Что значит продифференцировать функцию

Дифференцирование функции, нахождение производной

Если вам нужно решить задачу, в рамках которой требуется вычислить производную какой-либо функции с одной переменной, советуем внимательно прочесть эту статью. Здесь приводятся общие положения теории дифференцирования, имеющие отношение к вычислению производной. Для этого могут быть использованы разные способы, ведь исходная функция может быть задана явно или неявно, в параметрическом виде, быть элементарной, основной или сложной, значит, в каждой ситуации бывает нужен свой подход.

Таблица дифференцирования функции

Мы собрали всю информацию, которую нужно знать для правильного дифференцирования функции, и представили ее в табличном виде:

Степенная фунция y = x p

y = a x a x ‘ = a x · ln a

В частности, при a = e имеем

log a x ‘ = 1 x · ln a

В частности, при a = e имеем

y = ln x ln x ‘ = 1 x

Производная сложной функции

( f ( g ( x ) ) ) ‘ = f ‘ ( g ( x ) ) · g ‘ ( x )

Производная неявно заданной функции

Производная обратной функции

Обратные тригонометрические функции

Производная параметрически заданной функции

y = f ( x ) y ‘ = y · ( ln ( f ( x ) ) ) ‘

Пояснения таблицы

Содержимое таблицы требует небольших пояснений. Например, в наиболее простом случае для дифференцирования нам пригодится определение производной, т.е. вычисление соответствующего предела. Это действие носит название непосредственного дифференцирования.

Если вам приходится работать с основной элементарной функцией, то следует использовать таблицу основных производных. В ней приводятся все готовые значения, доказанные на основании определения. Это очень удобно, и мы советуем вам держать такую таблицу под рукой.

Источник

4.02. Дифференцируемость функции в точке и на промежутке

Производная функции, согласно ее математического определения (1.5) и (1.6) – это некий предел. Но, как и всякий предел, он может оказаться:

А) конечным; б) бесконечным; в) вообще не существовать.

Если для данного X имеет место вариант (а), то есть если при заданном X производная функции Существует и конечна, то эта функция называется Дифференцируемой в точке x.

Функция, дифференцируемая в Каждой точке X некоторого промежутка оси Ох (например, интервала (A; B) или отрезка [A; B]) называется Дифференцируемой на этом промежутке. Кстати, сама процедура вычисления производной функции называется ее Дифференцированием (продифференцировать функцию – это значит найти ее производную).

Из геометрического смысла производной функции, определяемого равенством (1.11) и рис. 4.5, вытекают следующие два наглядные необходимые и достаточные условия дифференцируемости заданной функции в заданной точке X:

1) Существование касательной к графику функции в его точке с абсциссой X.

2) Невертикальность этой касательной (ибо не существует).

Например, функция , график которой изображен на рис. 4.7, не дифференцируема в точках X1, X2 и X3.

Действительно, точке X1 соответствует на графике функции точка M1 с вертикальной касательной. Точке X2 (точке максимума функции) соответствует остроконечная вершина M2, касательная в которой не существует. Точке X3 соответствует точка M3 – точка излома графика функции, в которой тоже касательная не существует.

Во всех же остальных точках M графика функции касательную к графику провести можно, и она невертикальна. Значит, для всех остальных X, отличных от (X1; X2; X3), существует производная функции. То есть во всех остальных точках X функция дифференцируема.

Источник

Что значит продифференцировать функцию

При дифференцировании различают функции по способу их задания: явные, неявные и параметрические.

Производной функции y = f ( x ) по переменной x в некоторой точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю, то есть

Производная характеризует скорость изменения функции в достаточно малой окрестности заданной точки.

Приведем таблицу производных основных элементарных функций (без доказательства), которые рассматриваются нами как функции простые и явно заданные.

Следствие. В точках разрыва функция производной не имеет

Существуют такие точки, в которых функция непрерывна, но не дифференцируема. Так, функция y =| x | в точке x =0 непрерывна, но производной не имеет, так как в этой точке к графику функции можно провести бесконечное множество касательных (рис. 3.6). Такие точки называются угловыми или точками излома функции. Данный случай показывает, что обратное утверждение к теореме 3.9 неверно.

Среди явных функций особое место занимают обратные функции, производная которых находится с помощью следующей теоремы.

Теорема 3.10. Если строго монотонная функция y = f ( x ) дифференцируема на некотором интервале Х, причем ее производная не обращается в нуль на Х, то обратная к ней функция x = φ ( y ) также дифференцируема на этом интервале, при этом:

По определению производной можно записать:

Среди явных функций выделяют класс сложных функций.

Теорема 3.11. Чтобы продифференцировать сложную функцию необходимо сначала продифференцировать внешнюю функцию по внутренней, считая внутреннюю функцию независимой переменной, затем продифференцировать внутреннюю функцию по независимому переменному и результаты дифференцирования перемножить, то есть

Решение. Согласно формуле (3.31) и с учетом табли чных формул (3.17), (3.19), (3.29) имеем:

где t – параметр. Производную такой функции несложно получить:

Пример 3.9. Найти производную функции .

Решение. Согласно формуле (3.32) и с учетом табличных формул (3.18), (3.19) имеем:

Помимо таблицы производных имеют место правила дифференцирования.

Теорема 3.12. Производная суммы двух дифференцируемых функций равна сумме производных этих функций:

Данная теорема может быть обобщена для произвольного конечного числа функций-слагаемых.

Решение. Согласно формулам (3.33) и (3.31) и с учетом табличных формул (3.17), (3.20), (3.23) имеем:

Теорема 3.13. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первой функции-сомножителя на вторую функцию плюс произведение первой функции на производную второй функции–сомножителя, то есть

Решение. Согласно формуле (3.34) и с учетом табличных формул (3.22), (3.24) имеем:

Теорема 3.14. Производная частного двух функций равна дроби, у которой знаменатель есть квадрат знаменателя данной дроби, а числитель есть разность между произведением знаменателя на производную числителя и произведением числителя на производную знаменателя, то есть

Решение. Согласно формуле (3.35) и с учетом табличных формул (3.17), (3.29) имеем:

Решение. Согласно формуле (3.31) дифференцирования сложной функции и (3.34) производной произведения, с учетом табличных формул (3.17) и (3.18) имеем:

Дифференциалом функции y = f ( x ) в точке x называется главная часть приращения этой функции, равная произведению производной функции на приращение аргумента:

Формула (3.39) применяется для вычисления приближенных значений функций.

Источник

Дифференцируемая функция

Из Википедии — свободной энциклопедии

Дифференци́руемая (в точке) фу́нкция — это функция, у которой существует дифференциал (в данной точке). Дифференцируемая на некотором множестве функция — это функция, дифференцируемая в каждой точке данного множества. Дифференцируемость является одним из фундаментальных понятий в математике и имеет значительное число приложений как в самой математике, так и в других естественных науках.

Приращение дифференцируемой в данной точке функции можно представить как линейную функцию приращения аргумента с точностью до величин более высокого порядка малости. Это означает, что для достаточно малых окрестностей данной точки функцию можно заменить линейной (скорость изменения функции можно считать неизменной). Линейная часть приращения функции называется её дифференциалом (в данной точке).

Необходимым, но не достаточным условием дифференцируемости является непрерывность функции. В случае функции от одной вещественной переменной дифференцируемость равносильна существованию производной. В случае функции нескольких вещественных переменных необходимым (но не достаточным) условием дифференцируемости является существование частных производных по всем переменным. Для дифференцируемости функции нескольких переменных в точке достаточно, чтобы частные производные существовали в некоторой окрестности рассматриваемой точки и были непрерывны в данной точке. [1]

В случае функции комплексной переменной дифференцируемость в точке часто называется моногенностью и существенно отличается от понятия дифференцируемости в вещественном случае. Ключевую роль в этом играет так называемое условие Коши — Римана. Функция, моногенная в окрестности точки, называется голоморфной в этой точке. [2] [3]

В функциональном анализе существует обобщение понятия дифференцирования на случай отображений бесконечномерных пространств — производные Гато и Фреше.

Обобщением понятия дифференцируемой функции являются понятия субдифференцируемых, супердифференцируемых и квазидифференцируемых функций.

Источник

Таблица производных функций

10 класс, 11 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Что такое производная и зачем она нужна

Прежде чем переходить к таблице для вычисления производных, дадим определение производной. В учебнике оно звучит так:

Производная функции — это предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента, при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.

Если же говорить простыми словами, то производная функции описывает, как и с какой скоростью эта функция меняется в данной конкретной точке. Процесс нахождения производной называется дифференцированием.

Объясним на примере: допустим, Маша решила по утрам делать зарядку и стоять в планке. В первую неделю она держалась каждый день по 10 секунд, но начиная со второй недели смогла стоять в планке с каждым днем на 3 секунды дольше. Успехи Маши можно описать следующими графиками:

Очевидно, что в первую неделю результаты Маши не менялись (т. е. были константой), скорость прироста оставалась нулевой. Если мы заглянем в таблицу производных простых функций, то увидим, что производная константы равна нулю.

Во вторую неделю время выполнения планки с 10 сек начало увеличиваться на 3 сек ежедневно.

Снова смотрим в таблицу дифференцирования производных, где указано, что производная от х равна 1.

Вот так с помощью таблицы производных и элементарной математики мы докажем, что успехи Маши росли со скоростью 3 сек в день.

Это был очень простой пример, который в общих чертах объясняет азы дифференциального исчисления и помогает понять, для чего нужны формулы из таблицы производных функций. Но разобраться в решении задач, где скорость меняется нелинейно, конечно, не так просто.

Быстрее освоить производные поможет обучение на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart.

Производные основных элементарных функций

Таблица производных для 10 и 11 класса может включать только элементарные часто встречающиеся функции. Приведем несколько формул, которых достаточно для решения большинства задач.

Источник