полярная система координат применение в жизни

Исследовательская работа «Полярные координаты»

Муниципальное автономное образовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №47»

Чугаев Егор Андреевич

Полканов Владислав Алексеевич

Карнишина Валентина Ивановна

Полярная система координат 4

Графическое представление. 4

История создания. 5

Прямоугольная система координат на плоскости. 6

Связь между декартовыми и полярными координатами 7

Уравнения кривых в полярных координатах7

Использованная литература. 11

Точке на плоскости соответствуют ее координаты. Не всегда удобно и рационально использовать привычную нам прямоугольную декартовую систему координат. Существуют и другие системы. Например, полярная. Правильный выбор системы координат может значительно упростить решение той или иной задачи, получить желаемую наглядность результата.

Цель работы: изучение полярной системы координат; ознакомление с некоторыми кривыми, построенными в этой системе; приобретение навыков решения простейших задач в полярной системе координат.

изучить основную теорию полярной системы координат;

сравнить полярную систему координат с декартовой;

рассмотреть основные кривые и их применение в жизни;

научиться решать простейшие задачи в полярной системе координат.

Полярная система координат (рис. 1,2) двухмерная система координат, в которой каждая точка на плоскости однозначно определяется двумя числами – полярным углом и полярным радиусом. Полярная система координат особенно полезна в случаях, когда отношения между точками проще изобразить в виде радиусов и углов; в более распространённой декартовой, или прямоугольной, системе координат, такие отношения можно установить только путём применения тригонометрических уравнений. Полярная система координат задаётся лучом, который называют нулевым лучом, или полярной осью. Точка, из которой выходит этот луч, называется началом координат, или полюсом. Любая точка на плоскости определяется двумя полярными координатами: радиальной и угловой. Радиальная координата (обычно обозначается r ) соответствует расстоянию от точки до начала координат. Угловая координата также называется полярным углом или азимутом и обозначается φ (фи), равна углу, на который нужно повернуть против часовой стрелки полярную ось для того, чтобы попасть в эту точку. Определённая таким образом радиальная координата может принимать значения от нуля до бесконечности, а угловая координата изменяется в пределах от 0° до 360°. Однако, для удобства область значений полярной координаты можно расширить за пределы полного угла, а также разрешить ей принимать отрицательные значения, что отвечает повороту полярной оси по часовой стрелке.

Полярный угол измеряется в радианах и отсчитывается от полярной оси:

в положительном направлении (против направления движения часовой стрелки), если значение угла положительное; в отрицательном направлении (по направлению движения часовой стрелки), если значение угла отрицательное. Одной из важных особенностей полярной системы координат является то, что одна и та же точка может быть представлена бесконечным количеством способов. Это происходит потому, что для определения азимута точки нужно повернуть полярную ось так, чтобы она указывала на точку. Но направление на точку не изменится, если осуществить произвольное число дополнительных полных оборотов. Углы в полярных координатах задаются либо в градусах, либо в радианах, при этом 2 π =360°.

Существуют разные версии о введении полярных координат в качестве формальной системы координат. Полная история возникновения и исследования описана в работе профессора из Гарварда Джулиан Лоувел Кулидж «Происхождение полярных координат». Грегуар де Сен-Венсан и Бонавентура Кавальери независимо друг от друга пришли к похожей концепции в середине XVII века. Сен-Венсан описал полярную систему в личных заметках в 1625 году, напечатав свои труды в 1647; а Кавальери напечатал свои труды в 1635 году, и исправленную версию в 1653 году. Кавальери применял полярные координаты для вычисления площади, ограниченной спиралью Архимеда. Блез Паскаль впоследствии использовал полярные координаты для вычисления длин параболических дуг.

В книге «Метод флюксий» (англ. Method of Fluxions, написана в 1671 году, напечатана в 1736 году) сэр Исаак Ньютон исследовал преобразование между полярными координатами, которые он обозначал как «Седьмой способ; Для спиралей» («англ. Seventh Manner; For Spirals»), и девятью другими системами координат. В статье, опубликованной в 1691 году в журнале Acta eruditorum, Якоб Бернулли использовал систему с точкой на прямой, которые он назвал полюсом и полярной осью соответственно. Координаты задавались как расстояние от полюса и угол от полярной оси. Работа Бернулли была посвящена проблеме нахождения радиуса кривизны кривых, определённых в этой системе координат.

Введение термина «полярные координаты» приписывают Грегорио Фонтана. В XVIII веке он входил в лексикон итальянских авторов.

Источник

Курсовая работа «Полярная система координат»

В основе аналитической геометрии лежит возможность однозначного описания точек при помощи наборов чисел, называемых координатами. Описание множества, с помощью соотношений между координатами входящих в него точек, позволяет привлечь для него исследования алгебраические методы, что значительно расширяет возможности анализа. Таким образом, возникает связь между алгеброй и геометрией, ее роль выполняет система координат.

Полярная система координат — двумерная система координат, в которой каждая точка на плоскости определяется двумя числами — полярным углом и полярным радиусом. Полярная система координат особенно полезна в случаях, когда отношения между точками проще изобразить в виде радиусов и углов; в более распространённой, декартовой или прямоугольной системе координат, такие отношения можно установить только путём применения тригонометрических уравнений.

Объект исследования: система координат.

Предмет исследования: полярная система координат.

Цель исследования: разобрать приемы и методы решения задач с применением полярной системы координат.

Исходя из поставленной цели, сформулированы следующие задачи исследования:

Изучить и проанализировать теоретический материал полярной системы координат;

рассмотреть примеры линий, заданных в полярной системе координат.

Курсовая работа состоит из введения, четырёх глав, заключения и списка используемой литературы.

1. Определение полярной системы координат

Положение точки на плоскости может быть задано не только декартовыми прямоугольными координатами, но и другими способами.

полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни

Пример 1.1. [4, с. 23] Построить точки, заданные полярными координатами:

Решение: Построим точку Введем Полярную систему координат. Из точки Проведем луч под углом = к Полярной оси и отметим на нем точку В с координатой = 3. Получаем искомую точку В. Остальные точки строятся аналогично.

полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни

Решение: В треугольнике : ( Рисунок 3). По теореме синусов: =

полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни

Используя эту формулу, в частности, получим, что

Пример 1.3. [5, с. 24] Вывести формулу для вычисления расстояния между двумя точками и (), которые заданы полярными координатами. Пользуясь этой формулой, найти расстояние между точками ).

Решение: В треугольнике : ( Рисунок 3). По теореме косинусов:

Источник

Полярные координаты

Помимо аффинной системы координат и её популярного частного случая – прямоугольной (декартовой) системы, существуют и другие подходы к построению координатной сетки плоскости и пространства. В частности, широкое распространение получила полярная система координат, которая невероятно удобна для решения целого спектра практических задач. И через считанные минуты, не успевши опомниться, вы уже будете уверенно ориентироваться в полярных координатах!

Чтобы определить полярную систему координат на плоскости, достаточно зафиксировать начало координат полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизнии задать единичный координатный вектор полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни. Точка полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизниназывается полюсом, а луч полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни, сонаправленный с вектором полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизниполярной осью. Графический шаблон – проще некуда, одна точка, один вектор, одна линия:
полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни
На практике вместо вектора можно где-нибудь в углу указать масштаб, например: 1 ед. = 1 см (две тетрадные клетки). По возможности, старайтесь выбирать именно такую, удобную во многих отношениях метрику.

А теперь сама мякотка:

Любая отличная от начала координат точка полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизниплоскости однозначно определяется своим расстоянием полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизниот полюса и ориентированным углом полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизнимежду полярной осью и отрезком полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни:
полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни
Для самого полюса полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни, а угол полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизнине определён. Не напоминает ли это вам кое-что из темы Комплексные числа? 😉

Число полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизниназывают полярным радиусом точки полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизниили первой полярной координатой. Расстояние не может быть отрицательным, поэтому полярный радиус любой точки полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни. Первую полярную координату также обозначают греческой буквой полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни(«ро»), но я привык к латинскому варианту, и в дальнейшем буду использовать его.

Число полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизниназывают полярным углом данной точки или второй полярной координатой. Полярный угол стандартно изменяется в пределах полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни(так называемые главные значения угла). Однако вполне допустимо использовать диапазон полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни, а в некоторых случаях и вовсе возникает прямая необходимость рассмотреть все значения угла от нуля до «плюс бесконечности». Рекомендую, кстати, привыкнуть к радианной мере угла, поскольку оперировать градусами в высшей математике считается не комильфо.

Пару полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизниназывают полярными координатами точки полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни. Из полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизнилегко найти и их конкретные значения. Тангенс острого угла прямоугольного треугольника – есть отношение противолежащего катета к прилежащему катету: полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни, следовательно, сам угол: полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни. По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни, значит, полярный радиус: полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни

Таким образом, полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни.

Один пингвин хорошо, а стая – лучше полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни:
полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни
Отрицательно ориентированные углы полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизния на всякий случай отметил стрелками, вдруг кто-то из читателей ещё не знал об этой ориентации. При желании можно «прикрутить» к каждому из них 1 оборот ( полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизнирад. или 360 градусов) и получить, к слову, удобные табличные значения:
полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни

Но недостаток этих «традиционно» ориентированных углов состоит в том, что они слишком далеко (более чем, на 180 градусов) «закручены» против часовой стрелки. Предчувствую вопрос: «почему недостаток и зачем вообще нужны какие-то отрицательные углы?» В математике ценятся самые короткие и рациональные пути. Ну а уж с точки зрения физики направление вращения зачастую имеет принципиальное значение – каждый из нас пытался открыть дверь, дёргая ручку не в ту сторону =)

Порядок и техника построения точек в полярных координатах

Красивые картинки красивы, однако построение в полярной системе координат – занятие достаточно кропотливое. Трудностей не возникает с точками, у которых полярные углы составляют полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни, в нашем примере это точки полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни; особых хлопот также не доставляют значения, кратные 45 градусам: полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни. Но как правильно и грамотно построить, скажем, точку полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни?

Потребуется клетчатый листок бумаги, карандаш и следующие чертёжные инструменты: линейка, циркуль, транспортир. В крайнем случае, можно обойтись одной линейкой, а то… и вовсе без неё! Читайте дальше и вы получите ещё одно доказательство, что эта страна непобедима =)

Построить точку полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизнив полярной системе координат.

Прежде всего, нужно выяснить градусную меру угла полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни. Если угол малознаком или вас есть сомнения, то всегда лучше воспользоваться таблицей либо общей формулой перевода радианов в градусы. Итак, наш угол составляет полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни(или полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни).

Начертим полярную систему координат (см. начало урока) и возьмём в руки транспортир. Обладателям круглого инструмента не составит труда отметить 240 градусов, но с большой вероятностью у вас на руках будет полукруглая версия девайса. Проблема полного отсутствия транспортира при наличии принтера и ножниц решается рукоделием.

Есть два пути: перевернуть листок и отметить 120 градусов, либо «прикрутить» пол оборота и рассмотреть противоположный угол полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни. Выберем взрослый способ и сделаем отметку в 60 градусов:
полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни
То ли транспортир лилипутский, то ли клетка гигантская =) Впрочем, чтобы отмерить угол масштаб не важен.

Проводим карандашом тонкую прямую, проходящую через полюс и сделанную отметку:
полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни
С углом разобрались, на очереди полярный радиус. Берём циркуль и по линейке устанавливаем его раствор в 3 единицы, чаще всего, это, конечно же, сантиметры:
полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни
Теперь аккуратно устанавливаем иглу на полюс, и вращательным движением выполняем небольшую засечку (красный цвет). Искомая точка полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизнипостроена:
полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни
Можно обойтись без циркуля, приложив линейку непосредственно к построенной прямой и отмерив 3 сантиметра. Но, как мы увидим позже, в задачах на построение в полярной системе координат типична ситуация, когда нужно отметить две или бОльшее количество точек с одним и тем же полярным радиусом, поэтому эффективнее закалять металл. В частности, на нашем чертеже, развернув ногу циркуля на 180 градусов, легко сделать вторую засечку и построить симметричную относительно полюса точку полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни. На ней давайте и отработаем материал следующего параграфа:

Взаимосвязь прямоугольной и полярной системы координат

Очевидным образом присоединим к полярной системе координат «обычную» систему полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизнии изобразим на чертеже точку полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни:
полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни

Такое присоединение всегда полезно держать в голове, когда выполняете чертёж в полярных координатах. Хотя, волей-неволей оно напрашивается и без лишнего намёка.

Установим взаимосвязь полярных полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизнии декартовых полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизникоординат на примере конкретной точки полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни. Рассмотрим прямоугольный треугольник полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни, в котором гипотенуза равна полярному радиусу: полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни, а катеты – «иксовой» и «игрековой» координатам точки полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизнив декартовой системе координат: полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни.

Синус острого угла – есть отношение противолежащего катета к гипотенузе:
полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни

Косинус острого угла – есть отношение прилежащего катета к гипотенузе:
полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни

Заодно повторили определения синуса, косинуса (и чуть ранее тангенса) из программы 9 класса общеобразовательной школы.

Пожалуйста, занесите в свой справочник рабочие формулы полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни, выражающие декартовы координаты точки через её полярные координаты – с ними нам придётся столкнуться ещё неоднократно, и в следующий раз прямо сейчас =)

Найдём координаты точки полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизнив прямоугольной системе координат:
полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни

Таким образом: полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни

Полученные формулы открывают ещё одну лазейку в задаче построения, когда можно обойтись вообще без транспортира: сначала находим декартовы координаты точки (понятно, на черновике), затем мысленно находим нужное место на чертеже и отмечаем данную точку. На заключительном этапе проводим тонкую прямую, которая проходит через построенную точку и полюс. В результате получается, что угол якобы был отмерян транспортиром.

Забавно, что совсем отчаянные студенты, могут обойтись даже без линейки, используя вместо неё ровный край учебника, тетради или зачётной книжки – ведь о метрике позаботились производители тетрадей, 1 клетка = 5 миллиметров.

Напомнило мне всё это известный анекдот, в котором находчивые лётчики прокладывали курс по пачке Беломора =) Хотя, шутки шутками, а анекдот не так далёк от реальности, помнится, на одном из внутренних рейсов по РФ в лайнере отказали все навигационные приборы, и экипаж успешно посадил борт при помощи обычного стакана с водой, который показывал угол наклона самолёта относительно земли. А лётная полоса – вот она, из лобового стекла виднА.

Используя процитированную в начале урока теорему Пифагора, легко получить и обратные формулы: полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни, следовательно:

полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни

Сам угол «фи» стандартно выражается через арктангенс – абсолютно так же как и аргумент комплексного числа со всеми его заморочками.

Вторую группу формул также целесообразно поместить в свой справочный багаж.

После подробного разбора полётов с отдельно взятыми точками перейдём к закономерному продолжению темы:

Уравнение линии в полярных координатах

По существу, уравнение линии в полярной системе координат представляет собой функцию полярного радиуса полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизниот полярного угла (аргумента). При этом полярный угол учитывается в радианах (!) и непрерывно принимает значения от полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизнидо полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни(иногда следует рассмотреть до бесконечности, или же в ряде задач для удобства от полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизнидо полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни). Каждому значению угла «фи», которое входит в область определения функции полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни, соответствует единственное значение полярного радиуса.

Полярную функцию можно сравнить со своеобразным радаром – когда луч света, исходящий из полюса, вращается против часовой стрелки и «обнаруживает» (прорисовывает) линию.

Дежурным примером полярной кривой является Архимедова спираль полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни. На следующем рисунке изображен её первый виток – когда полярный радиус вслед за полярным углом принимает значения от 0 до полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни:
полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни
Далее, пересекая полярную ось в точке полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни, спираль продолжит раскручиваться, бесконечно далеко удаляясь от полюса. Но подобные случаи на практике встречаются довольно редко; более типичная ситуация, когда на всех последующих оборотах мы «пройдёмся по той же самой линии», которая получена в диапазоне полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни.

В первом же примере мы сталкиваемся и с понятием области определения полярной функции: поскольку полярный радиус неотрицателен полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни, то отрицательные углы здесь рассматривать нельзя.

! Примечание: в ряде случаев принято использовать обобщённые полярные координаты, где радиус может быть отрицательным, и такой подход мы вкратце изучим чуть позже

Кроме спирали Архимеда, есть множество других известных кривых, но искусством, как говорится, сыт не будешь, поэтому я подобрал примеры, которые очень часто встречаются в реальных практических заданиях.

Сначала простейшие уравнения и простейшие линии:

Уравнение вида полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизнизадаёт исходящий из полюса луч. Действительно, вдумайтесь, если значение угла всегда (каким бы ни было «эр») постоянно, то какая это линия?

Примечание: в обобщённой полярной системе координат данное уравнение задаёт прямую, проходящую через полюс

Уравнение вида полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизниопределяет… догадайтесь с первого раза – если для любого угла «фи» радиус остаётся постоянным? Фактически это определение окружности с центром в полюсе радиуса полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни.

Например, полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни. Для наглядности найдём уравнение данной линии в прямоугольной системе координат. Используя полученную в предыдущем параграфе формулу полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни, проведём замену:

полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни

Возведём обе части в квадрат:

полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизниуравнение окружности с центром в начале координат радиуса 2, что и требовалось проверить.

Со времён создания и релиза статьи о линейной зависимости и линейной независимости векторов я получил несколько писем от посетителей сайта, которые задавали вопрос в духе: «вот есть простая и удобная прямоугольная система координат, зачём нужен ещё какой-то косоугольный аффинный случай?». Ответ прост: математика стремится объять всё и вся! Кроме того, в той или иной ситуации немаловажно удобство – как видите, с окружностью значительно выгоднее работать именно в полярных координатах по причине предельной простоты уравнения полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни.

А иногда математическая модель предвосхищает научные открытия. Так, в своё время ректор Казанского университета Н.И. Лобачевский строго доказал, через произвольную точку плоскости можно провести бесконечно много прямых, параллельных данной. В результате он был ошельмован всем научным миром, но… опровергнуть данный факт никто не смог. Только спустя доброе столетие астрономы выяснили, что свет в космосе распространяется по кривым траекториям, где и начинает работать неевклидова геометрия Лобачевского, формально разработанная им задолго до этого открытия. Предполагается, что это свойство самого пространства, кривизна которого нам незаметна ввиду малых (по астрономическим меркам) расстояний.

Рассмотрим более содержательные задачи на построение:

Построить линию полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни

Решение: в первую очередь найдём область определения. Так как полярный радиус неотрицателен, то должно выполняться неравенство полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни. Можно вспомнить школьные правила решения тригонометрических неравенств, но в простых случаях как этот, я советую более быстрый и наглядный метод решения:

Представьте график косинуса. Если он ещё не успел отложиться в памяти, то найдите его на странице Графики элементарных функций. О чём нам сообщает неравенство полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни? Оно сообщает нам о том, что график косинуса должен располагаться не ниже оси абсцисс. А это происходит на отрезке полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни. И, соответственно, интервал полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизнине подходит.

Таким образом, область определения нашей функции: полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни, то есть график полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизнирасположен справа от полюса (по терминологии декартовой системы – в правой полуплоскости).

В полярных координатах часто бывает смутное представление о том, какую линию определяет то или иное уравнение, поэтому чтобы её построить, необходимо найти принадлежащие ей точки – и чем больше, тем лучше. Обычно ограничиваются десятком-другим (а то и меньшим количеством). Проще всего, конечно же, взять табличные значения угла. Для бОльшей ясности к отрицательным значениям я буду «прикручивать» один оборот:
полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни

В силу чётности косинуса полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизнисоответствующие положительные значения можно заново не считать:
полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни

Изобразим полярную систему координат и отложим найденные точки, при этом одинаковые значения «эр» удобно откладывать за один раз, делая парные засечки циркулем по рассмотренной выше технологии:
полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни
В принципе, линия отчётливо прорисовывается, но чтобы стопроцентно подтвердить догадку, давайте найдём её уравнение в декартовой системе координат. Можно применить недавно выведенные формулы полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни, но я расскажу вам о более хитром приёме. Обе части уравнения полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизниискусственно домножаем на «эр»: полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизнии используем более компактные формулы перехода полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни:

полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни

Выделяя полный квадрат, приводим уравнение линии к узнаваемому виду:
полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни
полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизниуравнение окружности с центром в точке полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни, радиуса 2.

Коль скоро по условию требовалось просто выполнить построение и всё, плавно соединяем найденные точки линией:
полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни
Готово. Ничего страшного, если получится немного неровно, вы же не обязаны были знать, что это окружность 😉

Почему мы не рассмотрели значения угла вне промежутка полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни? Ответ прост: нет смысла. Ввиду периодичности функции полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизнинас ждёт бесконечный бег по построенной окружности.

Несложно провести нехитрый анализ и прийти к выводу, что уравнение вида полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизнизадаёт окружность диаметра полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизнис центром в точке полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни. Образно говоря, все такие окружности «сидят» на полярной оси полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизнии обязательно проходят через полюс. Если же полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни, то весёлая компания перекочует налево – на продолжение полярной оси (подумайте, почему).

Похожая задача для самостоятельного решения:

Построить линию полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизнии найти её уравнение в прямоугольной системе координат.

Систематизируем порядок решения задачи:

В первую очередь находим область определения функции, для этого удобно посмотреть на синусоиду, чтобы сразу же понять, где синус неотрицателен.

На втором шаге рассчитываем полярные координаты точек, используя табличные значения углов; проанализируйте, нельзя ли сократить количество вычислений?

На третьем шаге откладываем точки в полярной системе координат и аккуратно соединяем их линией.

И, наконец, находим уравнение линии в декартовой системе координат.

Примерный образец решения в конце урока.

Общий алгоритм и технику построения в полярных координатах мы детализируем
и существенно ускорим во второй части лекции, но перед этим познакомимся ещё с одной распространённой линией:

Полярная роза

Совершенно верно, речь пойдёт о цветке с лепестками:

Построить линии, заданные уравнениями в полярных координатах

а) полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни
б) полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни

Существует два подхода к построению полярной розы. Сначала пойдём по накатанной колее, считая, что полярный радиус не может быть отрицательным:

Решение:

а) Найдём область определения функции:
полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни

Такое тригонометрическое неравенство тоже нетрудно решить графически: из материалов статьи Геометрические преобразования графиков известно, что если аргумент функции удвоить, то её график сожмётся к оси ординат в 2 раза. Пожалуйста, найдите график функции полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизнив первом же примере указанного урока. Где данная синусоида находится выше оси абсцисс? На интервалах полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни. Следовательно, неравенству полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизниудовлетворяют соответствующие отрезки, и область определения нашей функции: полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни.

Вообще говоря, решение рассматриваемых неравенств представляет собой объединение бесконечного количества отрезков, но, повторюсь, нас интересует только один период.

Возможно, некоторым читателям более лёгким покажется аналитический способ нахождения области определения, условно назову его «нарезка круглого пирога». Резать будем на равные части и, прежде всего, найдём границы первого куска. Рассуждаем следующим образом: синус неотрицателен, когда его аргумент находится в пределах от 0 до полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизнирад. включительно. В нашем примере: полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни. Разделив все части двойного неравенства на 2, получаем искомый промежуток:

полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни

Теперь начинаем последовательно «нарезать равные куски по 90 градусов» против часовой стрелки:

– найденный отрезок полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни, понятно, входит в область определения;

– следующий интервал полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни– не входит;

– следующий отрезок полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни– входит;

– и, наконец, интервал полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни– не входит.

Прямо, как по ромашке – «любит, не любит, любит, не любит» =) С тем отличием, что тут не гадание. Да, прямо какая-то любовь по-китайски получается….

Итак, полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизнии линия полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизнипредставляет собой розу с двумя одинаковыми лепестками. Чертёж вполне допустимо выполнить схематически, однако крайне желательно правильно найти и отметить вершины лепестков. Вершинам соответствуют середины отрезков области определения, которые в данном примере имеют очевидные угловые координаты полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни. При этом длины лепестков составляют:
полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни

Вот закономерный результат заботливого садовника:
полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни
Следует отметить, что длину лепестка легко сразу усмотреть из уравнения полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни– так как синус ограничен: полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни, то максимальное значение «эр» заведомо не превзойдёт двух.

б) Построим линию, заданную уравнением полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни. Очевидно, что длина лепестка этой розы тоже равна двум, но, прежде всего, нас интересует область определения. Применим аналитический метод «нарезки»: синус неотрицателен, когда его аргумент находится в пределах от нуля до «пи» включительно, в данном случае: полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни. Делим все части неравенства на 3 и получаем первый промежуток:

полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни

Далее начинаем «нарезку пирога кускам» по полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизнирад. (60 градусов):
– отрезок полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизнивойдёт в область определения;
– интервал полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни– не войдёт;
– отрезок полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни– войдёт;
– интервал полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни– не войдёт;
– отрезок полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни– войдёт;
– интервал полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни– не войдёт.

Процесс успешно завершён на отметке 360 градусов.

Таким образом, область определения: полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни.

Проводимые действия полностью либо частично несложно осуществлять и мысленно.

Построение. Если в предыдущем пункте всё благополучно обошлось прямыми углами и углами в 45 градусов, то здесь придётся немного повозиться. Найдём вершины лепестков. Их длина полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизнибыла видна с самого начала задания, осталось вычислить угловые координаты, которые равны серединам отрезков области определения:
полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни

Обратите внимание, что между вершинами лепестков должны обязательно получиться равные промежутки, в данном случае 120 градусов.

Чертёж желательно разметить на 60-градусные секторы (отграничены зелёными линиями) и провести направления вершин лепестков (серые линии). Сами вершины удобно наметить с помощью циркуля – единожды отмерять расстояние в 2 единицы и нанести три засечки на прочерченных направлениях в 30, 150 и 270 градусов:
полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни
Готово. Понимаю, что занятие хлопотное, но если хотите всё оформить по уму, то придётся потратить время.

Сформулируем общую формулу: уравнение вида полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни, полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни– натуральное число), задаёт полярную полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни-лепестковую розу, длина лепестка которой равна полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни.

Например, уравнение полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизнизадаёт четырёхлистник с длиной лепестка в 5 единиц, уравнение полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни– 5-лепестковую розу с длиной лепестка в 3 ед. и т.д.

О втором подходе я хотел вообще умолчать, однако не могу пройти мимо – уж слишком он распространён. Суть состоит в том, что полярная роза часто рассматривается в обобщённых полярных координатах, где полярный радиус может быть отрицательным. Вопрос области определения отпадает, но появляются другие приколы.

Во-первых, разберёмся, как строить точки с отрицательным значением «эр». Если полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни, то нужно мысленно найти точку с таким же углом, но радиуса полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизнии отобразить её симметрично относительно полюса. Вернёмся к первой полярной розе полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизнии рассмотрим интервал полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни, на котором полярный радиус отрицателен. Как, например, изобразить точку полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни? Мысленно находим точку полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни(левый верхний сектор) и отображаем её симметрично относительно полюса в точку полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни. Таким образом, когда угол принимает значения из интервала полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни, то прорисовывается ещё один лепесток в правом нижнем секторе:
полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни
И, соответственно, когда угол проходит значения полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни, то прорисовывается 4-й лепесток в противоположном (левом верхнем) секторе:
полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни
Интересно отметить, что при таком подходе вторая полярная роза полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизнисохраняет своё количество лепестков. А происходит это по одной простой причине: когда угол проходит пустующие секторы (ещё раз посмотрите на чертёж!), то полярный радиус принимает отрицательные значения и из этих пустых секторов точки отображаются напротив, ровнёхонько накладываясь на «легальные» лепестки.

Сформулируем правило розы для обобщенной системы координат: уравнение вида полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни, полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни– натуральное) задаёт полярную розу с длиной лепестка полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни, при этом:

1) если полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни— чётное, то роза имеет ровно полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизнилепестков;
2) если полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни— нечётное, то роза имеет ровно полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизнилепестков.

Например, роза полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизниимеет 8 лепестков, роза полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни– пять лепестков, роза полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни– 12 лепестков, роза полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни– 7 лепестков и т.д.

А почему закономерность столь необычна, я только что проиллюстрировал геометрически.

Какой способ выбрать, решать вам, …но я бы не особо рекомендовал использовать обобщенные полярные координаты – у преподавателя могут появиться дополнительные вопросы на счет отрицательных значений полярного радиуса (а то и вообще всё будет забраковано по этой причине)

Короткая задача для самостоятельного решения:

Построить линии, заданные уравнением в полярных координатах

а) полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни
б) полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни

Сформулировать общее правило о количестве и длине лепестков полярной розы вида полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни, полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни– натуральное)

В моём образце решение проведено 1-м способом. Повторим порядок действий:

– Сначала находим область определения. При этом для лучшего понимания своих действий рекомендую соотносить аналитический способ «нарезки» с графической интерпретацией. По материалам урока Геометрические преобразования графиков выясните, как выглядят, и при необходимости начертите графики функций полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни.

– Находим угловые координаты вершин лепестков – они расположены ровно посередине промежутков области определения.

– Выполняем чертёж. Пойдёт схематическая версия, однако желательно разметить найденные секторы и угловые направления вершин лепестков (в случае необходимости – с помощью транспортира). Вершины удобно засекать циркулем, предварительно установив раствор, равный длине лепестка.

Существуют более солидные и общие формулы окружности, полярной розы и желающие могут с ними ознакомиться в других источниках информации. Я лишь ограничился практически значимыми (с моей точки зрения) примерами.

Предлагаю перейти ко 2-й части занятия под названием Как построить линию в полярной системе координат?, где мы продолжим рассматривать типовые задачи, и усовершенствуем свои навыки.

Пример 3: Решение: найдём область определения:
полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни
Вычислим полярные координаты точек, принадлежащих данной линии:
полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни
Выполним чертёж:
полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни
Найдём уравнение линии в декартовой системе координат:
полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни
Проведём замены полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни:
полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни
Выделим полный квадрат:
полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни
полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни– окружность с центром в точке полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни(координаты декартовы!) радиуса полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни.

Дополнительная информация: уравнение вида полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизнизадаёт окружность диаметра полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизнис центром в точке полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни.

Пример 5: Решение:
а) Найдём область определения: косинус неотрицателен, когда его аргумент находится в пределах от полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизнидо полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизнирад. включительно. В данном случае: полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни. Или:
полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни.
Таким образом:
– отрезок полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизнипринадлежит области определения;
– интервал полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни– не принадлежит;
– отрезок полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни– принадлежит;
– интервал полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни– не принадлежит.
Область определения: полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни.
Роза имеет два лепестка, вершины которых находятся на полярной оси и её продолжении, длина лепестка равна полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни:
полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни
б) область определения: полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни. Роза имеет три лепестка единичной длины с вершинами, имеющими следующие угловые координаты:
полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни
Выполним чертёж:
полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни
Уравнение вида полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни, полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни– натуральное), задаёт полярную
полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни-лепестковую розу, длина лепестка которой равна полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни. Если рассматривается обобщенная полярная система координат, то при чётном значения «ка» количество лепестков удваивается.

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

полярная система координат применение в жизни. Смотреть фото полярная система координат применение в жизни. Смотреть картинку полярная система координат применение в жизни. Картинка про полярная система координат применение в жизни. Фото полярная система координат применение в жизни «Всё сдал!» — онлайн-сервис помощи студентам

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *