put и call в опционах что это

Опцион пут и колл простыми словами

Что такое пут-опцион

При возникновении неблагоприятной ситуации (прогнозов о предстоящем удешевлении ценных бумаг) трейдер имеет право продать контракт ранее оговоренной даты. Решение о продаже финансового инструмента принимается исключительно его владельцем и может зависеть от текущих настроений на бирже. При этом покупатель обязан приобрести опцион, даже если ему это в данный момент невыгодно.

Что такое колл-опцион

В интересах покупателя подорожание актива до окончания периода действия контракта. Если ситуация складывается неблагоприятным образом, трейдер вправе изменить свое решение и отказаться от приобретения базового инвестиционного инструмента. При этом продавец не имеет права выбора. Он обязан продать актив по первому запросу покупателя.

Внимание! Ущемление прав продавца при совершении сделки компенсируется безотзывной премией. Определенная сумма выплачивается владельцу ценных бумаг еще в процессе заключения договора и не подлежит возврату независимо от того, будет ли соглашение исполнено в оговоренный срок или вторая сторона сделки передумает покупать актив.

Отличие пут- от колл-опциона

Основные различия контрактов пут и колл:

Внимание! Несмотря на множество существенных различий между данными инвестиционными инструментами, убыток от сделок с обоими видами контрактов ограничен размером уплаченной премии.

Где используются эти опционы

Часто опционы используются в стратегиях спекулятивной торговли. Но в связи с тем, что данный инструмент отличается высокой сложностью и сопряжен с неравномерным распределением рисков между продавцом и покупателем, многие трейдеры отдают предпочтение фьючерсам.

Если инвестор желает застраховать свои вложения от роста цены на базовые активы, он занимает длинную позицию (заключает опционный договор колл). Аналогичным образом работает пут-опцион для хеджирования рисков понижения стоимости финансовых инструментов.

Внимание! Ликвидность опционных договоров на российском рынке низкая, особенно по сравнению с показателями американских бирж.

Подпишитесь на нашу рассылку, и каждое утро в вашем почтовом ящике будет актуальная информация по всем рынкам.

Источник

PUT и CALL опционы в облигациях простыми словами

Недавно я писал статью о том, как правильно выбирать и рассчитывать реальную доходность облигаций. Рекомендую сначала прочитать её, а потом вернуться сюда, вот ссылка на предыдущую статью:

Сегодня я хотел бы поговорить об облигационных опционах (PUT и CALL) и амортизации. Многие мои подписчики просили объяснить эти термины на простом языке, так как, прочитав в разных источниках, до сих пор не всё понятно.

Итак, у облигаций помимо таких свойств как размер купона, дата погашения, номинал есть и другие, более «сложносочиненные» свойства. Сегодня поговорим об амортизации и опционах.

В прошлой статье я уже слегка затронул эту тему, но сказал про неё только пару слов. Если у облигации предусмотрена амортизация, то это значит, что её номинал будет снижаться равными суммами в течение всего срока погашения, а эти суммы будет приходить к вам на счёт вместе с каждым n-ым купоном.

Чтобы было более понятно, проведем аналогию с вашими кредитами. Если вы взяли в кредит 100 000 рублей, то вы будете каждый месяц отдавать банку одновременно проценты и часть самой суммы кредита — примерно похожий принцип у облигаций с амортизацией, только часть долга часто возвращается не на каждый платеж, а, например, на каждый четвёртый. Если сравнивать со стандартной облигацией, то это был бы кредит, в течение срока которого вы бы отдавали банку только проценты, а в конце вернули бы 100 000 рублей единоразовым платежом.

Вот пример. По облигации с номиналом 1 000 рублей, купоном 10% и сроком на 4 года предусмотрена амортизация каждый год. Ежегодно номинал этой облигации будет уменьшаться на 250 рублей, которые будут возвращаться к вам на счёт, и купон тоже будет уменьшаться, соответствуя 10% годовых. Для вас я нарисовал схему, по которой вы сможете наглядно понять принцип амортизации:

В зелёных кружочках указан купон в рублях, который вам приходит на счёт, а оранжевым квадратом — амортизация, которая тоже приходит к вам на счёт каждый год, уменьшая номинал облигации.

Никакой опасности амортизация не несёт. Единственное неудобство заключается в том, что для каждый полученных амортизированных денег вы должны будете искать другие облигации, или реинвестировать обратно, если доходность вас устраивает. Если вы вкладываете деньги в облигации на несколько лет как на вклад, то лучше выбирайте бумаги без амортизации.

Также у некоторых облигаций есть такое интересное свойство, как оферта. У оферты в разных облигациях есть опционы — CALL или PUT. Очень важно их различать! Один из них — ваш друг, другой может вас «подставить». Я расскажу, как просто запомнить их и не перепутать.

Оферта — это возможность или право досрочно погасить облигацию по определенной цене (часто по номиналу) в определенную дату. Например, дата погашения облигации 05.12.2024, а дата оферты 05.12.2022: что это значит? Значение зависит от того, что за тип опциона предусмотрен данной облигацией.

Call в переводе с английского означает «звать» или «отозвать«, поэтому облигации с call-опционом так и называют — отзывные. Такой опцион даёт право эмитенту досрочно погасить свои облигации в назначенную дату (отозвать).

Облигации с таким типом опциона считаются более рискованными, так как эмитент, увидев, например, что ЦБ снижает ставки и доходность остальных инструментов падает, может погасить в назначенную дату этот выпуск облигаций и перевыпустить уже под более низкую ставку, а инвестор не может с этим ничего сделать и повлиять на решение эмитента.

Call-опцион играет в пользу эмитента, а не инвестора. Будьте внимательны.

Put переводится как «класть» или «выкладывать«, и даёт право уже инвестору по его желанию досрочно погасить облигации в дату оферты (выложить из портфеля). Такие облигации по аналогии называются безотзывные.

После даты оферты эмитент может изменить размер купона в меньшую сторону вплоть до 0,01%, по своему усмотрению. Поэтому инвестору даётся возможность: в назначенную дату инвестор имеет право досрочно вернуть эмитенту его облигации или продолжить держать её. Эмитент обязан заранее сообщить размер купона на следующий период после опциона, а инвестор, если он хочет досрочно погасить облигацию, должен за несколько дней (обычно 5-10) до даты выплаты последнего купона (до даты оферты) предъявить облигации к выкупу. Ваш брокер может взимать дополнительную комиссию за выкуп облигации по опциону, заранее узнайте тарифы в чате приложения вашего брокера.

В связи с тем, что период, когда можно подать заявление на выкуп, ограничивается несколькими днями, никак нельзя забывать о том, что в вашем портфеле лежат такие облигации! Пропустив данный период, вы можете «заморозить» ваши деньги за долгие годы под меньшие или даже нулевые проценты или потерять часть, продав облигации по рыночной цене после даты оферты.

Несмотря на то, что Put-опцион играет в пользу инвестора, эмитент может использовать обнуление ставки как вынуждение инвесторов погасить облигации досрочно, будьте внимательны.

Например, как это случилось с облигациями Бинбанка, у которого ЦБ отозвал лицензию и все его активы и долги перешли к ФК Открытие, которому нет никакого резона выплачивать долги за другой банк. Поэтому, на всех облигациях Бинбанка после даты оферты размер купона снизился до 0,01%, тем самым заставляя инвесторов подавать заявления на выкуп. Многие, кто не успел погасить бумаги — либо вынуждены ждать до середины 2025 года, чтобы вернуть номинал, либо продавать по рыночной цене — 720 рублей, теряя разницу с покупки-продажи 30%.

Для вас нарисовал еще одну иллюстрацию, чтобы тоже визуально запомнить различия оферт с разными опционами:

И еще, будьте внимательны, не все брокерские приложения указывают что за тип оферты на конкретной облигации:

Перепроверяйте информацию на rusbonds.ru, smart-lab.ru, dohod.ru и любых других сервисах, которые предоставляют такую информацию.

Надеюсь, что теперь вопрос с амортизацией, офертами и опционами у вас отпал и вы запомните. чем они отличаются. Главное помните, что, если вы инвестируете в облигации с офертами, вы должны контролировать даты их наступления.

Еще раз продублирую ссылку на первую статью по облигациям:

Ещё, если вам было интерено, можете подписаться на мой канал в Телеграме, там тоже много полезной информации.

Источник

Опционы: пут-колл парити, броуновское движение. Ликбез для гика, ч. 7

Это вторая часть рассказа про опционы, где мы разберемся с пут-колл парити, условием безарбитражности рынка, познакомимся с идеями хеджирования и репликации и поговорим про то, что такое броуновское движение и как оно связано с моделированием поведения курса финансового актива во времени.

Будет немного математики, чтобы получше разобраться в деталях.

Данный пост — расшифровка моих видеолекций «Пут-колл парити и условие отсутствия арбитража», «Броуновское движение», созданных в рамках курса Finmath for Fintech.

Пут-колл парити. Пример использования условия отсутствия арбитража для анализа цены портфеля инструментов

Итак, из предыдущей части мы знаем, как выглядят выплаты для put и call опциона на expiry (момент времени, когда правом, предоставляемым опционом, можно воспользоваться), но мы также хотели бы знать, как рассчитывать опцион и на другие промежутки времени. Для этого нам необходимо построить математическую модель, используя более сложный математический аппарат. Однако перед тем, как мы это сделаем, давайте рассмотрим соотношение пут-колл парити, которое не требует сложных вычислений и в тоже время очень полезно на практике.

Напомним, что европейский опцион — это контракт, по которому покупатель контракта получает право, но не обязательство совершить покупку или продажу какого-то базового актива по заранее оговоренной цене в определенный договором момент в будущем.

Базовым активом может быть акция или курс валют. Рыночный курс на базовый актив называется спот, и в формулах значение спота на момент времени обозначается как .

Опцион, дающий право на покупку базового актива, называется колл-опционом (call option). Право на продажу — это пут-опцион (put option). Цена, по которой опцион дает право заключить сделку в будущем, называется страйк (strike), обозначается .

Заранее оговоренное в контракте время, в которое опционом можно будет воспользоваться, это время экспирации опциона (expiry) — . Значение курса базового актива на момент expiry обозначается .

Построим графики выплат на expiry. У нас есть некий базовый актив — его цена на expiry: , а также выплата , которую мы получаем. Графики выплат будут в этих координатах . Зададим — уровень страйк на оси .

Первый опцион, который мы нарисуем, — колл-опцион. Мы купили колл-опцион.

Это также называется «long» call option, позиция со знаком «плюс» по этому опциону. Но мы можем опционы еще и продавать, это называется short .

Второй опцион, который мы нарисуем, будет short put.

На графике мы видим, что, когда мы сложили две выплаты, мы получили простую линейную функцию, которая определяется как (). Тот же самый результат можно получить аналитически. У нас есть позиция колл-опциона со знаком «плюс» и пут-опцион со знаком «минус»:

Воспользуемся аналитическими формулами, которые мы уже знаем:

.

Чтобы раскрыть скобки, мы должны рассмотреть два отдельных случая, когда K$» data-tex=»inline»/> и .

Имеем следующую систему:

K \\ 0-K+S_T, S_T≤K \end $» data-tex=»display»/>

В обоих случаях получается одна и та же простая формула: .

Таким образом, выплаты в любом случае описываются одной и той же формулой, независимо от того, какая цена базового актива реализовалась на момент expiry. Опять-таки напоминаю, что те выплаты, которые мы нарисовали, — это выплаты (значит, и стоимость) опционов на момент expiry. В случае цен опционов на какой-то другой момент времени, они описываются какими-то другими, более сложными функциями. Я их пока нарисую условно.

Мы знаем, что для этой комбинации на момент expiry выплата определяется формулой , для любого значения . Если мы найдем какую-то другую комбинацию инструментов, которая будет давать на момент expiry такую же выплату, то можно утверждать, что стоимость такой комбинации инструментов и комбинации должна быть одинаковой.

Если бы это было не так, то можно сегодня купить более дешевую из этих комбинаций инструментов и продать более дорогую, получив тем самым прибыль. А так как эти две комбинации дают одинаковую выплату на expiry, и мы их взяли с обратными знаками, то суммарная выплата гарантированно будет равна нулю. Такая сделка, которая дает гарантированный доход без риска, просто за счет несбалансированности цен инструментов на рынке, называется арбитражем. Математические теории для расчета цен инструментов обычно включают в себя предположение о безарбитражности рынка. Это предположение достаточно хорошо соответствует действительности. Арбитражные возможности на рынке если и возникают, то живут очень недолго. Найти и воспользоваться ими непросто. Так что в норме это предположение работает хорошо.

Из условия безарбитражности рынка следует то, что комбинация будет в любой момент времени (а не только ) стоить столько же, сколько и любая комбинация инструментов, выплата по которой в момент времени будет равна . Такую комбинацию легко составить, купив базовый актив и взяв в долг денег в таком количестве, что на момент expiry нужно будет вернуть сумму, равную . При работе с финансовыми инструментами такой долг эквивалентен продаже бескупонной облигации (бонда), который дает выплату в момент времени . Подробнее про облигации и проценты можно прочитать в предыдущих постах из этой серии (Стоимость денег, типы процентов, дисконтирование и форвардные ставки. Ликбез для гика, ч. 1 и Облигации: купонные и бескупонные, расчет доходности. Ликбез для гика, ч. 2).

Итак, портфель из колл-опциона и портфель из пут-опциона равен комбинации long по базовому активу и short бонду, который бы давал выплату один на expiry с номиналом .

Это соотношение не зависит от модели, которую мы могли бы построить для курса базового актива. Не зависит даже от того, как мы считаем дисконтирование, и это следует из отсутствия арбитража на рынке. Мы составили один портфель, рассмотрели все возможные варианты, сколько он может стоить на expiry, выяснили, что во всех вариантах будущего он стоит ровно столько же. Поэтому если другой портфель имеет точно такую же выплату на expiry, то их цена должна совпадать.

Итак, мы получили соотношение для портфеля, составленного из колл- и пут-опционов. Мы составили портфель, рассмотрели, какая у него будет выплата на момент expiry, выяснили, что выплата описывается одним линейным уравнением. В отличие от функции выплаты для колл- и пут-опционов, в каждой из которых есть два участка, больше и меньше . Это позволяет составить портфель из более простых инструментов, который даст такую же выплату на expiry в любой ситуации. Цена этих двух портфелей будет равна в любой момент времени, а не только в момент expiry. Это гарантируется нам условием отсутствия арбитража на рынке. Если же на рынке есть арбитраж и это равенство не выполняется, то мы, соответственно, можем купить один из этих портфелей, продать другой и получить гарантированный выигрыш. Это соотношение не зависит от каких-то математических моделей, которые мы могли бы построить, например, для цены базового актива. Это соотношение обязано выполняться в любой модели.

Можно посмотреть на это соотношение еще и так. Мы составили портфель из нескольких активов, имеющих один и тот же риск. Формулу можно переписать, собрав активы, которые несут в себе риск, связанный с базовым активом, с одной стороны. То есть мы можем исключить весь риск, заложенный в этих инструментах, т.е. неопределенность, связанную с будущей ценой базового актива, точно узнав, сколько такой пакет стоит.

Такой способ избавления от риска называется хеджированием. Мы составляем портфель из нескольких инструментов, в которых заложен какой-то одинаковый риск, но подбираем их в таких соотношениях, что эти риски взаимно уравновешивает друг друга и мы от него избавляемся. Такая идея используется и в других, более сложных стратегиях хеджирования. Рассматриваемый случай очень простой, он позволяет работать только с определенной комбинацией опционов.

Если посмотреть на эту идею с другой стороны, то мы могли бы выразить какой-то один из этих инструментов через другие. Например, у нас на рынке есть что-то одно, пут-опцион, то мы автоматически получим и колл-опцион. В этом случае это будет репликация — мы реплицировали выплату одного продукта через другие. Хеджирование и репликация тесно связаны друг с другом, математически это очень похожие выкладки.

В данном случае у нас очень простая ситуация, и для того, чтобы полностью хеджировать риск или реплицировать выплату, нам достаточно один раз составить портфель, и потом мы уже ждем до момента expiry, выплата нам уже гарантирована. Это называется статическая репликация (статическое хеджирование). Это редкий случай, и обычно так не получается сделать. Для того чтобы добиться такого эффекта в более общем виде, нужно будет прибегать к динамическим стратегиям хеджирования. То есть мы составим один раз портфель, но потом нам постоянно надо будет что-то в него добавлять или что-то там изменять, чтобы выплата на момент expiry получилась именно такой, как мы захотим.

Вот такое интересное соотношение пут-колл парити. Несмотря на то что математика очень простая, на его примере можно увидеть несколько очень важных идей, которые применяются в более сложном случае — применение условия безарбитражности, репликация выплаты и хеджирование рисков. На этом мы с этим простым соотношением заканчиваем и можем перейти к построению более сложной модели.

Нам бы хотелось построить такую модель, которая бы давала не только соотношение между колл- и пут-опционами, но и цену опциона как функцию от наблюдаемых на рынке величин. Это потребует более сложной математической теории.

Что такое броуновское движение и кто такой Роберт Браун. Как моделировать броуновское движение на компьютере. Что такое геометрическое броуновское движение

То, что мы рассматривали до сих пор, позволяло нам обходиться очень простым математическим аппаратом, фактически школьной математикой. Чтобы двигаться дальше и построить более сложную математическую модель, нам этого будет недостаточно, и потребуются элементы «взрослой» математики. Поэтому общий подход к дальнейшему изложению будет выглядеть следующим образом: я дам наглядные примеры, из которых будет понятно, как работает математический аппарат в простом случае, а также дам формулировки и теоремы, которыми мы будем пользоваться. Доказывать эти теоремы я не буду. Те, кому интересна математическая часть, могут обратиться к соответствующим учебникам и видеокурсам.

Первое понятие, которое нам потребуется, — броуновское движение. Давайте вспомним, что этот термин означает в физике. Это будет своего рода наглядным примером того, как данный процесс будет устроен в нашей формальной математической модели.

Думаю, что у многих термин «броуновское движение» ассоциируется со школьной программой физики. Многие считают, что человек, который ввел это понятие в научный оборот, был физиком по фамилии Броун и, судя по фамилии, являлся англичанином. Интересно, что все эти предположения неверны. Во-первых, звали этого ученого Robert Brown, что по-русски следует читать как «Роберт Браун». Хотя это могло быть неочевидно для образованного человека XVIII–XIX веков, у которого первый иностранный язык был французский, а второй немецкий. Во-вторых, он не был англичанином — он был шотландцем, что, как мы понимаем, совсем не одно и то же. Ну а самое интересное, он не был физиком — он был ботаником. Когда он провел и описал свой знаменитый эксперимент, он занимался изучением частиц пыльцы под микроскопом. Препарат на предметном стекле был подготовлен в виде капли жидкости, в которой помещались частицы пыльцы для того, чтобы пыльца не улетала от каждого сквозняка и ее можно было спокойно рассматривать.

Внимание Брауна привлек тот факт, что то, что он видит в окуляре микроскопа, не является статической картинкой. Он наблюдал, условно говоря, круглую частицу, которая совершала хаотическое движение. Сегодня мы знаем, что это явление имеет простое объяснение. В растворе вокруг этой частицы есть много молекул, которые очень часто взаимодействуют с ней в случайном направлении, в результате чего частица совершает какое-то сложное движение.

Если мы изобразим ее движение, это будет некоторая случайная траектория.

Какое это имеет отношение к нашей предметной области? На самом деле аналогия прямая. Мы рассматриваем курс финансового актива во времени. На него, как и на ту частицу, в каждый момент времени действует очень много случайных факторов. Мы их не видим, как не видел в микроскоп отдельные молекулы Роберт Браун.

Суммарное воздействие этих случайных факторов приводит к изменению курса актива — так же, как и суммарное воздействие молекул приводит к смещению частицы пыльцы. Процессы эти происходят непрерывно во времени. И таким образом реализуется курс финансового актива. Зависимость курса от времени получается случайным образом, а потому такая траектория называется броуновским движением. В нашем случае это одномерное броуновское движение, так как случайные отклонения происходят лишь относительно одной оси.

Формальная математическая модель процесса, который мы будем использовать, связана с именем другого ученого — американского математика Норберта Винера. Она выглядит следующим образом. Мы рассматриваем функцию непрерывного времени. Поскольку непрерывно, то и функция непрерывная.

В нее заложена случайная составляющая, которая математически определяется следующим образом:

— независимы при условии, что приращения по времени не пересекаются.

Приращение функции от момента времени до момента времени распределено нормально с параметрами 0 и (длина временного промежутка).

В дальнейшем мы увидим, что очень важно уметь генерировать такие пути на компьютере — это необходимо для многих вычислительных методов. Как бы мы могли это сделать? Время, которое в теоретической математической модели непрерывно, мы разбиваем на компьютере на какие-то приращения, обычно с фиксированным шагом. Создаем некую начальную точку, из которой стартует наш процесс, с координатами . Далее для каждого последующего шага по времени генерируем случайную величину с таким распределением, сдвигаемся на шаг. Так делаем в каждой точке. Получилась ломаная линия.

Где-то приращение получилось со знаком «плюс», где-то со знаком «минус». В результате в каждой конкретной точке значение всего процесса определяется кумулятивной суммой всех этих случайных величин. Для того чтобы иметь возможность масштабировать среднее смещение за единицу времени, мы можем ввести также дополнительный параметр, обычно обозначаемый буквой (как и для нормального распределения). Мы можем рассматривать функцию , где — стандартное броуновское движение, а имеет дисперсию шире или уже, в зависимости от того, что нам нужно.

Имея такой процесс, мы бы хотели построить математическую модель, которая бы нам помогла рассчитать цену опционов. Построим уравнения по тому же принципу, как это делали с процентами для дисконтирования в непрерывном времени. Это будет некоторое дифференциальное уравнение.

Если бы мы решали задачу для начисления процентов на некоторую сумму в непрерывном времени, то для небольшого шага по времени у нас было бы верно соотношение или

,

где — это риск-нейтральная процентная ставка. И, перейдя к пределу , получим дифференциальное уравнение

.

Из него получаем уже знакомую нам формулу для дисконтирования в непрерывном времени , где — начальное значение.

Хотелось бы адаптировать эту логику рассуждений для математической модели актива, цена которого в будущем зависит от случайных факторов. Относительное изменение цены нашего актива характеризуется некоторым параметром, аналогом риск-нейтральной ставки (в этом случае параметр характеризует наш базовый актив, он не является риск-нейтральной ставкой). Прибавим к этому выражению еще вероятностную составляющую, которая бы описывалась броуновским движением.

У нас практически есть результат. Перейдем к пределу и получаем уравнение, очень похожее на то, которое мы легко решили для дисконтирования в непрерывном времени.

Но есть техническая проблема. Дело в том, броуновское движение (винеровский процесс), как мы его определили, является непрерывной функцией времени, но она не является дифференцируемой в смысле классического матанализа. Это можно формально доказать (доказательство опустим).

Для того чтобы построить такую модель математически строго, необходимо определить, какой смысл мы вкладываем в выражение . Для этого необходимо использовать стохастический дифференциал, название которого связано с именем еще одного математика, — дифференциал Ито. Он подчиняется другим правилам, не тем, к которым мы привыкли в обычном матанализе.

Я напишу для справки те результаты, которые нам понадобятся относительно этого математического аппарата. Дифференциал Ито подчиняется таким правилам.

,

то для :

.

Это правило отличается от того, как мы дифференцируем функцию двух переменных в обычном матанализе. Если у нас есть две независимые переменные, в обычном матанализе мы берем частные производные и останавливаемся на первых двух членах разложения. Третий компонент разложения дифференциала функции в формуле Ито появляется именно благодаря тому, что мы работаем не с обычными функциями, а со случайным, стохастическим процессом. Этот результат мы берем готовым, не доказывая.

Нужно еще кое-что сказать о в последнем уравнении. По условию , если мы возведем это в квадрат, то возникнут слагаемые с множителями , , . Для применения формулы Ито нужно принять:

; ; .

Все эти правила становятся естественными, если разобраться с тем, что такое интеграл Ито, но для наших целей сейчас достаточно знать, как правильно применять формулу Ито.

И теперь мы можем преодолеть нашу техническую сложность, так как мы знаем, как оперировать с объектом .

В качестве переменной у нас выступает курс базового актива , мы можем его выразить:

.

Далее мы знаем, как записать дифференциал функции, где есть и . Давайте посмотрим, чему равен дифференциал от функции .

Теперь, собрав слагаемые, мы получим выражение для логарифма .

Теперь мы знаем, чему равен (заметим, он имеет нормальное распределение). Нас интересует непосредственно выражение для .

Записанное выше выражение описывает геометрическое броуновское движение. Оно представляет собой некоторый экспоненциальный рост с параметром , который изначально начинается в точке , и вокруг этой экспоненты накладывается шум согласно выражению . Это уже можно считать на компьютере, мы можем генерировать пути броуновского движения. Мы получим некоторые возможные реализации нашего пути для курса базового актива. В этом уравнении есть два параметра: — дисперсия и — дрифт. Они соответствуют дисперсии нормального распределения и смещения нормального распределения для . Как я уже сказал, теперь можно выполнять моделирование на компьютере, однако есть еще один компонент теории, который нам необходимо ввести, чтобы при помощи этого процесса мы могли просчитать цену опционов. Дальше мы поговорим про риск-нейтральную меру.

Источник