Что значит направляющие косинусы

19.08.202325.07.2023 admin 0 Comments

Направляющие косинусы вектора.

Определение направляющих косинусов

Направляющие косинусы однозначно задают направление вектора.

Соответственно координатам единичного вектора равны его направляющим косинусам.

Формулы вычисления направляющих косинусов вектора

Формула вычисления направляющих косинусов вектора для плоских задач

В случае плоской задачи (рис. 1) направляющие косинусы вектора a = < a_x ; a_y > можно найти воспользовавшись следующей формулой

Формула вычисления направляющих косинусов вектора для пространственных задач

В случае пространственной задачи (рис. 2) направляющие косинусы вектора a = < a_x ; a_y ; a_z > можно найти воспользовавшись следующей формулой

Примеры задач с направляющими косинусами вектора

Примеры плоских задач с направляющими косинусами вектора

Найдем модуль вектора a :
| a | = √ 3 2 + 4 2 = √ 9 + 16 = √ 25 = 5.

Найдем направляющие косинусы вектора a :

cos α =	a_x	=	3	= 0.6
	\| a \|		5

cos β =	a_y	=	4	= 0.8
	\| a \|		5

Ответ: направляющие косинусы вектора cos α = 0.6, cos β = 0.8.

Примеры пространственных задач с направляющими косинусами вектора

Найдем модуль вектора a :
| a | = √ 2 2 + 4 2 + 4 2 = √ 4 + 16 + 16 = √ 36 = 6.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Источник

Координаты вектора. Направляющие косинусы

Для решения задач с векторами необходимо определить вектор на плоскости или в пространстве, то есть дать информацию о его направлении и длине.

Координаты вектора

Сумма двух векторов, заданных координатами

Чтобы найти сумму двух векторов, заданных своими координатами, надо сложить их соответствующие координаты.

Координаты вектора. Направляющие косинусы не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Умножение вектора на число

Чтобы умножить вектор на число, надо каждую координату этого вектора умножить на заданное число.

Чтобы найти координаты вектора, заданного координатами начала и конца, надо от координат конца отнять соответствующие координаты начала.

Направляющие косинусы

Направляющими косинусами вектора называются косинусы углов, образованных вектором с положительными направлениями осей координат.

Направление вектора однозначно задается направляющими косинусами. Для единичного вектора направляющие косинусы равны его координатам.

Основное свойство направляющих косинусов

Сумма квадратов направляющих косинусов равна единице.

Источник

1.8 Направляющие косинусы вектора

§8. Направляющие косинусы вектора.

Рассмотрим еще одну важную характеристику вектора.

Определение 1. Направляющими косинусами вектора а в данном базисе называются косинусы

углов между вектором а и базисными ортами: .

Теорема 1. Направляющие косинусы единичного вектора равны его координатам.

Теорема 2. Сумма квадратов направляющих косинусов равна единице:

<Пусть а = (а₁,а₂,а₃). Обозначим Аналогично

Пример. Найти направляющие косинусы вектора а = (4, −2, 4).

Источник

Основное свойство направляющих косинусов

Правая и левая тройки векторов

Три некомпланарных вектора , и , приведенных к общему началу, образуют так называемую связку трех векторов (или тройку векторов).

Тройка векторов называется упорядоченной, если четко сказано, какой вектор в ней идет первым, и так далее.

Тройка векторов , и называется левой, если поворот от вектора к вектору , видимый с конца третьего вектора , осуществляется по ходу часовой стрелки (рис. 1).

Тройка векторов , и называется правой, если поворот от вектора к вектору , видимый с конца третьего вектора , осуществляется против хода часовой стрелки (рис. 2).

Координаты вектора. Направляющие косинусы

Координаты вектора

Пусть задана прямоугольная декартова система координат (ПДСК) и произвольный вектор , начало которого совпадает с началом системы координат (рис. 1).

Координатами вектора называются проекции и данного вектора на оси и соответственно:

Величина называется абсциссой вектора , а число — егоординатой. То, что вектор имеет координаты и , записывается следующим образом: .

Сумма двух векторов, заданных координатами

Пусть заданы и , тогда вектор имеет координаты (рис. 2).

Задание. Заданы и . Найти координаты вектора

Решение.

Умножение вектора на число

Если задан , то тогда вектор имеет координаты , здесь — некоторое число (рис. 3).

Чтобы умножить вектор на число, надо каждую координату этого вектора умножить на заданное число.

Задание. Вектор . Найти координаты вектора

Решение.

Рассмотрим далее случай, когда начало вектора не совпадает с началом системы координат. Предположим, что в ПДСК заданы две точки и . Тогда координаты вектора находятся по формулам (рис. 4):