Напомним, что углы можно измерять в градусах и в радианах. Дуги окружности также можно измерять в градусах и в радианах, что вытекает из следующего определения.
Теоремы о вписанных и центральных углах
Фигура
Рисунок
Теорема
Вписанный угол
Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной около этого треугольника окружности.
Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды
Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр
Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной около этого треугольника окружности.
Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими
Фигура
Рисунок
Теорема
Формула
Угол, образованный пересекающимися хордами
Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.
Угол, образованный секущими, которые пересекаются вне круга
Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами
Угол, образованный касательной и хордой, проходящей через точку касания
Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами
Угол, образованный касательной и секущей
Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами
Угол, образованный двумя касательными к окружности
Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами
Статья находится на проверке у методистов Skysmart. Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).
Центральный угол и вписанный угол
Окружность — замкнутая линия, все точки которой равноудалены от ее центра.
Определение центрального угла:
Центральный угол — это угол, вершина которого лежит в центре окружности. Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.
На рисунке: центральный угол окружности EOF и дуга, на которую он опирается EF
Определение вписанного угла:
Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности. Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу, что и вписанный угол.
На рисунке: вписанный в окружность угол ABC и дуга, на которую он опирается AC
Свойства центральных и вписанных углов
Углы просты только на первый взгляд. Свойства центрального угла и свойства вписанного угла помогут решать задачки легко и быстро.
Угол AOC и угол ABC, вписанный в окружность, опираются на дугу AC, в этом случае центральный угол равен дуге AC, а угол ABC равен половине угла AOC.
ㄥADC = ㄥABC = ㄥAEC, поскольку все три угла, вписанные в окружность, опираются на одну дугу AC.
ㄥACB опирается на диаметр и на дугу AB, диаметр делит окружность на две равные части. Значит дуга AB = 180 ํ, ㄥCAB равен половине дуги, на которую он опирается, значит ㄥCAB = 90 ํ.
Если есть вписанный, обязательно найдется и описанный угол. Описанный угол — это угол, образованный двумя касательными к окружности. Вот так:
На рисунке: ㄥCAB, образованный двумя касательными к окружности. AO — биссектриса ㄥCAB, значит центр окружности лежит на биссектрисе описанного угла.
Для решения задачек мало знать, какой угол называется вписанным, а какой — описанным. Нужно знать, что такое хорда и ее свойство.
Хорда — отрезок, соединяющий две точки на окружности.
AB * AC = AE * AD Получается, что стороны вписанного в окружность угла — это хорды.
ㄥBAC = ㄥCAB, поскольку лежат на хорде BC.
Примеры решения задач
Центральный, вписанные и описанные углы, как и любые другие, требуют тренировок в решении. Рассмотрите примеры решения задач и потренируйтесь самостоятельно.
Как решаем: окружность 360° − ⌒AC − ⌒CB = 360° − 200° − 80° = 80° По теореме: вписанный угол равен дуге ½. ㄥACB = ½ ⌒AB = 40°
Задачка 2. Дана окружность, ㄥAOC = 140°, найдите, чему равна величина вписанного угла.
Мы уже потренировались и знаем, как найти вписанный угол. На рисунке в окружности центральный угол и дуга AC = 140° Мы знаем, что вписанный угол равен половине центрального, то ㄥABC = ½ ⌒AC = 140/2 = 70°
Задачка 3. Чему равен вписанный в окружность угол, опирающийся на дугу, если эта дуга = ⅕ окружности?
⌒СB = ⅕ от 360° = 72° Вписанный угол равен половине дуги, поэтому ㄥCAB = ½ от ⌒CB = 72° / 2 = 36°
Центральный угол – это угол, вершина которого лежит в центре окружности.
Вписанный угол – это угол, вершина которого лежит на окружности.
Градусная мера дуги окружности – это градусная мера центрального угла, который на неё опирается.
Теорема
Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.
Доказательство
Доказательство проведём в два этапа: сначала докажем справедливость утверждения для случая, когда одна из сторон вписанного угла содержит диаметр. Пусть точка \(B\) – вершина вписанного угла \(ABC\) и \(BC\) – диаметр окружности:
1) диаметр разрезал угол на два угла \(\angle ABD, \angle CBD\) (для каждого из которых теорема верна по доказанному выше, следовательно верна и для исходного угла, который является суммой этих двух и значит равен полусумме дуг, на которые они опираются, то есть равен половине дуги, на которую он опирается). Рис. 1.
Следствия
1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
2. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, прямой.
3. Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
Определения
Существует три типа взаимного расположения прямой и окружности:
1) прямая \(a\) пересекает окружность в двух точках. Такая прямая называется секущей. В этом случае расстояние \(d\) от центра окружности до прямой меньше радиуса \(R\) окружности (рис. 3).
2) прямая \(b\) пересекает окружность в одной точке. Такая прямая называется касательной, а их общая точка \(B\) – точкой касания. В этом случае \(d=R\) (рис. 4).
3) прямая \(c\) не имеет общих точек с окружностью (рис. 5).
Теорема
1. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
2. Если прямая проходит через конец радиуса окружности и перпендикулярна этому радиусу, то она является касательной к окружности.
Следствие
Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны.
Доказательство
Проведем к окружности из точки \(K\) две касательные \(KA\) и \(KB\) :
Следствие
Теорема об угле между секущими
Угол между двумя секущими, проведенными из одной точки, равен полуразности градусных мер большей и меньшей высекаемых ими дуг.
Доказательство
Пусть \(M\) – точка, из которой проведены две секущие как показано на рисунке:
Теорема об угле между пересекающимися хордами
Угол между двумя пересекающимися хордами равен полусумме градусных мер высекаемых ими дуг: \[\angle CMD=\dfrac12\left(\buildrel\smile\over+\buildrel\smile\over\right)\]
Доказательство
\(\angle BMA = \angle CMD\) как вертикальные.
Теорема об угле между хордой и касательной
Угол между касательной и хордой, проходящей через точку касания, равен половине градусной меры дуги, стягиваемой хордой.
Справочник репетитора по математике. Свойства окружности и ее элементов
Теоретические справочные материалы по геометрии для выполнения заданий от репетитора по математике. В помощь ученикам при решении задач.
1) Терема о вписанном угле в окружность.
Теорема: вписанный в окружность угол равен половие градусной меры дуги, на которую он опирается (или половине центрального угла, соответствующего данной дуге), то есть .
2) Следствия из теоремы о вписанном угле в окружность.
2.1) Свойство углов, опирающихся на одну дугу. Теорема: если вписанные углы опираются на одну дугу, то они равны (если они опираются на дополнителные дуги, их сумма равна
2.2) Свойство угла, опирающегося на диаметр. Теорема: вписанный угол в окружность опирается на диаметр тогда и только тогда, когда он прямой.
AC-диаметр
3) Cвойство отрезков касательных. Окружность, вписанная в угол. Теорема 1: если из одной точки, не лежащей на окружности, проведены к ней две касательные, то их отрезки равны, то есть PB=PC.
Теорема 2: Если окружность вписана в угол, то ее центр лежит на биссектрисе этого угла, то есть PO-биссектриса.
4) Свойство отрезков хорд при внутреннем пересечении секущих. Теорема 1: произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды, то есть
= . Теорема 2: угол между хордами равен полусумме дуг, которые этими хордами образуются на окружности, то есть
5) Свойство отрезков хорд при внешнем пересечении секущих. Теорема 1: произведение отрезков одной секущей равно произведению отрезков другой, то есть
= . Теорема 2: угол между секущими равен полуразности соответствующих им дуг, то есть
Комментарий репетитора по математике: Обратитте внимание на общую закономерность 4-го и 5-го свойства: хорды в произведениях не участвуют, а сами равенства (с частями и продолжениями хорд) при сохранении обозначений являются точной копией друг друга. Также можно подметить общую структуру равенств с дугами. Репетитору по математике стоит обратить на этих особенностях внимание ученика.
6) Свойства квадрата отрезка касательной Теорема 1: Квадрат отрезка касательной равен произведению отрезков секущей, то есть
Теорема 2:угол между касательной и секущей равен полуразности соответствующих им дуг, то есть
7) Угол между касательной и секущей Теорема:угол между касательной и секущей, проведенными из одной точки окружности, равен поливине дуги, которую отсекает сукущая (половине центрального угла, соответствующего данной дуге).
.
Колпаков Александр Николаевич, репетитор по математике.
Уважаемый коллега, ваш материал на сайте является для меня хорошим методическим подспорьем. Спасибо.
Александр Николаевич, спасибо за методики, я восхищена Вашим трудолюбием и профессионализмом.
Уважаемый Александр Николаевич! Полезность вашего материала безгранична! Огромнейшее спасибо за справочные материалы, их оформление. Я еще не со всеми ознакомилась. Спасибо за помощь репетиторам по математике, школьным преподавателям и ученикам! Вы Учитель с большой буквы!
Спасибо за хороший материал, готовимся к олимпиаде по математике.
Александр Николаевич, большое спасибо за материал! У меня завтра экзамен, и ваш труд поможет сдать мне его на хорошую оценку. Так, как я поняла все по ваши справочникам, мне не объяснит ни один учитель — репетитор. Спасибо вам большое!
Теорема: вписанный в окружность угол равен половие градусной меры дуги, на которую он опирается (или половине центрального угла, соответствующего данной дуге), то есть 
.
Теорема 1: произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды, то есть
= 
. 
.