Что значит решить неравенство с одной переменной

Линейные неравенства с одной переменной

теория по математике 📈 неравенства

Выражение с одной переменной, содержащее знак неравенства, называется неравенством с одной переменной. Например:

23х+11 9

Неравенства такого вида называют линейными неравенствами с одной переменной, так как х в них в первой степени.

Вспомним, что в зависимости от знака неравенства, их называют строгие знаки ( ) или нестрогие знаки (≤ и ≥).

Решением неравенства с одной переменной является значение переменной, при котором данное неравенство обращается в верное числовое неравенство.

Решить неравенство – это значит найти все его решения или доказать, что решений нет.

При решении неравенства с одной переменной пользуются следующими свойствами.

Рассмотрим решение линейных неравенств с одной переменной на примерах.

Пример №1. Решить неравенство:

В рассмотренных примерах мы получали неравенства, у которых коэффициент при переменной не равен нулю. Но есть случаи, когда получается неравенство вида 0•х>a или 0•х

Пример №3. Решить неравенство:

3х–15 Решить неравенство:

Выполним все необходимые действия, получим:

Данное неравенство при любом значении х будет иметь вид 0>–10, а это верное неравенство, значит х – любое число. Следовательно, ответ в данном неравенстве – «х – любое число».

Источник

Решение неравенств с одной переменной

Урок 32. Алгебра 8 класс ФГОС

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока «Решение неравенств с одной переменной»

Ранее мы с вами изучили свойства числовых неравенств. На этом уроке нам понадобятся следующие теоремы:

Зная основные свойства числовых неравенств, и умея их правильно применять, можно научиться решать неравенства. Чем мы и будем заниматься на этом уроке.

Итак, рассмотрим неравенство:

Такие неравенства называют неравенством с одной переменной или неравенством с одним неизвестным.

Но это не все решения данного неравенства. Чтобы найти все его решения, нужно рассмотреть следующие равносильные переходы.

Решением неравенства с одной неизвестной называется значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство.

Решить неравенство – это значит найти все его решения или доказать, что их нет.

Два неравенства называются равносильными, если каждое решение одного неравенства является решением другого, и наоборот, т.е. они имеют одни и те же решения. Равносильными называются и неравенства, которые не имеют решений.

При решении неравенств используют следующие свойства:

Задание: решить неравенство:

В каждом из рассмотренных примеров мы заменяли заданное неравенство равносильным ему неравенством вида или , где а и b – некоторые числа.

Неравенства такого вида называют линейными неравенствами с одной переменной.

Обратите внимание, в примерах мы получали линейные неравенства, в которых коэффициент при переменной не равен нулю. Но может случиться так, что при решении неравенства мы придём к линейному неравенству вида или . Неравенство такого вида, а значит, и соответствующее исходное неравенство либо не имеют решений, либо их решением является любое число.

Например, решим неравенства:

Неравенства вида , , , называются линейными неравенствами с одной переменной.

Решением неравенства с одной неизвестной называется значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство.

Решить неравенство – это значит найти все его решения или доказать, что их нет.

Два неравенства называются равносильными, если каждое решение одного неравенства является решением другого.

Равносильными называются и неравенства, которые не имеют решений.

Источник

Решение линейных неравенств

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Основные понятия

Алгебра не всем дается легко с первого раза. Чтобы не запутаться во всех темах и правилах, важно изучать темы последовательно и по чуть-чуть. Сегодня узнаем, как решать линейные неравенства.

Линейные неравенства — это неравенства вида:

где a и b — любые числа, a ≠ 0, x — неизвестная переменная. Как решаются неравенства рассмотрим далее в статье.

Решение — значение переменной, при котором неравенство становится верным.

Решить неравенство значит сделать так, чтобы в левой части осталось только неизвестное в первой степени с коэффициентом равном единице.

Типы неравенств

Линейные неравенства: свойства и правила

Вспомним свойства числовых неравенств:

Если же а b и c > d, то а + c > b + d.

Если а 8 почленно вычесть 3 > 2, получим верный ответ 9 > 6. Если из 12 > 8 почленно вычесть 7 > 2, то полученное будет неверным.

Если а d, то а – c b, m — положительное число, то mа > mb и

Обе части можно умножить или разделить на одно положительное число (знак при этом остаётся тем же).

Если же а > b, n — отрицательное число, то nа

Обе части можно умножить или разделить на одно отрицательное число, при этом знак поменять на противоположный.

Если а 0, то аc b, где а, b > 0, то а2 > b2, и если а b, где а, b > 0, то
b» height=»45″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/MuRDPQeqxIZvVG_mHVaktFp6nlIEEbz8zdRs1ZW8CZbZacJrS4aKzrDyhKxXpJvc35TSAgiRpqr-63sGzL9_sPU80vFhR0ZDAmSmRFZtwEldDkWRttfSGuaJJIb7xWxZDugU3xTt»>

Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое трансформирует его в верное числовое неравенство.

Чтобы упростить процесс нахождения корней неравенства, нужно провести равносильные преобразования — то заменить данное неравенство более простым. При этом все решения должны быть сохранены без возникновения посторонних корней.

Свойства выше помогут нам использовать следующие правила.

Правила линейных неравенств

Решение линейных неравенств

Со школьных уроков мы помним, что у неравенств нет ярко выраженных различий, поэтому рассмотрим несколько определений.

Неравенства ax + b > 0 и ax > c равносильные, так как получены переносом слагаемого из одной части в другую.

Определение 3. Линейные неравенства с одной переменной x выглядят так:

где a и b — действительные числа. А на месте x может быть обычное число.

Равносильные преобразования

Рассмотрим пример: 0 * x + 5 > 0.

Как решаем:

Метод интервалов

Метод интервалов можно применять для линейных неравенств, когда значение коэффициента x не равно нулю.

Метод интервалов это:

Если a ≠ 0, тогда решением будет единственный корень — х₀;

Для этого найдем значения функции в точках на промежутке;

Как решаем:

Изобразим координатную прямую с отмеченной выколотой точкой, так как неравенство является строгим.

Чтобы определить на промежутке (−∞, 2), необходимо вычислить функцию y = −6x + 12 при х = 1. Получается, что −6 * 1 + 12 = 6, 6 > 0. Знак на промежутке является положительным.

По чертежу делаем вывод, что решение имеет вид (−∞, 4) или x

Графический способ

Смысл графического решения неравенств заключается в том, чтобы найти промежутки, которые необходимо изобразить на графике.

Алгоритм решения y = ax + b графическим способом

Рассмотрим пример: −5 * x − √3 > 0.

Как решаем

Ответ: (−∞, −√3 : 5) или x

Источник

Метод интервалов, решение неравенств

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Определение квадратного неравенства

Числовое неравенство — это такое неравенство, в записи которого по обе стороны от знака находятся числа или числовые выражения.

Решение — значение переменной, при котором неравенство становится верным.

Решить неравенство значит найти множество, для которых оно выполняется.

Квадратное неравенство выглядит так:

Квадратное неравенство можно решить двумя способами:

Решение неравенства графическим методом

При решении квадратного неравенства необходимо найти корни соответствующего квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0. Чтобы найти корни, нужно найти дискриминант данного уравнения.

Как дискриминант влияет на корни уравнения:

Решение неравенства методом интервалов

Метод интервалов — это специальный алгоритм, который предназначен для решения рациональных неравенств.

Рациональное неравенство имеет вид f(x) ≤ 0, где f(x) — рациональная функция. При этом знак может быть любым: >, или ≥ — наносим штриховку над промежутками со знаками +.

Если неравенство со знаком

Плюс или минус: как определить знаки

Можно сделать вывод о знаках по значению старшего коэффициента a:

если a > 0, последовательность знаков: +, −, +,

если a 0, последовательность знаков: +, +,

Теперь мы знаем пошаговый алгоритм. Чтобы закрепить материал потренируемся на примерах и научимся использовать метод интервалов для квадратных неравенств.

Неравенство примет вид:

В этом весь смысл метода интервалов: определить интервалы значений переменной, на которых ситуация не меняется и рассматривать их как единое целое.

Отобразим эти данные на чертеже:

2 3 — на этом интервале ситуация не изменяется. Значит нужно взять любое значение из этого интервала и подставить его в произведение. Например: х = 25.

Удовлетворяющие неравенству точки закрасим, а не удовлетворяющие — оставим пустыми.

Пример 2. Применить метод интервалов для решения неравенства х2+4х+3

Источник

Решение неравенств с одной переменной

Урок 30. Алгебра 11 класc

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока «Решение неравенств с одной переменной»

• на подробных примерах рассмотреть основные методы решения неравенств с одной переменной;

• повторить теоремы равносильности для неравенств;

• повторить определение «система неравенств» и «совокупность неравенств».

Сегодня на уроке мы постараемся обобщить все наши сведения о неравенствах, вспомним основные типы неравенств и основные методы решения неравенств с одной переменной.

Прежде всего, начнем с такого понятия как равносильность неравенств. Напомним, что решением неравенства f(x) > g(x) называют всякое значение переменной x, которое обращает данное неравенство в верное числовое неравенство.

Иногда можно встретить термин «частное решение». Множество всех частных решений неравенства называют общим решением, но чаще говорят просто «решение».

Дадим определение: два неравенства с одной переменной f(x) > g(x) и p(x) > h(x) называют равносильными, если их решения (или по другому – множество частных решений) совпадают.

Отметим, что знак больше в данных неравенствах необязателен, здесь может стоять любой знак неравенства как строгий так и нестрогий. Это же справедливо для всех утверждений, с которыми мы будем встречаться на сегодняшнем уроке.

Сформулируем еще одно определение: если решения неравенства f(x) > g(x) содержится в решении неравенства p(x) > h(x), то неравенство p(x) > h(x) называют следствием неравенства f(x) > g(x).

При решении уравнений получить уравнение следствие было не страшно, поскольку посторонние корни всегда можно было отсеять с помощью проверки. В неравенствах, как правило, решениями являются бесконечные множества чисел, поэтому доводить дело до проверки нецелесообразно. Поэтому при решении неравенств надо стараться выполнять только равносильные преобразования.

Как и при решении уравнений при решении неравенств пользуются шестью теоремами равносильностью.

Теорема 1. Если какой-либо компонент неравенства перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком, оставив знак неравенства без изменения, то получится неравенство, равносильное данному.

Теорема 2. Если обе части неравенства возвести в одну и ту же нечетную степень, оставив знак неравенства без изменения, то получится неравенство, равносильное данному.

Прежде чем перейти к решению конкретных примеров, давайте вспомним определения систем и совокупностей неравенств и определим их отличия.

Говорят, что несколько неравенств с одной переменной образуют систему неравенств, если ставится задача найти все такие значения переменной, каждое из которых является частным решением всех заданных неравенств. Значение переменной, при котором каждое из неравенств системы обращается в верное числовое неравенство, называют частным решением системы неравенств. Множество всех частных решений системы неравенств представляет собой общее решение системы неравенств (чаще говорят просто решение системы неравенств).

Решить систему неравенств – значит найти все ее частные решения. Решение системы неравенств представляет собой пересечение решений неравенств, образующих систему.

Говорят, что несколько неравенств с одной переменной образуют совокупность неравенств, если ставится задача найти все такие значения переменной, каждое из которых является решением хотя бы одного из заданных неравенств. Каждое такое значение переменной называют частным решением совокупности неравенств. Множество всех частных решений совокупности неравенств представляет собой решение совокупности неравенств.

Решение совокупности неравенств представляет собой объединение решений неравенств, образующих совокупность.

Неравенства, образующие систему, объединяются фигурной скобкой, а неравенства, образующие совокупность, – квадратной скобкой. Иногда неравенства, составляющие совокупность записывают в строчку, разделяя их точкой с запятой.

Рассмотрим еще один пример.

Рассматривая логарифмические неравенства, мы говорили, что при решении логарифмических неравенств переходят от неравенства:

Первые два неравенства каждой из этих систем определяют ОДЗ переменной для исходного неравенства, а знак последнего неравенства каждой из систем либо совпадает со знаком исходного неравенства, в случае, когда а > 1, любо противоположен знаку исходного неравенства, в случае, когда 0 Оцените видеоурок

Источник

• ← с днем рождения мужчине цитаты и афоризмы мудрые высказывания
• Уровень upper intermediate что это значит →