Что значит компланарные векторы

Компланарность векторов. Условия компланарности векторов.

рис. 1

Всегда возможно найти плоскости параллельную двум произвольным векторам, по этому любые два вектора всегда компланарные.

Условия компланарности векторов

Примеры задач на компланарность векторов

Решение: найдем смешанное произведение векторов

Ответ: вектора не компланарны так, как их смешанное произведение не равно нулю.

Решение: найдем смешанное произведение векторов

Ответ: вектора компланарны так, как их смешанное произведение равно нулю.

Решение: найдем количество линейно независимых векторов, для этого запишем значения векторов в матрицу, и выполним над ней элементарные преобразования

	1	1	1
	1	2	0
	0	-1	1
	3	3	3

из 2-рой строки вычтем 1-вую; из 4-той строки вычтем 1-вую умноженную на 3

111111

к 3-тей строке добавим 2-рую

111

Так как осталось две ненулевые строки, то среди приведенных векторов лишь два линейно независимых вектора.

Ответ: вектора компланарны так, как среди приведенных векторов лишь два линейно независимых вектора.

Источник

Компланарные векторы

Урок 37. Геометрия 10 класс ФГОС

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока «Компланарные векторы»

Ранее мы ввели понятие вектора в пространстве, понятие равных векторов, правила сложения и вычитания векторов, а также произведение вектора на число.

И все теоретические аспекты векторов в пространства практически совпадают с теорией векторов на плоскости. За исключением правила многоугольника сложения нескольких векторов. Многоугольник сложения в пространстве может быть и пространственным, то есть не все его вершины лежат в одной плоскости.

Сегодня мы с вами познакомимся с существенным и одним из главных отличий векторов на плоскости и векторов в пространстве. Мы введём понятие компланарных векторов.

Определение. Векторы называются компланарными, если при откладывании их от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости.

Но в связи с тем, что от любой точки пространства можно отложить вектор равный данному, и притом только один, можно это определение переформулировать так.

Векторы называются компланарными, если имеются равные им векторы, лежащие в одной плоскости.

Понятно, что любые два вектора всегда будут компланарными, ведь через них можно провести прямые, а через две прямые всегда можно провести единственную плоскость.

Если же рассмотреть три вектора, то они могут быть как компланарными, так и некомпланарными.

Компланарными они будут в том случае, когда среди них есть пара коллинеарных векторов.

Тогда через один из коллинеарных векторов и вектор не коллинеарный ему можно провести плоскость. А для второго из коллинеарных векторов легко изобразить равный в этой плоскости.

Так мы получаем, что два вектора всегда будут компланарными, а три вектора будут компланарными, если среди них есть пара коллинеарных векторов.

прямоугольный параллелепипед.

Компланарны ли векторы?

а) , ,

б) , ,

Первой рассмотрим тройку .

Через векторы и проведём плоскость ACC₁.

Рассмотрим следующую тройку векторов. .

В этом задании мы, пользуясь определением, выяснили компланарны данные тройки векторов или нет.

Помимо определения компланарных векторов есть ещё и признак компланарности трёх векторов.

Если вектор можно разложить по векторам и , то есть представить его в таком виде , где x и y некоторые числа. То векторы , и компланарны.

Докажем данный признак.

Рассмотрим два неколлинеарных вектора и , отложим их от некоторой точки О. Далее проведём через них плоскость.

Очевидно, что в этой же плоскости лежат векторы x и y.

По правилу параллелограмма построим вектор суммы векторов x и y. Полученный вектор суммы равен вектору . А по рисунку становится понятно, что векторы , и действительно лежат в одной плоскости, а значит, они компланарны.

Так мы доказали признак компланарности трёх векторов. Но справедливо и обратное утверждение, которое можно считать свойством трёх компланарных векторов.

Если векторы , и компланарны, а векторы , не коллинеарны, то вектор можно разложить по векторам и , причём коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Итак, воспользуемся тем, векторы компланарны, то есть лежат в одной плоскости. А из курса планиметрии известно, что любой вектор плоскости можно разложить по двум неколлинеарным векторам. Как раз векторы и являются такими по условию.

Тогда отложим векторы , и от некоторой точки О плоскости.

Вектор равен сумме векторов и , каждый из которых коллинеарен векторам и соответственно. Опираясь на коллинеарность, можем вектор представить в виде произведения вектора и некоторого числа x, а вектор — в виде произведения вектора и некоторого числа y.

Отсюда получаем, что вектор равен сумме произведений вектора на число x и вектора на число y.

Тем самым мы смогли разложить вектор по векторам и .

Что и требовалось доказать.

Для параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ среди данных троек векторов найти компланарные.

Первой рассмотрим тройку векторов .

Все эти векторы коллинеарны, так как являются противоположными рёбрами параллелепипеда. А для компланарности трёх векторов достаточно коллинеарности хотя бы двух из них (в начале урока мы рассматривали такой случай). Поэтому можно утверждать, что данные векторы компланарны.

Далее рассмотрим векторы , и .

Векторы и лежат в одной плоскости, а вектор пересекает её. Поэтому можно сказать, что данные векторы не компланарны.

Следующей рассмотрим тройку векторов , и .

Среди них есть пара коллинеарных векторов, и . А значит, векторы данной тройки будут компланарны.

Осталось рассмотреть тройку векторов , и .

В плоскости ABCD лежит вектор . И вектор , равен вектору . Но для вектора в этой плоскости не найдётся равный, так как он пересекает её. Значит, векторы данной тройки не будут являться компланарными.

Так, пользуясь определением, мы нашли две тройки компланарных векторов.

Задача. тетраэдр. Точки и — середины сторон и . Доказать, что . Компланарны ли векторы , и ?

Итак, сначала проведём доказательство.

Пользуясь правилом многоугольника сложения нескольких векторов в пространстве, можно записать, что . С другой стороны вектор .

Сложим покомпонентно эти два равенства.

Векторы и , а также и противоположны, ведь их длины равны и они противоположно направлены. А значит, каждая из этих сумм равна нулевому вектору.

Тогда мы получаем, что .

Что и требовалось доказать.

Теперь ответим на вопрос, компланарны ли векторы , и .

Разделим обе его части равенства, доказанного выше, на 2.

Так мы записали разложение вектора по векторам и , где оба коэффициента разложения равны .

Тогда по признаку компланарных векторов, данные векторы компланарны.

Подведём итоги нашего урока.

Сегодня мы ввели понятие компланарных векторов.

Векторы называются компланарными, если при откладывании их от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости.

На практике удобнее использовать такую формулировку: векторы называются компланарными, если имеются равные им векторы, лежащие в одной плоскости.

Так же мы выяснили, что любые два вектора всегда компланарны, а вот три вектора могут быть как компланарными, так и не компланарными.

В связи с этим мы доказали признак компланарности векторов.

Если вектор можно разложить по неколлинеарным векторам и , то векторы , и компланарны.

Справедливо также и обратное утверждение.

Если векторы , и компланарны, а векторы и не коллинеарны, то вектор можно разложить по векторам и , причём коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Источник