Что значит левая и правая тройка векторов

Что значит левая и правая тройка векторов

Для дальнейшего изучения свойств пространства необходимо ввести определение ориентации пространства. Строгая теория, касающаяся этого понятия не очень сложна, но достаточно суха. В связи с этим ограничимся лишь некоторыми “качественными” пояснениями.

Итак, все упорядоченные некомпланарные тройки векторов могут быть разбиты на два непересекающихся класса: правые тройки и левые тройки.

Есть и ещё один способ разделить эти два класса:

Правило правой руки: Совместите начала всех векторов тройки в одной точке. Представьте, что в этой точке находится ладонь Вашей правой руки. Совместите большой палец с первым вектором базиса, а указательный – со вторым. Если теперь вы сможете совместить средний палец с третьим вектором, то рассматриваемая тройка векторов – правая. Если нет – левая.

Выбрав один из двух классов и назвав все входящие в него базисы “положительными” мы зададим ориентацию пространства.

Далее будем считать положительными правые тройки векторов. Все дальнейшие определения будем давать с учетом этого

Свойства скалярного произведения:

Пример 1. Найти угол между векторами.

Свойства векторного произведения:

= Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть фото Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть картинку Что значит левая и правая тройка векторов. Картинка про Что значит левая и правая тройка векторов. Фото Что значит левая и правая тройка векторов

Пример 2. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b.

Пример 3. Проверка компланарности векторов.

Пример 4. Принадлежность 4 точек одной плоскости.

Пример 5. Вычислить объем тетраэдра и его высоту.

Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть фото Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть картинку Что значит левая и правая тройка векторов. Картинка про Что значит левая и правая тройка векторов. Фото Что значит левая и правая тройка векторов

Исправляем ошибки: Нашли опечатку? Выделите ее мышкой и нажмите Ctrl+Enter

Источник

Хелпа по матану 2

06 Oct 2015 в 18:03

Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть фото Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть картинку Что значит левая и правая тройка векторов. Картинка про Что значит левая и правая тройка векторов. Фото Что значит левая и правая тройка векторов

06 Oct 2015 в 18:03 #1

Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть фото Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть картинку Что значит левая и правая тройка векторов. Картинка про Что значит левая и правая тройка векторов. Фото Что значит левая и правая тройка векторов

06 Oct 2015 в 18:14 #2

Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть фото Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть картинку Что значит левая и правая тройка векторов. Картинка про Что значит левая и правая тройка векторов. Фото Что значит левая и правая тройка векторов

06 Oct 2015 в 18:14 #3

Омг, неужели в доту играют только шк

Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть фото Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть картинку Что значит левая и правая тройка векторов. Картинка про Что значит левая и правая тройка векторов. Фото Что значит левая и правая тройка векторов

06 Oct 2015 в 18:16 #4

А ты думал здесь только люди знающие математику сидят? Иди на математические форумы

Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть фото Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть картинку Что значит левая и правая тройка векторов. Картинка про Что значит левая и правая тройка векторов. Фото Что значит левая и правая тройка векторов

06 Oct 2015 в 18:16 #5

Тем что она правая?

Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть фото Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть картинку Что значит левая и правая тройка векторов. Картинка про Что значит левая и правая тройка векторов. Фото Что значит левая и правая тройка векторов

06 Oct 2015 в 18:16 #6

Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть фото Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть картинку Что значит левая и правая тройка векторов. Картинка про Что значит левая и правая тройка векторов. Фото Что значит левая и правая тройка векторов

06 Oct 2015 в 18:17 #7

чёт не понял ничего, рисунок векторов где?

Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть фото Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть картинку Что значит левая и правая тройка векторов. Картинка про Что значит левая и правая тройка векторов. Фото Что значит левая и правая тройка векторов

06 Oct 2015 в 18:21 #8

Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть фото Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть картинку Что значит левая и правая тройка векторов. Картинка про Что значит левая и правая тройка векторов. Фото Что значит левая и правая тройка векторов

06 Oct 2015 в 18:22 #9

Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть фото Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть картинку Что значит левая и правая тройка векторов. Картинка про Что значит левая и правая тройка векторов. Фото Что значит левая и правая тройка векторов

06 Oct 2015 в 18:35 #10

Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть фото Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть картинку Что значит левая и правая тройка векторов. Картинка про Что значит левая и правая тройка векторов. Фото Что значит левая и правая тройка векторов

Для левой руки левая.

Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть фото Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть картинку Что значит левая и правая тройка векторов. Картинка про Что значит левая и правая тройка векторов. Фото Что значит левая и правая тройка векторов

06 Oct 2015 в 18:41 #11

еще дауны, не сильно далеко ушедшие от шк по развитию и не умеющие в гугл

Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть фото Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть картинку Что значит левая и правая тройка векторов. Картинка про Что значит левая и правая тройка векторов. Фото Что значит левая и правая тройка векторов

06 Oct 2015 в 18:45 #12

Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть фото Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть картинку Что значит левая и правая тройка векторов. Картинка про Что значит левая и правая тройка векторов. Фото Что значит левая и правая тройка векторов

Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть фото Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть картинку Что значит левая и правая тройка векторов. Картинка про Что значит левая и правая тройка векторов. Фото Что значит левая и правая тройка векторов

06 Oct 2015 в 18:46 #13

Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть фото Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть картинку Что значит левая и правая тройка векторов. Картинка про Что значит левая и правая тройка векторов. Фото Что значит левая и правая тройка векторов

Научным языком: Упорядоченная тройка некомпланарных векторов a, b, c в трёхмерном пространстве называется правой, если с конца вектора c кратчайший поворот от вектора a к вектору b виден наблюдателю против часовой стрелки. И наоборот, если кратчайший поворот виден по часовой стрелке, то тройка называется левой. (спасибо Википедии за это)

Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть фото Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть картинку Что значит левая и правая тройка векторов. Картинка про Что значит левая и правая тройка векторов. Фото Что значит левая и правая тройка векторов

06 Oct 2015 в 18:52 #14

Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть фото Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть картинку Что значит левая и правая тройка векторов. Картинка про Что значит левая и правая тройка векторов. Фото Что значит левая и правая тройка векторов

Научным языком: Упорядоченная тройка некомпланарных векторов a, b, c в трёхмерном пространстве называется правой, если с конца вектора c кратчайший поворот от вектора a к вектору b виден наблюдателю против часовой стрелки. И наоборот, если кратчайший поворот виден по часовой стрелке, то тройка называется левой. (спасибо Википедии за это)

Источник

Определение правой и левой тройки векторов

Вы будете перенаправлены на Автор24

Понятие тройки векторов

Определение правой и левой тройки векторов

Приведём чертёж правой связки.

Рисунок 1. Чертёж правой связки. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Если большой палец и указательный пальцы левой руки вытянуть, а средний согнуть под углом ладони, то три пальца в порядке большой-указательный-средний составят правую связку. Те же пальцы на левой руке составят левую связку.

На чертеже левой связки то же вращение идёт по часовой стрелке.

Рисунок 2. Чертеж левой связки. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Готовые работы на аналогичную тему

Способы преобразования правой связки в левую и обратно:

Правая и левая системы координат

Рисунок 3. Чертёж ортогональной системы координат в пространстве. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

$i, j, k$ образуют правую связку. Система координат в данном случае называется правой.

Система координат называется левой, когда орты образуют левую связку. То есть:

Рисунок 4. Левая система координат. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Подведём итог. В статье мы дали определение связки тройки векторов, описали правую и левую тройку векторов, а также правую и левую систему координат, как вытекающую тему из определения правой и левой тройки векторов. Стоит сказать, что на практике определение правой и левой тройки векторов со временем происходит интуитивно или «на автомате». Самое важное, это один раз понять, как это делается. Также стоит заметить, что чаще в задачах используется всё-таки правая тройка векторов и соответственно правая система координат.

Источник

Векторное произведение векторов

Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть фото Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть картинку Что значит левая и правая тройка векторов. Картинка про Что значит левая и правая тройка векторов. Фото Что значит левая и правая тройка векторов

Определение векторного произведения

Система координат — способ определить положение и перемещение точки или тела с помощью чисел или других символов.

Координаты — это совокупность чисел, которые определяют положение какого-либо объекта на прямой, плоскости, поверхности или в пространстве. Как найти координаты точки мы рассказали в этой статье.

Скаляр — это величина, которая полностью определяется в любой координатной системе одним числом или функцией.

Вектор — направленный отрезок прямой, для которого указано, какая точка является началом, а какая — концом.

Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть фото Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть картинку Что значит левая и правая тройка векторов. Картинка про Что значит левая и правая тройка векторов. Фото Что значит левая и правая тройка векторов

Вектор с началом в точке A и концом в точке B принято обозначать как →AB. Векторы также можно обозначать малыми латинскими буквами со стрелкой или черточкой над ними, вот так: →a.

Коллинеарность — отношение параллельности векторов. Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой.

Проще говоря это «параллельные» векторы. Коллинеарные векторы могут быть одинаково направлены или противоположно направлены. Основное обозначение — →a || →b. Сонаправленные коллинеарные векторы обозначаются так →a ↑↑ →b, противоположно направленные — →a ↑↓ →b.

Прежде чем дать определение векторного произведения, разберемся с ориентацией упорядоченной тройки векторов →a, →b, →c в трехмерном пространстве.

Отложим векторы →a, →b, →c от одной точки. В зависимости от направления вектора →c тройка →a, →b, →c может быть правой или левой.

Посмотрим с конца вектора →c на то, как происходит кратчайший поворот от вектора →a к →b. Если кратчайший поворот происходит против часовой стрелки, то тройка векторов →a, →b, →c называется правой, по часовой стрелке — левой.

Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть фото Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть картинку Что значит левая и правая тройка векторов. Картинка про Что значит левая и правая тройка векторов. Фото Что значит левая и правая тройка векторов

Теперь возьмем два неколлинеарных вектора →a и →b. Отложим от точки А векторы →AB = →a и →AC = →b. Построим некоторый вектор →AD = →c, перпендикулярный одновременно и →AB и →AC.

Очевидно, что при построении вектора →AD = →c мы можем поступить по-разному, если зададим ему либо одно направление, либо противоположное.

Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть фото Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть картинку Что значит левая и правая тройка векторов. Картинка про Что значит левая и правая тройка векторов. Фото Что значит левая и правая тройка векторов

В зависимости от направления вектора →AD = →c упорядоченная тройка векторов →a, →b, →c может быть правой или левой.

И сейчас мы подошли к определению векторного произведения. Оно дается для двух векторов, которые заданы в прямоугольной системе координат трехмерного пространства.

Еще не устали от теории? Онлайн-школа Skysmart предлагает обучение на курсах по математике — много практики и поддержка внимательных преподавателей!

Векторным произведением двух векторов →a и →b, которые заданы в прямоугольной системе координат трехмерного пространства, называется такой вектор →c, что:

Векторным произведением вектора →a на вектор →b называется вектор →c, длина которого численно равна площади параллелограмма построенного на векторах →a и →b, перпендикулярный к плоскости этих векторов и направленный так, чтобы наименьшее вращение от →a к →b вокруг вектора c осуществлялось против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора →c.

Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть фото Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть картинку Что значит левая и правая тройка векторов. Картинка про Что значит левая и правая тройка векторов. Фото Что значит левая и правая тройка векторов

Векторное произведение двух векторов a = и b = в декартовой системе координат — это вектор, значение которого можно вычислить, используя формулы вычисления векторного произведения векторов:

Векторное произведение векторов →a и →b обозначается как [→a • →b].

Другое определение связано с правой рукой человека, откуда и есть название. На рисунке тройка векторов →a, →b, [→a • →b] является правой.

Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть фото Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть картинку Что значит левая и правая тройка векторов. Картинка про Что значит левая и правая тройка векторов. Фото Что значит левая и правая тройка векторов

Еще есть аналитический способ определения правой и левой тройки векторов — он требует задания в рассматриваемом пространстве правой или левой системы координат, причём не обязательно прямоугольной и ортонормированной.

Нужно составить матрицу, первой строкой которой будут координаты вектора →a, второй — вектора →b, третьей — вектора →c. Затем, в зависимости от знака определителя этой матрицы, можно сделать следующие выводы:

Координаты векторного произведения

Рассмотрим векторное произведение векторов в координатах.

Сформулируем второе определение векторного произведения, которое позволяет находить его координаты по координатам заданных векторов.

В прямоугольной системе координат трехмерного пространства векторное произведение двух векторов →a = (ax, ay, az) и →b = (bx, by, bz) есть вектор

Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть фото Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть картинку Что значит левая и правая тройка векторов. Картинка про Что значит левая и правая тройка векторов. Фото Что значит левая и правая тройка векторов

→i, →j, →k — координатные векторы.

Это определение показывает нам векторное произведение в координатной форме.

Векторное произведение удобно представлять в виде определителя квадратной матрицы третьего порядка, первая строка которой есть орты →i, →j, →k, во второй строке находятся координаты вектора →a, а в третьей — координаты вектора →b в заданной прямоугольной системе координат:

Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть фото Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть картинку Что значит левая и правая тройка векторов. Картинка про Что значит левая и правая тройка векторов. Фото Что значит левая и правая тройка векторов

Если разложим этот определитель по элементам первой строки, то получим равенство из определения векторного произведения в координатах:

Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть фото Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть картинку Что значит левая и правая тройка векторов. Картинка про Что значит левая и правая тройка векторов. Фото Что значит левая и правая тройка векторов

Важно отметить, что координатная форма векторного произведения согласуется с определением,которое мы дали в первом пункте этой статьи. Более того, эти два определения векторного произведения эквивалентны.

Свойства векторного произведения

Векторное произведение в координатах представляется в виде определителя матрицы:

Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть фото Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть картинку Что значит левая и правая тройка векторов. Картинка про Что значит левая и правая тройка векторов. Фото Что значит левая и правая тройка векторов

На основании свойств определителя можно легко обосновать свойства векторного произведения векторов:

Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть фото Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть картинку Что значит левая и правая тройка векторов. Картинка про Что значит левая и правая тройка векторов. Фото Что значит левая и правая тройка векторов

, где λ произвольное действительное число.

Для большей ясности докажем свойство антикоммутативности векторного произведения.

Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть фото Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть картинку Что значит левая и правая тройка векторов. Картинка про Что значит левая и правая тройка векторов. Фото Что значит левая и правая тройка векторов

Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть фото Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть картинку Что значит левая и правая тройка векторов. Картинка про Что значит левая и правая тройка векторов. Фото Что значит левая и правая тройка векторов

Нам известно, что значение определителя матрицы изменяется на противоположное, если переставить местами две строки, поэтому

Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть фото Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть картинку Что значит левая и правая тройка векторов. Картинка про Что значит левая и правая тройка векторов. Фото Что значит левая и правая тройка векторов

что доказывает свойство антикоммутативности векторного произведения.

Чтобы найти модуль векторного произведения векторов u и v нужно найти площадь параллелограмма, который построен на данных векторах: S = | u × v | = | u | * | v | * sinθ, где θ — угол между векторами.

Векторное произведение векторов u и v равно нулевому вектору, если u и v параллельны (коллинеарны): u × v = 0, если u ∥ v (θ = 0).

Примеры решения задач

Пример 1

а) Найти длину векторного произведения векторов →a и →b, если |→a| = 2, |→b| = 3, ∠(→a, →b) = π/3.

б) Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах →a и →b, если |→a| = 2, |→b| = 3, ∠(→a, →b) = π/3.

а) По условию требуется найти длину векторного произведения. Подставляем данные в формулу:

Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть фото Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть картинку Что значит левая и правая тройка векторов. Картинка про Что значит левая и правая тройка векторов. Фото Что значит левая и правая тройка векторов

Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть фото Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть картинку Что значит левая и правая тройка векторов. Картинка про Что значит левая и правая тройка векторов. Фото Что значит левая и правая тройка векторов

Так как в задаче речь идет о длине, то в ответе указываем размерность — единицы.

б) По условию требуется найти площадь параллелограмма, который построен на векторах →a и →b. Площадь такого параллелограмма численно равна длине векторного произведения:

Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть фото Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть картинку Что значит левая и правая тройка векторов. Картинка про Что значит левая и правая тройка векторов. Фото Что значит левая и правая тройка векторов

Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть фото Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть картинку Что значит левая и правая тройка векторов. Картинка про Что значит левая и правая тройка векторов. Фото Что значит левая и правая тройка векторов

Пример 2

Найти |[-3→a x 2→b]|, если |→a| = 1/2, |→b| = 1/6, ∠(→a, →b) = π/2.

По условию снова нужно найти длину векторного произведения. Используем нашу формулу:

Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть фото Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть картинку Что значит левая и правая тройка векторов. Картинка про Что значит левая и правая тройка векторов. Фото Что значит левая и правая тройка векторов

Согласно ассоциативным законам, выносим константы за переделы векторного произведения.

Выносим константу за пределы модуля, при этом модуль позволяет убрать знак минус. Длина же не может быть отрицательной.

Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть фото Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть картинку Что значит левая и правая тройка векторов. Картинка про Что значит левая и правая тройка векторов. Фото Что значит левая и правая тройка векторов

Пример 3

Даны вершины треугольника A (0, 2, 0), B (-2, 5,0), C (-2, 2, 6). Найти его площадь.

Сначала найдём векторы:

Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть фото Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть картинку Что значит левая и правая тройка векторов. Картинка про Что значит левая и правая тройка векторов. Фото Что значит левая и правая тройка векторов

Затем векторное произведение:

Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть фото Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть картинку Что значит левая и правая тройка векторов. Картинка про Что значит левая и правая тройка векторов. Фото Что значит левая и правая тройка векторов

Вычислим его длину:

Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть фото Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть картинку Что значит левая и правая тройка векторов. Картинка про Что значит левая и правая тройка векторов. Фото Что значит левая и правая тройка векторов

Подставим данные в формулы площадей параллелограмма и треугольника:

Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть фото Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть картинку Что значит левая и правая тройка векторов. Картинка про Что значит левая и правая тройка векторов. Фото Что значит левая и правая тройка векторов

Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть фото Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть картинку Что значит левая и правая тройка векторов. Картинка про Что значит левая и правая тройка векторов. Фото Что значит левая и правая тройка векторов

Геометрический смысл векторного произведения

По определению длина векторного произведения векторов равна

Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть фото Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть картинку Что значит левая и правая тройка векторов. Картинка про Что значит левая и правая тройка векторов. Фото Что значит левая и правая тройка векторов

А из курса геометрии средней школы мы знаем, что площадь треугольника равна половине произведения длин двух сторон треугольника на синус угла между ними.

Поэтому длина векторного произведения равна удвоенной площади треугольника, имеющего сторонами векторы →a и →b, если их отложить от одной точки. Проще говоря, длина векторного произведения векторов →a и →b равна площади параллелограмма со сторонами |→a| и |→b| и углом между ними, равным (→a, →b). В этом состоит геометрический смысл векторного произведения.

Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть фото Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть картинку Что значит левая и правая тройка векторов. Картинка про Что значит левая и правая тройка векторов. Фото Что значит левая и правая тройка векторов

Физический смысл векторного произведения

В механике — одном из разделов физики — благодаря векторному произведению можно определить момент силы относительно точки пространства. Поэтому сформулируем еще одно важное определение.

Под моментом силы →F, приложенной к точке B, относительно точки A понимается следующее векторное произведение [→A B × →F].

Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть фото Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть картинку Что значит левая и правая тройка векторов. Картинка про Что значит левая и правая тройка векторов. Фото Что значит левая и правая тройка векторов

Вектор линейной скорости →V точки M колеса равен векторному произведению вектора угловой скорости →W и радиус-вектора точки колеса, то есть →V = →W`→rM.

Источник

Правые и левые тройки векторов

Определение. Три некомпланарных вектора Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть фото Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть картинку Что значит левая и правая тройка векторов. Картинка про Что значит левая и правая тройка векторов. Фото Что значит левая и правая тройка векторов, Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть фото Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть картинку Что значит левая и правая тройка векторов. Картинка про Что значит левая и правая тройка векторов. Фото Что значит левая и правая тройка векторов, Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть фото Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть картинку Что значит левая и правая тройка векторов. Картинка про Что значит левая и правая тройка векторов. Фото Что значит левая и правая тройка векторов, взятых в указанном порядке и приложенных в одной точке, называют тройкой векторов a, b, c.

Определение. Декартова прямоугольная система координат называется правой, если тройка базисных векторов i, j, k является правой и называется левой, если эта тройка левая. В дальнейшем будем рассматривать только правые системы координат.

Векторное произведение векторов

Векторное произведение обозначают также a×b.

Из условия 1) определения следует, что

Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть фото Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть картинку Что значит левая и правая тройка векторов. Картинка про Что значит левая и правая тройка векторов. Фото Что значит левая и правая тройка векторов

где S — площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b. Тогда

Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть фото Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть картинку Что значит левая и правая тройка векторов. Картинка про Что значит левая и правая тройка векторов. Фото Что значит левая и правая тройка векторов

где e — единичный вектор направления вектора [a, b].

Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов. Вектора a и b коллинеарны тогда и только тогда, когда

Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть фото Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть картинку Что значит левая и правая тройка векторов. Картинка про Что значит левая и правая тройка векторов. Фото Что значит левая и правая тройка векторов

Доказательство. □ Если вектора a и b коллинеарны, то φ=0 или φ=π, тогда sin φ=0, следовательно, |[a, b]|=0, а значит [a, b]=o.

Обратно, если выполнено равенство [a, b]=0 и a≠0, b≠0, то φ=0 или φ=π, следовательно, вектора a и b коллинеарны. ■

Свойства векторного произведения

Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть фото Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть картинку Что значит левая и правая тройка векторов. Картинка про Что значит левая и правая тройка векторов. Фото Что значит левая и правая тройка векторов

Замечание. Эту формулу можно выразить через символический определитель третьего порядка:

Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть фото Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть картинку Что значит левая и правая тройка векторов. Картинка про Что значит левая и правая тройка векторов. Фото Что значит левая и правая тройка векторов

Следствие. Площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b, вычисляется по формуле

Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть фото Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть картинку Что значит левая и правая тройка векторов. Картинка про Что значит левая и правая тройка векторов. Фото Что значит левая и правая тройка векторов

Следствие. Площадь треугольника ABC определяется формулой:

Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть фото Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть картинку Что значит левая и правая тройка векторов. Картинка про Что значит левая и правая тройка векторов. Фото Что значит левая и правая тройка векторов

Смешанное произведение векторов

Теорема [геометрический смысл смешанного произведения]. Смешанное произведение [a, b]c трех некомпланарных векторов равно объему параллелепипеда, построенного на векторах Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть фото Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть картинку Что значит левая и правая тройка векторов. Картинка про Что значит левая и правая тройка векторов. Фото Что значит левая и правая тройка векторов, Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть фото Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть картинку Что значит левая и правая тройка векторов. Картинка про Что значит левая и правая тройка векторов. Фото Что значит левая и правая тройка векторов, Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть фото Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть картинку Что значит левая и правая тройка векторов. Картинка про Что значит левая и правая тройка векторов. Фото Что значит левая и правая тройка векторов, взятому со знаком плюс, если тройка (a, b, c) — правая, со знаком минус, если эта тройка — левая.

Доказательство. □Рассмотрим параллелограмм, построенный на векторах Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть фото Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть картинку Что значит левая и правая тройка векторов. Картинка про Что значит левая и правая тройка векторов. Фото Что значит левая и правая тройка векторов, Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть фото Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть картинку Что значит левая и правая тройка векторов. Картинка про Что значит левая и правая тройка векторов. Фото Что значит левая и правая тройка векторов, лежащих в основании указанного параллелепипеда. Его площадь S=|[a,b]|, тогда можем написать [a, b]=Se, следовательно, [a, b]c=(Se)c=S(ec). Найдем ec = |e| prec = prec. С другой стороны prech, где h — высота параллелепипеда, опущенная на основание OADB. Знак плюс получается, если (a, b, c) — правая тройка, знак минус, если эта тройка левая. Тогда

Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть фото Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть картинку Что значит левая и правая тройка векторов. Картинка про Что значит левая и правая тройка векторов. Фото Что значит левая и правая тройка векторов

Следствие. Векторы a, b, c компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю, то есть

Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть фото Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть картинку Что значит левая и правая тройка векторов. Картинка про Что значит левая и правая тройка векторов. Фото Что значит левая и правая тройка векторов

Следствие. Справедливо равенство

Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть фото Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть картинку Что значит левая и правая тройка векторов. Картинка про Что значит левая и правая тройка векторов. Фото Что значит левая и правая тройка векторов

Замечание 1. Так как верно это следствие, то смешанное произведение обозначают abc.

Замечание 2. Для трех векторов a, b, c имеем

Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть фото Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть картинку Что значит левая и правая тройка векторов. Картинка про Что значит левая и правая тройка векторов. Фото Что значит левая и правая тройка векторов

Теорема. Смешанное произведение трех векторов

Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть фото Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть картинку Что значит левая и правая тройка векторов. Картинка про Что значит левая и правая тройка векторов. Фото Что значит левая и правая тройка векторов

Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть фото Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть картинку Что значит левая и правая тройка векторов. Картинка про Что значит левая и правая тройка векторов. Фото Что значит левая и правая тройка векторов

Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть фото Что значит левая и правая тройка векторов. Смотреть картинку Что значит левая и правая тройка векторов. Картинка про Что значит левая и правая тройка векторов. Фото Что значит левая и правая тройка векторов

— это разложение определителя третьего порядка по элементам третьей строки. ■

Следствие [Необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов]. Три вектора a, b, c компланарны тогда и только тогда, когда выполняется

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *