Что значит равносильные неравенства

Понятие равносильных неравенств и неравенств-следствий.

Равносильными неравенствами называются неравенства, имеющие одни и те же решения или не имеющие таковых.

Другими словами, если каждое, отдельно взятое, решение первого неравенства является решением второго неравенства, а каждое, отдельно взятое, решение второго неравенства является решением первого, то такие неравенства равносильны.

б) каждое из неравенств не имеет решений. Значит, эти неравенства равносильны;

в) неравенства и не являются равносильными, так как второе неравенство в множестве своих решений содержит число 5, которое не является решением первого неравенства.

Равносильное преобразование неравенства – это замена его другим, равносильным ему неравенством, то есть, неравенством, имеющим то же множество решений. Сами преобразования, приводящие к равносильному неравенству, также называют равносильными преобразованиями.

Перечислим наиболее часто используемые равносильные преобразования неравенств.

Если выражения в левой и (или) правой части неравенства заменить тождественно равными выражениями на всей области определения исходного неравенства, то получится неравенство, равносильное данному.

Если к обеим частям неравенства прибавить (или отнять) одно и то же выражение, не изменяющее область определения исходного неравенства, то получится неравенство, равносильное данному.

Если какой-либо член неравенства перенести из одной части в другую с противоположным знаком, то получится неравенство равносильное исходному.

Если обе части неравенства умножить (разделить) на одно и то же выражение, положительное при всех значениях аргумента из области определения исходного неравенства, то получится неравенство, равносильное исходному.

Если обе части неравенства умножить (разделить) на одно и то же выражение, отрицательное при всех значениях аргумента из области определения исходного неравенства, и поменять знак неравенства на противоположный, то получится неравенство, равносильное исходному.

Если обе части неравенства возвести в одну и ту же нечётную степень, то получится неравенство, равносильное исходному.

Если обе части неравенства неотрицательны на всей области определения, то возведя обе части неравенства в одну и ту же чётную степень, получится неравенство, равносильное исходному.

Приведём несколько примеров применения равносильных преобразований при решении неравенств.

Если решение первого неравенства содержится в решении второго неравенства, то второе является следствием первого.

Итак, в завершение ещё раз обращаем внимание на то, что при решении неравенств необходимо совершать равносильные преобразования, во избежание появления посторонних решений или потери решений.

Источник

Равносильные неравенства, преобразование неравенств

В процессе решения неравенств зачастую происходит переход от заданного неравенства к неравенствам иного вида, имеющим то же решение, но определяемое проще. Иными словами, в результате преобразований заданное неравенство возможно заменить равносильным ему, облегчающим поиск решения. Данная статья посвящена способам равносильных преобразований. Сформулируем определение, рассмотрим основные виды преобразований.

Равносильные неравенства: определение, примеры

Равносильные неравенства – неравенства, имеющие одни и те же решения. В частном случае, неравенства, не имеющие решений, тоже называются равносильными.

Иными словами, если неравенства равносильны и имеют решения, то любое решение первого будет являться и решением второго. Ни одно из равносильных неравенств не имеет решений, не являющихся решениями других, равносильных ему неравенств.

Неравенства х > 3 и х ≥ 3 – не равносильные: х = 3 служит решением второго из этих равенств, но не служит решением первого.

Отметим, что указанное определение относится к неравенствам как с одной переменной, так и с двумя, тремя и более.

Равносильные преобразования неравенств

Возможно совершить некоторые действия с правой и левой частью неравенств, что даст возможность получать новые неравенства, имеющие решения, как и у исходного.

Равносильное преобразование неравенства – это замена исходного неравенства равносильным ему, т.е. таким, которое имеет то же множество решений. Сами действия-преобразования, приводящие к равносильному неравенству, тоже называют равносильными преобразованиями.

Равносильные преобразования дают возможность находить решения неравенств, преобразуя заданное неравенство в равносильное ему, но более простое и удобное для решения.

Рассмотрим основные виды равносильных преобразований: по сути без них не обходится решение ни одного неравенства. Отметим также, что равносильные преобразования неравенств очень похожи на равносильные преобразования уравнений. Схожи и принципы доказательства, только, конечно, в данном случае доказательства будут строиться на основе свойств числовых неравенств.

Итак, перечислим основные виды равносильных преобразований неравенств:

Подобные преобразования не должны сужать ОДЗ заданного неравенства, тогда возможно совершать тождественные преобразования обеих сторон неравенства.

Покажем пример использования.

Еще раз особенно укажем, как важен учет ОДЗ (область допустимых значений) при совершении замены частей неравенства тождественными выражениями. В случае, когда ОДЗ нового неравенства будет отлична от ОДЗ исходного, неравенство не может считаться равносильным. Это крайне важный аспект, пренебрежение им приводит к неверным ответам при решении неравенств.

Таким же образом приводится доказательство второй части утверждения. Здесь можно опереться на свойство умножения и деления числовых неравенств на отрицательное число при смене знака неравенства на противоположный.

Расширим и это свойство неравенств:

В целом, есть и другие равносильные преобразования, однако, они не так распространены и скорее имеют отношение к конкретному виду неравенств, например, к логарифмическим неравенствам. Познакомиться с ними можно подробнее в соответствующей теме.

Результат неравносильных преобразований неравенств

Сколь уж существуют равносильные преобразования, имеют место и неравносильные. Такие действия приводят к искажению заданного неравенства и дают в итоге решение, не являющееся истинным для исходного неравенства. Случается, что и при неравносильных преобразованиях получается верный ответ, но это не более чем случайность.

Собственно, вывод очевиден: решая неравенства, производить только равносильные преобразования.

Разберем примеры для лучшего понимания теории.

Пусть необходимо решить второе неравенство.

Посмотрим с другой стороны:

Неравносильные преобразования чаще всего происходят при невнимательном использовании свойств корней, логарифмов и модуля. Эти моменты будут детально рассмотрены в темах о решении неравенств соответствующих видов.

Источник

Равносильные неравенства, преобразование неравенств.

Часто процесс решения неравенств представляет собой переход от исходного неравенства к неравенствам, имеющим те же решения, но которые проще найти. Другими словами, исходное неравенство с помощью определенных преобразований заменяется так называемым равносильным неравенством, решение которого совпадает с решением исходного, и которое мы можем отыскать. В этой статье мы как раз поговорим о равносильных неравенствах и о равносильных преобразованиях, позволяющих получать равносильные неравенства.

Здесь мы сначала дадим определение равносильных неравенств и приведем примеры. Дальше перечислим и докажем основные виды равносильных преобразований неравенств. А в заключение проясним, почему при решении неравенств нужно использовать только равносильные преобразования.

Навигация по странице.

Равносильные неравенства, определение, примеры

Начнем, естественно, с определения равносильных неравенств:

Неравенства, которые имеют одни и те же решения, называются равносильными неравенствами. В частности, неравенства, не имеющие решений, также называют равносильными.

Другими словами, два неравенства равносильны, если они оба не имеют решений, а если они имеют решения, то каждое отдельно взятое решение первого из них является решением и второго, а каждое отдельно взятое решение второго является решением первого неравенства. Также ни одно из равносильных неравенств не может иметь решений, которые не являются решениями всех других из этих неравенств.

Равносильные преобразования неравенств

Выполнение некоторых действий с правой и/или левой частью неравенства или с их отдельными слагаемыми может давать новые неравенства, имеющие те же решения, что и исходное неравенство. Замену исходного неравенства на новое равносильное ему неравенство при помощи таких действий назвали равносильным преобразованиям неравенства.

Равносильное преобразование неравенства – это его замена другим равносильным ему неравенством, то есть, неравенством, имеющим то же множество решений. Сами преобразования, приводящие к равносильному неравенству, также называют равносильными преобразованиями.

Возникает логичный вопрос: «Зачем вообще нужны эти равносильные преобразования неравенств»? Например, они позволяют решать неравенства: с их помощью от решения исходного неравенства можно перейти к решению более простого, но равносильного неравенства.

Теперь можно перейти к знакомству с основными и наиболее часто используемыми равносильными преобразованиями неравенств, которые иногда называют свойствами неравенств. Им стоит уделить должное внимание – без их использования не обходится решение почти ни одного неравенства.

Заметим, что они похожи на равносильные преобразования уравнений. Принцип их доказательства тоже аналогичен, только здесь в основе доказательства будут лежать, естественно, свойства числовых неравенств, а не свойства числовых равенств.

Замена выражения в левой и/или правой части неравенства тождественно равным выражением на области допустимых значений (ОДЗ) переменных исходного неравенства является равносильным преобразованием неравенства.

Что же означает доказанное утверждение? На его основе можно выполнять тождественные преобразования выражений, находящихся по разные стороны от знака неравенства, но при условии, что эти преобразования не сужают ОДЗ исходного неравенства, и в результате будет получено равносильное неравенство.

Отдельно подчеркнем важность учета ОДЗ при замене частей неравенства тождественно равными им выражениями: если ОДЗ полученного неравенства будет отличаться от ОДЗ исходного неравенства, то это неравенство может быть не равносильно исходному. Этот момент критически важен, он может приводить к неверным ответам при решении неравенств. Не менее важен и момент, касающийся замены на именно тождественно равное выражение. На этих нюансах мы будем заострять внимание при каждом удобном случае в статьях по схожей тематике, и к ним мы еще вернемся в последнем пункте этой статьи. А сейчас переходим к следующему равносильному преобразованию неравенств.

Прибавление (или вычитание) из обеих частей неравенства одного и того же числа является равносильным преобразованием.

Только что доказанное свойство можно обобщить: если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же выражение, не приводящее к изменению ОДЗ исходного неравенства, то получится равносильное неравенство.

Например, замена неравенства x неравенством x+(12·x−1) является равносильным преобразованием.

Из уже изученных равносильных преобразований неравенств следует еще одно, которое используется чаще двух предыдущих: перенос любого слагаемого из одной части неравенства в другую с противоположным знаком является равносильным преобразованием.

Аналогично доказывается и вторая часть. Здесь при доказательстве нужно учитывать свойство умножения и деления числовых неравенств на отрицательное число, не забывая изменять знак неравенства на противоположный.

Обобщим и это свойство неравенств:

Существуют и другие равносильные преобразования неравенств, но они уже не столь общи и относятся к конкретному виду неравенств, например, к логарифмическим неравенствам. С ними мы детально познакомимся, когда будем говорить о решении неравенств этих видов.

К чему приводят неравносильные преобразования неравенств?

Понятно, что кроме равносильных преобразований неравенств есть и неравносильные, от которых, решая неравенства, нужно держаться подальше. А дело здесь в том, что, выполнив переход к неравносильному неравенству, можно получить решение, которое не является искомым решением исходного неравенства. В некоторых случаях можно получить и верный ответ, но это будет не более чем везение, а в общем случае, выполняя неравносильные преобразования неравенств, будет получен неверный ответ.

Вывод ясен: при решении неравенств нужно выполнять только равносильные преобразования.

Признаком возможного неравносильного преобразования неравенства является сужение ОДЗ. Для пояснения сказанного, вернемся к предыдущему примеру. При переходе от неравенства x>−2 к неравенству происходит сужение ОДЗ со всего множества действительных чисел, до множества действительных чисел без нуля. Это явно указывает, что полученное неравенство может быть неравносильно исходному, и такой переход делать не стоит.

Наиболее часто неравносильные переходы при решении неравенств возникают при неаккуратном применении свойств корней, логарифмов и модуля. На этом мы особо заострим внимание, когда будем разбираться с решением неравенств соответствующих видов. А пока по данной теме все. Пользуйтесь только равносильными преобразованиями неравенств и не допускайте сужения ОДЗ!

Источник

Решение линейных неравенств

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Основные понятия

Алгебра не всем дается легко с первого раза. Чтобы не запутаться во всех темах и правилах, важно изучать темы последовательно и по чуть-чуть. Сегодня узнаем, как решать линейные неравенства.

Линейные неравенства — это неравенства вида:

где a и b — любые числа, a ≠ 0, x — неизвестная переменная. Как решаются неравенства рассмотрим далее в статье.

Решение — значение переменной, при котором неравенство становится верным.

Решить неравенство значит сделать так, чтобы в левой части осталось только неизвестное в первой степени с коэффициентом равном единице.

Типы неравенств

Линейные неравенства: свойства и правила

Вспомним свойства числовых неравенств:

Если же а b и c > d, то а + c > b + d.

Если а 8 почленно вычесть 3 > 2, получим верный ответ 9 > 6. Если из 12 > 8 почленно вычесть 7 > 2, то полученное будет неверным.

Если а d, то а – c b, m — положительное число, то mа > mb и

Обе части можно умножить или разделить на одно положительное число (знак при этом остаётся тем же).

Если же а > b, n — отрицательное число, то nа

Обе части можно умножить или разделить на одно отрицательное число, при этом знак поменять на противоположный.

Если а 0, то аc b, где а, b > 0, то а2 > b2, и если а b, где а, b > 0, то
b» height=»45″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/MuRDPQeqxIZvVG_mHVaktFp6nlIEEbz8zdRs1ZW8CZbZacJrS4aKzrDyhKxXpJvc35TSAgiRpqr-63sGzL9_sPU80vFhR0ZDAmSmRFZtwEldDkWRttfSGuaJJIb7xWxZDugU3xTt»>

Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое трансформирует его в верное числовое неравенство.

Чтобы упростить процесс нахождения корней неравенства, нужно провести равносильные преобразования — то заменить данное неравенство более простым. При этом все решения должны быть сохранены без возникновения посторонних корней.

Свойства выше помогут нам использовать следующие правила.

Правила линейных неравенств

Решение линейных неравенств

Со школьных уроков мы помним, что у неравенств нет ярко выраженных различий, поэтому рассмотрим несколько определений.

Неравенства ax + b > 0 и ax > c равносильные, так как получены переносом слагаемого из одной части в другую.

Определение 3. Линейные неравенства с одной переменной x выглядят так:

где a и b — действительные числа. А на месте x может быть обычное число.

Равносильные преобразования

Рассмотрим пример: 0 * x + 5 > 0.

Как решаем:

Метод интервалов

Метод интервалов можно применять для линейных неравенств, когда значение коэффициента x не равно нулю.

Метод интервалов это:

Если a ≠ 0, тогда решением будет единственный корень — х₀;

Для этого найдем значения функции в точках на промежутке;

Как решаем:

Изобразим координатную прямую с отмеченной выколотой точкой, так как неравенство является строгим.

Чтобы определить на промежутке (−∞, 2), необходимо вычислить функцию y = −6x + 12 при х = 1. Получается, что −6 * 1 + 12 = 6, 6 > 0. Знак на промежутке является положительным.

По чертежу делаем вывод, что решение имеет вид (−∞, 4) или x

Графический способ

Смысл графического решения неравенств заключается в том, чтобы найти промежутки, которые необходимо изобразить на графике.

Алгоритм решения y = ax + b графическим способом

Рассмотрим пример: −5 * x − √3 > 0.

Как решаем

Ответ: (−∞, −√3 : 5) или x

Источник

Равносильные уравнения и неравенства

Урок 9. Алгебра 10 класс ФГОС

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока «Равносильные уравнения и неравенства»

Уравнения и неравенства люди решают с глубокой древности.

Вы познакомились с уравнениями и неравенствами ещё в начальной школе и с тех пор научились решать уже много разных их типов. Конечно, вы заметили, что в большинстве случаев решение многих уравнений и неравенств сводится к тому, что исходное уравнение (неравенство) преобразуют в более простое уравнение (неравенство). Затем получившееся уравнение (неравенство) преобразуют в ещё более простое уравнение (неравенство) и так, пока не получится совсем простое уравнение (неравенство), которое легко решить.

Но стоит помнить, что уравнения (неравенства) нельзя преобразовывать как вздумается. Для каждого типа уравнений (неравенств) есть свои правила и требования.

Тогда возникает вопрос: совпадают ли корни полученного в конце уравнения (неравенства) с корнями исходного уравнения (неравенства)?

Так вот, если все преобразования уравнений (неравенств) были равносильными, то корни совпадут. Что означает, что правильное решение последнего уравнения (неравенства) даст верные корни исходного уравнения (неравенства).

Вообще, при замене одного уравнения или неравенства другим могут встретиться три случая.

Итак, 1случай: множества решений первого и второго уравнения (неравенства) совпадают.

Рассмотрим этот случай на примере.

Решим уравнение .

Решение. Умножим обе части уравнения на 6 – общий знаменатель наших дробей.

Получим .

Упростим .

Затем перенесём в левую часть уравнения. Тогда имеем .

Приведём подобные . Отсюда видим, что .

Обратите внимание: при решении мы исходное уравнение заменили уравнением , а затем заменили уравнением . Все эти три уравнения имеют один и тот же корень . Такие уравнения называют равносильными.

Запомните! Уравнения (неравенства), имеющие одно и то же множество корней, называются равносильными. Кстати, уравнения (неравенства), не имеющие корней, также являются равносильными.

Аналогично и с неравенствами.

Давайте решим неравенство .

Решение. Умножим обе части неравенства на 6 – общий знаменатель наших дробей. Получим равносильное неравенство . Упростив это неравенство, а затем перенеся второе слагаемое из правой части неравенства в левую, получим очередное равносильное неравенство . Приведём подобные. Отсюда видим, что . Запишем ответ.

При решении мы получили три равносильных неравенства , , .

Приведём примеры равносильных и неравносильных уравнений и неравенств. Уравнения и равносильны, так как каждое из них имеет только один корень . Уравнения и также равносильны, так как они имеют одни и те же корни . В свою очередь, уравнения и не равносильны, так как первое имеет корень , а второе — корни .

Неравенства и равносильны, так как их решения совпадают: . А вот неравенства и не равносильны, так как первое имеет решение , а второе — .

Из определения равносильности уравнений (неравенств) следует, что два уравнения (неравенства) равносильны, если каждый корень (решение) первого уравнения (неравенства) является корнем (решением) второго уравнения (неравенства), и наоборот: каждый корень (решение) второго уравнения (неравенства) является корнем (решением) первого уравнения (неравенства).

При решении уравнений и неравенств часто используют следующие преобразования:

1. Любой член уравнения (неравенства) можно перенести из одной части в другую, изменив его знак на противоположный.

2. Обе части уравнения (неравенства) можно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю.

При этих преобразованиях исходное уравнение (неравенство) заменяется на равносильное ему уравнение (неравенство).

Перейдём ко 2 случаю: множество решений второго уравнения (неравенства) содержит все решения первого.

Рассмотрим этот случай на примере. Решим уравнение .

Решение. Возведём в квадрат обе части уравнения. Получим уравнение . Обратите внимание: второе уравнение не равносильно исходному, так как первое уравнение имеет только один , а второе — два корня и . В этом случае второе уравнение называют следствием первого уравнения. При этом те решения второго, которые не являются решениями первого, называют посторонними, их стараются выявить и отбросить.

Запомните! Если при переходе от одного уравнения (неравенства) к другому потери корней не происходит, то второе уравнение (неравенство) называют следствием первого уравнения (неравенства). Иначе, если все корни первого уравнения (неравенства) являются корнями второго уравнения (неравенства), то второе уравнение (неравенство) называется следствием первого уравнения (неравенства).

Из этого определения и определения равносильности уравнений (неравенств) следует, что если следствие не содержит никаких других решений, кроме решений первого, то оно ему равносильно. Можно сказать, что два уравнения (неравенства) равносильны, если каждое из них является следствием другого.

Отметим, что если исходное уравнение (неравенство) с помощью преобразований заменено другим, причём в процессе преобразований хотя бы раз уравнение (неравенство) заменялось на неравносильное ему следствие, то проверка найденных решений с помощью подстановки в исходное уравнение (неравенство) является обязательной. Если же при каждом преобразовании уравнение (неравенство) заменялось на равносильное, то проверка не нужна.

Решим уравнение .

Решение. Трёхчлен в знаменателе последнего слагаемого разложим на множители . Получим уравнение . Умножим обе части уравнения на общий знаменатель всех трёх дробей, то есть на . Получим уравнение . Раскроем скобки в правой части уравнения . Получим .Перенесём все слагаемые из левой части уравнения в правую часть , приведём подобные и разделим на общий множитель – 2. Получим уравнение . Применяя теорему Виета, видим, что это уравнение имеет корни и .

Выполним проверку. При знаменатели двух дробей уравнения равны 0 (). Поэтому не является корнем данного уравнения. При левая часть уравнения равна , правая часть равна . Значит, является корнем нашего уравнения.

При решении уравнения мы получили уравнение , которое является следствием исходного уравнения. Корень уравнения не является корнем уравнения . Его называют посторонним корнем. Отметим, что посторонние корни могут получиться при умножении обеих частей уравнения на выражение, содержащее неизвестное.

И 3 случай: множество решений второго уравнения (неравенства) содержит не все решения первого, то есть теряются решения. Эта ситуация самая неприятная, так как решение уравнения (неравенства) будет неверным.

Рассмотрим этот случай на примере. Решим уравнение: .

Решение. Перенесём правую часть уравнения в левую . Вынесем общий множитель за скобку. Получим уравнение . Упростим выражение во вторых скобках . Тогда наше уравнение имеет следующие корни: и .

Обратите внимание: если бы мы изначально обе части нашего исходного уравнения разделили бы на общий множитель , то получили бы уравнение , которое имеет только один корень . То есть мы бы потеряли второй корень , и решение уравнения стало бы неверным.

Отметим: потеря корней может произойти при делении обеих частей уравнения на выражение, содержащее неизвестное.

Источник