npq теория вероятности что это

Основные формулы теории вероятности

Основные формулы теории вероятности

Основные формулы теории вероятности

Два множества называются эквивалентными, если между ними установлено взаимно-однозначное соответствие.

Перестановки. Число
перестановок

$n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot \ldots \cdot n$

Размещения.
Число размещений

Сочетания.
Число сочетаний

$C_n^0 +C_n^1 +C_n^2 +\ldots +C_n^ < n-1 >+C_n^n =2^n$

Это опыт < испытание >, результат которого заранее не определен

Результат, который обязательно наступает при осуществлении данного комплекса условий < опыта, эксперимента >называется достоверным событием

Это событие, которое может произойти, а может и не произойти в данном испытании

Это событие, которое не может произойти при данном комплексе условий

Статистическое определение
вероятности

Определение
вероятности в классической
схеме

$P(AB)=P(A)\cdot P(B/A)=P(B)\cdot P(A\vert B)$,

Локальная формула Муавра-Лапласа

Интегральная
формула
Муавра – Лапласа

$P_n (m_1 \leqslant m\leqslant m_2 )=\Phi (x_2 )-\Phi (x_1 )$,

Понятие
случайной
величины

Случайной величиной называют переменную величину, которая принимает числовые значения в зависимости от исходов испытания случайным образом.

Понятие
дискретной
случайной
величины

Закон
распределения
дискретной
случайной
величины

Понятие
непрерывной
случайной
величины

Функция
распределения. Свойства функции распределения

Функция является разрывной.

$P(\alpha \leqslant X\lt \beta )=F(\beta )-F(\alpha )$

Свойства функции распределения

Функция
распределения. Свойства функции распределения

Отсюда следует, что для непрерывной случайной величины выполняются равенства:

$P(\alpha \lt X\lt \beta )=P(\alpha \leqslant X\leqslant \beta )=P(\alpha \leqslant X\lt \beta )=$

$=P(\alpha \lt X\leqslant \beta )=F(\beta )-F(\alpha )$

Плотность
распределения
вероятностей
непрерывной
случайной
величины.
Свойства функции плотности
распределения.

Плотность
распределения
вероятностей
непрерывной
случайной
величины.
Свойства функции плотности
распределения.

Свойства функции плотности

Свойства
математического ожидания

Дисперсия
случайной
величины

Среднее
квадратическое
отклонение

$\sigma (X)=\sqrt < D(X) >\Leftrightarrow D(X)=\sigma ^2.$

Закон распределения дискретной случайной величины, определяемой формулой Бернулли

$p_k =P_n (k)=C_n^k \cdot p^k\cdot q^ < n-k >(k=0,1,2. n)$

Нормальным распределением, или распределением Гаусса, называется распределение с плотностью вероятностей

$\overline M =M_e =M(X)=a$.

Некоторые
свойства
начальных
и центральных
моментов

\mu _2 =D\left( X \right),$

Если распределение случайной величины симметрично относительно ее математического ожидания, то асимметрия равна нулю.

Далее:

Механические приложения двойного интеграла

Критерий полноты <формулировка>. Лемма о несамодвойственной функции

Соленоидальное векторное поле

Поток векторного поля через поверхность

Свойства двойного интеграла

Полином Жегалкина. Теорема о представлении в виде полинома Жегалкина

Логические следствия

Замена переменных в тройном интеграле

Вычисление двойного интеграла

Механические и физические приложения поверхностного интеграла первого рода

Замыкание. Свойства замыкания. Теорема о сведении к заведомо полной системе

Теорема о полныx системаx в Pk

Источник

Формула полной вероятности и формулы Байеса

На данном уроке мы рассмотрим важное следствие теорем сложения и умножения вероятностей и научимся решать типовые задачи по теме. Читателям, которые ознакомились со статьёй о зависимых событиях, будет проще, поскольку в ней мы уже по факту начали использовать формулу полной вероятности. Если Вы зашли с поисковика и/или неважно разбираетесь в теории вероятностей (ссылка на 1-й урок курса), то сначала рекомендую посетить указанные страницы.

Собственно, продолжаем. Рассмотрим зависимое событие npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что это, которое может произойти лишь в результате осуществления одной из несовместных гипотез npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что это, которые образуют полную группу. Пусть известны их вероятности npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что этои соответствующие условные вероятности npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что это. Тогда вероятность наступления события npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что эторавна:

npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что это

Эта формула получила название формулы полной вероятности. В учебниках она формулируется теоремой, доказательство которой элементарно: согласно алгебре событий, npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что это(произошло событие npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что этои после него наступило событие npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что этоили произошло событие npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что этои после него наступило событие npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что этоили произошло событие npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что этои после него наступило событие npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что этоили …. или произошло событие npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что этои после него наступило событие npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что это). Поскольку гипотезы npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что этонесовместны, а событие npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что это– зависимо, то по теореме сложения вероятностей несовместных событий (первый шаг) и теореме умножения вероятностей зависимых событий (второй шаг):

npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что это

Наверное, многие предчувствуют содержание первого примера =)

Куда ни плюнь – везде урна:

Имеются три одинаковые урны. В первой урне находятся 4 белых и 7 черных шаров, во второй – только белые и в третьей – только черные шары. Наудачу выбирается одна урна и из неё наугад извлекается шар. Какова вероятность того, что этот шар чёрный?

Решение: рассмотрим событие npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что это– из наугад выбранной урны будет извлечён чёрный шар. Данное событие может произойти или не произойти в результате осуществления одной из следующих гипотез:
npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что это– будет выбрана 1-я урна;
npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что это– будет выбрана 2-я урна;
npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что это– будет выбрана 3-я урна.

Так как урна выбирается наугад, то выбор любой из трёх урн равновозможен, следовательно:
npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что это

Обратите внимание, что перечисленные гипотезы образуют полную группу событий, то есть, по условию чёрный шар может появиться только из этих урн, а например, не прилететь с бильярдного стола. Проведём простую промежуточную проверку:
npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что это, ОК, едем дальше:

В первой урне 4 белых + 7 черных = 11 шаров, по классическому определению:
npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что это– вероятность извлечения чёрного шара при условии, что будет выбрана 1-я урна.

Во второй урне только белые шары, поэтому в случае её выбора появление чёрного шара становится невозможным: npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что это.

И, наконец, в третьей урне одни чёрные шары, а значит, соответствующая условная вероятность извлечения чёрного шара составит npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что это(событие достоверно).

По формуле полной вероятности:
npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что это
npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что это– вероятность того, что из наугад выбранной урны будет извлечен чёрный шар.

Ответ: npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что это

Разобранный пример снова наводит на мысль о том, как важно ВНИКАТЬ В УСЛОВИЕ. Возьмём те же задачи с урнами и шарами – при их внешней схожести способы решения могут быть совершенно разными: где-то требуется применить только классическое определение вероятности, где-то события независимы, где-то зависимы, а где-то речь о гипотезах. При этом не существует чёткого формального критерия для выбора пути решения – над ним почти всегда нужно думать. Как повысить свою квалификацию? Решаем, решаем и ещё раз решаем!

В тире имеются 5 различных по точности боя винтовок. Вероятности попада­ния в мишень для данного стрелка соответственно равны 0,5; 0,55; 0,7; 0,75 и 0,4. Чему равна вероятность попадания в мишень, если стрелок делает один выстрел из слу­чайно выбранной винтовки?

Краткое решение и ответ в конце урока.

В большинстве тематических задач гипотезы, конечно же, не равновероятны:

В пирамиде 5 винтовок, три из которых снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,7. Найти вероятность того, что мишень будет поражена, если стрелок производит один выстрел из наудачу взятой винтовки.

Решение: в этой задаче количество винтовок точно такое же, как и в предыдущей, но вот гипотезы всего две:
npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что это– стрелок выберет винтовку с оптическим прицелом;
npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что это– стрелок выберет винтовку без оптического прицела.
По классическому определению вероятности: npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что это.
Контроль: npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что это

Рассмотрим событие: npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что это– стрелок поразит мишень из наугад взятой винтовки.
По условию: npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что это.

По формуле полной вероятности:
npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что это

Ответ: 0,85

На практике вполне допустим укороченный способ оформления задачи, который вам тоже хорошо знаком:

Решение: по классическому определению: npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что это– вероятности выбора винтовки с оптическим и без оптического прицела соответственно.

По условию, npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что это– вероятности попадания в мишень из соответствующих типов винтовок.

По формуле полной вероятности:
npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что это– вероятность того, что стрелок поразит мишень из наугад выбранной винтовки.

Ответ: 0,85

Следующая задача для самостоятельного решения:

Двигатель работает в трёх режимах: нормальном, форсированном и на холостом ходу. В режиме холостого хода вероятность его выхода из строя равна 0,05, при нормальном режиме работы – 0,1, а при форсированном – 0,7. 70% времени двигатель работает в нормальном режиме, а 20% – в форсированном. Какова вероятность выхода из строя двигателя во время работы?

На всякий случай напомню – чтобы получить значения вероятностей проценты нужно разделить на 100. Будьте очень внимательны! По моим наблюдениям, условия задач на формулу полной вероятности частенько пытаются подзапутать; и я специально подобрал такой пример. Скажу по секрету – сам чуть не запутался =)

Решение в конце урока (оформлено коротким способом)

Задачи на формулы Байеса

Материал тесно связан с содержанием предыдущего параграфа. Пусть событие npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что этонаступило в результате осуществления одной из гипотез npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что это. Как определить вероятность того, что имела место та или иная гипотеза?

При условии, что событие npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что этоуже произошло, вероятности гипотез переоцениваются по формулам, которые получили фамилию английского священника Томаса Байеса:

npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что это– вероятность того, что имела место гипотеза npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что это;
npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что это– вероятность того, что имела место гипотеза npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что это;
npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что это– вероятность того, что имела место гипотеза npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что это;

npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что это– вероятность того, что имела место гипотеза npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что это.

На первый взгляд кажется полной нелепицей – зачем пересчитывать вероятности гипотез, если они и так известны? Но на самом деле разница есть:

npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что это– это априорные (оцененные до испытания) вероятности.

npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что это– это апостериорные (оцененные после испытания) вероятности тех же гипотез, пересчитанные в связи «со вновь открывшимися обстоятельствами » – с учётом того факта, что событие npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что этодостоверно произошло.

Рассмотрим это различие на конкретном примере:

На склад поступило 2 партии изделий: первая – 4000 штук, вторая – 6000 штук. Средний процент нестандартных изделий в первой партии составляет 20%, а во второй – 10%. Наудачу взятое со склада изделие оказалось стандартным. Найти вероятность того, что оно: а) из первой партии, б) из второй партии.

Первая часть решения состоит в использовании формулы полной вероятности. Иными словами, вычисления проводятся в предположении, что испытание ещё не произведено и событие «изделие оказалось стандартным» пока не наступило.

Рассмотрим две гипотезы:
npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что это– наудачу взятое изделие будет из 1-й партии;
npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что это– наудачу взятое изделие будет из 2-й партии.

Всего: 4000 + 6000 = 10000 изделий на складе. По классическому определению:
npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что это.

Контроль: npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что это

Рассмотрим зависимое событие: npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что это– наудачу взятое со склада изделие будет стандартным.

В первой партии 100% – 20% = 80% стандартных изделий, поэтому: npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что это– вероятность того, что наудачу взятое на складе изделие будет стандартным при условии, что оно принадлежит 1-й партии.

Аналогично, во второй партии 100% – 10% = 90% стандартных изделий и npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что это– вероятность того, что наудачу взятое на складе изделие будет стандартным при условии, что оно принадлежит 2-й партии.

По формуле полной вероятности:
npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что это– вероятность того, что наудачу взятое на складе изделие будет стандартным.

Часть вторая. Пусть наудачу взятое со склада изделие оказалось стандартным. Эта фраза прямо прописана в условии, и она констатирует тот факт, что событие npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что этопроизошло.

По формулам Байеса:

а) npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что это– вероятность того, что выбранное стандартное изделие принадлежит 1-й партии;

б) npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что это– вероятность того, что выбранное стандартное изделие принадлежит 2-й партии.

После переоценки гипотезы npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что это, разумеется, по-прежнему образуют полную группу:
npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что это(проверка ;-))

Ответ: npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что это

Понять смысл переоценки гипотез нам поможет Иван Васильевич, которой снова сменил профессию и стал директором завода. Он знает, что сегодня 1-й цех отгрузил на склад 4000, а 2-й цех – 6000 изделий, и приходит удостовериться в этом. Предположим, вся продукция однотипна и находится в одном контейнере. Естественно, Иван Васильевич предварительно подсчитал, что изделие, которое он сейчас извлечёт для проверки, с вероятностью npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что этобудет выпущено 1-м цехом и с вероятностью npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что это– вторым. Но после того как выбранное изделие оказывается стандартным, он восклицает: «Какой же классный болт! – его скорее выпустил 2-й цех». Таким образом, вероятность второй гипотезы переоценивается в лучшую сторону npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что это, а вероятность первой гипотезы занижается: npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что это. И эта переоценка небезосновательна – ведь 2-й цех произвёл не только больше изделий, но и работает в 2 раза лучше!

Вы скажете, чистый субъективизм? Отчасти – да, более того, сам Байес интерпретировал апостериорные вероятности как уровень доверия. Однако не всё так просто – в байесовском подходе есть и объективное зерно. Ведь вероятности того, что изделие будет стандартным (0,8 и 0,9 для 1-го и 2-го цехов соответственно) это предварительные (априорные) и средние оценки. Но, выражаясь философски – всё течёт, всё меняется, и вероятности в том числе. Вполне возможно, что на момент исследования более успешный 2-й цех повысил процент выпуска стандартных изделий (и/или 1-й цех снизил), и если проверить бОльшее количество либо все 10 тысяч изделий на складе, то переоцененные значения npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что этоокажутся гораздо ближе к истине.

Кстати, если Иван Васильевич извлечёт нестандартную деталь, то наоборот – он будет больше «подозревать» 1-й цех и меньше – второй. Предлагаю убедиться в этом самостоятельно:

На склад поступило 2 партии изделий: первая – 4000 штук, вторая – 6000 штук. Средний процент нестандартных изделий в первой партии 20%, во второй – 10%. Наудачу взятое со склада изделие оказалось нестандартным. Найти вероятность того, что оно: а) из первой партии, б) из второй партии.

Условие отличатся двумя буквами, которые я выделил жирным шрифтом. Задачу можно решить с «чистого листа», или воспользоваться результатами предыдущих вычислений. В образце я провёл полное решение, но чтобы не возникло формальной накладки с Задачей №5, событие «наудачу взятое со склада изделие будет нестандартным» обозначено через npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что это.

Байесовская схема переоценки вероятностей встречается повсеместно, причём её активно эксплуатируют и различного рода мошенники. Рассмотрим ставшее нарицательным АО на три буквы, которое привлекает вклады населения, якобы куда-то их инвестирует, исправно выплачивает дивиденды и т.д. Что происходит? Проходит день за днём, месяц за месяцем и всё новые и новые факты, донесённые путём рекламы и «сарафанным радио», только повышают уровень доверия к финансовой пирамиде (апостериорная байесовская переоценка в связи с произошедшими событиями!). То есть, в глазах вкладчиков происходит постоянное увеличение вероятности того, что «это серьёзная контора»; при этом вероятность противоположной гипотезы («это очередные кидалы»), само собой, уменьшается и уменьшается. Дальнейшее, думаю, понятно. Примечательно, что заработанная репутация даёт организаторам время успешно скрыться от Ивана Васильевича, который остался не только без партии болтов, но и без штанов.

К не менее любопытным примерам мы вернёмся чуть позже, а пока на очереди, пожалуй, самый распространенный случай с тремя гипотезами:

Электролампы изготавливаются на трех заводах. 1-й завод производит 30% общего количества ламп, 2-й – 55%, а 3-й – остальную часть. Продукция 1-го завода содержит 1% бракованных ламп, 2-го – 1,5%, 3-го – 2%. В магазин поступает продукция всех трех заводов. Купленная лампа оказалась с браком. Какова вероятность того, что она произведена 2-м заводом?

Заметьте, что в задачах на формулы Байеса в условии обязательно фигурирует некое произошедшее событие, в данном случае – покупка лампы.

Событий прибавилось, и решение удобнее оформить в «быстром» стиле.

Алгоритм точно такой же: на первом шаге находим вероятность того, что купленная лампа вообще окажется бракованной.

Пользуясь исходными данными, переводим проценты в вероятности:
npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что это– вероятности того, что лампа произведена 1-м, 2-м и 3-м заводами соответственно.
Контроль: npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что это

Аналогично: npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что это– вероятности изготовления бракованной лампы для соответствующих заводов.

По формуле полной вероятности:
npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что это
npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что это– вероятность того, что купленная лампа окажется с браком.

Шаг второй. Пусть купленная лампа оказалась бракованной (событие произошло)

По формуле Байеса:
npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что это– вероятность того, что купленная бракованная лампа изготовлена вторым заводом

Ответ: npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что это

Почему изначальная вероятность 2-й гипотезы npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что этопосле переоценки увеличилась npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что это? Ведь второй завод производит средние по качеству лампы (первый – лучше, третий – хуже). Так почему же возросла апостериорная вероятность, что бракованная лампа именно со 2-го завода? Это объясняется уже не «репутацией», а размером. Так как завод №2 выпустил самое большое количество ламп, то на него (по меньшей мере, субъективно) и пеняют: «скорее всего, эта бракованная лампа именно оттуда».

Интересно заметить, что вероятности 1-й и 3-й гипотез, переоценились в ожидаемых направлениях и сравнялись:
npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что это

Контроль: npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что это, что и требовалось проверить.

К слову, о заниженных и завышенных оценках:

В студенческой группе 3 человека имеют высокий уровень подготовки, 19 человек – средний и 3 – низкий. Вероятности успешной сдачи экзамена для данных студентов соответственно равны: 0,95; 0,7 и 0,4. Известно, что некоторый студент сдал экзамен. Какова вероятность того, что:

а) он был подготовлен очень хорошо;
б) был подготовлен средне;
в) был подготовлен плохо.

Проведите вычисления и проанализируйте результаты переоценки гипотез.

Задача приближена к реальности и особенно правдоподобна для группы студентов-заочников, где преподаватель практически не знает способностей того или иного студента. При этом результат может послужить причиной довольно-таки неожиданных последствий (особенно это касается экзаменов в 1-м семестре). Если плохо подготовленному студенту посчастливилось с билетом, то преподаватель с большой вероятностью сочтёт его хорошо успевающим или даже сильным студентом, что принесёт неплохие дивиденды в будущем (естественно, нужно «поднимать планку» и поддерживать свой имидж). Если же студент 7 дней и 7 ночей учил, зубрил, повторял, но ему просто не повезло, то дальнейшие события могут развиваться в самом скверном ключе – с многочисленными пересдачами и балансировкой на грани вылета.

Что и говорить, репутация – это важнейший капитал, не случайно многие корпорации носят имена-фамилии своих отцов-основателей, которые руководили делом 100-200 лет назад и прославились своей безупречной репутацией.

Да, байесовский подход в известной степени субъективен, но… так устроена жизнь!

Закрепим материал заключительным индустриальным примером, в котором я расскажу о до сих пор не встречавшихся технических тонкостях решения:

Три цеха завода производят однотипные детали, которые поступают на сборку в общий контейнер. Известно, что первый цех производит в 2 раза больше деталей, чем второй цех, и в 4 раза больше третьего цеха. В первом цехе брак составляет 12%, во втором – 8%, в третьем – 4%. Для контроля из контейнера берется одна деталь. Какова вероятность того, что она окажется бракованной? Какова вероятность того, что извлечённую бракованную деталь выпустил 3-й цех?

Таки Иван Васильевич снова на коне =) Должен же быть у фильма счастливый конец =)

Решение: в отличие от Задач №№5-8 здесь в явном виде задан вопрос, который разрешается с помощью формулы полной вероятности. Но с другой стороны, условие немного «зашифровано», и разгадать этот ребус нам поможет школьный навык составлять простейшие уравнения. За «икс» удобно принять наименьшее значение:

Пусть npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что это– доля деталей, выпускаемая третьим цехом.

По условию, первый цех производит в 4 раза больше третьего цеха, поэтому доля 1-го цеха составляет npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что это.

Кроме того, первый цех производит изделий в 2 раза больше, чем второй цех, а значит, доля последнего: npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что это.

Составим и решим уравнение:
npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что это
Таким образом: npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что это– вероятности того, что извлечённая из контейнера деталь выпущена 1-м, 2-м и 3-м цехами соответственно.

Контроль: npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что это. Кроме того, будет не лишним ещё раз посмотреть на фразу «Известно, что первый цех производит изделий в 2 раза больше второго цеха и в 4 раза больше третьего цеха» и убедиться, что полученные значения вероятностей действительно соответствуют этому условию.

За «икс» изначально можно было принять долю 1-го либо долю 2-го цеха – вероятности выйдут такими же. Но, так или иначе, самый трудный участок пройден, и решение входит в накатанную колею:

Из условия находим:
npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что это– вероятности изготовления бракованной детали для соответствующих цехов.

По формуле полной вероятности: npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что это
npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что это– вероятность того, что наугад извлеченная из контейнера деталь окажется нестандартной.

Вопрос второй: какова вероятность npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что этотого, что извлечённую бракованную деталь выпустил 3-й цех? Данный вопрос предполагает, что деталь уже извлечена, и она оказалось бракованной. Переоцениваем гипотезу по формуле Байеса:
npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что это– искомая вероятность. Совершенно ожидаемо – ведь третий цех производит не только самую малую долю деталей, но и лидирует по качеству!

В данном случае пришлось упрощать четырёхэтажную дробь, что в задачах на формулы Байеса приходится делать довольно часто. Но для данного урока я как-то так случайно подобрал примеры, в которых многие вычисления можно провести без обыкновенных дробей.

Коль скоро в условии нет пунктов «а» и «бэ», то ответ лучше снабдить текстовыми комментариями:

Ответ: npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что это– вероятность того, что извлечённая из контейнера деталь окажется бракованной; npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что это– вероятность того, что извлечённую бракованную деталь выпустил 3-й цех.

Как видите, задачи на формулу полной вероятности и формулы Байеса достаточно простЫ, и, наверное, по этой причине в них так часто пытаются затруднить условие, о чём я уже упоминал в начале статьи.

Дополнительные примеры есть в файле с готовыми решениями на Ф.П.В. и формулы Байеса, кроме того, наверное, найдутся желающие более глубоко ознакомиться с данной темой в других источниках. А тема действительно очень интересная – чего только стОит один парадокс Байеса, который обосновывает тот житейский совет, что если у человека диагностирована редкая болезнь, то ему имеет смысл провести повторное и даже два повторных независимых обследования. Казалось бы, это делают исключительно от отчаяния… – а вот и нет! Но не будем о грустном.

Задача 2: Решение: рассмотрим гипотезы npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что это, состоящие в том, что стрелок выберет 1-ю, 2-ю, 3-ю, 4-ю и 5-ю винтовку соответственно. Выбор любой винтовки равновозможен, следовательно: npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что это.
Рассмотрим событие npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что это– стрелок попадёт в мишень из наугад взятой винтовки.
По условию: npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что это.
По формуле полной вероятности:
npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что это
Ответ: 0,58

Задача 4: Решение: из условия находим npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что это– вероятности того, что двигатель работает на холостом ходу, в нормальном и форсированном режимах соответственно.
По условию npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что это– вероятности выхода из строя двигателя для холостого, нормального и форсированного режима соответственно.
По формуле полной вероятности:
npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что это
npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что это– вероятность того, что двигатель выйдет из строя
Ответ: 0,215

Задача 6: Решение: рассмотрим две гипотезы:
npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что это– наудачу взятое изделие будет из 1-й партии;
npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что это– наудачу взятое изделие принадлежит 2-й партии.
Всего: 4000 + 6000 = 10000 изделий на складе. По классическому определению:
npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что это.
Рассмотрим событие: npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что это– наудачу взятое со склада изделие будет нестандартным.
Из условия находим: npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что это– вероятности того, что изделие из соответствующих партий будет нестандартным.
По формуле полной вероятности:
npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что это
Примечание: данную вероятность легко найти, пользуясь результатом Задачи 5:
npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что это
Пусть событие npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что этопроизошло (извлечено нестандартное изделие).

По формулам Байеса:
а) npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что это– вероятность того, что выбранное нестандартное изделие принадлежит 1-й партии;
б) npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что это– вероятность того, что выбранное нестандартное изделие принадлежит 2-й партии.
Ответ: npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что это

Задача 8: Решение: всего: 3 + 19 + 3 = 25 студентов в группе. По классическому определению:
npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что это– вероятности того, что экзаменующийся студент имеет высокий, средний и низкий уровень подготовки соответственно.
Контроль: npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что это
По условию: npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что это– вероятности успешной сдачи экзамена для студентов соответствующих уровней подготовки.
По формуле полной вероятности:
npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что это
npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что это– вероятность того, что произвольно выбранный студент сдаст экзамен.
Пусть студент сдал экзамен. По формулам Байеса:
а) npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что это– вероятность того, что студент, сдавший экзамен, был подготовлен очень хорошо. Объективная исходная вероятность npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что этооказывается завышенной, поскольку почти всегда некоторым «середнячкам» везёт с вопросами и они отвечают очень сильно, что вызывает ошибочное впечатление безупречной подготовки.
б) npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что это– вероятность того, что студент, сдавший экзамен, был подготовлен средне. Исходная вероятность npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что этооказывается чуть завышенной, т.к. студентов со средним уровнем подготовки обычно большинство, кроме того, сюда преподаватель отнесёт неудачно ответивших «отличников», а изредка и плохо успевающего студента, которому крупно повезло с билетом.
в) npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что это– вероятность того, что студент, сдавший экзамен, был подготовлен плохо. Исходная вероятность npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что этопереоценилась в худшую сторону. Неудивительно.
Проверка: npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что это
Ответ: npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что это

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что это Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам

cкидкa 15% на первый зaкaз, прoмoкoд: 5530-hihi5

npq теория вероятности что это. Смотреть фото npq теория вероятности что это. Смотреть картинку npq теория вероятности что это. Картинка про npq теория вероятности что это. Фото npq теория вероятности что это Tutoronline.ru – онлайн репетиторы по математике и другим предметам

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *