Примеры применения показательной функции.

Задачи на показательную функцию.

Доказать, что функциональные зависимости существуют во всех сферах жизни;

Расширить знания о показательной функции и методах решения уравнений;

Узнать, какие явления из жизни и некоторых наук описывает показательная функция;

Научиться применять полученные знания в нестандартных ситуациях на основе рассмотрения примеров из реальной жизни, при решении практико-ориентированных задач.

2.1 История развития понятия функции.

Начиная лишь с 17 века, в связи с проникновением в математику идеи переменных, понятие функции применяется явно и вполне сознательно.

Путь к появлению понятия функции заложили в 17 веке французские ученые Франсуа Виет (1540-1603) и Рене Декарт (1596-1650);

Они разработали единую буквенную математическую символику, которая вскоре получила всеобщее признание.

В своей «Геометрии» в 1637 году Декарт дает понятие функции, как изменение ординаты точки в зависимости от изменения ее абсциссы.

В 1671 году Ньютон (1643- 1727) под функцией стал понимать переменную величину, которая изменяется с течением времени (называл в «флюентой»). Исаак Ньютон (1643- 1727)

3.1 Аналитическое определение функции.

Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716)

Начиная с 1698 года, Лейбниц ввел также термины «переменная» и «константа». В 18 веке появляется новый взгляд на функцию как на формулу, связывающую одну переменную с другой. Подход к такому определению впервые сделал швейцарский математик Иоганн Бернулли (1667-1748) который в 1718 году определил функцию следующим образом: «функцией переменной величины называют количество, образованное каким угодно способ из этой переменной величины и постоянных».

Окончательную формулировку определения функции с аналитической точки зрения сделал в 1748 году ученик Бернулли Эйлер. «Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого количества и чисел или постоянных количеств».

Большой вклад в разрешение спора Эйлера, Даламбера, Бернулли и других ученых 18 века по поводу того, что стоит понимать под функцией, внес французский математик Жан Батист Жозеф Фурье.

Из трудов Фурье следовало, что любая кривая независимо от того, из скольких и каких разнородных частей она состоит, может быть представлена в виде единого аналитического выражения и что имеются также прерывные кривые, изображаемые аналитическим выражением.

Жан Батист Жозеф Фурье4.1 Примеры применения показательной функции

«Некоторые наиболее часто встречающиеся виды трансцендентных функций, прежде всего показательные, открывают доступ ко многим исследованиям»

Так утверждал великий ученый, математик Леонард Эйлер. И он был в корне прав, говоря о том, что показательная функция применятся во многих сферах жизни человека.

Кроме того, перед началом исследования, мною был проведен опрос с целью узнать, осведомлены ли люди о том, что такое показательная функция и где она применяется:

В итоге, 72% опрошенных не знают, где применяется данная функция. Но в своем исследовании я решила рассказать, где же используется данная функция.

Приведем примеры, где мы сталкиваемся с показательной функцией в повседневной жизни, а также как она применяется на практике.

Процессы выравнивания (именно так называют процессы, изменяющиеся по законам показательной функции) часто встречаются и в биологии.

Это закон органического размножения: при благоприятных условиях (отсутствие врагов, большое количество пищи) живые организмы размножались бы по закону показательной функции.

Также вспомним что, при испуге в кровь внезапно выделяется адреналин, ко­торый потом разрушается, причем скорость разрушения примерно пропорциональна количеству этого вещества, еще остающемуся в крови. При диагностике почечных бо­лезней часто определяют способность почек выводить из крови радиоактивные изотопы, причем их количество в крови падает по показательному закону.

Примером обрат­ного процесса может служить восстановление концентрации гемоглобина в крови у донора или у раненого, потерявшего много крови. В этом случае по показательному закону убывает разность между нормальным содержанием гемоглобина и имеющимся количеством этого вещества.

4. Количество радиоактивного вещества, оставшегося к моменту t,

T_1/2– период полураспада.

5. Площадь сечения троса связана с сопротивлением разрыва также по показательному закону.

Сейчас мно­гие моря и океаны бороздят исследовательские корабли. В заранее установленных местах они останавливаются и спускают за борт трос, на конце которого находятся при­боры. Их опускают на дно, а потом поднимают наверх и записывают показания. Но иногда происходит печальное событие — трос разрывается и все ценные приборы ока­зываются погребенными на дне моря.

Казалось бы, этой беды можно было бы избежать, сде­лав трос потолще. Но тут возникает новое осложнение — верхние части троса должны удерживать не только спус­каемые приборы, но и нижнюю часть самого троса, а по­тому при утолщении всего троса на верхнюю часть ляжет слишком большая нагрузка.

Поэтому целесообразно делать нижнюю часть троса тоньше, чем верхнюю. Возникает вопрос: как должна ме­няться толщина троса для того, чтобы в любом его се­чении на 1 см2 приходилась одна и та же нагрузка?

So — площадь его нижнего сечения,

S — площадь сечения на высоте х от нижнего сечения,

γ — удельный вес материала, из которого сделан трос,

Р — вес в воде опускаемого груза (нам пришлось написать в формуле γ — 1 вместо γ, так как и материал троса теряет в воде вес по закону Архимеда).

Такой трос называют тросом равного сопротивления разрыву.

6. Процесс изменения температуры чайника при кипении выражается формулой:

7. При падении тел в безвоздушном пространстве скорость их непрерывно возрастает. При падении тел в воздухе скорость падения тоже увеличивается, но не может превзойти определённой величины.

k – коэффициент, характеризующий мутную среду

В жизни нередко приходиться встречаться с такими фактами, когда скорость изменения какой-либо величины пропорциональна самой величине. В этом случает рассматриваемая величина будет изменяться по закону, имеющему вид y=y0ax. Теперь мы знаем, что все это мы можем вычислить благодаря показательной функции.

В ходе проведения исследований данного материала, анализа информации, моя гипотеза о том, что функциональные зависимости существуют во всех сферах жизни, подтверждена.

Также мы расширили знания о показательной функции, изучили свойства показательной функции, узнали многое об истории развития понятия функции.

Источник

О математике и не только.

Блог учителя математики Смирновой Маргариты Александровны

Закладки

понедельник, 25 января 2021 г.

Показательная функция

Встречались ли мы с ней ранее?

Конечно! Помните легенду об изобретателе шахмат?

На всей доске окажется 18 446 744 073 709 551 616 зёрен (Сумеете его прочитать? Начинается так: 18 квинтиллионов. )

Общая масса зерен составит 461 168 602 000 тонн. Для того, чтобы вместить такое количество зерна потребуется амбар с размерами 10х10х15 км.

Приведем еще примеры, где мы сталкиваемся с показательной функцией в повседневной жизни.

Показательная функция в жизни

Это закон органического размножения: при благоприятных условиях (отсутствие врагов, большое количество пищи) живые организмы размножались бы по закону показательной функции.

Процессы выравнивания (именно так называют процессы, изменяющиеся по законам показательной функции) часто встречаются и в биологии.

Например, при испуге в кровь внезапно выделяется адреналин, ко­торый потом разрушается, причем скорость разрушения примерно пропорциональна количеству этого вещества, еще остающемуся в крови. При диагностике почечных бо­лезней часто определяют способность почек выводить из крови радиоактивные изотопы, причем их количество в крови падает по показательному закону.

Примером обрат­ного процесса может служить восстановление концентрации гемоглобина в крови у донора или у раненого, потерявшего много крови. В этом случае по показательному закону убывает разность между нормальным содержанием гемоглобина и имеющимся количеством этого вещества.

Опишем более подробно одно из важнейших физических явлений, которое связано с показательной функцией в жизни, — радиоактивный распад

По­сле открытия радиоактивности в опытах Беккереля и су­пругов Кюри возник вопрос, по какому закону происходит распад атомов. Оказалось, что количество распадаю­щегося за единицу времени вещества всегда пропорцио­нально имевшемуся количеству вещества. Иными словами, за данный промежуток времени всегда распадается одна и та же доля наличного запаса атомов.

Это также пример процесса выравнивания, который в физике можно наблюдать при включении и выключении электрических цепей, и при падении тела с парашютом.

В качестве домашнего задания заполните Google- форму «Свойства показательной функции» Загрузка…

Источник

Показательная функция в жизни

Показательная функция в жизни.

Приведем примеры, где мы сталкиваемся с показательной функцией в повседневной жизни, а также как она применяется на практике.

О себе показательная функция “говорит” так:

Показательная функция в жизни

к, а- некоторые постоянные.

(Эта тема перекликается со статьей “Ответ к задаче-головоломке №2 “Посадка деревьев” )

P- давление на высоте h,
P0 – давление на уровне моря,
а- некоторая постоянная.

N-число колоний бактерий в момент времени t;
t- время размножения.

Это закон органического размножения: при благоприятных условиях (отсутствие врагов, большое количество пищи) живые организмы размножались бы по закону показательной функции.

(О других числах-великанах можно прочитать здесь и здесь )

Процессы выравнивания (именно так называют процессы, изменяющиеся по законам показательной функции) часто встречаются и в биологии.

Например, при испуге в кровь внезапно выделяется адреналин, ко­торый потом разрушается, причем скорость разрушения примерно пропорциональна количеству этого вещества, еще остающемуся в крови. При диагностике почечных бо­лезней часто определяют способность почек выводить из крови радиоактивные изотопы, причем их количество в крови падает по показательному закону.

Примером обрат­ного процесса может служить восстановление концентрации гемоглобина в крови у донора или у раненого, потерявшего много крови. В этом случае по показательному закону убывает разность между нормальным содержанием гемоглобина и имеющимся количеством этого вещества.

Как и при радиоактивном распаде, скорость распада или восстановления измеряется временем, в течение которого распадается (соответственно восстанавливается) половина вещества. Для адреналина этот период измеряется долями секунды, для веществ, выводимых почками, — минутами, а для гемоглобина — днями.

N_o – первоначальное количество вещества,

Опишем более подробно одно из важнейших физических явлений, которое связано с показательной функцией в жизни, — радиоактивный распад

По­сле открытия радиоактивности в опытах Беккереля и су­пругов Кюри возник вопрос, по какому закону происходит распад атомов. Оказалось, что количество распадаю­щегося за единицу времени вещества всегда пропорцио­нально имевшемуся количеству вещества. Иными словами, за данный промежуток времени всегда распадается одна и та же доля наличного запаса атомов.

Сейчас мно­гие моря и океаны бороздят исследовательские корабли. В заранее установленных местах они останавливаются и спускают за борт трос, на конце которого находятся при­боры. Их опускают на дно, а потом поднимают наверх и записывают показания. Но иногда происходит печальное событие — трос разрывается и все ценные приборы ока­зываются погребенными на дне моря.

Казалось бы, этой беды можно было бы избежать, сде­лав трос потолще. Но тут возникает новое осложнение — верхние части троса должны удерживать не только спус­каемые приборы, но и нижнюю часть самого троса, а по­тому при утолщении всего троса на верхнюю часть ляжет слишком большая нагрузка.

Поэтому целесообразно делать нижнюю часть троса тоньше, чем верхнюю. Возникает вопрос: как должна ме­няться толщина троса для того, чтобы в любом его се­чении на 1 см 2 приходилась одна и та же нагрузка?

S_o — площадь его нижнего сечения,

S — площадь сечения на высоте х от нижнего сечения,

γ — удельный вес материала, из которого сделан трос,

Р — вес в воде опускаемого груза (нам пришлось написать в формуле γ — 1 вместо γ, так как и материал троса теряет в воде вес по закону Архимеда).

Такой трос называют тросом равного сопротивления разрыву. Он имеет меньшую массу, чем трос постоянного сечения, рассчитанный на такую же нагрузку.

6. П роцесс изменения температуры чайника при кипении выражается формулой:

Это также пример процесса выравнивания, который в физике можно наблюдать при включении и выключении электрических цепей, и при падении тела с парашютом.

k – коэффициент, характеризующий мутную среду.

Как вы понимаете, все факты о том, как проявляет себя показательная функция в жизни, реальны.

А вот то, что можно создавать такие 3-D шедевры, но в мире иллюзий, верится с трудом.

Об авторе

Мое педагогическое кредо: «Чтобы быть хорошим преподавателем, нужно любить то, что преподаешь, и любить тех, кому преподаешь.»

Источник

«Шаг в будущее, Сибирь!»

Показательная функция в жизни человека

МБОУ СОШ п. Усть-Уда

Анциферова Ольга Владимировна,

МБОУ СОШ п. Усть-Уда

п. Усть – Уда, 2015год

Оглавление

«Шаг в будущее, Сибирь!»

Иркутская область, Усть-Удинский район, п. Усть – Уда,

МБОУ СОШ п. Усть-Уда

Введение

«Три пути ведут к знанию:

путь размышления – это путь самый благородный,

путь подражания – это путь самый лёгкий

и путь опыта – это путь самый горький.

Актуальность данной работы неоспорима. Вы все знаете, что для того чтобы совершить какой-нибудь поступок, прийти к какому либо решению необходим мотив, причина, т.е. то что побуждает человека к его активным действиям и поступкам, которые в результате идут на удовлетворение потребностей. Нам предстоит выяснить, что же побудило людей прийти к «Показательной функции», что вызвало её появление, с чем она связана. Показательная функция нужна была не только в древности, она нужна и сейчас, и будет нужна в будущем.

Меня заинтересовала эта тема, потому что она требует более глубокого и досконального исследования.

подобрать и проанализировать соответствующую литературу;

найти определение показательной функции в школьной программе;

рассмотреть применение функции в различных науках;

показать применение функции в жизни человека.

Объект исследования : показательная функция.

Предмет исследования : практическое применение показательной функции.

Методы исследования: 1) сбор информации; 2) систематизация и обобщение.

«Шаг в будущее, Сибирь!»

Иркутская область, Усть-Удинский район, п. Усть – Уда,

МБОУ СОШ п. Усть-Уда

2. Теоретическая часть

2.1 История показательной функции:

Историю представим мы немного, события расставив по порядку: вы знаете, еще 40 веков назад в египетском папирусе записан ряд. Про семь домов, где кошек 49, и каждая из них по 7 мышей съедает и тем всем столько зерен сохраняет, что мер 17000 составляет.

О том еще известна нам легенда, что как-то у арабского царя изобретатель шахматной доски, наверно потребовал за доску ту зерна. Причем за клетку первую – зерно, а за вторую – два просил изобретатель, за третью – снова больше раза в два, немало времени царь на подсчет потратил. Когда же подсчитали – прослезились: число двадцатизначно получилось! Хватило б зернами засеять нам всю сушу и миллионы лет пришлось зерно бы кушать.

Все знают, что такое ростовщик. Тот человек проценты брать привык. Они встречались в Вавилоне древнем, где пятую часть “лихвы” взимали в среднем!

Пятнадцатый век – рожденье банков, дающих деньги людям под процент, тогда и встал вопрос довольно ярко о дробном показателе, сомненья нет.

Его развили математик Штифель, Оресм, Шюке, затем Исаак Ньютон. И в завершении Бернулли Иоганном был термин “показательной” введен. На множестве всех чисел он ее нам ввел, как открыватель функции в историю вошел.

В романе Жюля Верна «Матиас Шандор» силач Матифу совершил много подвигов, среди которых есть такой. Готовился спуск на воду трабоколо. Когда уже начали выбивать из-под киля клинья, удерживавшие трабоколо на спусковой дорожке, в гавань влетела нарядная яхта. Спускавшееся судно неминуемо должно было врезаться в борт плывущей верфи яхты.

Но как вы думаете, нужна ли была его нечеловеческая сила, чтобы удержать корабль?

Мальчики, наверное, знают, как происходит швартовка корабля. С парохода на пристань бросают канат, на конце которого сделана широкая петля. Человек, стоящий на пристани надевает петлю на причальную тумбу, а матрос на корабле укладывает канат между кнехтами – небольшими тумбами, укрепленными на борту корабля. Сила трения между канатом и кнехтами и останавливает судно. Обычно матрос, обернув канат несколько раз вокруг кнехтов, просто поддерживает свободный конец ногой, прижимая его к палубе. Что же позволяет удерживать одному человеку корабль? Это увеличение силы. Чем больше оборачиваем канат вокруг столба, тем больше увеличивается сила. Такое явление мы используем ежедневно, завязывая шнурки на ботинках, узлы на верёвках и т.д. Так как узел-это верёвка, обвитая вокруг другой верёвки, он тем крепче, чем больше раз одна часть верёвки сплетается с другой.

2.2 Применение показательной функции.

Особое внимание показательной функции как той математической модели, которая находит наиболее широкое применение при изучении процессов и явлений окружающей действительности.

Показательная функция в жизни.

Показательная функция не случайно родилась, в жизнь органически влилась и движением прогресса занялась.

Во многих областях науки при изучении различных явлений и процессов обнаруживается одна общая функциональная зависимость между двумя переменными величинами, участвовавшими в данном процессе.

2. Процессы выравнивания (именно так называют процессы, изменяющиеся по законам показательной функции) часто встречаются в жизни.

При испуге в кровь внезапно выделяется адреналин, который потом разрушается, причем скорость разрушения примерно пропорциональна количеству этого вещества, еще остающемуся в крови. При диагностике почечных болезней часто определяют способность почек выводить из крови радиоактивные изотопы, причем их количество в крови падает по показательному закону.

Примером обратного процесса может служить восстановление концентрации гемоглобина в крови у донора или у раненого, потерявшего много крови. В этом случае по показательному закону убывает разность между нормальным содержанием гемоглобина и имеющимся количеством этого вещества.

При радиоактивном распаде, скорость распада или восстановления измеряется временем, в течение которого распадается (соответственно восстанавливается) половина вещества. Для адреналина этот период измеряется долями секунды, для веществ, выводимых почками, — минутами, а для гемоглобина — днями.

По закону данной функции размножалось бы все живое на Земле, если бы для этого имелись благоприятные условия, т.е. не было естественных врагов и было вдоволь пищи. Доказательство тому – распространение в Австралии кроликов, которых там не было раньше. Достаточно было выпустить пару особей, как через некоторое время их потомство стало национальным бедствием.

рост бактерий в идеальных условиях соответствует процессу органического роста;

Показательная функция в науке и технике.

3.Рассматривая колебания маятника, гири, качающейся на пружине, не пренебрегать сопротивлением воздуха, я сделала вывод,что амплитуда колебаний становится все меньше, колебания затухают. Это явление можно объяснить формулой: s = Ae — kt sin ( ωt + ω ).

4.Рассматривая трос равномерного сопротивления разрыва, заметила, что он имеет меньшую массу, чем трос постоянного сечения, рассчитанный на такую же нагрузку.

Исследование этого вопроса показало, что площадь сечения троса должна изменяться п о следующему закону:

S _o — площадь его нижнего сечения,

S — площадь сечения на высоте х от нижнего сечения,

γ — удельный вес материала, из которого сделан трос,

Р — вес в воде опускаемого груза (нам пришлось написать в формуле γ — 1 вместо γ, так как и материал троса теряет в воде вес по закону Архимеда).

5.Исследуя расположение планет солнечной системы вокруг Солнца, немецкий астроном И.Э. Боде в 1772 составил следующую таблицу:

Источник