Что значит ортогональные векторы

Ортогональные векторы и условие ортогональности

В данной статье мы расскажем, что такое ортогональные векторы, какие существуют условия ортогональности, а также приведем подробные примеры для решения задач с ортогональными векторами.

Ортогональные векторы: определение и условие

Необходимое условие для ортогональности векторов — два вектора a ¯ и b ¯ являются ортогональными (перпендикулярными), если их скалярное произведение равно нулю.

Примеры решения задач на ортогональность векторов

Плоские задачи на ортогональность векторов

Если дана плоская задача, то ортогональность для векторов a ¯ = < a x × a y >и b ¯ = < b x × b y >записывают следующим образом:

a ¯ × b ¯ = a x × b x + a y × b y = 0

Как решить?

Находим скалярное произведение данных векторов:

Ответ: поскольку произведение равняется нулю, то векторы являются ортогональными.

Как решить?

Находим скалярное произведение данных векторов:

Ответ: поскольку скалярное произведение не равняется нулю, то и векторы не являются ортогональными.

Как решить?

Найдем скалярное произведение данных векторов:

Примеры пространственных задач на ортогональность векторов

Как решить?

Находим скалярное произведение данных векторов:

Ответ: поскольку произведение векторов равняется нулю, то они являются ортогональными.

Как решить?

Находим скалярное произведение данных векторов:

Источник

Ортогональность векторов. Перпендикулярность векторов.

Вектора a и b называются ортогональными, если угол между ними равен 90°. (рис. 1).

Что значит ортогональные векторы. Смотреть фото Что значит ортогональные векторы. Смотреть картинку Что значит ортогональные векторы. Картинка про Что значит ортогональные векторы. Фото Что значит ортогональные векторы
рис. 1

Примеры задач на ортогональность векторов

Примеры плоских задач на ортогональность векторов

Найдем скалярное произведение этих векторов:

Ответ: так как скалярное произведение равно нулю, то вектора a и b ортогональны.

Найдем скалярное произведение этих векторов:

Ответ: так как скалярное произведение не равно нулю, то вектора a и b не ортогональны.

Найдем скалярное произведение этих векторов:

Примеры пространственных задач на ортогональность векторов

Так в случае пространственной задачи для векторов a = < ax ; ay ; az > и b = < bx ; by ; bz >, условие ортогональности запишется следующим образом:

Найдем скалярное произведение этих векторов:

Ответ: так как скалярное произведение равно нулю, то вектора a и b ортогональны.

Найдем скалярное произведение этих векторов:

Ответ: так как скалярное произведение равно нулю, то вектора a и b ортогональны.

Найдем скалярное произведение этих векторов:

Ответ: вектора a и b будут ортогональны при n = 2.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Источник

Линейная алгебра для исследователей данных

«Наша [Ирвинга Капланского и Пола Халмоша] общая философия в отношении линейной алгебры такова: мы думаем в безбазисных терминах, пишем в безбазисных терминах, но когда доходит до серьезного дела, мы запираемся в офисе и вовсю считаем с помощью матриц».

Для многих начинающих исследователей данных линейная алгебра становится камнем преткновения на пути к достижению мастерства в выбранной ими профессии.

Что значит ортогональные векторы. Смотреть фото Что значит ортогональные векторы. Смотреть картинку Что значит ортогональные векторы. Картинка про Что значит ортогональные векторы. Фото Что значит ортогональные векторыkdnuggets

В этой статье я попытался собрать основы линейной алгебры, необходимые в повседневной работе специалистам по машинному обучению и анализу данных.

Произведения векторов

Для двух векторов x, y ∈ ℝⁿ их скалярным или внутренним произведением xy

называется следующее вещественное число:

Что значит ортогональные векторы. Смотреть фото Что значит ортогональные векторы. Смотреть картинку Что значит ортогональные векторы. Картинка про Что значит ортогональные векторы. Фото Что значит ортогональные векторы

Как можно видеть, скалярное произведение является особым частным случаем произведения матриц. Также заметим, что всегда справедливо тождество

Что значит ортогональные векторы. Смотреть фото Что значит ортогональные векторы. Смотреть картинку Что значит ортогональные векторы. Картинка про Что значит ортогональные векторы. Фото Что значит ортогональные векторы

Для двух векторов x ∈ ℝᵐ, y ∈ ℝⁿ (не обязательно одной размерности) также можно определить внешнее произведение xyᵀ ∈ ℝᵐˣⁿ. Это матрица, значения элементов которой определяются следующим образом: (xy)ᵢⱼ = xy, то есть

Что значит ортогональные векторы. Смотреть фото Что значит ортогональные векторы. Смотреть картинку Что значит ортогональные векторы. Картинка про Что значит ортогональные векторы. Фото Что значит ортогональные векторы

Следом квадратной матрицы A ∈ ℝⁿˣⁿ, обозначаемым tr(A) (или просто trA), называют сумму элементов на ее главной диагонали:

Что значит ортогональные векторы. Смотреть фото Что значит ортогональные векторы. Смотреть картинку Что значит ортогональные векторы. Картинка про Что значит ортогональные векторы. Фото Что значит ортогональные векторы

След обладает следующими свойствами:

Для любой матрицы A ∈ ℝⁿˣⁿ: trA = trAᵀ.

Для любой матрицы A ∈ ℝⁿˣⁿ и любого числа t ∈ ℝ: tr(tA) = t trA.

Для любых матриц A,B, таких, что их произведение AB является квадратной матрицей: trAB = trBA.

Для любых матриц A,B,C, таких, что их произведение ABC является квадратной матрицей: trABC = trBCA = trCAB (и так далее — данное свойство справедливо для любого числа матриц).

Что значит ортогональные векторы. Смотреть фото Что значит ортогональные векторы. Смотреть картинку Что значит ортогональные векторы. Картинка про Что значит ортогональные векторы. Фото Что значит ортогональные векторыTimoElliott

Нормы

Норму ∥x∥ вектора x можно неформально определить как меру «длины» вектора. Например, часто используется евклидова норма, или норма l₂:

Что значит ортогональные векторы. Смотреть фото Что значит ортогональные векторы. Смотреть картинку Что значит ортогональные векторы. Картинка про Что значит ортогональные векторы. Фото Что значит ортогональные векторы

Более формальное определение таково: нормой называется любая функция f : ℝn → ℝ, удовлетворяющая четырем условиям:

Для всех векторов x ∈ ℝⁿ: f(x) ≥ 0 (неотрицательность).

f(x) = 0 тогда и только тогда, когда x = 0 (положительная определенность).

Для любых вектора x ∈ ℝⁿ и числа t ∈ ℝ: f(tx) = |t|f(x) (однородность).

Для любых векторов x, y ∈ ℝⁿ: f(x + y) ≤ f(x) + f(y) (неравенство треугольника)

Другими примерами норм являются норма l

Что значит ортогональные векторы. Смотреть фото Что значит ортогональные векторы. Смотреть картинку Что значит ортогональные векторы. Картинка про Что значит ортогональные векторы. Фото Что значит ортогональные векторы

Что значит ортогональные векторы. Смотреть фото Что значит ортогональные векторы. Смотреть картинку Что значит ортогональные векторы. Картинка про Что значит ортогональные векторы. Фото Что значит ортогональные векторы

Все три представленные выше нормы являются примерами норм семейства lp, параметризуемых вещественным числом p ≥ 1 и определяемых как

Что значит ортогональные векторы. Смотреть фото Что значит ортогональные векторы. Смотреть картинку Что значит ортогональные векторы. Картинка про Что значит ортогональные векторы. Фото Что значит ортогональные векторы

Нормы также могут быть определены для матриц, например норма Фробениуса:

Что значит ортогональные векторы. Смотреть фото Что значит ортогональные векторы. Смотреть картинку Что значит ортогональные векторы. Картинка про Что значит ортогональные векторы. Фото Что значит ортогональные векторы

Линейная независимость и ранг

Что значит ортогональные векторы. Смотреть фото Что значит ортогональные векторы. Смотреть картинку Что значит ортогональные векторы. Картинка про Что значит ортогональные векторы. Фото Что значит ортогональные векторы

Что значит ортогональные векторы. Смотреть фото Что значит ортогональные векторы. Смотреть картинку Что значит ортогональные векторы. Картинка про Что значит ортогональные векторы. Фото Что значит ортогональные векторы

линейно зависимы, так как x₃ = −2xₙ + x₂.

Столбцовым рангом матрицы A ∈ ℝᵐˣⁿ называют число элементов в максимальном подмножестве ее столбцов, являющемся линейно независимым. Упрощая, говорят, что столбцовый ранг — это число линейно независимых столбцов A. Аналогично строчным рангом матрицы является число ее строк, составляющих максимальное линейно независимое множество.

Оказывается (здесь мы не будем это доказывать), что для любой матрицы A ∈ ℝᵐˣⁿ столбцовый ранг равен строчному, поэтому оба этих числа называют просто рангом A и обозначают rank(A) или rk(A); встречаются также обозначения rang(A), rg(A) и просто r(A). Вот некоторые основные свойства ранга:

Для любой матрицы A ∈ ℝᵐˣⁿ: rank(A) ≤ min(m,n). Если rank(A) = min(m,n), то A называют матрицей полного ранга.

Для любой матрицы A ∈ ℝᵐˣⁿ: rank(A) = rank(Aᵀ).

Для любых матриц A ∈ ℝᵐˣⁿ, Bn×p: rank(AB) ≤ min(rank(A),rank(B)).

Ортогональные матрицы

Два вектора x, yⁿ называются ортогональными, если xy = 0. Вектор xⁿ называется нормированным, если ||x||₂ = 1. Квадратная м

атрица Uⁿˣⁿ называется ортогональной, если все ее столбцы ортогональны друг другу и нормированы (в этом случае столбцы называют ортонормированными). Заметим, что понятие ортогональности имеет разный смысл для векторов и матриц.

Непосредственно из определений ортогональности и нормированности следует, что

Что значит ортогональные векторы. Смотреть фото Что значит ортогональные векторы. Смотреть картинку Что значит ортогональные векторы. Картинка про Что значит ортогональные векторы. Фото Что значит ортогональные векторы

Другими словами, результатом транспонирования ортогональной матрицы является матрица, обратная исходной. Заметим, что если U не является квадратной матрицей (U ∈ ℝᵐˣⁿ, n Что значит ортогональные векторы. Смотреть фото Что значит ортогональные векторы. Смотреть картинку Что значит ортогональные векторы. Картинка про Что значит ортогональные векторы. Фото Что значит ортогональные векторы

для любых вектора x ∈ ℝⁿ и ортогональной матрицы U ∈ ℝⁿˣⁿ.

Что значит ортогональные векторы. Смотреть фото Что значит ортогональные векторы. Смотреть картинку Что значит ортогональные векторы. Картинка про Что значит ортогональные векторы. Фото Что значит ортогональные векторыTimoElliott

Область значений и нуль-пространство матрицы

Что значит ортогональные векторы. Смотреть фото Что значит ортогональные векторы. Смотреть картинку Что значит ортогональные векторы. Картинка про Что значит ортогональные векторы. Фото Что значит ортогональные векторы

Областью значений R(A) (или пространством столбцов) матрицы A ∈ ℝᵐˣⁿ называется линейная оболочка ее столбцов. Другими словами,

Что значит ортогональные векторы. Смотреть фото Что значит ортогональные векторы. Смотреть картинку Что значит ортогональные векторы. Картинка про Что значит ортогональные векторы. Фото Что значит ортогональные векторы

Нуль-пространством, или ядром матрицы A ∈ ℝᵐˣⁿ (обозначаемым N(A) или ker A), называют множество всех векторов, которые при умножении на A обращаются в нуль, то есть

Что значит ортогональные векторы. Смотреть фото Что значит ортогональные векторы. Смотреть картинку Что значит ортогональные векторы. Картинка про Что значит ортогональные векторы. Фото Что значит ортогональные векторы

Квадратичные формы и положительно полуопределенные матрицы

Для квадратной матрицы A ∈ ℝⁿˣⁿ и вектора xквадратичной формой называется скалярное значение xAx. Распишем это выражение подробно:

Что значит ортогональные векторы. Смотреть фото Что значит ортогональные векторы. Смотреть картинку Что значит ортогональные векторы. Картинка про Что значит ортогональные векторы. Фото Что значит ортогональные векторы

Что значит ортогональные векторы. Смотреть фото Что значит ортогональные векторы. Смотреть картинку Что значит ортогональные векторы. Картинка про Что значит ортогональные векторы. Фото Что значит ортогональные векторы

Симметричная матрица A ∈ 𝕊ⁿ называется положительно определенной, если для всех ненулевых векторов xⁿ справедливо неравенство xAx > 0. Обычно это обозначается как

Что значит ортогональные векторы. Смотреть фото Что значит ортогональные векторы. Смотреть картинку Что значит ортогональные векторы. Картинка про Что значит ортогональные векторы. Фото Что значит ортогональные векторы

(или просто A > 0), а множество всех положительно определенных матриц часто обозначают

Что значит ортогональные векторы. Смотреть фото Что значит ортогональные векторы. Смотреть картинку Что значит ортогональные векторы. Картинка про Что значит ортогональные векторы. Фото Что значит ортогональные векторы

Симметричная матрица A ∈ 𝕊ⁿ называется положительно полуопределенной, если для всех векторов справедливо неравенство xAx ≥ 0. Это записывается как

Что значит ортогональные векторы. Смотреть фото Что значит ортогональные векторы. Смотреть картинку Что значит ортогональные векторы. Картинка про Что значит ортогональные векторы. Фото Что значит ортогональные векторы

(или просто A ≥ 0), а множество всех положительно полуопределенных матриц часто обозначают

Что значит ортогональные векторы. Смотреть фото Что значит ортогональные векторы. Смотреть картинку Что значит ортогональные векторы. Картинка про Что значит ортогональные векторы. Фото Что значит ортогональные векторы

Аналогично симметричная матрица A ∈ 𝕊ⁿ называется отрицательно определенной

Что значит ортогональные векторы. Смотреть фото Что значит ортогональные векторы. Смотреть картинку Что значит ортогональные векторы. Картинка про Что значит ортогональные векторы. Фото Что значит ортогональные векторы

, если для всех ненулевых векторов xⁿ справедливо неравенство xAx Что значит ортогональные векторы. Смотреть фото Что значит ортогональные векторы. Смотреть картинку Что значит ортогональные векторы. Картинка про Что значит ортогональные векторы. Фото Что значит ортогональные векторы

), если для всех ненулевых векторов xⁿ справедливо неравенство xAx ≤ 0.

Наконец, симметричная матрица A ∈ 𝕊ⁿ называется неопределенной, если она не является ни положительно полуопределенной, ни отрицательно полуопределенной, то есть если существуют векторы x₁, x₂ ∈ ⁿ такие, что

Что значит ортогональные векторы. Смотреть фото Что значит ортогональные векторы. Смотреть картинку Что значит ортогональные векторы. Картинка про Что значит ортогональные векторы. Фото Что значит ортогональные векторы

Что значит ортогональные векторы. Смотреть фото Что значит ортогональные векторы. Смотреть картинку Что значит ортогональные векторы. Картинка про Что значит ортогональные векторы. Фото Что значит ортогональные векторы

Собственные значения и собственные векторы

Для квадратной матрицы Aⁿˣⁿ комплексное значение λ ∈ ℂ и вектор x ∈ ℂⁿ будут соответственно являться собственным значением и собственным вектором, если выполняется равенство

Что значит ортогональные векторы. Смотреть фото Что значит ортогональные векторы. Смотреть картинку Что значит ортогональные векторы. Картинка про Что значит ортогональные векторы. Фото Что значит ортогональные векторы

На интуитивном уровне это определение означает, что при умножении на матрицу A вектор x сохраняет направление, но масштабируется с коэффициентом λ. Заметим, что для любого собственного вектора x ∈ ℂⁿ и скалярного значения с ∈ ℂ справедливо равенство A(cx) = cAx = cλx = λ(cx). Таким образом, cx тоже является собственным вектором. Поэтому, говоря о собственном векторе, соответствующем собственному значению λ, мы обычно имеем в виду нормализованный вектор с длиной 1 (при таком определении все равно сохраняется некоторая неоднозначность, так как собственными векторами будут как x, так и –x, но тут уж ничего не поделаешь).

Перевод статьи был подготовлен в преддверии старта курса «Математика для Data Science». Также приглашаем всех желающих посетить бесплатный демоурок, в рамках которого рассмотрим понятие линейного пространства на примерах, поговорим о линейных отображениях, их роли в анализе данных и порешаем задачи.

Источник

Ортогональные векторы евклидова пространства и их свойства

Свойства ортогональных векторов

1. Нулевой вектор ортогонален каждому вектору пространства.

2. Взаимно ортогональные ненулевые векторы линейно независимы.

В самом деле, пусть векторы [math]\mathbf_1,\mathbf_2,\ldots,\mathbf_k[/math] попарно ортогональны. Составим из них линейную комбинацию и приравняем ее нулевому вектору:

Умножим обе части равенства скалярно на вектор [math]\mathbf_1:[/math]

3. Если сумма взаимно ортогональных векторов равна нулевому вектору, то каждое из слагаемых равно нулевому вектору.

5. Если вектор [math]\mathbf[/math] ортогонален подмножеству [math]M[/math] евклидова пространства, то он ортогонален и линейной оболочке этого подмножества, т.e. [math]\mathbf\perp M

6. Если [math]\mathbf_1,\mathbf_2,\ldots,\mathbf_k[/math] — ортогональная система векторов, то

Это утверждение является обобщением теоремы Пифагора.

Процесс ортогонализации Грама-Шмидта

Рассмотрим следующую задачу. Дана линейно независимая система [math]\mathbf_1,\mathbf_2,\ldots,\mathbf_k[/math] векторов конечномерного евклидова пространства. Требуется построить ортогональную систему [math]\mathbf_1,\mathbf_2, \ldots,\mathbf_k[/math] векторов того же пространства так, чтобы совпадали линейные оболочки:

1. Векторы, найденные в процессе ортогонализации, обладают следующими свойствами:

а) [math]\mathbf_j \perp \operatorname(\mathbf_1,\mathbf_2,\ldots,\mathbf_),\quad j=2,\ldots,k[/math] ;

Поэтому в данном случае формулы вычисления коэффициентов [math]\alpha_[/math] на j-м шаге следует записывать в виде:

В остальном процесс ортогонализации остается неизменным.

4. Процесс ортогонализации можно дополнить процессом нормировки, разделив каждый вектор ортогональной системы [math]\mathbf_1, \mathbf_2,\ldots,\mathbf_k[/math] на его длину:

Пример 8.18. Даны системы векторов евклидовых пространств:

а) [math]x=\begin1\\0\end\!,\quad y=\begin2\\0\end\!,\quad z=\begin0\\1\end[/math] — элементы пространства [math]\mathbb^2[/math] со скалярным произведением (8.26):

p_3(x)=x^2[/math] — элементы пространства [math]C[-1;1][/math] со скалярным произведением (8.28):

Провести ортогонализацию данных векторов.

Решение. а) Заметим, что система векторов [math]x,\,y,\,z[/math] линейно зависимая, так как [math]x[/math] и [math]y[/math] пропорциональны, поэтому используем процесс ортогонализации Грама–Шмидта с учетом пункта 3 замечаний 8.11.

Получили ортогональные многочлены [math]q_1(x)=1,

Источник

1.6.7. Как проверить векторы на ортогональность?

Вернёмся к важному случаю, когда векторы являются ортогональными. Напоминаю, что векторы Что значит ортогональные векторы. Смотреть фото Что значит ортогональные векторы. Смотреть картинку Что значит ортогональные векторы. Картинка про Что значит ортогональные векторы. Фото Что значит ортогональные векторыи Что значит ортогональные векторы. Смотреть фото Что значит ортогональные векторы. Смотреть картинку Что значит ортогональные векторы. Картинка про Что значит ортогональные векторы. Фото Что значит ортогональные векторыортогональны тогда и только тогда, когда Что значит ортогональные векторы. Смотреть фото Что значит ортогональные векторы. Смотреть картинку Что значит ортогональные векторы. Картинка про Что значит ортогональные векторы. Фото Что значит ортогональные векторы. В координатах данный факт запишется следующим образом:
Что значит ортогональные векторы. Смотреть фото Что значит ортогональные векторы. Смотреть картинку Что значит ортогональные векторы. Картинка про Что значит ортогональные векторы. Фото Что значит ортогональные векторы(для векторов плоскости);
Что значит ортогональные векторы. Смотреть фото Что значит ортогональные векторы. Смотреть картинку Что значит ортогональные векторы. Картинка про Что значит ортогональные векторы. Фото Что значит ортогональные векторы(для векторов пространства).

Задача 24

а) Проверить ортогональность векторов: Что значит ортогональные векторы. Смотреть фото Что значит ортогональные векторы. Смотреть картинку Что значит ортогональные векторы. Картинка про Что значит ортогональные векторы. Фото Что значит ортогональные векторыи Что значит ортогональные векторы. Смотреть фото Что значит ортогональные векторы. Смотреть картинку Что значит ортогональные векторы. Картинка про Что значит ортогональные векторы. Фото Что значит ортогональные векторы

б) Выяснить, будут ли перпендикулярными отрезки Что значит ортогональные векторы. Смотреть фото Что значит ортогональные векторы. Смотреть картинку Что значит ортогональные векторы. Картинка про Что значит ортогональные векторы. Фото Что значит ортогональные векторы, если Что значит ортогональные векторы. Смотреть фото Что значит ортогональные векторы. Смотреть картинку Что значит ортогональные векторы. Картинка про Что значит ортогональные векторы. Фото Что значит ортогональные векторы, Что значит ортогональные векторы. Смотреть фото Что значит ортогональные векторы. Смотреть картинку Что значит ортогональные векторы. Картинка про Что значит ортогональные векторы. Фото Что значит ортогональные векторы.

Решение:

а) Выясним, будут ли ортогональны пространственные векторы. Для этого вычислим их скалярное произведение:
Что значит ортогональные векторы. Смотреть фото Что значит ортогональные векторы. Смотреть картинку Что значит ортогональные векторы. Картинка про Что значит ортогональные векторы. Фото Что значит ортогональные векторы, следовательно, Что значит ортогональные векторы. Смотреть фото Что значит ортогональные векторы. Смотреть картинку Что значит ортогональные векторы. Картинка про Что значит ортогональные векторы. Фото Что значит ортогональные векторы

б) Здесь речь идёт об обычных отрезках плоскости. Отрезки обычные, а задача всё равно решается через векторы. Найдём векторы:
Что значит ортогональные векторы. Смотреть фото Что значит ортогональные векторы. Смотреть картинку Что значит ортогональные векторы. Картинка про Что значит ортогональные векторы. Фото Что значит ортогональные векторы
и вычислим их скалярное произведение:
Что значит ортогональные векторы. Смотреть фото Что значит ортогональные векторы. Смотреть картинку Что значит ортогональные векторы. Картинка про Что значит ортогональные векторы. Фото Что значит ортогональные векторы, следовательно, векторы Что значит ортогональные векторы. Смотреть фото Что значит ортогональные векторы. Смотреть картинку Что значит ортогональные векторы. Картинка про Что значит ортогональные векторы. Фото Что значит ортогональные векторыи Что значит ортогональные векторы. Смотреть фото Что значит ортогональные векторы. Смотреть картинку Что значит ортогональные векторы. Картинка про Что значит ортогональные векторы. Фото Что значит ортогональные векторыне перпендикулярны, а значит, не перпендикулярны и отрезки Что значит ортогональные векторы. Смотреть фото Что значит ортогональные векторы. Смотреть картинку Что значит ортогональные векторы. Картинка про Что значит ортогональные векторы. Фото Что значит ортогональные векторы.

Ответ: а) Что значит ортогональные векторы. Смотреть фото Что значит ортогональные векторы. Смотреть картинку Что значит ортогональные векторы. Картинка про Что значит ортогональные векторы. Фото Что значит ортогональные векторы, б) отрезки Что значит ортогональные векторы. Смотреть фото Что значит ортогональные векторы. Смотреть картинку Что значит ортогональные векторы. Картинка про Что значит ортогональные векторы. Фото Что значит ортогональные векторыне перпендикулярны.

Задача 25

Даны 4 точки пространства Что значит ортогональные векторы. Смотреть фото Что значит ортогональные векторы. Смотреть картинку Что значит ортогональные векторы. Картинка про Что значит ортогональные векторы. Фото Что значит ортогональные векторыи Что значит ортогональные векторы. Смотреть фото Что значит ортогональные векторы. Смотреть картинку Что значит ортогональные векторы. Картинка про Что значит ортогональные векторы. Фото Что значит ортогональные векторы. Выяснить будут ли перпендикулярными следующие прямые:
а) Что значит ортогональные векторы. Смотреть фото Что значит ортогональные векторы. Смотреть картинку Что значит ортогональные векторы. Картинка про Что значит ортогональные векторы. Фото Что значит ортогональные векторы, б) Что значит ортогональные векторы. Смотреть фото Что значит ортогональные векторы. Смотреть картинку Что значит ортогональные векторы. Картинка про Что значит ортогональные векторы. Фото Что значит ортогональные векторы.

Это задача для самостоятельного решения. По условию требуется проверить перпендикулярность прямых, а решаем снова через векторы – по полной аналогии с предыдущим примером. Геометрически тоже всё очевидно: из ортогональности векторов автоматически следует перпендикулярность соответствующих прямых. Четыре вектора, которые вы найдёте, называют направляющими векторами прямых.

Мощь аналитической геометрии – в векторах

Так, в рассмотренных задачах, с помощью скалярного произведения можно установить не только ортогональность векторов самих по себе, но и перпендикулярность отрезков, прямых. И это приоткрылась только малая часть красоты предмета.

Завершая разговор об ортогональности, разберу ещё одну небольшую задачку, которая время от времени встречается на практике:

Задача 26

При каком значении Что значит ортогональные векторы. Смотреть фото Что значит ортогональные векторы. Смотреть картинку Что значит ортогональные векторы. Картинка про Что значит ортогональные векторы. Фото Что значит ортогональные векторывекторы Что значит ортогональные векторы. Смотреть фото Что значит ортогональные векторы. Смотреть картинку Что значит ортогональные векторы. Картинка про Что значит ортогональные векторы. Фото Что значит ортогональные векторыбудут ортогональны?

Решение: по условию требуется найти такое значение параметра Что значит ортогональные векторы. Смотреть фото Что значит ортогональные векторы. Смотреть картинку Что значит ортогональные векторы. Картинка про Что значит ортогональные векторы. Фото Что значит ортогональные векторы, чтобы данные векторы были ортогональны. Два вектора пространства Что значит ортогональные векторы. Смотреть фото Что значит ортогональные векторы. Смотреть картинку Что значит ортогональные векторы. Картинка про Что значит ортогональные векторы. Фото Что значит ортогональные векторыортогональны тогда и только тогда, когда Что значит ортогональные векторы. Смотреть фото Что значит ортогональные векторы. Смотреть картинку Что значит ортогональные векторы. Картинка про Что значит ортогональные векторы. Фото Что значит ортогональные векторы.

Дело за малым, составим уравнение:
Что значит ортогональные векторы. Смотреть фото Что значит ортогональные векторы. Смотреть картинку Что значит ортогональные векторы. Картинка про Что значит ортогональные векторы. Фото Что значит ортогональные векторы

Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:
Что значит ортогональные векторы. Смотреть фото Что значит ортогональные векторы. Смотреть картинку Что значит ортогональные векторы. Картинка про Что значит ортогональные векторы. Фото Что значит ортогональные векторы

Решаем простейшее линейное уравнение:
Что значит ортогональные векторы. Смотреть фото Что значит ортогональные векторы. Смотреть картинку Что значит ортогональные векторы. Картинка про Что значит ортогональные векторы. Фото Что значит ортогональные векторы

Ответ: при Что значит ортогональные векторы. Смотреть фото Что значит ортогональные векторы. Смотреть картинку Что значит ортогональные векторы. Картинка про Что значит ортогональные векторы. Фото Что значит ортогональные векторы

Здесь легко выполнить проверку, в исходные векторы Что значит ортогональные векторы. Смотреть фото Что значит ортогональные векторы. Смотреть картинку Что значит ортогональные векторы. Картинка про Что значит ортогональные векторы. Фото Что значит ортогональные векторыподставляем полученное значение параметра Что значит ортогональные векторы. Смотреть фото Что значит ортогональные векторы. Смотреть картинку Что значит ортогональные векторы. Картинка про Что значит ортогональные векторы. Фото Что значит ортогональные векторы:
Что значит ортогональные векторы. Смотреть фото Что значит ортогональные векторы. Смотреть картинку Что значит ортогональные векторы. Картинка про Что значит ортогональные векторы. Фото Что значит ортогональные векторы
и находим скалярное произведение:
Что значит ортогональные векторы. Смотреть фото Что значит ортогональные векторы. Смотреть картинку Что значит ортогональные векторы. Картинка про Что значит ортогональные векторы. Фото Что значит ортогональные векторы– да, действительно, при Что значит ортогональные векторы. Смотреть фото Что значит ортогональные векторы. Смотреть картинку Что значит ортогональные векторы. Картинка про Что значит ортогональные векторы. Фото Что значит ортогональные векторывекторы Что значит ортогональные векторы. Смотреть фото Что значит ортогональные векторы. Смотреть картинку Что значит ортогональные векторы. Картинка про Что значит ортогональные векторы. Фото Что значит ортогональные векторыортогональны, что и требовалось проверить.

Простенький пример для самостоятельного решения:

Задача 27

При каком значении Что значит ортогональные векторы. Смотреть фото Что значит ортогональные векторы. Смотреть картинку Что значит ортогональные векторы. Картинка про Что значит ортогональные векторы. Фото Что значит ортогональные векторыскалярное произведение векторов Что значит ортогональные векторы. Смотреть фото Что значит ортогональные векторы. Смотреть картинку Что значит ортогональные векторы. Картинка про Что значит ортогональные векторы. Фото Что значит ортогональные векторыбудет равно –2?
Едем дальше:

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *