Что значит неявно заданная функция

Неявные функции

Неявные функции, определяемые одним уравнением.

Пусть функция \(F(x,y)\) определена в \(R^2\). Рассмотрим уравнение
$$
F(x,y)=0.\label
$$

Множество \(G_F\) точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению \eqref, было названо графиком уравнения. Через \(A_F\) будем обозначать проекцию графика \(G_F\) на ось \(x\). Будем рассматривать такие уравнения \eqref, графики которых не есть пустые множества.

Так, график уравнения \(x^2 + y^2 — 1 = 0\) есть окружность, график уравнения \((x-1)(x+y-1)=0\) есть пара прямых \(x = 1\) и \(x+y-1=0\) (рис. 28.1).

Рис. 28.1

Если график \(G_F\) уравнения \eqref взаимно однозначно проектируется на \(A_F\), то существует единственная функция \(f: \; A_F\rightarrow R\), график которой совпадает с графиком уравнения. Эта функция каждому \(x\in A_F\) ставит в соответствие тот единственный \(y\), для которого \(F(x,y)=0\). Говорят, что уравнение \eqref определяет \(y\) как неявную функцию \(x\).

Меняя местами переменные \(x\) и \(y\), можно говорить о том, что уравнение \eqref определяет в некотором прямоугольнике переменную \(x\) как неявную функцию переменной \(y\).

Докажем теорему, дающую достаточные условия существования, непрерывности и дифференцируемости неявной функции, определяемой уравнением \eqref в некотором прямоугольнике.

Тогда существует прямоугольник
$$
K = \<(x,y): \; x_0-a\leq x\leq x_0+a, \; y_0-b\leq y\leq y_0+b\>,\nonumber
$$
в котором уравнение \(F(x,y) = 0\) определяет \(y\) как неявную функцию \(x\). Функция \(y=f(x)\) непрерывно дифференцируема на интервале \((x_0-a,x_0+a)\) и
$$
f'(x)=-\frac.\label
$$

\(\circ\) Разобьем доказательство на два пункта.

Доказательство существования неявной функции. Из условия \(F_y(x_0,y_0)\neq 0\) следует, что либо \(F_y(x_0,y_0) > 0\), либо \(F_y(x_0,y_0) 0.\label
$$
Если \(F_y(x_0,y_0) 0\).

Так как функция \(F_y(x,y)\) в точке \((x_0,y_0)\) непрерывна и в силу условия \eqref принимает в этой точке положительное значение, то найдется такой прямоугольник (рис. 28.3)
$$
K_1=\<(x,y): \; |x-x_0|\leq a_1, \; |y-y_0|\leq b\>,\nonumber
$$
в котором функция \(F_y(x,y) > 0\).

Рис. 28.3

Рассмотрим функцию одной переменной
$$
\psi (y)=F(x_0,y),\quad y_0-b\leq y\leq y_0+b.\nonumber
$$
Функция \(\psi (y)\) строго возрастает на отрезке \([y_0-b,y_0+b]\), так как
$$
\psi'(y)=F_y(x_0,y) > 0.\nonumber
$$
Кроме того, в силу условия \(F(x_0,y_0)=0\)
$$
\psi (y_0) = F(x_0,y_0) = 0.\nonumber
$$
Поэтому
$$
\psi (y_0-b)= F(x_0,y_0-b) 0.\label
$$
Неравенства \eqref в силу непрерывности функции \(F(x,y)\) должны сохраняться в некоторых окрестностях точек \((x_0,y_0-b)\) и \((x_0,y_0+b)\). Поэтому существует такое \(a\in (0,a_1)\), что для всех \(x\in [x_0-a,x_0+a]\) выполнены неравенства
$$
F(x,y_0-b) 0.\label
$$
Покажем, что в прямоугольнике
$$
K=\<(x,y): \; |x-x_0|\leq a, \; |y-y_0|\leq b\>,\nonumber
$$
уравнение \(F(x,y) = 0\) определяет \(y\) как неявную функцию \(x\).

Возьмем любую точку \(x^*\in [x_0-a,x_0+a]\) и рассмотрим непрерывную на отрезке \([y_0-b,y_0+b]\) функцию одной переменной \(\varphi (y)=F(x^*,y)\). В силу условия \eqref эта функция принимает на концах отрезка значения разных знаков:
$$
\varphi(y_0-b)= F(x^*,y_0-b) 0.\nonumber
$$
По теореме Коши о промежуточных значениях найдется такая точка \(y^*\in [y_0-b,y_0+b]\), что
$$
\varphi(y^*) = F(x^*,y^*)=0.\nonumber
$$

Так как \(\varphi'(y) = F_y(x^*,y) > 0\), то функция \(\varphi(y)\) строго возрастает на отрезке \([y_0-b,y_0+b]\) и не может обратиться на этом отрезке в нуль более одного раза.

Таким образом, для любого \(x\in [x_0-a,x_0+a]\) найдется единственный \(y\in [y_0-b,y_0+b]\) такой, что \(F(x,y) = 0\). Это означает, что в прямоугольнике \(K\) уравнение \(F(x,y) = 0\) определяет \(y\) как неявную функцию \(x\).

Доказательство непрерывной дифференцируемости неявной функции. Непрерывная на замкнутом прямоугольнике \(K\) функция \(F_y(x,y)\) по теореме Вейерштрасса принимает на этом прямоугольнике свое наименьшее значение \(\alpha\). Так как \(F_y(x,y) > 0\) на \(K\), то
$$
F_y(x,y)\geq a > 0,\qquad (x,y)\in K.\label
$$

Непрерывная на \(K\) функция \(F_x(x,y)\) ограничена на \(K\). Поэтому
$$
|F_x(x,y)| Замечание 1.

Если известно, что уравнение \(F(x,y)=0\) определяет в прямоугольнике \(a\leq x\leq b, \; c\leq y\leq d\) переменную \(y\) как неявную функцию \(x\), то связь между \(dy\) и \(dx\) можно установить, формально дифференцируя тождество \(F(x,y(x)) = 0\). Воспользовавшись инвариантностью формы дифференциала, получаем
$$
F_x(x,y)dx + F_y(x,y)dy = 0.\nonumber
$$
Дифференцируя последнее тождество еще раз, можем найти второй дифференциал \(d^2y\)
$$
F_ dx^2 + 2F_ dx dy + F_ dy^2 + F_y d^2y = 0.\nonumber
$$

Неявные функции, определяемые системой уравнений.

Рассмотрим систему \(m\) уравнений с \(n+m\) неизвестными
$$
\left\<\beginF_1(x_1,\ldots,x_n,x_,\ldots,x_)=0,\\…..\\F_m(x_1,\ldots,x_n,x_,\ldots,x_)=0\end\right.\label
$$

При формулировке общей теоремы о неявных функциях удобно пользоваться понятием декартова произведения множеств. Если \(A\) и \(B\) — произвольные множества, то их декартово произведение \(A\times B\) есть множество пар \((x,y)\), где \(x\in A\), \(y\in B\). Так, декартово произведение \([a,b]\times [c,d]\) есть множество пар вещественных чисел таких, что \(a\leq x\leq b,\) и \(c\leq y\leq d\), то есть прямоугольник в \(R^2\).

Легко видеть, что в том случае, когда \(K_1(x^0)\subset R^n\) и \(K_2(y^0)\subset R^m\) — клеточные окрестности, их декартово произведение \(K_1(x^0)\times K_2(y^0)\) есть клеточная окрестность точки \((x^0,y^0)=(x_1^0,…,x_n^0,y_1^0,…,y_m^0\) в пространстве \(R^\).

Для дальнейшего удобно преобразовать переменные, полагая \(x=(x_1,…,x_n), \; y=(y_1,…,y_m)\), где \(y_1=x_,…,y_m=x_\).

Тогда систему уравнений \eqref можно записать в более кратком виде:
$$
F_i(x,y) = 0, \; i=\overline<1,m>.\label
$$

Функции \(F_i(x,y) = 0\) будем считать определенными в некоторой клеточной окрестности точки \((x^0,y^0)\).

Пусть \(K(x^0)\subset R^n\) и \(Q(y_0)\subset R^m\) есть клеточные окрестности. Будем говорить, что система уравнений \(F_i(x,y)=0, \; i=\overline<1,m>\), определяет в \(K(x^0)\times Q(y_0)\) переменные \(y_1,…,y_m\) как неявные функции переменных \(x_1,…,x_n\), если для любого \(x\in K(x^0)\) найдется единственный \(y\in Q(y^0)\) такой, что \(F_i(x,y) = 0, \; i=\overline<1,m>\).

Пусть выполнены следующие условия:

Тогда найдутся клеточные окрестности \(K(x^0) \subset R^n\) и \(Q(y^0) \subset R^m\) такие, что в \(K(x^0)\times Q(y^0)\) система уравнений \eqref определяет переменные \(y_1,…,y_m\) как неявные функции переменных \(x_1,…,x_n\). Неявные функции \(y_j =\varphi_j(x)\) непрерывно дифференцируемы в \(K(x^0)\) и \(y_j^0=\varphi_j(x^0), \; j=\overline<1,m>\).

\(\circ\) Воспользуемся методом индукции по числу уравнений \(m\). При \(m=1\) доказательство теоремы 2 не отличается от доказательства теоремы 1 (в дальнейшем будем ссылаться на этот частный случай теоремы 2 как на теорему 1).

Предположим, что утверждение теоремы верно в том случае, когда система \eqref содержит \(m-1\) уравнение. Докажем, что тогда теорема верна и для системы \eqref из \(m\) уравнений.

Так как определитель \eqref отличен от нуля, то, раскладывая его по элементам последней строки, получаем, что хотя бы один из соответствующих миноров \(m-1\)-го порядка отличен от нуля. Пусть, например
$$
<\begin\displaystyle\frac<\partial F_1><\partial y_1>&…&\displaystyle\frac<\partial F_1><\partial y_>\\…&…&…\\\displaystyle\frac<\partial F_><\partial y_1>&…&\displaystyle\frac<\partial F_><\partial y_>\end>_<(x^0,y^0)>\neq0\nonumber
$$
(Здесь и в дальнейшем символ \(0\) означает, что значение соответствующей функции берется для аргументов с верхним индексом \(0\)).

Тогда в силу индукции найдутся такие клеточные окрестности
$$
\beginK_1=\displaystyle\left\<(x,y_m): \; \vert x_i-x_i^0\vert\leq\varepsilon_i’, \; i=\overline<1,n>, \; \vert y_m-y_m^0\vert Замечание 2.

Существует несколько способов доказательства теоремы о неявных функциях. Предложенный способ является, по-видимому, наиболее простым, но обладает двумя недостатками: не дает алгоритма для вычисления неявной функции и не обобщается на бесконечномерный случай.

Локальная обратимость регулярного отображения.

Пусть на множестве \(E\subset R^n\) заданы \(n\) функций
$$
f_1(x),…,f_n(x).\nonumber
$$

Они задают отображение \(f: \; E\rightarrow R^n\), которое каждой точке \(x\in E\) ставит в соответствие точку \(y=f(x)\), где
$$
y_1=f_1(x),\quad,…,\quad y_n=f_n(x).\nonumber
$$

Точка \(y=f(x)\) называется образом точки \(x\) при отображении \(f\). Точка \(x\) называется прообразом точки \(y\).

Если \(\Omega\subset E\), то множество
$$
f(\Omega)=\\nonumber
$$
называется образом множества \(\Omega\) при отображении \(f\). Если \(\omega\subset f(E)\), то множество
$$
f^<-1>(\omega)=\\nonumber
$$
называется прообразом множества \(\omega\).

Пусть \(G \subset R^n\) есть открытое множество. Отображение \(f: \; G\rightarrow R^n\) называется непрерывным в точке \(x^0\), если \(\forall \varepsilon > 0 \; \exists\delta > 0\) такое, что \(\forall x\) таких, что \(\rho(x,x^0) Лемма 1.

Если \(G\) есть открытое множество, а \(f: \; G\rightarrow R^n\) — непрерывное отображение, то прообраз каждого открытого множества \(\omega\in f(G)\) есть открытое множество.

\(\circ\) Пусть \(\Omega= f^<-1>(\omega)\). Возьмем любую точку \(x^0\in\Omega\). Тогда \(f(x^0)=y^0\in \omega\). Так как множество \(\omega\) открыто, то найдется окрестность \(S_<\varepsilon>(y^0)\in \omega\). В силу непрерывности отображения \(f\) в точке \(x^0\) найдется шаровая окрестность \(S_<\delta>(x^0)\), для которой выполнено условие \eqref.

Следовательно,
$$
S_<\delta>(x^0)\subset f^<-1>(\omega)\subset\Omega,\nonumber
$$
и \(\Omega\) — открытое множество. \(\bullet\)

Как обычно, под окрестностью \(A(x^0)\) точки \(x^0\) будем понимать любое множество \(A\), для которого точка \(x^0\) внутренняя.

Пусть \(G \subset R^n\) — открытое множество. Отображение \(f: \; G\rightarrow R^n\) будем называть непрерывно дифференцируемым, если функции \(f_1(x),…,f_n(x)\), задающие это отображение, непрерывно дифференцируемы в \(G\). Непрерывно дифференцируемое отображение \(f: \; G\rightarrow R^n\) будем называть регулярным, если в области \(G\) якобиан отображения \(j_f(x)\neq 0\). Якобианом отображения \(j_f(x)\) называется следующий функциональный определитель:
$$
j_f(x)=\begin\frac<\partial f_1(x)><\partial x_1>&…&\frac<\partial f_1(x)><\partial x_n>\\…&…&…\\\frac<\partial f_n(x)><\partial x_1>&…&\frac<\partial f_n(x)><\partial x_n>\end.\nonumber
$$

Пусть \(G\) — открытое множество в \(R^n\), а отображение \(f: \; G\rightarrow R^n\) регулярно. Тогда в каждой точке \(x^0\in G\) оно локально регулярно обратимо, то есть \(\forall x^0\in G\) найдутся такие окрестности \(A(x^0) \subset G\) и \(B(y^0)\subset f(G)\), где \(y^0= f(x^0)\), что отображение \(f: \; A(x^0)\rightarrow B(y^0)\) будет взаимно однозначным, причем обратное отображение \(f^<-1>: \; B(y^0)\rightarrow A(x^0)\) регулярно.

\(\circ\) Рассмотрим в \(G\times R^n\) систему уравнений
$$
F_i(x,y)\equiv y_i-f_i(x)=0,\quad i=\overline<1,n>.\label
$$

Пусть \(x^0\) — произвольная точка множества G и \(y^0=f(x^0)\). Тогда функции \(F_i(x,y)\) непрерывно дифференцируемы в \(G\times R^n\) и \(y_i^0= f_i(x^0), \; i=\overline<1,n>\). Так как отображение \(f\) регулярно, то
$$
<\begin\frac<\partial F_1><\partial x_1>&…&\frac<\partial F_1><\partial x_n>\\…&…&…\\\frac<\partial F_n><\partial x_1>&…&\frac<\partial F_n><\partial x_n>\end>_<(x^0,y^0)>=(-1)^nj_f(x^0)\neq0.\nonumber
$$
Для системы уравнений \eqref выполнены все условия теоремы 2 о неявных функциях. Поэтому найдутся такие клеточные окрестности
$$
\beginK(x^0)=\left\\right\>,\quad K(x^0)\subset G,\\Q(y^0)=\left\\right\>,\quad Q(y^0)\subset f(G),\end\nonumber
$$
что в \(K(x^0)\times Q(y^0)\) система уравнений \eqref определяет переменные \(x_1,…,x_n\) как неявные непрерывно дифференцируемые функции переменных \(y_1,…,y_n\):
$$
\beginx_1=\varphi_1(y),\quad …,\quad x_n=\varphi_n(y),\\x\in K(x^0),\quad y\in Q(y^0),\quad x_i^0=\varphi_i(y^0),\quad i=\overline<1,n>.\end\label
$$
Пусть \(B(y^0)\) есть внутренность \(Q(y^0)\):
$$
B(y^0) = \left\

Если \(f: \; G\rightarrow R^n\) есть регулярное отображение, то образ любого открытого множества \(\Omega\subset G\) есть открытое множество.

\(\circ\) Пусть \(\omega=f(\Omega)\). Возьмем произвольную точку \(y^0\in\omega\) и пусть \(x^0\) есть какой-то ее прообраз. Тогда, вследствие теоремы 3, найдутся такие окрестности \(A(x^0) \subset \Omega\) и \(B(y^0) \subset \omega\); что отображение \(f: \; A(x^0)\rightarrow B(y^0)\) регулярно обратимо. Поэтому каждая точка \(y^0\in\omega\) принадлежит \(\omega\) вместе с некоторой окрестностью \(B(y^0)\). Множество \(\omega=f(\Omega)\) открыто. \(\bullet\)

Источник

Что значит неявно заданная функция

ПРИМЕР 1. Построение графиков неявных функций одной переменной.

Неявная функция многих переменных. Аналогично рассматривают функции многих переменных, заданные неявно. Например, при выполнении соответствующих условий, уравнение задает неявно функцию . Это же уравнение может задавать неявно функцию или .

Производная неявной функции. При вычислении производной неявной функции воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции. Продифференцируем уравнение : . Отсюда получим формулу для производной функции , заданной неявно: . Таким же способом нетрудно получить формулы для частных производных функции нескольких переменных, заданной неявно, например, уравнением : , .

ПРИМЕР 2. Вычисление производных функций, заданных неявно.

Исправляем ошибки: Нашли опечатку? Выделите ее мышкой и нажмите Ctrl+Enter

Источник

Неявные функции

Полезное

Смотреть что такое «Неявные функции» в других словарях:

Параметрическое представление функции — Параметрическое представление разновидность представления переменных, когда их зависимость выражается через дополнительную величину параметр. Содержание 1 Параметрическое представление функции 2 Параметрическое представление урав … Википедия

Параметрическое представление — функции, выражение функциональной зависимости между несколькими переменными посредством вспомогательных переменных Параметров. В случае двух переменных х и у зависимость между ними F (х, у) = 0 может быть геометрически истолкована как… … Большая советская энциклопедия

Параметрическое представление — Пример параметрической кривой. Параметрическое представление используемая в математическом анализе разновидность представления переменных, когда их зависимость выражается … Википедия

Еругин, Николай Павлович — [р. 1 (14) мая 1907] сов. математик, акад. АН БССР (с 1956). Чл. КПСС с 1942. В 1932 окончил Лен. ун т. С 1934 преподавал там же (с 1943 проф.). В 1939 41 и 1951 57 работал в Лен. отделении Математич. ин та АН СССР. С 1957 работает в Ин те физики … Большая биографическая энциклопедия

ОПРЕДЕЛЕНИЕ — дефиниция (лат. defenitio ограничение) логическая операция, раскрывающая содержание понятия. Напр., обычное определение термометра указывает, что это, во первых, прибор и, во вторых, именно тот, с помощью которого измеряется температура. Важность … Философская энциклопедия

ЗНАНИЕ НЕЯВНОЕ — скрытое, молчаливое, имплицитное (от лат. implicite в скрытом виде, неявно; противоположное explicite), периферийное в отличие от центрального, или фокального, т.е. находящегося в фокусе сознания. Эмпирич. базис личностного молчаливого… … Энциклопедия культурологии

Разностная схема — Разностная схема это конечная система алгебраических уравнений, поставленная в соответствие какой либо дифференциальной задаче, содержащей дифференциальное уравнение и дополнительные условия (например краевые условия и/или начальное… … Википедия

ОПРЕДЕЛЕНИЕ, — ОПРЕДЕЛЕНИЕ, дефиниция (от лат. «definitio» – «предел», «граница») – логическая процедура придания строго фиксированного смысла терминам языка. Т.к. значения терминов зависят от их смыслов, то всякий раз, придавая через определение какой либо… … Философская энциклопедия

Источник

Что значит неявно заданная функция

Предположим, что значения двух переменных х и у связаны между собой уравнением, которое, если все члены его перенести налево, в общем случае имеет вид

имеет место уже тождественно относительно х.

Возьмем, например, уравнение

оно, очевидно, определяет у как двузначную функцию от х в промежутке , именно

И, если вместо у подставить в уравнение (1а) эту функцию, то получится тождество.

Здесь удалось найти для у очень простое аналитическое выражение через х, даже в элементарных функциях. Так обстоит дело далеко не всегда. Если взять уравнение

которое нам уже встречалось [при других лишь обозначениях переменных, 83], то мы знаем, что этим уравнением у определяется как однозначная функция от х, хотя в конечном виде она через элементарные функции и не выражается.

Функция называется неявной, если она задана при посредстве неразрешенного (относительно уравнения (1); она становится явной, если рассматривается непосредственная зависимость у от х. Читателю ясно, что эти термины характеризуют лишь способ задания функции и не имеют отношения к ее природе. [Строго говоря, противопоставление неявного и явного задания функции с полной четкостью возможно лишь, если под явным заданием разуметь явное аналитическое задание; если же, в качестве явного, допускать задание с помощью любого правила [45], то задание функции у от х с помощью уравнения (1) ничем не хуже всякого другого.]

Сейчас нас будет интересовать лишь вопрос о существовании и однозначности теявнот функции (равно как и о других ее свойствах), независимо от возможности представить ее в «явном» виде аналитической формулой. Впрочем, в этой постановке вопрос для нас не нов; с частным случаем его мы имели дело, когда речь шла о существовании и о свойствах обратной функции, и уравнением

переменная х определялась как «неявная» функция от у.

Поучительна геометрическая трактовка указанного вопроса. Уравнение (1), при известных условиях, выражает кривую на плоскости [например, уравнение (1а), как известно, выражает эллипс (рис. 111)]; в этом случае оно называется неявным уравнением кривой. Вопрос заключается в том, может ли кривая (1) (или ее часть) быть выражена обычным уравнением вида с однозначной функцией справа; геометрически это означает, что кривая (или ее часть) пересекается прямой, параллельной оси у, лишь в одной точке.

Если мы желаем иметь однозначную функцию, то как видно на примере того же эллипса, нужно ограничить не только область изменения х, но и область изменения у.

Мы будем говорить, для краткости, что в прямоугольнике уравнение (1) определяет у как однозначную

функцию от х, если при каждом значении х в промежутке уравнение (1) имеет один, и только один, корень у в промежутке

Обычно нас будет интересовать определенная точка удовлетворяющая уравнению (1) (лежащая на кривой), и в роли упомянутого прямоугольника будет фигурировать окрестность этой точки. Так, например, в случае эллипса (рис. 111), очевидно, можно утверждать, что уравнение (1а) определяет ординату у как однозначную функцию от абсциссы х в достаточно малой окрестности любой точки эллипса, кроме вершин его на большой оси.

Источник