Что значит образующая конуса

Образующая конуса. Длина образующей конуса

Геометрия является разделом математики, изучающим структуры в пространстве и отношение между ними. В свою очередь она также состоит из разделов, и одним из них является стереометрия. Она предусматривает изучение свойств объемных фигур, находящихся в пространстве: куба, пирамиды, шара, конуса, цилиндра и др.

Конус – это тело в евклидовом пространстве, которое ограничивает коническая поверхность и плоскость, на которой лежат концы ее образующих. Его образование происходит в процессе вращения прямоугольного треугольника вокруг любого из его катетов, поэтому он относится к телам вращения.

Вам будет интересно: Площадь основания правильной шестиугольной призмы. Формулы площади правильного шестиугольника

Составляющие конуса

Различают следующие виды конусов: косой (или наклонный) и прямой. Косым называется тот, ось которого пересекается с центром его основания не под прямым углом. По этой причине высота в таком конусе не совпадает с осью, так как она является отрезком, который опущен из вершины тела на плоскость его основания под углом 90°.

Тот конус, ось которого расположена перпендикулярно к его основанию, называется прямым. Ось и высота в таком геометрическом теле совпадают по причине того, что вершина в нем расположена над центром диаметра основания.

Конус состоит из следующих элементов:

Все эти отрезки являются образующими конуса. Они наклонные к основанию геометрического тела, и в случае прямого конуса их проекции равны, так как вершина равноотдалена от точек круга основания. Таким образом, можно сделать вывод, что в правильном (прямом) конусе образующие равны, то есть имеют одинаковую длину и образуют одинаковые углы с осью (или высотой) и основанием.

Так как в косом (или наклонном) теле вращения вершина смещена по отношению к центру плоскости основания, образующие в таком теле имеют разную длину и проекцию, поскольку каждая из них находится на разном расстоянии от двух любых точек круга основания. Кроме того, углы между ними и высотой конуса также будут отличаться.

Длина образующих в прямом конусе

Вам будет интересно: Значение выражения «угрюмый человек»

Как написано ранее, высота в прямом геометрическом теле вращения перпендикулярна плоскости основания. Таким образом, образующая, высота и радиус основания создают в конусе прямоугольный треугольник.

То есть, зная радиус основания и высоту, при помощи формулы из теоремы Пифагора, можно вычислить длину образующей, которая будет равна сумме квадратов радиуса основания и высоты:

l2 = r2+ h2 или l = √r2 + h2

Образующая в наклонном конусе

Исходя из того, что в косом, или наклонном конусе образующие имеют не одинаковую длину, рассчитать их без дополнительных построений и вычислений не получится.

Прежде всего необходимо знать высоту, длину оси и радиус основания.

Имея эти данные, можно рассчитать часть радиуса, лежащую между осью и высотой, по формуле из теоремы Пифагора:

где r1 – это часть радиуса между осью и высотой;

В результате сложения радиуса (r) и его части, лежащей между осью и высотой (r1), можно узнать полную сторону прямоугольного треугольника, сформированного образующей конуса, его высотой и частью диаметра:

где R – катет треугольника, образованного высотой, образующей и частью диаметра основания;

r – радиус основания;

r1 – часть радиуса между осью и высотой.

Пользуясь все той же формулой из теоремы Пифагора, можно найти длину образующей конуса:

или, не производя отдельно расчет R, объединить две формулы в одну:

Сечение конуса

Осевым сечением конуса называется плоскость, проходящая по его оси либо высоте. В прямом конусе такое сечение представляет собой равнобедренный треугольник, в котором высотой треугольника является высота тела, его сторонами выступают образующие, а основание – это диаметр основания. В равностороннем геометрическом теле осевое сечение является равносторонним треугольником, так как в этом конусе диаметр основания и образующие равны.

Плоскость осевого сечения в прямом конусе является плоскостью его симметрии. Причиной этому служит то, что его вершина находится над центром его основания, то есть плоскость осевого сечения делит конус на две одинаковые части.

Площадь сечения

Упомянутое ранее осевое сечение конуса представляет собой треугольник. Исходя из этого, его площадь можно рассчитать по формуле площади треугольника:

S = 1/2 * d * h или S = 1/2 * 2r * h

где S – это площадь сечения;

d – диаметр основания;

В косом, или наклонном конусе сечение по оси также является треугольником, поэтому в нем площадь сечения рассчитывается аналогично.

Объем

Поскольку конус является объемной фигурой в трехмерном пространстве, то можно вычислить его объем. Объемом конуса называется число, которое характеризует это тело в единице измерения объема, то есть в м3. Расчет не зависит от того, прямой он или косой (наклонный), так как формулы для двух этих видов тел не отличаются.

Как указано ранее, образование прямого конуса происходит вследствие вращения прямоугольного треугольника по одному из его катетов. Наклонный же, или косой конус образуется иначе, поскольку его высота смещена в сторону от центра плоскости основания тела. Тем не менее такие отличия в строении не влияют на методику расчета его объема.

Расчет объема

Формула объема любого конуса выглядит следующим образом:

где V – это объем конуса;

Для того чтобы рассчитать обьем конуса, необходимо иметь данные о высоте и радиусе основания тела.

Для расчета высоты тела необходимо знать радиус основания и длину его образующей. Поскольку радиус, высота и образующая объединяются в прямоугольный треугольник, то высоту можно рассчитать по формуле из теоремы Пифагора (a2+ b2= c2 или в нашем случае h2+ r2= l2, где l – образующая). Высота при этом будет рассчитываться путем извлечения квадратного корня из разности квадратов гипотенузы и другого катета:

То есть высота конуса будет равна величине, полученной после извлечения квадратного корня из разности квадрата длины образующей и квадрата радиуса основания:

Рассчитав таким методом высоту и зная радиус его основания, можно вычислить объем конуса. Образующая при этом играет важную роль, так как служит вспомогательным элементом в расчетах.

Аналогичным образом, если известна высота тела и длина его образующей, можно узнать радиус его основания, извлекая квадратный корень из разности квадрата образующей и квадрата высоты:

После чего по той же формуле, что указана выше, рассчитать объем конуса.

Объем наклонного конуса

Так как формула объема конуса одинакова для всех видов тела вращения, отличие в его расчете составляет поиск высоты.

Для того чтобы узнать высоту наклонного конуса, вводные данные должны включать длину образующей, радиус основания и расстояние между центром основания и местом пересечения высоты тела с плоскостью его основания. Зная это, можно с легкостью рассчитать ту часть диаметра основания, которая будет являться основанием прямоугольного треугольника (образованного высотой, образующей и плоскостью основания). После чего, снова используя теорему Пифагора, произвести расчет высоты конуса, а впоследствии и его объема.

Источник

Как найти образующую конуса обычного и усеченного. Формулы

Пространственные фигуры подробно рассматриваются в старших классах общеобразовательных школ в курсе стереометрии. Данная статья содержит ответ на вопрос о том, как найти образующую конуса круглого прямого и образующую соответствующей усеченной фигуры.

Фигура конус

Чтобы понять, как найти образующую конуса, следует дать представление об этой фигуре. Круглым прямым конусом называют фигуру вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. Рисунок ниже демонстрирует процесс вращения.

Вам будет интересно: Развивающая функция обучения: цель, основные принципы

Полученная пространственная фигура имеет следующие характеристики:

Заметим, что высота фигуры пересекает круглое основание в его центре. Это является достаточным условием, чтобы считать конус прямым.

Образующая конуса

Теперь можно переходить к ответу на вопрос о том, как найти образующую конуса круглого прямого. Выше было сказано, что она представляет собой отрезок, который лежит на конической поверхности и соединяет вершину с точкой окружности основания. В прямоугольном треугольнике, из которого был конус получен, образующая является гипотенузой. Это наблюдение позволяет записать известную теорему Пифагора, связав образующую g с радиусом r и высотой h фигуры. Формула, как найти образующую конуса, имеет вид:

Помимо этой формулы, на практике вместо высоты или радиуса фигуры может быть известен угол φ между образующей и основанием. В этом случае генератрису g можно рассчитать с помощью следующих выражений:

Эти формулы следуют из свойств тригонометрических функций синуса и косинуса.

Таким образом, вычисление образующей конуса возможно, если знать любые два параметра фигуры.

Фигура конус усеченный

Он также является фигурой вращения, только вместо прямоугольного треугольника следует вращать прямоугольную трапецию. На рисунке ниже показан усеченный конус.

Заметим, что усеченный конус получил такое название потому, что его можно получить не только вращением трапеции, но и с помощью отсечения плоскостью верхней части круглого прямого конуса.

Генератриса усеченной фигуры

Итак, мы познакомились с усеченным конусом, а также с понятием о его образующей. Как находить образующую конуса усеченного? Для того чтобы получить нужную формулу, заметим, если высоту h перенести параллельно самой себе к боковой поверхности конуса так, чтобы она касалась одним концом образующей фигуры, то получится прямоугольный треугольник. Его сторонами будут высота h (катет), генератриса g (гипотенуза) и r1-r2 (катет). Тогда можно записать формулу для определения g:

Соответственно, если дан острый угол φ1 между большим основанием и генератрисой, тогда последнюю можно определить так:

Если же известен тупой угол φ2 между малым основанием и генератрисой, тогда для ее вычисления необходимо применять такие выражения:

Здесь первая формула является точно такой же, как для угла φ1, а во второй формуле радиусы в числителе поменялись местами.

Таким образом, найти образующую конуса усеченного можно, если знать любые три его параметра.

Источник

Фигура конус. Понятие об образующей конуса. Формулы и примеры решения задач

Конус является объемной фигурой вращения, которая часто появляется в геометрических задачах. Как и всякая фигура, он обладает рядом линейных характеристик, площадью поверхности и объемом. В данной статье рассмотрим, что представляет собой конус, а также приведем формулу образующей конуса.

Конус в геометрии

Вам будет интересно: Под сенью муз: художественная школа Мурманска

Данное выше геометрическое определение соответствует фигуре на рисунке ниже.

Здесь кривой, на которую опирается коническая поверхность, является окружность, центр которой лежит на вертикальной оси. Как видно из рисунка, хотя фигура является пространственной, но ее объем равен нулю. Если вместо окружности взять круг, тогда ограниченный этим кругом и конической поверхностью объем пространства будет объемом конуса.

Элементы фигуры

Перед тем как привести формулу образующей конуса, следует пояснить, из каких элементов состоит рассматриваемая пространственная фигура, и какие геометрические понятия используются для ее описания.

Ориентируясь на предыдущий рисунок, можно сказать, что конус образован двумя поверхностями:

В отличие от полиэдров, конус не имеет граней и ребер, однако у него имеется одна единственная вершина, которая сверху ограничивает коническую поверхность. На предыдущем рисунке вершина находится в начале координат.

Для рассматриваемой фигуры также используют понятия образующей и направляющей. Что такое образующая конуса, и что такое его направляющая. Начнем с определения последней. Направляющей является кривая, ограничивающая основание фигуры. Названа она так, поскольку вдоль нее движется образующая, описывая коническую поверхность. Направляющая часто называется директрисой.

Круглый прямой конус

Как отмечалось выше, основание конуса может быть ограничено любой плоской кривой. Тем не менее на практике и в геометрических задачах часто встречается круглый конус. Его и будем рассматривать далее в статье.

Круглый конус может быть прямым или наклонным. В первом случае перпендикуляр, проведенный из его вершины к основанию, пересекает последнее в центре круга. Прямой круглый конус является симметричной фигурой вращения, которую можно получить с помощью прямоугольного треугольника. Рисунок ниже показывает, как это делается.

На рисунке показан прямоугольный треугольник, который стоит на одном из своих катетов. Вокруг другого катета, являющегося осью, происходит вращение плоской фигуры. Во время вращения гипотенуза треугольника описывает коническую поверхность.

Линейные характеристики круглого прямого конуса

Очевидно, что все образующие s рассматриваемой фигуры имеют одинаковую длину. Это важное свойство присуще только прямому круглому конусу. Угол между любой образующей и осью вращения конуса является постоянной величиной при известных значениях r и h.

Как видим из рисунка, стороны r, h и s ограничивают прямоугольный треугольник. Этот факт позволяет применить теорему Пифагора для записи математического равенства, связывающего названные линейные характеристики конуса. Равенство имеет форму:

Это равенство содержит ответ на вопрос о том, как найти длину образующей конуса. Если известны радиус фигуры и ее высота, тогда:

Далее, на примерах решения задач покажем, как пользоваться формулой образующей конуса.

Задача с площадью конической поверхности и длиной окружности основания

Дан прямой конус с круглым основанием. Известно, что площадь его боковой поверхности равна 120 см2, а длина окружности основания составляет 30 см. Чему равна образующая конуса?

Решение этой задачи предполагает использование двух дополнительных формул, которые не были рассмотрены в статье. Приведем их ниже:

Выражаем радиус r из второго выражения, подставляем его в первое:

Sb = pi × L / (2 × pi) × s

Тогда искомая формула длины образующей конуса примет вид:

Подставляем данные площади Sb и длины L в эту формулу, получаем ответ: s = 8 см.

Задача с площадью основания и высотой

Известно, что круглое основание конуса имеет площадь 40 см2. Высота фигуры в 2 раза больше диаметра этого основания. Необходимо найти длину генератрисы конуса.

Как и в предыдущем случае, запишем два уравнения, опираясь на условие задачи:

Оба выражения позволяют через So выразить r и h:

Теперь воспользуемся формулой образующей конуса через h и r. Получаем:

s = √(So / pi + 16 × So / pi) = √(17 × So / pi)

Подставляем величину So в равенство и записываем ответ: s ≈ 14,72 см.

Источник

Геометрия. 11 класс

Конспект урока

Геометрия, 11 класс

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

Коническая поверхность – это поверхность, образованная прямыми, проходящими через все точки окружности, и точку, не лежащую в плоскости этой окружности.

Эти прямые – образующие конической поверхности.

Прямая, проходящая через центр окружности, перпендикулярно к плоскости – ось конической поверхности.

Конус– тело, ограниченное конической поверхностью, точкой и кругом.

Ось конической поверхности называется осью цилиндра.

Расстояние от вершины до основания конуса называется высотой конуса, а радиус основания – радиусом конуса.

Сечение – изображение фигуры, образованной рассечением тела плоскостью.

Осевое сечение – вариант сечения, при котором плоскость проходит через ось тела.

Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 10–11 классы : учеб. для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни – М. : Просвещение, 2014. – 255, сс. 130-133.

Шарыгин И.Ф. Геометрия. 10–11 кл. : учеб. для общеобразоват. Учреждений – М.: Дрофа, 2009. – 235, : ил., ISBN 978–5–358–05346–5, сс. 77-79.

Открытые электронные ресурсы:

Теоретический материал для самостоятельного изучения

1. Основные определения

В плоскости 𝛂 построю окружность L с центром в точке О. Проведу прямую ОР перпендикулярно плоскости 𝛂. Соединю точку Р со всеми точками окружности L прямыми линиями. Поверхность, состоящую из этих прямых, называют конической поверхностью, сами прямые называют образующими конической поверхности, точку Р называют вершиной, а прямую ОР – осью конической поверхности.

Ввожу новые понятия конуса, основания конуса, вершины конуса, образующих конуса, боковой поверхности конуса, оси конуса и высоты конуса.

Тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с границей L, называется конусом.

Круг называют основанием конуса.

Вершину конической поверхности называют вершиной конуса.

Отрезки образующих, заключённые между вершиной и основанием называют образующими конуса, а образованная ими часть конической поверхности – боковой поверхностью конуса.

Ось конической поверхности называют и осью конуса, а её отрезок, заключённый между вершиной и основанием называют высотой конуса.

Отмечу, что все образующие конуса равны друг другу. Это легко доказать, если рассмотреть различные прямоугольные треугольники, в которых один катет – это высота конуса, а вторыми катетами являются радиусы основания конуса. Тогда образующие, являясь гипотенузами этих прямоугольных треугольников с равными катетами, также будут равны.

2. Сечения конуса различными плоскостями

Это два основных вида сечения конуса, которые изучаются в средней школе на базовом уровне. Следует упомянуть, что существуют и другие сечения конусов, вид которых зависит от расположения секущей плоскости относительно оси.

3. Основные формулы

Формула для вычисления площади боковой поверхности конуса: S_бок=𝛑RL.

Площадь полной поверхности конуса: S_полн=𝛑R(R+L).

Если взять произвольный конус и провести секущую плоскость перпендикулярно его оси, то исходный конус разделится на две части. Верхняя часть представляет собой конус меньших размеров, а оставшуюся часть называют усечённым конусом.

Основание исходного конуса и круг, получившийся в сечении, называют основаниями усечённого конуса.

Отрезок, соединяющий центры оснований, называют высотой усечённого конуса.

Часть конической поверхности, ограничивающая усечённый конус, называется боковой поверхностью усечённого конуса.

Отрезки образующих, заключённые между основаниями, называются образующими усечённого конуса. Отмечу, что все образующие усечённого конуса равны друг другу.

Тогда эта сторона (вокруг которой происходит вращение) будет совпадать с осью конуса и будет его высотой, другая боковая сторона станет образующей и при вращении будет образовывать боковую поверхность, а основания трапеции станут соответственно радиусами верхнего и нижнего оснований усечённого конуса.

5. Формула для вычисления площадей поверхностей усеченного конуса

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

1. Найти высоту конуса, если площадь его осевого сечения равна 6, а площадь основания равна 8.

Его высота SO является высотой конуса.

R===OB.

Теперь найдем высоту:

6=SO·OB=SO·.

Отсюда: SO=3

Ответ: 3.

2. Прямоугольная трапеция с основаниями 4 и 7 и меньшей боковой стороной 4 вращается вокруг меньшей стороны. Найдите элементы усеченного конуса.

Радиус меньшего основания

Радиус большего основания

Площадь боковой поверхности конуса

Площадь осевого сечения

Площадь полной поверхности конуса

Трапеция ABCD вращается вокруг стороны AD.

AD – высота усеченного конуса, AD=4.

АВ – радиус меньшего основания, AB=4.

DC – радиус большего основания, DC=7.

Площадь боковой поверхности конуса вычислим по формуле: S_{бок.пов.ук}=π(r+R)L.

Для того чтобы найти площадь боковой поверхности, нужно найти образующую.

Ее найдем из треугольника BHC: BC=5 (это египетский треугольник).

Теперь найдем площадь боковой поверхности.

Площадь боковой поверхности равна 55π.

Осевое сечение представляет собой равнобедренную трапецию с основаниями 8 и 14 и высотой, равной 4.

Так что площадь этой трапеции равна: S=4(4+7)=44.

Для того чтобы найти площадь полной поверхности, нужно к площади боковой поверхности прибавить площади ее оснований.

Источник