sinh что это в математике

ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

функции, определяемые формулами:

sinh что это в математике. Смотреть фото sinh что это в математике. Смотреть картинку sinh что это в математике. Картинка про sinh что это в математике. Фото sinh что это в математике— гиперболический синус,

sinh что это в математике. Смотреть фото sinh что это в математике. Смотреть картинку sinh что это в математике. Картинка про sinh что это в математике. Фото sinh что это в математике-г иперболический косинус.

Иногда рассматривается также гиперболический тангенс;

sinh что это в математике. Смотреть фото sinh что это в математике. Смотреть картинку sinh что это в математике. Картинка про sinh что это в математике. Фото sinh что это в математике

Другие обозначения: sinh x,Sh x,cosh x, Ch x,tgh x,tanh x,Th x. Графики см. на рис. 1.

sinh что это в математике. Смотреть фото sinh что это в математике. Смотреть картинку sinh что это в математике. Картинка про sinh что это в математике. Фото sinh что это в математике

sinh что это в математике. Смотреть фото sinh что это в математике. Смотреть картинку sinh что это в математике. Картинка про sinh что это в математике. Фото sinh что это в математике

sinh что это в математике. Смотреть фото sinh что это в математике. Смотреть картинку sinh что это в математике. Картинка про sinh что это в математике. Фото sinh что это в математике

sinh что это в математике. Смотреть фото sinh что это в математике. Смотреть картинку sinh что это в математике. Картинка про sinh что это в математике. Фото sinh что это в математике

Производные и основные интегралы от Г. ф.:

sinh что это в математике. Смотреть фото sinh что это в математике. Смотреть картинку sinh что это в математике. Картинка про sinh что это в математике. Фото sinh что это в математике

Во всей плоскости комплексного переменного z Г. ф. sinh что это в математике. Смотреть фото sinh что это в математике. Смотреть картинку sinh что это в математике. Картинка про sinh что это в математике. Фото sinh что это в математикеи sinh что это в математике. Смотреть фото sinh что это в математике. Смотреть картинку sinh что это в математике. Картинка про sinh что это в математике. Фото sinh что это в математикемогут быть определены рядами:

sinh что это в математике. Смотреть фото sinh что это в математике. Смотреть картинку sinh что это в математике. Картинка про sinh что это в математике. Фото sinh что это в математике

sinh что это в математике. Смотреть фото sinh что это в математике. Смотреть картинку sinh что это в математике. Картинка про sinh что это в математике. Фото sinh что это в математике

Полезное

Смотреть что такое «ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ» в других словарях:

Гиперболические функции — функции, определяемые формулами: (гиперболический синус), (гиперболический косинус). Иногда рассматривается также гиперболический тангенс: (графики Г. ф. см. на рис. 1). Г. ф.… … Большая советская энциклопедия

ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ — функции, определяемые формулами: (гиперболический синус), (гиперболический косинус), (гиперболический тангенс) … Большой Энциклопедический словарь

ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ — функции, определяемые формулами: shx = (ex e x)/2(гинерболич. синус), chх (еx + е к)/2 (гиперболич. косинус), thх = shx/chx (гиперболич. тангенс). Графики Г. ф. см. на рис … Естествознание. Энциклопедический словарь

Гиперболические функции — семейство элементарных функций, выражающихся через экспоненту и тесно связанных с тригонометрическими функциями. Содержание 1 Определение 1.1 Геометрическое определение … Википедия

гиперболические функции — функции, определяемые формулами: shx = (ex – e x)/2 (гиперболический синус), chx = (ex + e x)/2 (гиперболический косинус), thx = shx/chx (гиперболический тангенс). Графики гиперболических функций см. на рис. * * * ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ… … Энциклопедический словарь

ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ — Функции. определяемые ф лами: (гиперболич. синус), (гиперболич. косинус), (вставить рисунки. ) Графики гиперболических функций … Большой энциклопедический политехнический словарь

Гиперболические функции — По аналогии с тригонометрическими функциями Sinx, cosx, определяемыми, как известно, при помощи Эйлеровых формул sinx = (exi e xi)/2i, cosx = (exi + e xi)/2 (где е есть основание нэперовых логарифмов, a i = √[ 1]); иногда вводятся в рассмотрение… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

Обратные гиперболические функции — функции, обратные по отношению к гиперболическим функциям (См. Гиперболические функции) sh х, ch х, th х; они выражаются формулами (читается: ареа синус гиперболический, ареа косинус гиперболический, ареа тангенс… … Большая советская энциклопедия

ОБРАТНЫЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ — функции, обратные к гиперболич. функциям; выражаются формулами … Естествознание. Энциклопедический словарь

Обратные гиперболические функции — Обратные гиперболические функции определяются как обратные функции к гиперболическим функциям. Эти функции определяют площадь сектора единичной гиперболы x2 − y2 = 1 аналогично тому, как обратные тригонометрические функции определяют длину… … Википедия

Источник

Гиперболические функции

Гиперболи́ческие фу́нкции — семейство элементарных функций, выражающихся через экспоненту и тесно связанных с тригонометрическими функциями.

Содержание

Определение

Определение гиперболических функций через гиперболу

Один из способов определения тригонометрических функций через единичную окружность

Гиперболические функции задаются следующими формулами:

Существует сленговые названия: «шинус», «шимус»(?). Однако их использование не научно.

Существует сленговые названия: «чосинус», «кошинус». Однако их использование не научно.

Существует сленговые названия: «щангенс», «тахинус». Однако их использование не научно.

Иногда также определяются

Существует сленговые названия: «кочангенс», «кохинус». Однако их использование не научно.

Геометрическое определение

Ввиду соотношения sinh что это в математике. Смотреть фото sinh что это в математике. Смотреть картинку sinh что это в математике. Картинка про sinh что это в математике. Фото sinh что это в математикегиперболические функции дают параметрическое представление гиперболы sinh что это в математике. Смотреть фото sinh что это в математике. Смотреть картинку sinh что это в математике. Картинка про sinh что это в математике. Фото sinh что это в математике(sinh что это в математике. Смотреть фото sinh что это в математике. Смотреть картинку sinh что это в математике. Картинка про sinh что это в математике. Фото sinh что это в математике, sinh что это в математике. Смотреть фото sinh что это в математике. Смотреть картинку sinh что это в математике. Картинка про sinh что это в математике. Фото sinh что это в математике). При этом аргумент sinh что это в математике. Смотреть фото sinh что это в математике. Смотреть картинку sinh что это в математике. Картинка про sinh что это в математике. Фото sinh что это в математике, где sinh что это в математике. Смотреть фото sinh что это в математике. Смотреть картинку sinh что это в математике. Картинка про sinh что это в математике. Фото sinh что это в математике— площадь криволинейного треугольника sinh что это в математике. Смотреть фото sinh что это в математике. Смотреть картинку sinh что это в математике. Картинка про sinh что это в математике. Фото sinh что это в математике, взятая со знаком «+», если сектор лежит выше оси sinh что это в математике. Смотреть фото sinh что это в математике. Смотреть картинку sinh что это в математике. Картинка про sinh что это в математике. Фото sinh что это в математике, и «−» в противоположном случае. Это определение аналогично определению тригонометрических функций через единичную окружность, которое тоже можно построить подобным образом.

Свойства

Связь с тригонометрическими функциями

Гиперболические функции выражаются через тригонометрические функции от мнимого аргумента.

sinh что это в математике. Смотреть фото sinh что это в математике. Смотреть картинку sinh что это в математике. Картинка про sinh что это в математике. Фото sinh что это в математике.

Важные тождества

Разложение в степенные ряды

Здесь sinh что это в математике. Смотреть фото sinh что это в математике. Смотреть картинку sinh что это в математике. Картинка про sinh что это в математике. Фото sinh что это в математике— числа Бернулли.

Графики

Аналитические свойства

Гиперболический синус и гиперболический косинус аналитичны во всей комплексной плоскости, за исключением существенно особой точки на бесконечности. Гиперболический тангенс аналитичен везде, кроме полюсов в точках sinh что это в математике. Смотреть фото sinh что это в математике. Смотреть картинку sinh что это в математике. Картинка про sinh что это в математике. Фото sinh что это в математике, где sinh что это в математике. Смотреть фото sinh что это в математике. Смотреть картинку sinh что это в математике. Картинка про sinh что это в математике. Фото sinh что это в математике— целое. Вычеты во всех этих полюсах равны единице. Гиперболический котангенс аналитичен везде, кроме точек sinh что это в математике. Смотреть фото sinh что это в математике. Смотреть картинку sinh что это в математике. Картинка про sinh что это в математике. Фото sinh что это в математике, вычеты его в этих полюсах также равны единице.

Обратные гиперболические функции

Читаются ареа… (-синус и т. д.) — от лат. «area» — «площадь».

sinh что это в математике. Смотреть фото sinh что это в математике. Смотреть картинку sinh что это в математике. Картинка про sinh что это в математике. Фото sinh что это в математике— обратный гиперболический синус: sinh что это в математике. Смотреть фото sinh что это в математике. Смотреть картинку sinh что это в математике. Картинка про sinh что это в математике. Фото sinh что это в математике sinh что это в математике. Смотреть фото sinh что это в математике. Смотреть картинку sinh что это в математике. Картинка про sinh что это в математике. Фото sinh что это в математике— обратный гиперболический косинус sinh что это в математике. Смотреть фото sinh что это в математике. Смотреть картинку sinh что это в математике. Картинка про sinh что это в математике. Фото sinh что это в математике— обратный гиперболический тангенс sinh что это в математике. Смотреть фото sinh что это в математике. Смотреть картинку sinh что это в математике. Картинка про sinh что это в математике. Фото sinh что это в математике— обратный гиперболический котангенс sinh что это в математике. Смотреть фото sinh что это в математике. Смотреть картинку sinh что это в математике. Картинка про sinh что это в математике. Фото sinh что это в математике— обратный гиперболический секанс sinh что это в математике. Смотреть фото sinh что это в математике. Смотреть картинку sinh что это в математике. Картинка про sinh что это в математике. Фото sinh что это в математике0\end>\right.>» /> — обратный гиперболический косеканс

Эти функции имеют следующее разложение в ряд:

sinh что это в математике. Смотреть фото sinh что это в математике. Смотреть картинку sinh что это в математике. Картинка про sinh что это в математике. Фото sinh что это в математикеsinh что это в математике. Смотреть фото sinh что это в математике. Смотреть картинку sinh что это в математике. Картинка про sinh что это в математике. Фото sinh что это в математике1>» /> sinh что это в математике. Смотреть фото sinh что это в математике. Смотреть картинку sinh что это в математике. Картинка про sinh что это в математике. Фото sinh что это в математике

История

Гиперболические функции были введены Винченцо Риккати (Vincenzo Riccati) в 1757 году («Opusculorum», том I). Он получил их из рассмотрения единичной гиперболы.

Применение

Гиперболические функции часто встречаются при вычислении различных интегралов. Некоторые интегралы от рациональных функций и от функций, содержащих радикалы, довольно просто выполняются с помощью замен переменных с использованием гиперболических функций.

Ссылки

cs:Hyperbolická funkce he:פונקציות היפרבוליות hu:Hiperbolikus függvények is:Breiðbogafall nl:Hyperbolische functie pl:Funkcje hiperboliczne sr:Хиперболичне функције sv:Hyperbolisk funktion

Источник

В электротехнике, механике, теории чисел, геометрии Лобачевского, химии, экономике для удобства расчётов наравне с тригонометрическими функциями используют гиперболический синус. Название термина впервые введено Риккати в 1757 году при исследовании свойств различных кривых второго порядка. Его работа была продолжена Ламбертом, а затем и другими учёными-математиками.

Определение, формула и график гиперболического синуса

Математика позволяет дать два подхода к определению, благодаря различным направлениям в изучении объекта.

Первый, отталкиваясь от задающей формулы, позволяет установить связи между объектами, второй, полученный благодаря исследованиям в аналитической геометрии, демонстрирует наглядное (образное) понимание происходящего.

Гиперболический синус (традиционно обозначается shx, онлайн-калькулятор, вычислительные программы используют вместо него sinh(x)) – элементарная функция, представляемая как

sinh что это в математике. Смотреть фото sinh что это в математике. Смотреть картинку sinh что это в математике. Картинка про sinh что это в математике. Фото sinh что это в математике

С другой стороны, ординаты точек равнобокой гиперболы:

заданные через параметр, принимают за определение гиперболического синуса как функции удвоенной площади сектора, образованного радиус-вектором OM (M – точка кривой) и отрезком OA (A – вершина):

sinh что это в математике. Смотреть фото sinh что это в математике. Смотреть картинку sinh что это в математике. Картинка про sinh что это в математике. Фото sinh что это в математике

График y = shx имеет вид:

sinh что это в математике. Смотреть фото sinh что это в математике. Смотреть картинку sinh что это в математике. Картинка про sinh что это в математике. Фото sinh что это в математике

Чтобы его построить, достаточно знать ряд значений. Существующая таблица, онлайн-калькуляторы и специальные программы значительно облегчают вычисления.

Связь с тригонометрическими функциями

Рассматривая все компоненты на множестве комплексных чисел, используя тождество Эйлера, позволяющее связать тригонометрические функции и экспоненту, можно получить соотношения y = shx и некоторых других элементарных отображений переменных:

sinh что это в математике. Смотреть фото sinh что это в математике. Смотреть картинку sinh что это в математике. Картинка про sinh что это в математике. Фото sinh что это в математике

Во всех случаях x – действительное число.

Свойства гиперболического синуса

функция аналитична во всей комплексной плоскости, кроме существенно особой точки на бесконечности;

монотонно возрастает на всей области определения. При x → +∞ увеличение ординат точек происходит достаточно быстро. Поэтому часто происходит замена на e x /2;

обладает свойствами, аналогичными формулам тригонометрии, основное из которых является следствием второго определения:

sinh что это в математике. Смотреть фото sinh что это в математике. Смотреть картинку sinh что это в математике. Картинка про sinh что это в математике. Фото sinh что это в математике

где chx – гиперболический косинус.

Другие важные тождества:

sinh что это в математике. Смотреть фото sinh что это в математике. Смотреть картинку sinh что это в математике. Картинка про sinh что это в математике. Фото sinh что это в математике

Производная вычисляется согласно общим правилам:

sinh что это в математике. Смотреть фото sinh что это в математике. Смотреть картинку sinh что это в математике. Картинка про sinh что это в математике. Фото sinh что это в математике

Вычисление интеграла есть обратный процесс к нахождению производной, значит:

Примеры решения задач

Помимо непосредственной работы с этой функцией, важную роль играют тождества, позволяющие значительно упростить вычисления.

При интегрировании иррациональных функций, удобно делать замену, учитывая, что единицу можно представить как разность гиперболических синуса и косинуса:

Определить, какому семейству первообразных равен интеграл

sinh что это в математике. Смотреть фото sinh что это в математике. Смотреть картинку sinh что это в математике. Картинка про sinh что это в математике. Фото sinh что это в математике

Решение. Делается замена переменной:

sinh что это в математике. Смотреть фото sinh что это в математике. Смотреть картинку sinh что это в математике. Картинка про sinh что это в математике. Фото sinh что это в математике

После подстановки получается интеграл:

sinh что это в математике. Смотреть фото sinh что это в математике. Смотреть картинку sinh что это в математике. Картинка про sinh что это в математике. Фото sinh что это в математике

Делая возврат к исходной переменной, получается итоговое решение.

Источник

Гиперболический синус производная, график функции, формула через экспоненту, чему равен, разложение, свойства, связь с гиперболическим косинусом

В электротехнике, механике, теории чисел, геометрии Лобачевского, химии, экономике для удобства расчётов наравне с тригонометрическими функциями используют гиперболический синус.

Название термина впервые введено Риккати в 1757 году при исследовании свойств различных кривых второго порядка. Его работа была продолжена Ламбертом, а затем и другими учёными-математиками.

Определение, формула и график гиперболического синуса

Математика позволяет дать два подхода к определению, благодаря различным направлениям в изучении объекта.

Первый, отталкиваясь от задающей формулы, позволяет установить связи между объектами, второй, полученный благодаря исследованиям в аналитической геометрии, демонстрирует наглядное (образное) понимание происходящего.

Гиперболический синус (традиционно обозначается shx, онлайн-калькулятор, вычислительные программы используют вместо него sinh(x)) – элементарная функция, представляемая как

sinh что это в математике. Смотреть фото sinh что это в математике. Смотреть картинку sinh что это в математике. Картинка про sinh что это в математике. Фото sinh что это в математике

С другой стороны, ординаты точек равнобокой гиперболы:

заданные через параметр, принимают за определение гиперболического синуса как функции удвоенной площади сектора, образованного радиус-вектором OM (M – точка кривой) и отрезком OA (A – вершина):

sinh что это в математике. Смотреть фото sinh что это в математике. Смотреть картинку sinh что это в математике. Картинка про sinh что это в математике. Фото sinh что это в математике

График y = shx имеет вид:

sinh что это в математике. Смотреть фото sinh что это в математике. Смотреть картинку sinh что это в математике. Картинка про sinh что это в математике. Фото sinh что это в математике

Чтобы его построить, достаточно знать ряд значений. Существующая таблица, онлайн-калькуляторы и специальные программы значительно облегчают вычисления.

Связь с тригонометрическими функциями

Рассматривая все компоненты на множестве комплексных чисел, используя тождество Эйлера, позволяющее связать тригонометрические функции и экспоненту, можно получить соотношения y = shx и некоторых других элементарных отображений переменных:

sinh что это в математике. Смотреть фото sinh что это в математике. Смотреть картинку sinh что это в математике. Картинка про sinh что это в математике. Фото sinh что это в математике

Во всех случаях x – действительное число.

Свойства гиперболического синуса

shx — гиперболический синус обладает следующими свойствами:

функция аналитична во всей комплексной плоскости, кроме существенно особой точки на бесконечности;

монотонно возрастает на всей области определения. При x → +∞ увеличение ординат точек происходит достаточно быстро. Поэтому часто происходит замена на e x /2;

обладает свойствами, аналогичными формулам тригонометрии, основное из которых является следствием второго определения:

sinh что это в математике. Смотреть фото sinh что это в математике. Смотреть картинку sinh что это в математике. Картинка про sinh что это в математике. Фото sinh что это в математике

где chx – гиперболический косинус.

Другие важные тождества:

sinh что это в математике. Смотреть фото sinh что это в математике. Смотреть картинку sinh что это в математике. Картинка про sinh что это в математике. Фото sinh что это в математике

Производная вычисляется согласно общим правилам:

sinh что это в математике. Смотреть фото sinh что это в математике. Смотреть картинку sinh что это в математике. Картинка про sinh что это в математике. Фото sinh что это в математике

Вычисление интеграла есть обратный процесс к нахождению производной, значит:

Примеры решения задач

Помимо непосредственной работы с этой функцией, важную роль играют тождества, позволяющие значительно упростить вычисления.

При интегрировании иррациональных функций, удобно делать замену, учитывая, что единицу можно представить как разность гиперболических синуса и косинуса:

Определить, какому семейству первообразных равен интеграл

sinh что это в математике. Смотреть фото sinh что это в математике. Смотреть картинку sinh что это в математике. Картинка про sinh что это в математике. Фото sinh что это в математике

Решение. Делается замена переменной:

sinh что это в математике. Смотреть фото sinh что это в математике. Смотреть картинку sinh что это в математике. Картинка про sinh что это в математике. Фото sinh что это в математике

После подстановки получается интеграл:

sinh что это в математике. Смотреть фото sinh что это в математике. Смотреть картинку sinh что это в математике. Картинка про sinh что это в математике. Фото sinh что это в математике

Делая возврат к исходной переменной, получается итоговое решение.

Источник

sinh что это в математике. Смотреть фото sinh что это в математике. Смотреть картинку sinh что это в математике. Картинка про sinh что это в математике. Фото sinh что это в математике

Основные гиперболические функции:

из которых получены:

соответствующие производным тригонометрическим функциям.

sinh что это в математике. Смотреть фото sinh что это в математике. Смотреть картинку sinh что это в математике. Картинка про sinh что это в математике. Фото sinh что это в математике

СОДЕРЖАНИЕ

Определения

sinh что это в математике. Смотреть фото sinh что это в математике. Смотреть картинку sinh что это в математике. Картинка про sinh что это в математике. Фото sinh что это в математике

sinh что это в математике. Смотреть фото sinh что это в математике. Смотреть картинку sinh что это в математике. Картинка про sinh что это в математике. Фото sinh что это в математике

Существуют различные эквивалентные способы определения гиперболических функций.

Экспоненциальные определения

sinh что это в математике. Смотреть фото sinh что это в математике. Смотреть картинку sinh что это в математике. Картинка про sinh что это в математике. Фото sinh что это в математике

sinh что это в математике. Смотреть фото sinh что это в математике. Смотреть картинку sinh что это в математике. Картинка про sinh что это в математике. Фото sinh что это в математике

Определения дифференциальных уравнений

Сложные тригонометрические определения

Гиперболические функции также могут быть выведены из тригонометрических функций со сложными аргументами:

Приведенные выше определения связаны с экспоненциальными определениями через формулу Эйлера (см. § Гиперболические функции для комплексных чисел ниже).

Характерные свойства

Гиперболический косинус

Можно показать, что площадь под кривой гиперболического косинуса (на конечном интервале) всегда равна длине дуги, соответствующей этому интервалу:

площадь знак равно ∫ а б шиш ⁡ Икс d Икс знак равно ∫ а б 1 + ( d d Икс шиш ⁡ Икс ) 2 d Икс знак равно длина дуги. <\ displaystyle <\ text> = \ int _ ^ \ cosh x \, dx = \ int _ ^ <\ sqrt <1+ \ left (<\ frac > \ ch x \ right) ^ <2>>> \, dx = <\ text <длина дуги.>>> sinh что это в математике. Смотреть фото sinh что это в математике. Смотреть картинку sinh что это в математике. Картинка про sinh что это в математике. Фото sinh что это в математике

Гиперболический тангенс

Полезные отношения

Нечетные и четные функции:

Гиперболический синус и косинус удовлетворяют:

У одного также есть

для других функций.

Суммы аргументов

Формулы вычитания

Формулы половинного аргумента

Квадратные формулы

Неравенства

Это можно доказать, почленно сравнивая ряды Тейлора этих двух функций.

Обратные функции как логарифмы

Производные

Вторые производные

Стандартные интегралы

Следующие интегралы можно доказать с помощью гиперболической замены :

Выражения ряда Тейлора

Сравнение с круговыми функциями

sinh что это в математике. Смотреть фото sinh что это в математике. Смотреть картинку sinh что это в математике. Картинка про sinh что это в математике. Фото sinh что это в математике

Катеты двух прямоугольных треугольников с гипотенузой на луче, определяющем углы, имеют длину √ 2 раза больше круговой и гиперболической функций.

Функция Гудермана дает прямую связь между круговыми функциями и гиперболическими функциями, не содержащими комплексных чисел.

Связь с экспоненциальной функцией

Разложение экспоненты на четную и нечетную части дает тождества

Гиперболические функции для комплексных чисел

Связь с обычными тригонометрическими функциями задается формулой Эйлера для комплексных чисел:

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *