Треугольник kmn прямоугольный с прямым углом h известно что km 10

Треугольник kmn прямоугольный с прямым углом h известно что km 10

При выполнении заданий с кратким ответом впишите в поле для ответа цифру, которая соответствует номеру правильного ответа, или число, слово, последовательность букв (слов) или цифр. Ответ следует записывать без пробелов и каких-либо дополнительных символов. Дробную часть отделяйте от целой десятичной запятой. Единицы измерений писать не нужно.

Если вариант задан учителем, вы можете вписать или загрузить в систему ответы к заданиям с развернутым ответом. Учитель увидит результаты выполнения заданий с кратким ответом и сможет оценить загруженные ответы к заданиям с развернутым ответом. Выставленные учителем баллы отобразятся в вашей статистике.

Стороны KM и MN треугольника KMN равны соответственно 30 и 25, а его высота MH равна 24. Найдите расстояние между центрами окружностей, вписанных в треугольники KMH и MNH.

Дан прямоугольник KLMN со сторонами: KN = 11, MN = 8. Прямая, проходящая через вершину M, касается окружности с центром K радиуса 4 и пересекается с прямой KN в точке Q. Найдите QK.

Угол C треугольника ABC равен 60°, D — отличная от A точка пересечения окружностей, построенных на сторонах AB и AC как на диаметрах. Известно, что DB : DC = 2 : 3. Найдите угол A.

Высоты BB₁ и CC₁ остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H.

б) Найдите BC, если и ∠BAC = 60°.

Боковые стороны KL и MN трапеции KLMN равны 7 и 25 соответственно. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен 12, средняя линия трапеции равна 60. Прямые KL и MN пересекаются в точке А. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ALM.

Вневписанной окружностью треугольника называется окружность, касающаяся одной стороны треугольника и продолжений двух других его сторон. Радиусы двух вневписанных окружностей прямоугольного треугольника равны 7 и 17. Найдите расстояние между их центрами.

Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны 6 и 8 соответственно. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен 5, средняя линия трапеции равна 25. Прямые AB и CD пересекаются в точке M. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник BMC.

Дан треугольник со сторонами 115, 115 и 184. Внутри него расположены две равные касающиеся окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника. Найдите радиусы окружностей.

Дан равнобедренный треугольник ABC с основанием AC. Вписанная в него окружность с центром O касается боковой стороны BC в точке P и пересекает биссектрису угла B в точке Q.

а) Докажите, что отрезки PQ и OC параллельны.

б) Найдите площадь треугольника OBC, если точка O делит высоту BD треугольника в отношении BO : OD = 3 : 1 и AC = 2m.

Дан ромб ABCD с диагоналями AC = 24 и BD = 10. Проведена окружность радиуса с центром в точке пересечения диагоналей ромба. Прямая, проходящая через вершину B касается этой окружности и пересекает прямую CD в точке M. Найдите CM.

В параллелограмме ABCD биссектрисы углов при стороне AD делят сторону BC точками M и N так, что BM : MN = 1 : 2. Найдите BC если AB = 12.

В треугольнике Точка D лежит на прямой BC причем Окружности, вписанные в каждый из треугольников ADC и ADB касаются стороны AD в точках E и F. Найдите длину отрезка EF.

б) Найдите сумму квадратов всех сторон этого шестиугольника, если известно, что АВ = 4, ВС = 7 и АС = 8.

В треугольнике Точка D лежит на прямой BC причем Окружности, вписанные в каждый из треугольников ADC и ADB касаются стороны AD в точках E и F. Найдите длину отрезка EF.

Боковые стороны KL и MN трапеции KLMN равны 8 и 17 соответственно. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен 7,5, средняя линия трапеции равна 17,5. Прямые KL и MN пересекаются в точке A. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ALM.

Дана окружность радиуса 4 с центром в точке О, расположенной на биссектрисе угла, равного 60°. Найдите радиус окружности, вписанной в данный угол и касающейся данной окружности внешним образом, если известно, что расстояние от точки О до вершины угла равно 10.

В треугольнике ABC, AB = 7, BC = 9, CA = 4. Точка D лежит на прямой BC причем BD : DC = 1 : 5. Окружности, вписанные в треугольники ADC и ADB касаются стороны AD в точках E и F. Найдите длину отрезка EF.

Окружности радиусов и с центрами и соответственно касаются в точке Прямая, проходящая через точку вторично пересекает меньшую окружность в точке а большую — в точке Найдите площадь треугольника если

Источник

Треугольник kmn прямоугольный с прямым углом h известно что km 10

Прямые, содержащие катеты AC и CB прямоугольного треугольника АСВ, являются общими внутренними касательными к окружностям радиусов 2 и 4. Прямая, содержащая гипотенузу АВ, является их общей внешней касательной.

а) Докажите, что длина отрезка внутренней касательной, проведенной из вершины острого угла треугольника до одной из окружностей, равна половине периметра треугольника АСВ.

б) Найдите площадь треугольника АСВ.

а) Введём обозначения, как показано на рисунке, пусть M, H, N — точки касания. Касательные, проведённые к окружности из одной точки равны: AM = AN, CM = CH, HB = BN. Поэтому:

откуда p = AM, где Р — периметр, p — полупериметр треугольника.

б) Для определения площади треугольника используем формулу, связывающую её с полупериметром, стороной и радиусом вневписанной окружности, касающейся этой стороны и продолжений двух других сторон треугольника:

Ответ:

Примечание: указанная в решении формула легко может быть получена из следующих соображений где O₁ — центр окружности с радиусом r_1. При этом

Тогда

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AP и CQ.

а) Докажите, что угол PAC равен углу PQC.

б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если известно, что PQ = 8 и ∠ABC = 60°.

а) Углы APC и AQC — прямые, значит, точки A, Q, P и C лежат на одной окружности с диаметром AC, и, следовательно, равны и вписанные углы PAC и PQC этой окружности, опирающиеся на дугу PC, что и требовалось доказать.

б) Прямоугольные треугольники ABP и CBQ имеют общий угол ABC, следовательно, они подобны, откуда или но тогда и треугольники BAC и BPQ также подобны, причем коэффициент подобия равен откуда Тогда радиус R окружности, описанной около треугольника ABC равен

Ответ:

В остроугольном треугольнике KMN проведены высоты KB и NA.

а) Докажите, что угол ABK равен углу ANK.

б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABM, если известно, что и ∠KMN = 45°.

а) Углы NAK и NBK, опирающиеся на отрезок KN, равны, значит, точки A, B, N и K лежат на одной окружности, а, следовательно, равны и вписанные углы ABK и ANK этой окружности, опирающиеся на дугу AK, что и требовалось доказать.

б) Прямоугольные треугольники KMB и NMA имеют общий угол KMN, следовательно, они подобны, откуда или но тогда и треугольники KMN и BMA также подобны, причем коэффициент подобия равен откуда

Тогда радиус R окружности, описанной около треугольника ABM равен

Ответ:

Точка О — центр окружности, вписанной в треугольник ABC. На продолжении отрезка AO за точку О отмечена точка K так, что BK = OK.

а) Докажите, что четырехугольник ABKC вписанный.

б) Найдите длину отрезка AO, если известно, что радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника ABC равны 3 и 12 соответственно, а OK = 5.

а) Пусть Так как — центр вписанной окружности треугольника то — биссектрисы углов и значит, Угол внешний для треугольника поэтому (см. рисунок).

Так как (по построению), то тогда Углы и опираются на один и тот же отрезок и равны друг другу: Тогда по признаку, связанному со свойством вписанных углов, точки лежат на одной окружности.

б) Обозначим через радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника Пусть — проекция точки на сторону (см. рис.), тогда Так как точки лежат на одной окружности, то радиус описанной окружности треугольника совпадает с радиусом описанной окружности треугольника и равен Из треугольника по теореме синусов: Тогда

Так как то

Источник

Треугольник kmn прямоугольный с прямым углом h известно что km 10

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AP и CQ.

а) Докажите, что угол PAC равен углу PQC.

б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если известно, что PQ = 8 и ∠ABC = 60°.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

В остроугольном треугольнике KMN проведены высоты KB и NA.

а) Докажите, что угол ABK равен углу ANK.

б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABM, если известно, что и ∠KMN = 45°.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Точка О — центр окружности, вписанной в треугольник ABC. На продолжении отрезка AO за точку О отмечена точка K так, что BK = OK.

а) Докажите, что четырехугольник ABKC вписанный.

б) Найдите длину отрезка AO, если известно, что радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника ABC равны 3 и 12 соответственно, а OK = 5.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C известны стороны AC = 12, BC = 5. Окружность радиуса с центром O на стороне BC проходит через вершину C. Вторая окружность касается катета AC, гипотенузы треугольника, а также внешним образом касается первой окружности.

а) Докажите, что радиус второй окружности меньше, чем длины катета AC.

б) Найдите радиус второй окружности.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Окружность, построенная на медиане BM равнобедренного треугольника ABC как на диаметре, второй раз пересекает основание BC в точке K.

а) Докажите, что отрезок BK втрое больше отрезка CK.

б) Пусть указанная окружность пересекает сторону AB в точке N. Найдите AB, если BK = 18 и BN = 17.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.

б) Найдите расстояние между центрами его вписанной и описанной окружностей, если известно, что R = 4.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Точка B лежит на отрезке AC. Прямая, проходящая через точку A, касается окружности с диаметром BC в точке M и второй раз пересекает окружность с диаметром AB в точке K. Продолжение отрезка MB пересекает окружность с диаметром AB в точке D.

а) Докажите, что прямые AD и MC параллельны.

б) Найдите площадь треугольника DBC, если AK = 3 и MK = 12.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

В треугольник ABC вписана окружность радиуса R, касающаяся стороны AC в точке D, причём AD= R.

а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.

б) Вписанная окружность касается сторон AB и BC в точках E и F. Найдите площадь треугольника BEF, если известно, что R= 5 и CD =15.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

В треугольник ABC вписана окружность радиуса R, касающаяся стороны AC в точке D, причём AD = R.

а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.

б) Вписанная окружность касается сторон AB и BC в точках E и F. Найдите площадь треугольника BEF, если известно, что R = 2 и CD = 10.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Около остроугольного треугольника ABC описана окружность с центром O. На продолжении отрезка AO за точку O отмечена точка K так, что BAC + AKC=90°.

а) Докажите, что четырёхугольник OBKC вписанный.

б) Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольника OBKC, если а

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Окружность с центром O, вписанная в треугольник ABC, касается стороны BC в точке P и пересекает отрезок BO в точке Q. При этом отрезки OC и QP параллельны.

а) Докажите, что треугольник ABC ― равнобедренный.

б) Найдите площадь треугольника BQP, если точка O делит высоту BD треугольника в отношении BO : OD = 3 : 1 и AC = 2a.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Около равнобедренного треугольника ABC с основанием BC описана окружность. Через точку C провели прямую, параллельную стороне AB. Касательная к окружности, проведённая в точке B, пересекает эту прямую в точке K.

а) Докажите, что треугольник BCK — равнобедренный.

б) Найдите отношение площади треугольника ABC к площади треугольника BCK, если

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Первая окружность с центром O, вписанная в равнобедренный треугольник KLM, касается боковой стороны KL в точке B, а основания ML — в точке A. Вторая окружность с центром O₁ касается основания ML и продолжений боковых сторон.

а) Докажите, что треугольник OLO₁ прямоугольный.

б) Найдите радиус второй окружности, если известно, что радиус первой равен 6 и AK = 16.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Точка O — центр окружности, описанной около остроугольного треугольника ABC, I — центр вписанной в него окружности, H — точка пересечения высот. Известно, что

а) Докажите, что точка I лежит на окружности, описанной около треугольника BOC.

б) Найдите угол OIH, если

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

В треугольнике АВС угол АВС равен 60°. Окружность, вписанная в треугольник, касается стороны AC в точке M.

а) Докажите, что отрезок BM не больше утроенного радиуса вписанной в треугольник окружности.

б) Найдите если известно, что отрезок ВМ в 2,5 раза больше радиуса вписанной в треугольник окружности.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Точки A₁, B₁ и C₁ — середины сторон соответственно BC, AC и AB остроугольного треугольника ABC.

а) Докажите, что отличная от A₁ точка пересечения окружностей, описанных около треугольников A₁CB₁ и A₁BC₁, лежит на окружности, описанной около треугольника B₁AC₁.

б) Известно, что AB = AC = 10 и BC = 12. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник, вершинами которого являются центры окружностей, описанных около треугольников A₁CB₁, A₁BC₁ и B₁AC₁.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Окружность касается стороны AC остроугольного треугольника ABC и делит каждую из сторон AB и BC на три равные части.

а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.

б) Найдите, в каком отношении высота этого треугольника делит сторону BC.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

В треугольнике ABC точки A₁, B₁ и C₁ — середины сторон BC, AC и AB соответственно, AH — высота,

б) Найдите A₁H, если

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Точка M — середина гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC. Серединный перпендикуляр к гипотенузе пересекает катет BC в точке N.

а) Докажите, что ∠CAN = ∠CMN.

б) Найдите отношение радиусов окружностей, описанных около треугольников ANB и CBM, если

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

В прямоугольном треугольнике ABC проведена высота CH из вершины прямого угла. В треугольники ACH и BCH вписаны окружности с центрами O₁ и O₂ соответственно, касающиеся прямой CH в точках M и N соответственно.

а) Докажите, что прямые AO₁ и CO₂ перпендикулярны.

б) Найдите площадь четырёхугольника MO₁NO₂, если AC = 20 и BC = 15.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Окружность, вписанная в трапецию ABCD, касается ее боковых сторон AB и CD в точках M и N соответственно. Известно, что AM = 8MB и DN = 2CN.

а) Докажите, что AD = 4BC.

б) Найдите длину отрезка MN, если радиус окружности равен

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Окружность с центром O, вписанная в треугольник ABC, касается его сторон BC, AB и AC в точках K, L и M соответственно. Прямая KM вторично пересекает в точке P окружность радиуса AM с центром A.

а) Докажите, что прямая AP параллельна прямой BC.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Угол BAC треугольника ABC равен Сторона BC является хордой такой окружности с центром O и радиусом R, которая проходит через центр окружности, вписанной в треугольник ABC.

а) Докажите, что около четырёхугольника ABOC можно описать окружность.

б) Известно, что в четырёхугольник ABOC можно вписать окружность. Найдите радиус r этой окружности, если R = 6,

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Вневписанная окружность равнобедренного треугольника касается его боковой стороны.

а) Докажите, что радиус этой окружности равен высоте треугольника, опущенной на его основание.

б) Известно, что радиус этой окружности в 4 раза больше радиуса вписанной окружности треугольника. В каком отношении точка касания вписанной окружности с боковой стороной треугольника делит эту сторону?

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Точка I — центр окружности S₁, вписанной в треугольник ABC, точка O — центр окружности S₂, описанной около треугольника BIC.

а) Докажите, что точка O лежит на окружности, описанной около треугольника ABC.

б) Найдите косинус угла BAC, если радиус описанной окружности треугольника ABC относится к радиусу окружности S₂ как 3:5.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Точка O — центр окружности, описанной около остроугольного треугольника ABC, а BH — высота этого треугольника.

а) Докажите, что углы ABH и CBO равны.

б) Найдите BH, если

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Точка O — центр окружности, описанной около остроугольного треугольника ABC, а BH — высота этого треугольника.

а) Докажите, что углы ABH и CBO равны.

б) Найдите BH, если

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Дан треугольник ABC со сторонами и Точки M и N — середины сторон AB и AC соответственно.

а) Докажите, что окружность, вписанная в треугольник ABC, касается одной из средних линий.

б) Найдите общую хорду окружностей, одна из которых вписана в треугольник ABC, а вторая описана около треугольника AMN.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Дан треугольник ABC со сторонами AC = 30, BC = 40 и AB = 50. Вписанная в него окружность с центром I касается стороны BC в точке L, M — середина BC, AP — биссектриса треугольника ABC, O — центр описанной около него окружности.

а) Докажите, что P — середина отрезка LM.

б) Пусть прямые OI и AC пересекаются в точке K, а продолжение биссектрисы AP пересекает описанную окружность в точке Q. Найдите площадь четырёхугольника OKCQ.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

В треугольнике ABC биссектрисы AD и CE пересекаются в точке O, величина угла AOC составляет 120°.

а) Докажите, что около четырехугольника BDOE можно описать окружность.

б) Найдите площадь треугольника ABC, если а

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Окружность с центром O, вписанная в треугольник ABC, касается стороны BC в точке K. К этой окружности проведена касательная, параллельная биссектрисе AP треугольника и пересекающая стороны AC и BC в точках M и N соответственно.

а) Докажите, что угол MOC равен углу NOK.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается сторон BC и AC в точках M и N соответственно, E и F — середины сторон AB и AC соответственно. Прямые MN и EF пересекаются в точке D.

а) Докажите, что треугольник DFN равнобедренный.

б) Найдите площадь треугольника BED, если AB = 20 и ∠ABC = 60°.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Окружность, касающаяся сторон AB и BC треугольника ABC, пересекает сторону AC в точках M и P, причем

а) Докажите, что треугольник ABC — равнобедренный.

б) Найдите радиус окружности, если а центр окружности лежит на высоте к стороне BC.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

В треугольнике ABC биссектриса угла B пересекает описанную окружность этого треугольника в точке F. Точка E — центр окружности, касающейся стороны АС и продолжений сторон AB и BC (вневписанной окружности). Точка O — центр вписанной окружности треугольника ABC.

а) Докажите, что отрезки AF и OF равны.

б) Найдите длину отрезка CF, если OE = 14.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Вписанная в треугольник ABC окружность с центром O касается сторон AB и AC в точках M и N соответственно. Прямая BO пересекает окружность, описанную около треугольника CON вторично в точке P.

а) Докажите, что точка P лежит на прямой MN.

б) Найдите площадь треугольника ABP, если площадь треугольника ABC равна 24.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

В треугольнике ABC проведены биссектрисы BM и CN. Оказалось, что точки B, C, M и N лежат на одной окружности.

а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.

б) Пусть P — точка пересечения биссектрис треугольника ABC. Найдите площадь четырёхугольника AMPN, если MN : BC = 2 : 5, а BN = 14.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Окружность проходит через вершины B и C треугольника ABC и пересекает AB и AC в точках C₁ и B₁ соответственно.

а) Докажите, что треугольник ABC подобен треугольнику AB₁C₁.

б) Найдите радиус данной окружности, если ∠A = 45°, B₁C₁ = 6 и площадь треугольника AB₁C₁ в восемь раз меньше площади четырёхугольника BCB₁C₁.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

В треугольнике ABC проведена биссектриса BK.

а) Докажите, что

б) Найдите площадь треугольника ABC, если AB = 13, BC = 7 и

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

В треугольник ABC вписана окружность радиуса 4, касающаяся стороны AC в точке M, причём AM = 8 и CM = 12.

а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.

б) Найдите расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника ABC.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Окружность проходит через вершины В и С треугольника АВС и пересекает АВ и АС в точках С₁ и В₁ соответственно.

а) Докажите, что треугольник АВC подобен треугольнику АВ₁С₁

б) Вычислите радиус данной окружности, если и площадь треугольника АВ₁С₁ в четыре раза меньше площади четырёхугольника ВСВ₁С₁.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Две окружности касаются внутренним образом в точке С. Вершины A и B равнобедренного прямоугольного треугольника ABC c прямым углом C лежат на большей и меньшей окружностях соответственно. Прямая AC вторично пересекает меньшую окружность в точке D. Прямая BC вторично пересекает большую окружность в точке E.

а) Докажите, что AE параллельно BD.

б) Найдите AC, если радиусы окружностей равны 8 и 15.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C вписан в окружность. Биссектриса угла A пересекает описанную окружность в точке A₁, биссектриса угла B пересекает описанную окружность в точке B₁, биссектриса угла C пересекает описанную окружность в точке C₁.

б) Известно, что Найдите B₁C₁.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

В остроугольном треугольнике ABC провели высоту CC₁ и медиану AA₁. Оказалось, что точки A, A₁, C, C₁ лежат на одной окружности.

а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

В прямоугольный треугольник АВС с катетами АС = 4, ВС = 3 вписана окружность с центром О, касающаяся сторон ВС, АС и АВ треугольника в точках R, Q, P соответственно.

а) Докажите, что AO · BO · CO = 10.

б) Найдите площадь треугольника PQR.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Точка О₁ — центр вписанной окружности равнобедренного треугольника АВС, а точка О₂ — центр вневписанной окружности, касающейся основания ВС.

а) Докажите, что расстояние от середины отрезка О₁О₂ до точки С вдвое меньше О₁О₂.

б) Известно, что радиус первой окружности в пять раз меньше радиуса второй. В каком отношении точка касания первой окружности с боковой стороной треугольника делит эту сторону?

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

В остроугольном треугольнике АВС провели высоты АН₁ и СН₂, затем провели луч НМ, который пересекает окружность, описанную около треугольника АВС, в точке К, где М — середина АС, а Н — точка пересечения высот.

а) Докажите, что НМ = МК.

б) Найдите площадь треугольника ВСК, если AC = 1.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Окружность с центром О, вписанная в треугольник АВС, касается его сторон ВС, АВ и АС в точках K, L и М соответственно. Прямая КМ вторично пересекает в точке Р окружность радиуса АМ с центром А.

а) Докажите, что прямая АР параллельна прямой ВС.

б) Пусть AM = 3, CM = 2, Q — точка пересечения прямых КМ и АВ, а Т — такая точка на отрезке РQ, что Найдите QT.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Дан прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С. На катете АС взята точка М. Окружность с центром О и диаметром СМ касается гипотенузы в точке N.

а) Докажите, что прямые MN и ВО параллельны.

б) Найдите площадь четырехугольника BOMN, если CN = 8, AM : MC = 1 : 3.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

В треугольнике ABC AB = 3, Хорда KN окружности, описанной около треугольника ABC, пересекает отрезки AC и BC в точках M и L соответственно. Известно, что площадь четырёхугольника ABLM равна 2, LM = 1.

а) Докажите, что треугольник KNC равнобедренный.

б) Найдите площадь треугольника KNC.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

В остроугольном треугольнике ABC высоты BB₁ и CC₁ пересекаются в точке H.

а) Докажите, что

б) Найдите расстояние от центра описанной окружности треугольника ABC до стороны BC, если B₁C₁ = 12 и

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

В окружности с центром O проведена хорда AB, на которой выбрана точка M. Вторая окружность, описанная около треугольника MAO, повторно пересекает первую окружность в точке K.

а) Докажите, что BM = MK.

б) Найдите площадь треугольника OMK, если OM = 11 и BK = 12.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

б) Найдите площадь четырёхугольника ACBM, если дополнительно известно, что площадь треугольника BCM равна 24.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

В каждый угол равнобедренного треугольника ABC, в котором вписана окружность единичного радиуса, точки О₁, О₂ и О₃ центры этих окружностей. Найдите:

а) радиус окружности, вписанной в треугольник ABC;

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

В треугольнике АВС известно, что АВ = АС = 10, ВС = 12. На стороне АВ отметили точки М₁ и М₂ так, что AM₁

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

В треугольнике ABC биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке D. Окружность, описанная около треугольника ACD пересекает сторону AB в точке E.

а) Докажите, что треугольник CDE равнобедренный.

б) Найдите площадь треугольника CDE, если AB = 8, BC = 7, AC = 6.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

На окружности с центром O и диаметром MN, равным 34, взята точка K на расстоянии 15 от этого диаметра. Хорда KE пересекает радиус OM в точке F под углом, равным

а) Докажите, что KF : FE = 125 : 29.

б) Найдите площадь треугольника KEN.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Точки D и E — середины сторон AC и BC треугольника ABC соответственно. На отрезке DE как на диаметре построена окружность, пересекающая продолжения сторон AC и BC в точках M и N соответственно.

а) Докажите, что биссектрисы углов MEN и NDM пересекаются на этой окружности.

б) Найдите MN, если известно, что AB = 14, BC = 10, AC = 6.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Высоты BB₁ и CC₁ остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H. Отрезок AP — диаметр окружности, описанной около треугольника ABC.

а) Докажите, что прямая HP пересекает отрезок BC в его середине.

б) Луч PH вторично пересекает окружность, описанную около треугольника ABC, в точке M. Найдите длину отрезка MC₁, если расстояние от центра этой окружности до прямой BC равно 4, ∠BPH = 120°.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Окружность, вписанная в треугольник ABC, делит медиану BM на три равные части.

а) Докажите, что BC : CA : AB = 5 : 10 : 13.

б) Найдите радиус вписанной окружности, если BM = 12.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Окружность, проходящая через вершину B треугольника ABC, касается стороны AC в точке D, такой, что BD — биссектриса угла B, и пересекает стороны AB и BC в точках E и F соответственно.

б) Найдите отношение площадей треугольников AED и DFC, если известно, что AE : CF = 2 : 3.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Треугольник ABC прямоугольный с прямым углом C. Проведена высота CH. На сторонах AC и BC соответственно отмечены точки M и N так, что угол MHN прямой.

а) Докажите, что треугольники и ABC подобны.

б) Найдите BN, если

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Треугольник ABC прямоугольный с прямым углом C. Проведена высота CH. На сторонах AC и BC соответственно отмечены точки M и N так, что угол MHN прямой.

а) Докажите, что треугольники и ABC подобны.

б) Найдите BN, если

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Отрезок CH — высота прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C. На катетах AC и BC выбраны точки M и N соответственно такие, что

a) Докажите, что треугольник MNH подобен треугольнику ABC.

б) Найдите CN, если BC = 3, AC = 5, CM = 2.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Окружность с центром О, построенная на катете AC прямоугольного треугольника ABC как на диаметре, пересекает гипотенузу AB в точках A и D. Касательная проведенная к этой окружности в точке D, пересекает катет BC в точке M.

а) Докажите, что BM = CM.

б) Прямая DM пересекает прямую AC в точке P, прямая OM пересекает прямую BP в точке K. Найдите если

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

На стороне KM остроугольного треугольника PKM (PK ≠ PM) как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту PS в точке T, PS = 8, TS = 6, H — точка пересечения высот треугольника PKM.

б) Полуокружность пересекает стороны PK и PM в точках L и N соответственно. Найдите коэффициент подобия треугольников PKM и PNL, если радиус полуокружности равен 20.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Источник