Что выражают соотношения неопределенностей в квантовой механике

Принцип неопределенности Гейзенберга. Причина криз

Принцип неопределенности Гейзенберга. Причина кризиса фундаментальной науки.

Поговорим о важном принципе Гейзенберга. Об этом принципе можно прочитать в любой литературе по квантовой механике следующее: «Приведенный выше эксперимент ясно указывает на то, что точное знание координаты электрона означает полное незнание его импульса, и наоборот. Такая ситуация совер­шенно необъяснима с точки зрения классической физики. Немало усилий было приложено физиками для устранения возникшего противоречия с целью сохранения классичес­кого идеала описания движения физических объектов. Наиболее революционно настроенные ученые посчитали, что подобное неклассическое поведение объектов в микро­мире требует критического пересмотра самого понятия «ча­стицы», точно локализованной во времени и пространстве. Можно говорить лишь о вероятности того, где в данный момент времени находится частица, и это является неиз­бежным следствием введения в физическую теорию посто­янной Планка, представлений о квантовых скачках. Фи­зическая интерпретация «неклассического» поведения мик­рообъектов была впервые дана Вернером Гейзенбергом, указавшим на необходимость отказа от представлений об объектах микромира как об объектах, движущихся по стро­го определенным траекториям, для которых однозначно с полной определенностью могут быть одновременно указа­ны и координата и импульс частицы в любой заданный момент времени. Надо принять в качестве закона, описы­вающего движение микрообъектов, тот факт, что знание точной координаты частицы приводит к полной неопреде­ленности ее импульса, и наоборот, точное знание импуль­са частицы — к полной неопределенности ее координаты. Исходя из созданного им математического аппарата кван­товой механики, Гейзенберг установил предельную точность, с которой можно одновременно определить координату и импульс микрочастицы, и получил следующее соотношение неопределенностей этих значений:
дельта Х * дельта Рх >_ h

Источник

Соотношение неопределенностей в квантовой механике. Соотношение неопределенностей Гейзенберга (кратко)

Квантовая механика имеет дело с объектами микромира, с наиболее элементарными составляющими материи. Поведение их определяется вероятностными законами, проявляющимися в форме корпускулярно-волновой двойственности – дуализма. Кроме того, важную роль в их описании играет такая фундаментальная величина, как физическое действие. Естественной единицей, задающей масштаб квантования этой величины, является постоянная Планка. Она же управляет и одним из основополагающих физических принципов – соотношением неопределенностей. Это простое на вид неравенство отражает естественный предел, до которого природа может ответить одновременно на некоторые наши вопросы.

Предпосылки вывода соотношения неопределенностей

Вам будет интересно: Йозеф Шумпетер, «Теория экономического развития»: направление, методы и проблемы развития

Вероятностная интерпретация волновой природы частиц, введенная в науку М. Борном в 1926 г., четко указывала на то, что к явлениям на масштабах атомов и электронов неприменимы классические представления о движении. В то же время и некоторые аспекты матричной механики, созданной В. Гейзенбергом как метод математического описания квантовых объектов, потребовали выяснения их физического смысла. Так, этот метод оперирует дискретными наборами наблюдаемых величин, представляемыми в виде особых таблиц – матриц, а их перемножение обладает свойством некоммутативности, проще говоря, A×B ≠ B×A.

Вам будет интересно: Челябинский военный авиационный институт штурманов: устремленных ЧВВАКУШ ставит на крыло!

Применительно к миру микрочастиц это можно интерпретировать следующим образом: результат операций по измерению параметров A и B зависит от порядка их проведения. Кроме того, неравенство означает, что эти параметры нельзя измерить одновременно. Гейзенберг исследовал вопрос о взаимосвязи измерения с состоянием микрообъекта, поставив мысленный эксперимент по достижению предела точности одновременного измерения таких параметров частицы, как импульс и координата (подобные переменные называют канонически сопряженными).

Формулировка принципа неопределенности

Результатом усилий Гейзенберга стал вывод в 1927 г. следующего ограничения на применимость к квантовым объектам классических понятий: с повышением точности в определении координаты падает точность, с которой может быть известен импульс. Справедливо и обратное. Математически это ограничение выразилось в соотношении неопределенностей: Δx∙Δp ≈ h. Здесь x – координата, p – импульс, и h – постоянная Планка. Позднее Гейзенберг уточнил соотношение: Δx∙Δp ≥ h. Произведение «дельт» – разбросов в значении координаты и импульса, – имеющее размерность действия, не может оказаться меньше, нежели «мельчайшая порция» этой величины – постоянная Планка. Как правило, в формулах используют приведенную постоянную Планка ħ = h/2π.

Вышеприведенное соотношение носит обобщенный характер. Необходимо учитывать, что оно справедливо лишь для каждой пары координата – компонента (проекция) импульса на соответствующую ось:

Кратко соотношение неопределенностей Гейзенберга можно выразить так: чем меньше область пространства, в которой движется частица, тем более неопределенным является ее импульс.

Мысленный опыт с гамма-микроскопом

В качестве иллюстрации к открытому им принципу Гейзенберг рассмотрел воображаемое устройство, позволяющее измерять положение и скорость (а через нее импульс) электрона сколь угодно точно путем рассеяния на нем фотона: ведь любое измерение сводится к акту взаимодействия частиц, без этого частицу вообще невозможно обнаружить.

Чтобы повысить точность измерения координаты, нужен более коротковолновый фотон, значит, он будет обладать большим импульсом, значительную часть которого при рассеянии передаст электрону. Эту часть определить нельзя, поскольку фотон рассеивается на частице случайным образом (притом что импульс – величина векторная). Если же фотон характеризуется малым импульсом, то у него большая длина волны, следовательно, координата электрона будет измерена с существенной погрешностью.

Вам будет интересно: Железнодорожные институты Санкт-Петербурга: описание, история, структура

Принципиальный характер соотношения неопределенностей

В квантовой механике постоянная Планка, как уже отмечалось выше, играет особую роль. Эта фундаментальная константа входит практически во все уравнения данного раздела физики. Ее присутствие в формуле соотношения неопределенностей Гейзенберга, во-первых, указывает на масштаб, в котором эти неопределенности проявляются, и, во-вторых, говорит о том, что это явление связано не с несовершенством средств и методов измерения, а со свойствами самой материи и носит универсальный характер.

Может показаться, что в действительности частица все-таки обладает конкретными значениями скорости и координаты одновременно, а неустранимые помехи в их установление вносит акт измерения. Однако это не так. Движение квантовой частицы связано с распространением волны, амплитуда которой (точнее, квадрат ее абсолютного значения) указывает на вероятность нахождения в той или иной точке. Это означает, что у квантового объекта отсутствует траектория в классическом смысле. Можно сказать, что он обладает набором траекторий, и все они, соответственно их вероятности, осуществляются при движении (это подтверждено, например, экспериментами по интерференции электронной волны).

Отсутствие классической траектории равнозначно отсутствию у частицы таких состояний, в которых импульс и координаты характеризовались бы точными значениями одновременно. В самом деле, бессмысленно говорить о «длине волны в некоторой точке», а так как импульс связан с длиной волны соотношением де Бройля p = h/λ, частица, обладающая определенным импульсом, не имеет определенной координаты. Соответственно, если микрообъект обладает точной координатой, совершенно неопределенным становится импульс.

Неопределенность и действие в микро- и макромире

Физическое действие частицы выражается через фазу волны вероятности с коэффициентом ħ = h/2π. Следовательно, действие, как фаза, управляющая амплитудой волны, связано со всеми вероятными траекториями, и вероятностная неопределенность в отношении параметров, образующих траекторию, принципиально неустранима.

Действие пропорционально координате и импульсу. Эту величину можно представить и как разность между кинетической и потенциальной энергией, проинтегрированную по времени. Короче говоря, действие – это мера того, как изменяется движение частицы за некоторое время, и оно зависит, в частности, от ее массы.

В случае если действие значительно превышает постоянную Планка, наиболее вероятной становится траектория, определяемая такой амплитудой вероятности, которой соответствует наименьшее действие. Соотношение неопределенностей Гейзенберга кратко выражает то же самое, если его видоизменить с учетом того, что импульс равен произведению массы m на скорость v: Δx∙Δvx ≥ ħ/m. Сразу становится видно, что с увеличением массы объекта неопределенности становятся все меньше, и при описании движения макроскопических тел вполне применима классическая механика.

Энергия и время

Принцип неопределенности справедлив и для других сопряженных величин, представляющих динамические характеристики частиц. Таковыми, в частности, являются энергия и время. Они тоже, как уже было отмечено, определяют действие.

Соотношение неопределенностей энергия – время имеет вид ΔE∙Δt ≥ ħ и показывает, как связаны точность значения энергии частицы ΔE и промежуток времени Δt, на протяжении которого нужно эту энергию оценить. Так, нельзя утверждать, что частица может обладать строго определенной энергией в некоторый точный момент времени. Чем более короткий период Δt мы будем рассматривать, тем в больших пределах будет флуктуировать энергия частицы.

Электрон в атоме

Можно оценить, используя соотношение неопределенностей, ширину энергетического уровня, например, атома водорода, то есть разброс значений энергии электрона в нем. В основном состоянии, когда электрон пребывает на низшем уровне, атом может существовать бесконечно долго, иначе говоря, Δt→∞ и, соответственно, ΔE принимает нулевое значение. В возбужденном же состоянии атом пребывает лишь некоторое конечное время порядка 10-8 с, а значит, обладает неопределенностью энергии ΔE = ħ/Δt ≈ (1,05∙10-34 Дж∙с)/(10-8 с) ≈ 10-26 Дж, что составляет около 7∙10-8 эВ. Следствием этого является неопределенность частоты излучаемого фотона Δν = ΔE/ħ, проявляющаяся как наличие у спектральных линий некоторой размытости и так называемой естественной ширины.

Мы можем также путем несложных вычислений, используя соотношение неопределенностей, оценить и ширину разброса координаты электрона, проходящего через отверстие в препятствии, и минимальные размеры атома, и величину его низшего энергетического уровня. Соотношение, выведенное В. Гейзенбергом, помогает в решении множества задач.

Философское осмысление принципа неопределенности

Наличие неопределенностей часто ошибочно трактуется как свидетельство полного хаоса, якобы царящего в микромире. Но их соотношение говорит нам совсем другое: всегда выступая попарно, они как бы налагают друг на друга вполне закономерное ограничение.

Соотношение, взаимно увязывающее неопределенности динамических параметров, является естественным следствием двойственной – корпускулярно-волновой – природы материи. Поэтому оно послужило основой для идеи, выдвинутой Н. Бором с целью интерпретации формализма квантовой механики – принципа дополнительности. Всю информацию о поведении квантовых объектов мы можем получать только посредством макроскопических приборов, и неизбежно вынуждены пользоваться понятийным аппаратом, выработанным в рамках классической физики. Таким образом, мы имеем возможность исследовать либо волновые свойства таких объектов, либо корпускулярные, но никогда – одновременно те и другие. В силу этого обстоятельства мы должны рассматривать их не как противоречащие, а как дополнительные друг к другу. А простая формула соотношения неопределенностей указывает нам на границы, вблизи которых необходимо подключать принцип дополнительности для адекватного описания квантово-механической реальности.

Источник

Что выражают соотношения неопределенностей в квантовой механике

Согласно двойственной корпускулярно-волновой природе частиц вещества, для описания микрочастиц используются то волновые, то корпускулярные представления. Поэтому приписывать им все свойства частиц и все свойства волн нельзя. Естественно, что необходимо внести некоторые ограничения в применении к объектам микромира понятий классической механики.

В классической механике состояние материальной точки (классической частицы) определяется заданием значений координат, импульса, энергии и т.д. (перечисленные величины называются динамическими переменными). Строго говоря, микрообъекту не могут быть приписаны указанные динамические переменные. Однако, информацию о микрочастицах мы получаем, наблюдая их взаимодействие с приборами, представляющими собой макроскопические тела. Поэтому результаты измерений поневоле выражаются в терминах, разработанных для характеристики макротел, т.е. через значения динамических характеристик. В соответствии с этим измеренные значения динамических переменных приписываются микрочастицам. Например, говорят о состоянии электрона, в котором он имеет такое-то значение энергии, и т.д.

Волновые свойства частиц и возможность задать для частицы лишь вероятность ее пребывания в данной точке пространства приводят к тому, что сами понятия координаты частицы и ее скорости (или импульса) могут применяться в квантовой механике в ограниченной мере. В этом, вообще говоря, нет ничего удивительного. В классической физике понятие координаты в ряде случаев тоже непригодно для определения положения объекта в пространстве. Например, не имеет смысла говорить о том, что электромагнитная волна находится в данной точке пространства или что положение фронта волновой поверхности на воде характеризуется координатами x, y, z.

Корпускулярно-волновая двойственность свойств частиц, изучаемых в квантовой механике, приводит к тому, что в ряде случаев оказывается невозможным, в классическом смысле, одновременно характеризовать частицу ее положением в пространстве (координатами) и скоростью (или импульсом). Так, например, электрон (и любая другая микрочастица) не может иметь одновременно точных значений координаты x и компоненты импульса . Неопределенности значений x и удовлетворяют соотношению:

Из (4.2.1) следует, что чем меньше неопределенность одной величины (x или ), тем больше неопределенность другой. Возможно, такое состояние, в котором одна их переменных имеет точное значение ( ), другая переменная при этом оказывается совершенно неопределенной ( – ее неопределенность равна бесконечности), и наоборот. Таким образом, для микрочастицы не существует состояний, в которых ее координаты и импульс имели бы одновременно точные значения. Отсюда вытекает и фактическая невозможность одновременного измерения координаты и импульса микрообъекта с любой наперед заданной точностью.

Соотношение, аналогичное (4.2.1), имеет место для y и , для z и , а также для других пар величин (в классической механике такие пары называются канонически сопряженными). Обозначив канонически сопряженные величины буквами A и B, можно записать:

.

(4.2.2)

Соотношение (4.2.2) называется соотношением неопределенностей для величин A и B. Это соотношение ввёл в 1927 году Вернер Гейзенберг.

Вернер Гейзенберг (1901–1976) – всемирно известный немецкий физик, создатель «матричной квантовой механики», лауреат Нобелевской премии (1932 г.) за создание квантовой механики. Работы относятся к квантовой механике, квантовой электродинамике, релятивистской квантовой теории поля, теории ядра, магнетизму, физике космических лучей, теории элементарных частиц, философии естествознания.

Утверждение о том, что произведение неопределенностей значений двух сопряженных переменных не может быть по порядку меньше постоянной Планка h, называется соотношением неопределенностей Гейзенберга.

Энергия и время являются канонически сопряженными величинами. Поэтому для них также справедливо соотношение неопределенностей:

Это соотношение означает, что определение энергии с точностью должно занять интервал времени, равный, по меньшей мере,

.

Соотношение неопределенностей получено при одновременном использовании классических характеристик движения частицы (координаты, импульса) и наличии у нее волновых свойств. Т.к. в классической механике принимается, что измерение координаты и импульса может быть произведено с любой точностью, то соотношение неопределенностей является, таким образом, квантовым ограничением применимости классической механики к микрообъектам.

Соотношение неопределенностей указывает, в какой мере возможно пользоваться понятиями классической механики применительно к микрочастицам, в частности с какой степенью точности можно говорить о траекториях микрочастиц. Движение по траектории характеризуется вполне определенными значениями координат и скорости в каждый момент времени. Подставив в (4.2.1) вместо произведение , получим соотношение:

Из этого соотношения следует, что чем больше масса частицы, тем меньше неопределенности ее координаты и скорости, следовательно тем с большей точностью можно применять к этой частице понятие траектории. Так, например, уже для пылинки массой кг и линейными размерами м, координата которой определена с точностью до 0,01 ее размеров ( м), неопределенность скорости, по (4.2.4),

т.е. не будет сказываться при всех скоростях, с которыми пылинка может двигаться.

Таким образом, для макроскопических тел их волновые свойства не играют никакой роли; координаты и скорости могут быть измерены достаточно точно. Это означает, что для описания движения макротел с абсолютной достоверностью можно пользоваться законами классической механики.

Предположим, что пучок электронов движется вдоль оси x со скоростью м/с, определяемой с точностью до 0,01% ( м/с). Какова точность определения координаты электрона?

По формуле (4.2.4) получим:

.

Таким образом, положение электрона может быть определено с точностью до тысячных долей миллиметра. Такая точность достаточна, чтобы можно было говорить о движении электронов по определенной траектории иными словами, описывать их движения законами классической механики.

Применим соотношение неопределенностей к электрону, двигающемуся в атоме водорода. Допустим, что неопределенность координаты электрона м (порядка размеров самого атома), тогда, согласно (4.2.4),

.

Используя законы классической физики, можно показать, что при движении электрона вокруг ядра по круговой орбите радиуса приблизительно м его скорость м/с. Таким образом, неопределенность скорости в несколько раз больше самой скорости. Очевидно, что в данном случае нельзя говорить о движении электронов в атоме по определенной траектории. Иными словами, для описания движения электронов в атоме нельзя пользоваться законами классической физики.

Источник