Что такое канонический вид уравнения?
Понятие алгебраической линии и её порядка
Линию на плоскости называют алгебраической, если в аффинной системе координат её уравнение имеет вид 
, где 
– многочлен, состоящий из слагаемых вида 
( 
– действительное число, 
– целые неотрицательные числа).
Как видите, уравнение алгебраической линии не содержит синусов, косинусов, логарифмов и прочего функционального бомонда. Только «иксы» и «игреки» в целых неотрицательных степенях.
Далее под словом «линия» по умолчанию будет подразумеваться алгебраическая линия на плоскости
Порядок линии равен максимальному значению 
входящих в него слагаемых.
По соответствующей теореме, понятие алгебраической линии, а также её порядок не зависят от выбора аффинной системы координат, поэтому для лёгкости бытия считаем, что все последующие выкладки имеют место быть в декартовых координатах 
.
Общее уравнение линии второго порядка имеет вид 
, где 
– произвольные действительные числа ( 
принято записывать с множителем-«двойкой»), причём коэффициенты 
не равны одновременно нулю.
Если 
, то уравнение упрощается до 
, и если коэффициенты 
одновременно не равны нулю, то это в точности общее уравнение «плоской» прямой, которая представляет собой линию первого порядка.
Многие поняли смысл новых терминов, но, тем не менее, в целях 100%-го усвоения материала сунем пальцы в розетку. Чтобы определить порядок линии, нужно перебрать все слагаемые её уравнения и у каждого из них найти сумму степеней входящих переменных.
слагаемое 
содержит «икс» в 1-й степени;
слагаемое 
содержит «игрек» в 1-й степени;
в слагаемом 
переменные отсутствуют, поэтому сумма их степеней равна нулю.
Далее из полученных чисел выбирается максимальное значение, в данном случае единица, – это и есть порядок линии.
Теперь разберёмся, почему уравнение 
задаёт линию второго порядка:
слагаемое 
содержит «икс» во 2-й степени;
у слагаемого 
сумма степеней переменных: 1 + 1 = 2;
слагаемое 
содержит «игрек» во 2-й степени;
все остальные слагаемые – меньшей степени.
Максимальное значение: 2
Если к нашему уравнению дополнительно приплюсовать, скажем, 
, то оно уже будет определять линию третьего порядка. Очевидно, что общий вид уравнения линии 3-го порядка содержит «полный комплект» слагаемых, сумма степеней переменных в которых равна трём:
, где коэффициенты 
не равны одновременно нулю.
В том случае, если добавить одно или несколько подходящих слагаемых, которые содержат 
, то речь уже зайдёт о линии 4-го порядка, и т.д.
С алгебраическими линиями 3-го, 4-го и более высоких порядков нам придется столкнуться ещё не раз, в частности, при знакомстве с полярной системой координат.
Однако вернёмся к общему уравнению и вспомним его простейшие школьные вариации. В качестве примеров напрашивается парабола 
, уравнение которой легко привести к общему виду 
, и гипербола 
с эквивалентным уравнением 
. Однако не всё так гладко….
Существенный недостаток общего уравнения состоит в том, что почти всегда не понятно, какую линию оно задаёт. Даже в простейшем случае не сразу сообразишь, что это гипербола. Такие расклады хороши только на маскараде, поэтому в курсе аналитической геометрии рассматривается типовая задача приведения уравнения линии 2-го порядка к каноническому виду.
Что такое канонический вид уравнения?
Это общепринятый стандартный вид уравнения, когда в считанные секунды становится ясно, какой геометрический объект оно определяет. Кроме того, канонический вид очень удобен для решения многих практических заданий. Так, например, по каноническому уравнению 
«плоской» прямой, во-первых, сразу понятно, что это прямая, а во-вторых – элементарно просматривается принадлежащая ей точка 
и направляющий вектор 
.
Очевидно, что любая линия 1-го порядка представляет собой прямую. На втором же этаже нас ждёт уже не вахтёр, а гораздо более разнообразная компания из девяти статуй:
Дата добавления: 2021-01-20 ; просмотров: 36 ; Мы поможем в написании вашей работы!
Канонические уравнения прямой в пространстве: теория, примеры, решение задач
Одним из видов уравнений прямой в пространстве является каноническое уравнение. Мы рассмотрим это понятие во всех подробностях, поскольку знать его необходимо для решения многих практических задач.
В первом пункте мы сформулируем основные уравнения прямой, расположенной в трехмерном пространстве, и приведем несколько примеров. Далее покажем способы вычисления координат направляющего вектора при заданных канонических уравнениях и решение обратной задачи. В третьей части мы расскажем, как составляется уравнение прямой, проходящей через 2 заданные точки в трехмерном пространстве, а в последнем пункте укажем на связи канонических уравнений с другими. Все рассуждения будут проиллюстрированы примерами решения задач.
Что такое каноническое уравнение прямой в пространстве
О том, что вообще из себя представляют канонические уравнения прямой, мы уже говорили в статье, посвященной уравнениям прямой на плоскости. Случай с трехмерным пространством мы разберем по аналогии.
Между правыми частями после этого можно будет поставить знак равенства:
Частные случаи канонических уравнений мы разберем в третьем пункте статьи.
Из определения канонического уравнения прямой в пространстве можно сделать несколько важных выводов. Рассмотрим их.
Вот несколько примеров таких уравнений с заданными значениями:
Как составить каноническое уравнение прямой в пространстве
Разберем пару конкретных задач.
Решение
Решение
Эти задачи – самые простые, потому что в них есть все или почти все исходные данные для записи уравнения или координат вектора. На практике чаще можно встретить те, в которых сначала нужно находить нужные координаты, а потом записывать канонические уравнения. Примеры таких задач мы разбирали в статьях, посвященных нахождению уравнений прямой, проходящей через точку пространства параллельно заданной, а также прямой, проходящей через некоторую точку пространства перпендикулярно плоскости.
Канонические уравнения с одним или двумя a, равными нулю
x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ
Следовательно, мы сможем записать канонические уравнения немного иначе.
Покажем на примерах, как применяются эти правила.
Решение
Для прямой O x : x 1 = y 0 = z 0
Для прямой O y : x 0 = y 1 = z 0
Для прямой O z : x 0 = y 0 = z 1
Решение
Как записать каноническое уравнение прямой, которая проходит через две заданные точки
Для начала примем вектор M 1 M 2 → (или M 2 M 1 → ) за направляющий вектор данной прямой. Поскольку у нас есть координаты нужных точек, сразу вычисляем координаты вектора:
Далее переходим непосредственно к записи канонического уравнения, ведь все нужные данные у нас уже есть. Исходная прямая будет определяться записями следующего вида:
Получившиеся равенства – это и есть канонические уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Взгляните на иллюстрацию:
Приведем пример решения задачи.
Решение
Преобразование канонических уравнений прямой в пространстве в другие виды уравнений
Понять правила перехода к параметрическим уравнениям несложно. Сначала приравняем каждую часть уравнения к параметру λ и разрешим эти уравнения относительно других переменных. В итоге получим:
Решение
Следующим нашим шагом будет преобразование канонических уравнений в уравнение двух пересекающихся плоскостей (для одной и той же прямой).
В итоге у нас вышло, что:
Это дает нам возможность исключить одно уравнение из наших расчетов. Таким образом, канонические уравнения прямой можно преобразовать в систему из двух линейных уравнений, которые будут содержать 3 неизвестных. Они и будут нужными нам уравнениями двух пересекающихся плоскостей.
Рассуждение выглядит довольно сложным, однако на практике все делается довольно быстро. Продемонстрируем это на примере.
Решение
Начнем с попарного приравнивания дробей.
Ответ: y = 0 z + 2 = 0
Решение
Приравниваем дроби попарно.
Получаем, что определитель основной матрицы полученной системы будет равен 0 :
Каноническое уравнение прямой на плоскости: теория, примеры, решение задач
Прямую линию в прямоугольной системе координат можно задать с помощью канонического уравнения. В этой статье мы расскажем, что это такое, приведем примеры, рассмотрим связи канонических уравнений с другими типами уравнений для этой прямой. В последнем пункте мы разберем несколько задач на закрепление темы.
Понятие канонического уравнения прямой
Таким образом, мы можем сформулировать необходимое и достаточное коллинеарности этих двух векторов:
Если преобразовать полученное равенство в координатную форму, то мы получим:
Из определения канонического уравнения нужно сделать несколько важных выводов. Вот они:
Разберем важный пример задачи на нахождение канонического уравнения.
Решение
Получившееся в итоге равенство и будет нужным ответом.
Проиллюстрируем два частных случая канонического уравнения, описанные выше:
Решение
На рисунке изображена прямая. Запишите ее каноническое уравнение.
Решение
Преобразование канонического уравнения прямой в другие виды уравнений
Мы уже выяснили, что в прямоугольной системе координат на плоскости заданную прямую можно описать с помощью канонического уравнения. Оно удобно для решения многих задач, однако иногда лучше производить вычисления с помощью другого типа уравнений. Сейчас мы покажем, как преобразовать каноническое уравнение в другие виды, если это требуется по ходу решения.
Покажем на примере, как именно выполняется это действие с конкретными числами.
Решение
Далее можно перейти к формулированию необходимых параметрических уравнений:
Решение
Делаем указанные выше действия по порядку.
Также из канонического уравнения мы можем получить уравнение прямой в отрезках, прямой с угловым коэффициентом или нормальное уравнение прямой, но это действие выполняется в два шага: первым делом мы получаем общее уравнение прямой, а вторым – преобразуем его в уравнение указанного типа. Разберем пример такой задачи.
Решение
Для начала преобразуем исходное каноническое уравнение в общее уравнение прямой.
Далее переходим к формулировке уравнения прямой в отрезках.
У нас получилось нужное нам каноническое уравнение прямой на плоскости.
Решение
Таким же образом мы поступаем, если нам нужно привести к каноническому виду уравнение прямой в отрезках и уравнение прямой с угловым коэффициентом.
Наиболее простая задача – переход от параметрических уравнений к каноническим. Нужно просто выразить параметр λ в системе уравнений x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ и приравнять обе части равенств. Схема решения выглядит так:
Если значение одного из параметров a будет нулевым, мы поступаем точно таким же образом.
Решение
Как решать задачи на составление канонических уравнений
В первую очередь канонические уравнения используются для тех задач, где нужно выяснить, принадлежит ли некоторая точка заданной прямой или нет. Вспомним, что в случае, если точка лежит на прямой, ее координаты будут удовлетворять уравнению этой прямой.
Решение
Для проверки принадлежности необходимо подставить координаты точки в исходное уравнение и проверить, получим ли мы в итоге верное равенство.
Точно так же поступим и с координатами второй точки:
Получившееся в итоге равенство не является верным, значит, эта точка заданной прямой не принадлежит.
Ответ: первая точка лежит на заданной прямой, а вторая нет.
Решение
Равенство верное, значит, эта точка расположена на заданной прямой.
Далее мы посмотрим, какие еще типичные задачи на нахождение канонического уравнения можно встретить. Возьмем примеры с разными условиями.
Наиболее простыми являются задачи на нахождение канонического уравнения прямой на плоскости, в которых уже заданы координаты некой точки, лежащей на прямой. В первой части материала мы уже приводили пример решения такой задачи.
Чуть сложнее будет найти нужное уравнение, если нам предварительно нужно будет вычислить координаты направляющего вектора исходной прямой. Чаще всего встречаются задачи, в которой нужная прямая проходит через две точки с известными координатами.
Решение
Ответ: x 2 = y + 3 1
Посмотрим, как нужно составлять канонические уравнения прямой на плоскости в том случае, если направляющий вектор этой прямой нужно вычислять исходя из параллельных или перпендикулярных ей прямых.
Решение
Решение
Кривые второго порядка. Канонический вид уравнений второго порядка.
Кривая второго порядка — геометрическое место точек на плоскости, прямоугольные координаты
которых удовлетворяют уравнению вида:
в котором, по крайней мере один из коэффициентов a11, a12, a22 не равен нулю.
Инварианты кривых второго порядка.
Вид кривой зависим от 4 инвариантов, приведенных ниже:
— инварианты относительно поворота и сдвига системы координат:
— инвариант относительно поворота системы координат (полуинвариант):
Для изучения кривых второго порядка рассматриваем произведение А*С.
Общее уравнение кривой второго порядка выглядит так:
Ax 2 +2Bxy+Cy 2 +2Dx+2Ey+F=0
— Если А*С > 0, то уравнение принимает вид уравнения эллиптического типа. Любое эллиптическое
уравнение – это уравнение или обычного эллипса, или же вырожденного эллипса (точки), или мнимого
эллипса (в таком случае уравнение не определяет на плоскости ни одного геометрического образа);
уравнение выражает или простую гиперболу, или вырожденную гиперболу (две пересекающиеся прямые);
— Если А*С = 0, то линия второго порядка не будет центральной. Уравнения такого типа называют
уравнениями параболического типа и выражают на плоскости или простую параболу, или 2 параллельных
(либо совпадающих) прямых, или не выражают на плоскости ни одного геометрического образа;
— Если А*С ≠ 0, кривая второго порядка будет центральной;
Таким образом, виды кривых второго порядка:
Канонический вид уравнений второго порядка.
Вводя новую систему координат можно привести уравнения кривых второго порядка к стандартному
каноническому виду. Характеристики канонических уравнений очень легко выражаются через инварианты
Δ, D, I и корни характеристического уравнения 
.
Кривые второго порядка. Канонический вид уравнений второго порядка.
Кривая второго порядка — геометрическое место точек на плоскости, прямоугольные координаты
которых удовлетворяют уравнению вида:
в котором, по крайней мере один из коэффициентов a11, a12, a22 не равен нулю.
Инварианты кривых второго порядка.
Вид кривой зависим от 4 инвариантов, приведенных ниже:
— инварианты относительно поворота и сдвига системы координат:
— инвариант относительно поворота системы координат (полуинвариант):
Для изучения кривых второго порядка рассматриваем произведение А*С.
Общее уравнение кривой второго порядка выглядит так:
Ax 2 +2Bxy+Cy 2 +2Dx+2Ey+F=0
— Если А*С > 0, то уравнение принимает вид уравнения эллиптического типа. Любое эллиптическое
уравнение – это уравнение или обычного эллипса, или же вырожденного эллипса (точки), или мнимого
эллипса (в таком случае уравнение не определяет на плоскости ни одного геометрического образа);
уравнение выражает или простую гиперболу, или вырожденную гиперболу (две пересекающиеся прямые);
— Если А*С = 0, то линия второго порядка не будет центральной. Уравнения такого типа называют
уравнениями параболического типа и выражают на плоскости или простую параболу, или 2 параллельных
(либо совпадающих) прямых, или не выражают на плоскости ни одного геометрического образа;
— Если А*С ≠ 0, кривая второго порядка будет центральной;
Таким образом, виды кривых второго порядка:
Канонический вид уравнений второго порядка.
Вводя новую систему координат можно привести уравнения кривых второго порядка к стандартному
каноническому виду. Характеристики канонических уравнений очень легко выражаются через инварианты
Δ, D, I и корни характеристического уравнения .
