Что выражает отношение дифференциалов функции и независимой переменной

Дифференциал независимой переменной

ТЕМА 3.1. ПРОИЗВОДНАЯ

Производная

Пусть функция у = f(x) определена и непрерывна на (a, b), пусть x₀ Î (a, b). Дадим в точке х₀ приращение аргументу Dх так, что точка х₀ +Dх Î (a, b). Тогда функция получит соответствующее приращение Dу = f(x₀+Dx)- f(x₀).

Определение 3.1. Производной функции в данной точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю, если этот предел существует и конечен. Функция называется дифференцируемой в точке х₀.

Определение 3.2. Функция называется дифференцируемой на множестве А Ì R, если она дифференцируема в каждой точке множества А.

Геометрический смысл производной

Определение 3.3. Касательной к плоской кривой называется предельное положение секущей, когда вторая точка пересечения неограниченно приближается по кривой к первой точке (рис. 3.1).

Дадим приращение аргументу Dх так, что точка х₀ + Dх Î (a, b). Функция получит приращение

При ∆x ® 0 A ® B, секущая стремится к касательной, a ® j, tga ® tgj,

Переходя к пределу при ∆x ® 0 в равенстве получим

Производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции в данной точке.

Связь между непрерывностью
и дифференцируемостью функции

Теорема 3.1. (необходимое условие дифференцируемости функции).Если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Пусть функция у = f(x)дифференцируема в точке х₀. Дадим в этой точке аргументу приращение Dх. Функция получит приращение Dу. Найдем

Утверждение, обратное теореме, не верно. Из непрерывности не следует дифференцируемость.

Следствие. Если х₀ ¾ точка разрыва функции, то в ней функция не дифференцируема.

В точке х₀=0функция непрерывна, но производной не существует.

Свойства производных

Теорема 3.2. Производная постоянной функции равна нулю.

Теорема 3.3. Если функции u, v, w дифференцируемы в некоторой точке, то и их алгебраическая сумма также дифференцируема в этой точке, причем производная алгебраической суммы равна алгебраической сумме производных и выполняется равенство

Теорема 3.3. Если функции u и v дифференцируемы в некоторой точке, то и их произведение также дифференцируемо в этой точке, причем выполняется равенство

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак производной.

Теорема 3.3. Если функции u и v дифференцируемы в некоторой точке и функция v в этой точке отлична от нуля, то существует производная частного в этой точке, причем

Производные от элементарных функций

Справедливы следующие формулы:

Пример 3.1.Найти производные функции:

б) y = (1 + x 2 ) × arctg x;

а) Используя правила дифференцирования, получим:

б) Используя правила дифференцирования, получим:

в) Используя правила дифференцирования, получим:

Дифференциал

Определение 3.3. Главная линейная относительно Dх часть малого приращения функции называется дифференциалом функции и обозначается dy.

Если приращение функции можно представить в виде ∆y = k∆x +a(x), где a(∆x) ¾ б. м. функция более высокого порядка, чем Dх при ∆x ®0

Теорема 3.8. Функция не может иметь двух различных дифференциалов.

Дифференциал независимой переменной

Рассмотрим функцию у = х, dy = dx. Из теорем о связи производной и дифференциала следует, что:

Дифференциал независимой переменной равен малому приращению этой переменной.

Таким образом, получена формула для вычисления дифференциала функции:

Дифференциал функции равен произведению производной функции в данной точке на дифференциал независимой переменной.

Пример 3.3Найти среднюю скорость движения тела, совершаемого по закону S = 6t 2 + 1, для промежутка времени от t₁ = 1 до t₂ = 3.

План решения

1. Найти мгновенную скорость v(t) = S’(t) в момент времени t, воспользовавшись формулами:

Источник

При выполнении некоторых расчётов в исследованиях, проектировании, анализе полученных опытных путём данных часто возникает необходимость предварительной прикидки результата, которую удобно выполнять, используя дифференциал функции. Приближённые вычисления, выполненные с его помощью, могут дать новые направления дальнейшего изучения объектов и их разработок.

Понятие и геометрический смысл дифференциала

Пусть y = f (x) имеет производную

Применяя свойства предела функции, получают равенство

После умножения обеих частей на приращение аргумента Δx, образуется тождество:

в котором в правой части записано слагаемое, являющееся бесконечно малой одного порядка с Δx, далее идет слагаемое более высокого порядка.

Определение 1

Дифференциалом функции y = f (x) первого порядка называется главная часть её приращения f′(x)Δx, которую обозначают dy (или d(f(x)).

Для наглядного представления и понимания определения рассматривается касательная к графику функции y = f(x) в точке x. Когда значение переменной сдвигается по построенной прямой (получает приращение) на некоторую малую величину Δx, значение второй координаты точки тоже меняется.

Значит, дифференциал функции y = f(x) в точке x равен приращению ординаты касательной, когда её абсцисса меняется на величину Δx.

Определение 2

Дифференциал от дифференциала называется дифференциалом второго порядка. Таким же рекуррентным образом вводятся понятия дифференциалов более высоких порядков.

Формы записи дифференциала

Для нахождения дифференциала независимой переменной рассматривают функцию y = x, учитывая, что x’ = 1, а, следовательно:

Отсюда получается формула:

Для второго порядка вводится обозначение d 2 y.

Свойства дифференциала

Существующая таблица производных помогает выделить некоторые свойства дифференциалов, например, для суммы, произведения, частного получаются следующие правила:

Одним из важных свойств является инвариантность (неизменность) формы записи, независимо от того, является ли функция элементарной или композицией элементарных (сложной). Фактически,

Примеры решения задач

Задача №1

Найти дифференциал функции

Задача №2

Вычислить значение дифференциала функции

В помощь студентам создан онлайн калькулятор, который позволяет ввести функцию, нажать кнопку и получить форму или значение дифференциала.

Если dx есть константа, то для высших порядков имеет место следующая формула:

Этот результат вытекает непосредственно из определения:

Задача №3

Найти d 2 y, если y = cos2x и x – независимая переменная.

Если x – функция от некоторой другой независимой переменной, то свойство инвариантности перестаёт работать, следовательно,

Задача №4

Найти d 2 y, если y = x 2 и x = t 3 + 1, t – независимый аргумент.

Нетрудно заметить, что если выразить y напрямую через t, то получится тот же результат.

с высокой степенью точности можно вычислить приращение любой дифференцируемой зависимости.

Раскрыв Δy, сделав соответствующие преобразования, приходят к формуле приближённых вычислений:

Задача №5

Вычислить приближённо arctg1,05.

Пусть f(x) = arctg x. Тогда

Полный дифференциал функции

Математика не ограничивается множеством функций одного независимого аргумента. Рассматриваются зависимости от двух и более переменных.

Определения похожи, отличается вид главной части. Рассматриваются несколько слагаемых.

Например, если z = f(x;y) то

Последнее равенство есть формула полного дифференциала. Для функции нескольких переменных сохраняется принцип построения.

Если рассматривают приращения только по одной переменной, то приходят к понятию частных дифференциалов.

Заключение

Высшая математика позволяет находить приближённо общий корень системы уравнений, пользуясь дифференциальным исчислением, делать прикидку результатов, прогнозировать получаемое.

Источник

Что выражает отношение дифференциалов функции и независимой переменной

При дифференцировании различают функции по способу их задания: явные, неявные и параметрические.

Производной функции y = f ( x ) по переменной x в некоторой точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю, то есть

Производная характеризует скорость изменения функции в достаточно малой окрестности заданной точки.

Приведем таблицу производных основных элементарных функций (без доказательства), которые рассматриваются нами как функции простые и явно заданные.

Следствие. В точках разрыва функция производной не имеет

Существуют такие точки, в которых функция непрерывна, но не дифференцируема. Так, функция y =| x | в точке x =0 непрерывна, но производной не имеет, так как в этой точке к графику функции можно провести бесконечное множество касательных (рис. 3.6). Такие точки называются угловыми или точками излома функции. Данный случай показывает, что обратное утверждение к теореме 3.9 неверно.

Среди явных функций особое место занимают обратные функции, производная которых находится с помощью следующей теоремы.

Теорема 3.10. Если строго монотонная функция y = f ( x ) дифференцируема на некотором интервале Х, причем ее производная не обращается в нуль на Х, то обратная к ней функция x = φ ( y ) также дифференцируема на этом интервале, при этом:

По определению производной можно записать:

Среди явных функций выделяют класс сложных функций.

Теорема 3.11. Чтобы продифференцировать сложную функцию необходимо сначала продифференцировать внешнюю функцию по внутренней, считая внутреннюю функцию независимой переменной, затем продифференцировать внутреннюю функцию по независимому переменному и результаты дифференцирования перемножить, то есть

Решение. Согласно формуле (3.31) и с учетом табли чных формул (3.17), (3.19), (3.29) имеем:

где t – параметр. Производную такой функции несложно получить:

Пример 3.9. Найти производную функции .

Решение. Согласно формуле (3.32) и с учетом табличных формул (3.18), (3.19) имеем:

Помимо таблицы производных имеют место правила дифференцирования.

Теорема 3.12. Производная суммы двух дифференцируемых функций равна сумме производных этих функций:

Данная теорема может быть обобщена для произвольного конечного числа функций-слагаемых.

Решение. Согласно формулам (3.33) и (3.31) и с учетом табличных формул (3.17), (3.20), (3.23) имеем:

Теорема 3.13. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первой функции-сомножителя на вторую функцию плюс произведение первой функции на производную второй функции–сомножителя, то есть

Решение. Согласно формуле (3.34) и с учетом табличных формул (3.22), (3.24) имеем:

Теорема 3.14. Производная частного двух функций равна дроби, у которой знаменатель есть квадрат знаменателя данной дроби, а числитель есть разность между произведением знаменателя на производную числителя и произведением числителя на производную знаменателя, то есть

Решение. Согласно формуле (3.35) и с учетом табличных формул (3.17), (3.29) имеем:

Решение. Согласно формуле (3.31) дифференцирования сложной функции и (3.34) производной произведения, с учетом табличных формул (3.17) и (3.18) имеем:

Дифференциалом функции y = f ( x ) в точке x называется главная часть приращения этой функции, равная произведению производной функции на приращение аргумента:

Формула (3.39) применяется для вычисления приближенных значений функций.

Источник

Дифференциал независимой переменной

ТЕМА 3.1. ПРОИЗВОДНАЯ

Производная

Пусть функция у = f(x) определена и непрерывна на (a, b), пусть x₀ Î (a, b). Дадим в точке х₀ приращение аргументу Dх так, что точка х₀ +Dх Î (a, b). Тогда функция получит соответствующее приращение Dу = f(x₀+Dx)- f(x₀).

Определение 3.1. Производной функции в данной точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю, если этот предел существует и конечен. Функция называется дифференцируемой в точке х₀.

Определение 3.2. Функция называется дифференцируемой на множестве А Ì R, если она дифференцируема в каждой точке множества А.

Геометрический смысл производной

Определение 3.3. Касательной к плоской кривой называется предельное положение секущей, когда вторая точка пересечения неограниченно приближается по кривой к первой точке (рис. 3.1).

Дадим приращение аргументу Dх так, что точка х₀ + Dх Î (a, b). Функция получит приращение

При ∆x ® 0 A ® B, секущая стремится к касательной, a ® j, tga ® tgj,

Переходя к пределу при ∆x ® 0 в равенстве получим

Производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции в данной точке.

Связь между непрерывностью
и дифференцируемостью функции

Теорема 3.1. (необходимое условие дифференцируемости функции).Если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Пусть функция у = f(x)дифференцируема в точке х₀. Дадим в этой точке аргументу приращение Dх. Функция получит приращение Dу. Найдем

Утверждение, обратное теореме, не верно. Из непрерывности не следует дифференцируемость.

Следствие. Если х₀ ¾ точка разрыва функции, то в ней функция не дифференцируема.

В точке х₀=0функция непрерывна, но производной не существует.

Свойства производных

Теорема 3.2. Производная постоянной функции равна нулю.

Теорема 3.3. Если функции u, v, w дифференцируемы в некоторой точке, то и их алгебраическая сумма также дифференцируема в этой точке, причем производная алгебраической суммы равна алгебраической сумме производных и выполняется равенство

Теорема 3.3. Если функции u и v дифференцируемы в некоторой точке, то и их произведение также дифференцируемо в этой точке, причем выполняется равенство

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак производной.

Теорема 3.3. Если функции u и v дифференцируемы в некоторой точке и функция v в этой точке отлична от нуля, то существует производная частного в этой точке, причем

Производные от элементарных функций

Справедливы следующие формулы:

Пример 3.1.Найти производные функции:

б) y = (1 + x 2 ) × arctg x;

а) Используя правила дифференцирования, получим:

б) Используя правила дифференцирования, получим:

в) Используя правила дифференцирования, получим:

Дифференциал

Определение 3.3. Главная линейная относительно Dх часть малого приращения функции называется дифференциалом функции и обозначается dy.

Если приращение функции можно представить в виде ∆y = k∆x +a(x), где a(∆x) ¾ б. м. функция более высокого порядка, чем Dх при ∆x ®0

Теорема 3.8. Функция не может иметь двух различных дифференциалов.

Дифференциал независимой переменной

Рассмотрим функцию у = х, dy = dx. Из теорем о связи производной и дифференциала следует, что:

Дифференциал независимой переменной равен малому приращению этой переменной.

Таким образом, получена формула для вычисления дифференциала функции:

Дифференциал функции равен произведению производной функции в данной точке на дифференциал независимой переменной.

Пример 3.3Найти среднюю скорость движения тела, совершаемого по закону S = 6t 2 + 1, для промежутка времени от t₁ = 1 до t₂ = 3.

План решения

1. Найти мгновенную скорость v(t) = S’(t) в момент времени t, воспользовавшись формулами:

Источник