Что значит решить систему неравенств
Математика по полочкам
Готовимся к экзамену по математике за период обучения на II ступени общего среднего образования
13. Системы неравенств
МАТЕРИАЛ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
Решить систему неравенств – значит найти решения для всей системы, либо доказать, что у данной системы решений нет.
Чтобы решить систему неравенств с одной переменной, надо:
1) отдельно решить каждое неравенство;
2) найти пересечение найденных решений, отметив решение каждого неравенства на числовой прямой.
Это пересечение и является множеством решений системы неравенств.
Решением совокупности неравенств называют такие значения переменной, которые являются верными хотя бы для одного из этих неравенств.
Чтобы решить совокупность неравенств с одной переменной, надо:
1) отдельно решить каждое неравенство;
2) найти объединение найденных решений, отметив решение каждого неравенства на числовой прямой.
Это объединение и является решением совокупности неравенств.
Пример:
Решить совокупность неравенств:
Системы неравенств
Системой неравенств называют два неравенства с одной неизвестной, которые объединены в общую систему фигурной скобкой.
Пример системы неравенств:
Алгоритм решения системы неравенств
Примеры решения систем неравенств:
№1. Решить систему неравенств < 2 x − 3 ≤ 5 7 − 3 x ≤ 1
Решение:
Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.
Точка 4 на графике жирная, так как знак неравенства нестрогий.
− 3 x ≤ − 6 | ÷ ( − 3 ), поскольку − 3 0, знак неравенства после деления меняется на противоположный.
Графическая интерпретация решения:
Точка 2 на графике жирная, так как знак неравенства нестрогий.
№2. Решить систему неравенств < 2 x − 1 ≤ 5 1 − 3 x − 2
Решение:
Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.
Точка 3 на графике жирная, так как знак неравенства нестрогий.
Графическая интерпретация решения:
№3. Решить систему неравенств < 3 x + 1 ≤ 2 x x − 7 >5 − x
Решение:
Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.
Графическая интерпретация решения:
Графическая интерпретация решения:
Пересечений решений не наблюдается. Значит у данной системы неравенств нет решений.
№4. Решить систему неравенств < x + 4 >0 2 x + 3 ≤ x 2
Решение:
Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.
Графическая интерпретация решения первого неравенства:
Решаем методом интервалов.
D = b 2 − 4 a c = 2 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ 3 = 4 + 12 = 16
D > 0 – два различных действительных корня.
x 1,2 = − b ± D 2 a = − 2 ± 16 2 ⋅ ( − 1 ) = − 2 ± 4 − 2 = [ − 2 − 4 − 2 = − 6 − 2 = 3 − 2 + 4 − 2 = 2 − 2 = − 1
Наносим точки на ось x и расставляем знаки на интервалах. Поскольку знак неравенства нестрогий, обе точки будут заштрихованными.
Графическая интерпретация решения второго неравенства:
Ответ: x ∈ ( − 4 ; − 1 ] ∪ [ 3 ; + ∞ )
Спасибо за просмотр этого урока! Если у вас остались вопросы, напишите их в комментариях.
Решение систем неравенств
Прежде чем перейти к разбору темы «Как решать систему линейных неравенств» обязательно внимательно изучите урок «Как решать неравенства».
Потренируйтесь в решении неравенств, тогда с системами неравенств у вас не возникнет трудностей.
Системой неравенств называют два или более неравенства, которые объединены фигурной скобкой.
Рассмотрим пример системы неравенств.
Как видно на примере выше, систему неравенств легко определить по фигурной скобке.
Как решить систему неравенств
Чтобы решить систему неравенств нужно:
Вернемся к нашему примеру системы неравенств.
Так как оба неравенства в системе уже решены и представляют собою готовый ответ, то сразу переходим к поиску общего решения всей системы.
Для этого проведем две числовые оси (для каждого из неравенств свою). На осях заштрихуем результат решения неравенств.
Числовые оси с решениями нужно располагать друг под другом.
Числа на осях отмечают в порядке возрастания. То есть число « 2 » будет находиться левее « 5 ».
|  |
После того как мы построили числовые оси с решениями неравенств, необходимо провести через отмеченные на осях числа перпендикулярные прямые.
При проведении прямых через точки на осях соблюдают следующие правила:
Проведем прямые через числовые точки на осях.
Для определения ответа найдем те области решения, которые удовлетворяют ответам обоим неравенствам. Другими словами, те области, где в обоих случаях области решений заштрихованы.
Исходя из полученного анализа, мы получаем, что решением системы неравенств будет « x > 5 ». Запишем полученный ответ.
| |
Рассмотрим другой пример системы неравенств.
Запись двойного неравенства используют, когда интервал решения системы неравенств лежит между числами.
Числа записываются в том же порядке, что они расположены на оси.
Другие примеры решения систем неравенств
В отличии от примеров выше, как правило, в системах неравенств перед поиском общего решения всей системы необходимо предварительно решить каждое из неравенств.
Рассмотрим и решим систему, где неравенства требуют предварительного решения.
Решим линейные неравенства по правилам, описанным в уроке «Решение линейных неравенств». Затем найдем общий ответ системы.
| 5(x + 1) − x > 2x + 2 |
| 4(x + 1) − 2 ≤ 2(2x + 1) − x |
| 5x + 5 − x > 2x + 2 |
| 4x + 4 − 2 ≤ 4x + 2 − x |
| 5x − x + 5 > 2x + 2 |
| 4x + 4 − 2 ≤ 4x + 2 − x |
| 4x + 5 > 2x + 2 |
| 4x + 2 ≤ 3x + 2 |
| 4x − 2x > 2 − 5 |
| 4x − 3x ≤ 2 − 2 |
| 2x > −3 | (:2) |
| x ≤ 0 |
| 2x (:2) > −3 (:2) |
| x ≤ 0 |
x > −
| ||
| x ≤ 0 |
|  |
Ответ: −1
| 1 |
| 2 |
При решении систем неравенств, в которых есть неравенства, содержащие пропорцию, используем правило пропорции.
Неравенство. Система линейных неравенств.
Системой линейных неравенств называется любая совокупность двух или более линейных неравенств, содержащих одну и туже неизвестную величину
Вот образцы подобных систем:
Решить систему неравенств означает установить все значения неизвестной величины, при которых реализуются все неравенство системы, либо доказать, что таких не существует.
Все решения системы неравенств формируют множество решений. Если система неравенств не реализуется ни при каких значениях х, то обозначают, что такие системы неравенств несовместимы.
Установим область определения функции 
.
Область определения или область допустимых значений –это множество всех х при которых функция существует.
Функция существует, когда существуют оба квадратных корня, т.е. под корнем стоит не отрицательное число.
Как рассчитать такую систему? Следует установить все x, одновременно выполняющие условия и первого и второго неравенства.
Воспроизведем на оси x множество решений первого и второго неравенства.
Промежуток пересечения двух лучей и есть наше решение. Следовательно решением данного неравенства выступают все х расположенные между двойкой и восьмеркой.
Ответ: х
[2;8]
Применение такого типа отображения решения системы неравенств иногда именуют методом крыш.
Определение: Пересечением двух множеств А и В называется такое третье множество, которое включает все элементы, входящих и в А и в В. Это смысл пересечения множеств произвольной природы. Нами сейчас детально рассматриваются числовые множества, поэтому при нахождении линейных неравенств такими множествами являются лучи – сонаправленные, противонаправленные и так далее.
Выясним на реальных примерах нахождение линейных систем неравенств, как определить пересечения множеств решений отдельных неравенств, входящих в систему.
Вычислим систему неравенств:
1. 
Поместим одну под другой две силовые прямые. На верхней нанесем те значения х, которые выполняют первое неравенство x>7, а на нижней – которые выступают решением второго неравенства x>10 Соотнесем результаты числовых прямых, выясним, что оба неравенства будут удовлетворятся при x>10.
2. 
4.Решить систему
Откуда может взяться второе неравенство системы? Например, из неравенства x 2 + 1 ≥ 0,
Графически обозначим решения каждого неравенства и найдем промежуток их пересечения.
Таким образом, если мы имеем систему, в которой одно из неравенств удовлетворяет любому значению x, то его можно отбросить.
5.
Ответ:x
система противоречива.
Системы неравенств: определение, виды, примеры решения
Статья раскрывает тему неравенств, разбираются определения систем и их решения. Будут рассмотрены часто встречающиеся примеры решения систем уравнений в школе на алгебре.
Определение системы неравенств
Системы неравенств определяют по определениям систем уравнений, значит, что особое внимание уделяется записям и смыслу самого уравнения.
Системой неравенств называют запись уравнений, объединенных фигурной скобкой с множеством решений одновременно для всех неравенств, входящих в систему.
Таким же образом определение систем неравенств представлены в школьных учебниках как для использования одной переменной, так и двух.
Основные виды системы неравенств
Имеет место составление бесконечного множества систем неравенств. Их классифицируют по группам, отличающихся по определенным признакам. Неравенства подразделяют по критериям:
Количество входящих неравенств может насчитывать от двух и более. В предыдущем пункте рассматривался пример решения системы с двумя неравенствами.
Рассмотрим решение системы с четырьмя неравенствами.
Решение неравенства отдельно не говорит о решение системы в целом. Для решения системы необходимо задействовать все имеющиеся неравенства.
При записи системы могут быть задействованы уравнения разных видов и с разным количеством переменных. Чаще всего встречаются целые неравенства разных степеней. При подготовке к экзаменам могут встретиться системы с иррациональными, логарифмическими, показательными уравнениями вида:
Такая система включает в себя показательное и логарифмическое уравнение.
Решение системы неравенств
Решение системы неравенств с одной переменной – это значение переменной, которое обращает каждое неравенство заданной системы в верное числовое неравенство, то есть будет являться решением каждого имеющегося неравенства.
Рассмотрим пример решения систем уравнений с одной переменной.
Решение системы неравенств с двумя и более переменными называют значения, которые являются решением всех неравенств при обращении каждого в верное числовое неравенство.
При решении системы неравенств могут давать определенное количество ответов, а могут и бесконечное. Имеется ввиду множество решений такой системы. При отсутствии решений говорят о том, что она имеет пустое множество решений. Если решение имеет определенное число, тогда множества решений имеет конечное число элементов. Если решений много, тогда множество решений содержит бесконечное множество чисел.
Некоторые учебники дают определение частного решения системы неравенств, которое понимается как отдельно взятое решение. А общим решением системы неравенств считают все его частные решения. Такое определение используется редко, поэтому говорят «решение системы неравенств».
Данные определения систем неравенств и решения рассматриваются как пересечения множеств решений всех неравенств системы. Особое внимание стоит уделить разделу, посвященному равносильным неравенствам.