Что значит описанная окружность

Описанная окружность

Что значит описанная окружность. Смотреть фото Что значит описанная окружность. Смотреть картинку Что значит описанная окружность. Картинка про Что значит описанная окружность. Фото Что значит описанная окружность

Теорема

Около любого треугольника можно описать окружность.

Доказательство

Дано: произвольный Что значит описанная окружность. Смотреть фото Что значит описанная окружность. Смотреть картинку Что значит описанная окружность. Картинка про Что значит описанная окружность. Фото Что значит описанная окружностьАВС.

Доказать: около Что значит описанная окружность. Смотреть фото Что значит описанная окружность. Смотреть картинку Что значит описанная окружность. Картинка про Что значит описанная окружность. Фото Что значит описанная окружностьАВС можно описать окружность.

Доказательство:

1. Проведем серединные перпендикуляры к сторонам Что значит описанная окружность. Смотреть фото Что значит описанная окружность. Смотреть картинку Что значит описанная окружность. Картинка про Что значит описанная окружность. Фото Что значит описанная окружностьАВС, которые пересекутся в точке О (по свойству серединных перпендикуляров треугольника). Соединим точку О с точками А, В и С (Рис. 2).

Что значит описанная окружность. Смотреть фото Что значит описанная окружность. Смотреть картинку Что значит описанная окружность. Картинка про Что значит описанная окружность. Фото Что значит описанная окружность

Точка О равноудалена от вершин Что значит описанная окружность. Смотреть фото Что значит описанная окружность. Смотреть картинку Что значит описанная окружность. Картинка про Что значит описанная окружность. Фото Что значит описанная окружностьАВС (по теореме о серединном перпендикуляре), поэтому ОА = ОВ = ОС. Следовательно, окружность с центром О радиуса ОА проходит через все три вершины треугольника, значит, является описанной около Что значит описанная окружность. Смотреть фото Что значит описанная окружность. Смотреть картинку Что значит описанная окружность. Картинка про Что значит описанная окружность. Фото Что значит описанная окружностьАВС. Теорема доказана.

Замечание 1

Около треугольника можно описать только одну окружность.

Доказательство

Предположим, что около треугольника можно описать две окружности. Тогда центр каждой из них равноудален от его вершин и поэтому совпадает с точкой О пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, а радиус равен расстоянию от точки О до вершин треугольника. Следовательно, эти окружности совпадают, т.е. около треугольника можно описать только одну окружность. Что и требовалось доказать.

Замечание 2

Около четырехугольника не всегда можно описать окружность.

Доказательство

Рассмотрим, например, ромб, не являющийся квадратом. Такой ромб можно «поместить» в окружность так, что две его вершины будут лежать на этой окружности (Рис. 3), но нельзя «поместить» ромб в окружность так, чтобы все его вершины лежали на окружности, т.к. диаметр окружности, равный одной из диагоналей ромба, будет больше (меньше) второй диагонали, т.е. нельзя описать окружность. Что и требовалось доказать.

Что значит описанная окружность. Смотреть фото Что значит описанная окружность. Смотреть картинку Что значит описанная окружность. Картинка про Что значит описанная окружность. Фото Что значит описанная окружность

Если же около четырехугольника можно описать окружность, то его углы обладают следующим замечательным свойством:

Доказательство

Рассмотрим четырехугольник АВСD, вписанный в окружность (Рис. 4).

Что значит описанная окружность. Смотреть фото Что значит описанная окружность. Смотреть картинку Что значит описанная окружность. Картинка про Что значит описанная окружность. Фото Что значит описанная окружность

Верно и обратное утверждение:

Доказательство

Доказать: около АВСD можно описать окружность.

Доказательство:

Что значит описанная окружность. Смотреть фото Что значит описанная окружность. Смотреть картинку Что значит описанная окружность. Картинка про Что значит описанная окружность. Фото Что значит описанная окружность

Предположим, что это не так. Тогда вершина С лежит либо внутри круга, либо вне его.

Рассмотрим первый случай, когда точка С лежит внутри круга (Рис. 6).

Что значит описанная окружность. Смотреть фото Что значит описанная окружность. Смотреть картинку Что значит описанная окружность. Картинка про Что значит описанная окружность. Фото Что значит описанная окружность

Что значит описанная окружность. Смотреть фото Что значит описанная окружность. Смотреть картинку Что значит описанная окружность. Картинка про Что значит описанная окружность. Фото Что значит описанная окружностьBАD вписанный, тогда по теореме о вписанном угле Что значит описанная окружность. Смотреть фото Что значит описанная окружность. Смотреть картинку Что значит описанная окружность. Картинка про Что значит описанная окружность. Фото Что значит описанная окружностьBАD = Что значит описанная окружность. Смотреть фото Что значит описанная окружность. Смотреть картинку Что значит описанная окружность. Картинка про Что значит описанная окружность. Фото Что значит описанная окружностьЧто значит описанная окружность. Смотреть фото Что значит описанная окружность. Смотреть картинку Что значит описанная окружность. Картинка про Что значит описанная окружность. Фото Что значит описанная окружностьВЕD, тогда Что значит описанная окружность. Смотреть фото Что значит описанная окружность. Смотреть картинку Что значит описанная окружность. Картинка про Что значит описанная окружность. Фото Что значит описанная окружностьBАD + Что значит описанная окружность. Смотреть фото Что значит описанная окружность. Смотреть картинку Что значит описанная окружность. Картинка про Что значит описанная окружность. Фото Что значит описанная окружностьBСDЧто значит описанная окружность. Смотреть фото Что значит описанная окружность. Смотреть картинку Что значит описанная окружность. Картинка про Что значит описанная окружность. Фото Что значит описанная окружностьЧто значит описанная окружность. Смотреть фото Что значит описанная окружность. Смотреть картинку Что значит описанная окружность. Картинка про Что значит описанная окружность. Фото Что значит описанная окружность(Что значит описанная окружность. Смотреть фото Что значит описанная окружность. Смотреть картинку Что значит описанная окружность. Картинка про Что значит описанная окружность. Фото Что значит описанная окружностьВЕD + Что значит описанная окружность. Смотреть фото Что значит описанная окружность. Смотреть картинку Что значит описанная окружность. Картинка про Что значит описанная окружность. Фото Что значит описанная окружностьВАD).

Рассмотрим второй случай, когда точка С лежит вне круга (Рис. 7).

Что значит описанная окружность. Смотреть фото Что значит описанная окружность. Смотреть картинку Что значит описанная окружность. Картинка про Что значит описанная окружность. Фото Что значит описанная окружность

Подставим (3) и (4) в (2), получим:

Примечание:

Окружность всегда можно описать:

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Источник

Описанная окружность

Что значит описанная окружность. Смотреть фото Что значит описанная окружность. Смотреть картинку Что значит описанная окружность. Картинка про Что значит описанная окружность. Фото Что значит описанная окружность

Что значит описанная окружность. Смотреть фото Что значит описанная окружность. Смотреть картинку Что значит описанная окружность. Картинка про Что значит описанная окружность. Фото Что значит описанная окружность

Описанная окру́жность многоугольника — окружность, содержащая все вершины многоугольника. Центром является точка (принято обозначать Что значит описанная окружность. Смотреть фото Что значит описанная окружность. Смотреть картинку Что значит описанная окружность. Картинка про Что значит описанная окружность. Фото Что значит описанная окружность) пересечения серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника.

Содержание

Свойства

Для треугольника

Что значит описанная окружность. Смотреть фото Что значит описанная окружность. Смотреть картинку Что значит описанная окружность. Картинка про Что значит описанная окружность. Фото Что значит описанная окружность

Что значит описанная окружность. Смотреть фото Что значит описанная окружность. Смотреть картинку Что значит описанная окружность. Картинка про Что значит описанная окружность. Фото Что значит описанная окружность

Что значит описанная окружность. Смотреть фото Что значит описанная окружность. Смотреть картинку Что значит описанная окружность. Картинка про Что значит описанная окружность. Фото Что значит описанная окружность

Что значит описанная окружность. Смотреть фото Что значит описанная окружность. Смотреть картинку Что значит описанная окружность. Картинка про Что значит описанная окружность. Фото Что значит описанная окружность

Что значит описанная окружность. Смотреть фото Что значит описанная окружность. Смотреть картинку Что значит описанная окружность. Картинка про Что значит описанная окружность. Фото Что значит описанная окружность

Обозначаем буквой О точку пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам и проведем отрезки ОА, ОВ и ОС. Так как точка О равноудалена от вершин треугольника АВС, то ОА = OB = ОС. Поэтому окружность с центром О радиуса ОА проходит через все три вершины треугольника и, значит, является описанной около треугольника ABC.

Радиус

Радиус описанной окружности может быть найден по формулам

Что значит описанная окружность. Смотреть фото Что значит описанная окружность. Смотреть картинку Что значит описанная окружность. Картинка про Что значит описанная окружность. Фото Что значит описанная окружность
Что значит описанная окружность. Смотреть фото Что значит описанная окружность. Смотреть картинку Что значит описанная окружность. Картинка про Что значит описанная окружность. Фото Что значит описанная окружность
Что значит описанная окружность. Смотреть фото Что значит описанная окружность. Смотреть картинку Что значит описанная окружность. Картинка про Что значит описанная окружность. Фото Что значит описанная окружность
Где:
Что значит описанная окружность. Смотреть фото Что значит описанная окружность. Смотреть картинку Что значит описанная окружность. Картинка про Что значит описанная окружность. Фото Что значит описанная окружность— стороны треугольника,
Что значит описанная окружность. Смотреть фото Что значит описанная окружность. Смотреть картинку Что значит описанная окружность. Картинка про Что значит описанная окружность. Фото Что значит описанная окружность— угол, лежащий против стороны Что значит описанная окружность. Смотреть фото Что значит описанная окружность. Смотреть картинку Что значит описанная окружность. Картинка про Что значит описанная окружность. Фото Что значит описанная окружность,
Что значит описанная окружность. Смотреть фото Что значит описанная окружность. Смотреть картинку Что значит описанная окружность. Картинка про Что значит описанная окружность. Фото Что значит описанная окружность— площадь треугольника. Что значит описанная окружность. Смотреть фото Что значит описанная окружность. Смотреть картинку Что значит описанная окружность. Картинка про Что значит описанная окружность. Фото Что значит описанная окружность— полупериметр треугольника.

Положение центра описанной окружности

Пусть Что значит описанная окружность. Смотреть фото Что значит описанная окружность. Смотреть картинку Что значит описанная окружность. Картинка про Что значит описанная окружность. Фото Что значит описанная окружностьрадиус-векторы вершин треугольника, Что значит описанная окружность. Смотреть фото Что значит описанная окружность. Смотреть картинку Что значит описанная окружность. Картинка про Что значит описанная окружность. Фото Что значит описанная окружность— радиус-вектор центра описанной окружности. Тогда

Что значит описанная окружность. Смотреть фото Что значит описанная окружность. Смотреть картинку Что значит описанная окружность. Картинка про Что значит описанная окружность. Фото Что значит описанная окружность

Что значит описанная окружность. Смотреть фото Что значит описанная окружность. Смотреть картинку Что значит описанная окружность. Картинка про Что значит описанная окружность. Фото Что значит описанная окружность

При этом Что значит описанная окружность. Смотреть фото Что значит описанная окружность. Смотреть картинку Что значит описанная окружность. Картинка про Что значит описанная окружность. Фото Что значит описанная окружность— длины сторон треугольника, противоположных вершинам Что значит описанная окружность. Смотреть фото Что значит описанная окружность. Смотреть картинку Что значит описанная окружность. Картинка про Что значит описанная окружность. Фото Что значит описанная окружность.

Уравнение описанной окружности

Пусть Что значит описанная окружность. Смотреть фото Что значит описанная окружность. Смотреть картинку Что значит описанная окружность. Картинка про Что значит описанная окружность. Фото Что значит описанная окружностькоординаты вершин треугольника в некоторой декартовой системе координат на плоскости, Что значит описанная окружность. Смотреть фото Что значит описанная окружность. Смотреть картинку Что значит описанная окружность. Картинка про Что значит описанная окружность. Фото Что значит описанная окружность— координаты центра описанной окружности. Тогда

Что значит описанная окружность. Смотреть фото Что значит описанная окружность. Смотреть картинку Что значит описанная окружность. Картинка про Что значит описанная окружность. Фото Что значит описанная окружность

Для точек Что значит описанная окружность. Смотреть фото Что значит описанная окружность. Смотреть картинку Что значит описанная окружность. Картинка про Что значит описанная окружность. Фото Что значит описанная окружность, лежащих внутри окружности, определитель отрицателен, а для точек вне ее — положителен.

Для четырехугольника

Что значит описанная окружность. Смотреть фото Что значит описанная окружность. Смотреть картинку Что значит описанная окружность. Картинка про Что значит описанная окружность. Фото Что значит описанная окружность

Что значит описанная окружность. Смотреть фото Что значит описанная окружность. Смотреть картинку Что значит описанная окружность. Картинка про Что значит описанная окружность. Фото Что значит описанная окружность

Вписанный простой (без самопересечений) четырёхугольник необходимо является выпуклым.

Около выпуклого четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его внутренних противоположных углов равна 180° (π радиан).

Можно описать окружность около:

У четырёхугольника, вписанного в окружность, произведение длин диагоналей равно сумме произведений длин пар противоположных сторон: [1]

Для многоугольника

В сферическом треугольнике

Описанная окружность для сферического треугольника — это окружность, содержащая все его вершины.

См. также

Примечания

Литература

Полезное

Смотреть что такое «Описанная окружность» в других словарях:

Окружность — и её центр Окружность геометрическое место всех точек плоскости, равноудалённых от заданной точки, называемой центром, на заданное неотрицательное расстояние, называемое её радиусом. Содержание … Википедия

Окружность Аполония — Здесь собраны определения терминов из планиметрии. Курсивом выделены ссылки на термины в этом словаре (на этой странице). # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф … Википедия

Окружность девяти точек — 9 точек Окружность девяти точек это окружность, проходящая через середины всех трёх сторон треугольника. Она также назы … Википедия

Окружность Эйлера — В геометрии треугольника окружность девяти точек это окружность, проходящая через середины всех трёх сторон треугольника. Она также называется окружностью Эйлера, окружностью Фейербаха, окружностью шести точек. Окружность девяти точек получила… … Википедия

Вписанная окружность — Окружность, вписанная в многоугольник ABCDE Окружность называется вписанной в угол, если она лежит внутри угла и касается его сторон. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектри … Википедия

Вневписанная окружность — Вписанная (с центром I) и 3 вневписанные (с центрами в J) окружности в Вневписанная … Википедия

основная окружность конического зубчатого колеса с циклоидальной линией зубьев — Концентрическая окружность на развертке делительного конуса конического зубчатого колеса, при качении по которой другой окружности, называемой паллоидной, точка, жестко связанная с паллоидной окружностью, образует линию зуба в форме удлиненной… … Справочник технического переводчика

прилегающая окружность — Окружность минимального диаметра, описанная вокруг реального профиля наружной поверхности вращения, или окружность максимального диаметра, вписанная в реальный профиль внутренней поверхности вращения. Примечание В тех случаях, когда расположение… … Справочник технического переводчика

Основная окружность конического зубчатого колеса с циклоидальной линией зубьев — 163. Основная окружность конического зубчатого колеса с циклоидальной линией зубьев Концентрическая окружность на развертке делительного конуса конического зубчатого колеса, при качении по которой другой окружности, называемой паллоидной, точка,… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

начальная окружность ротора — Описанная вокруг оси технологического или транспортного ротора окружность, на которой расположены условные центры позиций ротора. [ГОСТ 14334 87] Тематики роторные и роторно конвейерные линии … Справочник технического переводчика

Источник

Описанная окружность

Что такое описанная окружность? Какими свойствами она обладает?

Описанная около выпуклого многоугольника окружность — это окружность, которая проходит через все вершины многоугольника.

Многоугольник, около которого описана окружность, называется вписанным.

В выпуклый многоугольник можно вписать окружность, если все серединные перпендикуляры к его сторонам пересекаются в одной точке.

Центр вписанной в многоугольник окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.

Центр описанной окружности равноудалён от вершин многоугольника.

Расстояние от центра до любой вершины многоугольника равно радиусу описанной окружности.

Что значит описанная окружность. Смотреть фото Что значит описанная окружность. Смотреть картинку Что значит описанная окружность. Картинка про Что значит описанная окружность. Фото Что значит описанная окружностьОкружность с центром в точке O и радиусом R описана около пятиугольника ABCDE.

ABCDE — вписанный пятиугольник.

O — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам ABCD, то есть

Что значит описанная окружность. Смотреть фото Что значит описанная окружность. Смотреть картинку Что значит описанная окружность. Картинка про Что значит описанная окружность. Фото Что значит описанная окружность

Что значит описанная окружность. Смотреть фото Что значит описанная окружность. Смотреть картинку Что значит описанная окружность. Картинка про Что значит описанная окружность. Фото Что значит описанная окружность

Что значит описанная окружность. Смотреть фото Что значит описанная окружность. Смотреть картинку Что значит описанная окружность. Картинка про Что значит описанная окружность. Фото Что значит описанная окружность

Что значит описанная окружность. Смотреть фото Что значит описанная окружность. Смотреть картинку Что значит описанная окружность. Картинка про Что значит описанная окружность. Фото Что значит описанная окружность

Что значит описанная окружность. Смотреть фото Что значит описанная окружность. Смотреть картинку Что значит описанная окружность. Картинка про Что значит описанная окружность. Фото Что значит описанная окружность

Что значит описанная окружность. Смотреть фото Что значит описанная окружность. Смотреть картинку Что значит описанная окружность. Картинка про Что значит описанная окружность. Фото Что значит описанная окружностьТочка O равноудалена от вершин пятиугольника.

Расстояние от точки O до любой вершины равно радиусу:

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность. В любой правильный многоугольник также можно вписать окружность. Центр вписанной и описанной окружности лежат в центре правильного многоугольника.

В отличие от вписанной окружности, общей формулы для нахождения радиуса описанной около многоугольника окружности нет. Радиус описанной окружности можно найти как радиус окружности, описанной около любого из треугольников, вершины которого являются вершинами описанного многоугольника.

Например, для описанного пятиугольника ABCDE радиус можно найти как радиус окружности, описанной около одного из треугольников ABC, ABD, ABE, BCD, BCE, ACD, ADE и т.д.

Формулы для нахождения радиуса описанной окружности существуют в частных случаях: для правильных многоугольников, треугольников, прямоугольника.

2 Comments

Огромное спасибо за все статьи, что есть на этом сайте! Благодаря вам восполнила пробелы в теории, из-за которых не могла решить задачки, и теперь щёлкаю задания как орехи. Лучший сайт по геометрии!

Источник

Описанная окружность (ЕГЭ 2022)

Первый вопрос, который может возникнуть: описанная – вокруг чего?

Ну, вообще-то иногда бывает и вокруг чего угодно, а мы будем рассуждать об окружности, описанной вокруг (иногда ещё говорят «около») треугольника.

Описанная окружность — коротко о главном

Определение

Окружность, описанная около треугольника – это окружность, которая проходит через все три вершины этого треугольника.

Что значит описанная окружность. Смотреть фото Что значит описанная окружность. Смотреть картинку Что значит описанная окружность. Картинка про Что значит описанная окружность. Фото Что значит описанная окружность

Центр описанной окружности

Вокруг всякого треугольника можно описать окружность, при том единственным образом.

Центр этой окружности – точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Что значит описанная окружность. Смотреть фото Что значит описанная окружность. Смотреть картинку Что значит описанная окружность. Картинка про Что значит описанная окружность. Фото Что значит описанная окружность

Радиус описанной окружности

Что значит описанная окружность. Смотреть фото Что значит описанная окружность. Смотреть картинку Что значит описанная окружность. Картинка про Что значит описанная окружность. Фото Что значит описанная окружность

Обрати внимание: теорема синусов сообщает, что для того чтобы найти радиус описанной окружности, нужна одна сторона (любая!) и противолежащий ей угол.

Расположение центра описанной окружности

В остроугольном треугольнике центр описанной окружности всегда лежит внутри треугольника

Что значит описанная окружность. Смотреть фото Что значит описанная окружность. Смотреть картинку Что значит описанная окружность. Картинка про Что значит описанная окружность. Фото Что значит описанная окружность

В тупоугольном треугольнике центр описанной окружности всегда лежит вне треугольника

Что значит описанная окружность. Смотреть фото Что значит описанная окружность. Смотреть картинку Что значит описанная окружность. Картинка про Что значит описанная окружность. Фото Что значит описанная окружность

В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы, а радиус равен половине гипотенузы.

Что значит описанная окружность. Смотреть фото Что значит описанная окружность. Смотреть картинку Что значит описанная окружность. Картинка про Что значит описанная окружность. Фото Что значит описанная окружность

Описанная окружность — подробнее

Определение

Описанная окружность – такая окружность, что проходит через все три вершины треугольника, около которого она описана.

Что значит описанная окружность. Смотреть фото Что значит описанная окружность. Смотреть картинку Что значит описанная окружность. Картинка про Что значит описанная окружность. Фото Что значит описанная окружность

Свойства и центр описанной кружности

И вот, представь себе, имеет место удивительный факт:

Вокруг всякого треугольника можно описать окружность.

Почему этот факт удивительный?

Потому что треугольники ведь бывают разные!

Что значит описанная окружность. Смотреть фото Что значит описанная окружность. Смотреть картинку Что значит описанная окружность. Картинка про Что значит описанная окружность. Фото Что значит описанная окружность

И для всякого найдётся окружность, которая пройдёт через все три вершины, то есть описанная окружность.

Доказательство этого удивительного факта мы приведем чуть позже, а здесь заметим только, что если взять, к примеру, четырехугольник, то уже вовсе не для всякого найдётся окружность, проходящая через четыре вершины.

Вот, скажем, параллелограмм – отличный четырехугольник, а окружности, проходящей через все его четыре вершины – нет!

Что значит описанная окружность. Смотреть фото Что значит описанная окружность. Смотреть картинку Что значит описанная окружность. Картинка про Что значит описанная окружность. Фото Что значит описанная окружность

А есть только для прямоугольника:

Что значит описанная окружность. Смотреть фото Что значит описанная окружность. Смотреть картинку Что значит описанная окружность. Картинка про Что значит описанная окружность. Фото Что значит описанная окружность

Ну вот, а треугольник всякий и всегда имеет собственную описанную окружность! И даже всегда довольно просто найти центр этой окружности.

Центр окружности, описанной около треугольника, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам этого треугольника.

Знаешь ли ты, что такое серединный перпендикуляр?

Серединный перпендикуляр — это прямая, проходящая через середину отрезка и перпендикулярная ему.

Прямая \( \displaystyle a\) – это серединный перпендикуляр к отрезку \( \displaystyle AB\).

Что значит описанная окружность. Смотреть фото Что значит описанная окружность. Смотреть картинку Что значит описанная окружность. Картинка про Что значит описанная окружность. Фото Что значит описанная окружность

А теперь посмотрим, что получится, если мы рассмотрим целых три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника.

Вот оказывается (и это как раз и нужно доказывать, хотя мы и не будем), что все три перпендикуляра пересекутся в одной точке. Смотри на рисунок – все три серединных перпендикуляра пересекаются в одной точке \( \displaystyle O\).

Это и есть центр описанной около (вокруг) треугольника \( \displaystyle ABC\) окружности.

Что значит описанная окружность. Смотреть фото Что значит описанная окружность. Смотреть картинку Что значит описанная окружность. Картинка про Что значит описанная окружность. Фото Что значит описанная окружность

Как ты думаешь, всегда ли центр описанной окружности лежит внутри треугольника? Представь себе – вовсе не всегда!

Если треугольник тупоугольный, то центр его описанной окружности лежит снаружи!

Что значит описанная окружность. Смотреть фото Что значит описанная окружность. Смотреть картинку Что значит описанная окружность. Картинка про Что значит описанная окружность. Фото Что значит описанная окружность

А вот если остроугольный, то внутри:

Что значит описанная окружность. Смотреть фото Что значит описанная окружность. Смотреть картинку Что значит описанная окружность. Картинка про Что значит описанная окружность. Фото Что значит описанная окружность

Что же делать с прямоугольным треугольником?

В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы.

Если треугольник – прямоугольный, то не надо строить аж три перпендикуляра, а можно просто найти середину гипотенузы – и центр описанной окружности готов!

Что значит описанная окружность. Смотреть фото Что значит описанная окружность. Смотреть картинку Что значит описанная окружность. Картинка про Что значит описанная окружность. Фото Что значит описанная окружность

Да ещё с дополнительным бонусом:

В прямоугольном треугольнике радиус описанной окружности равен половине гипотенузы.

Раз уж заговорили о радиусе описанной окружности: чему он равен для произвольного треугольника? И есть ответ на этот вопрос: так называемая теорема синусов.

Что значит описанная окружность. Смотреть фото Что значит описанная окружность. Смотреть картинку Что значит описанная окружность. Картинка про Что значит описанная окружность. Фото Что значит описанная окружность

В произвольном треугольнике:
\( \Large \displaystyle \frac<\sin \angle A>=2R\)

То есть чтобы найти радиус описанной окружности, нужно знать одну (!) сторону и один (!) противолежащий ей угол.

Хорошая формула? По-моему, просто отличная!

Доказательство теоремы

Теорема. Вокруг всякого треугольника можно описать окружность, при том единственным образом.

Центр этой окружности – точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Что значит описанная окружность. Смотреть фото Что значит описанная окружность. Смотреть картинку Что значит описанная окружность. Картинка про Что значит описанная окружность. Фото Что значит описанная окружность

Давай наберёмся мужества и докажем эту теорему.

Если ты читал уже тему «Биссектриса» разбирался в том, почему же три биссектрисы пересекаются в одной точке, то тебе будет легче, но и если не читал – не переживай: сейчас во всём разберёмся.

Доказательство будем проводить, используя понятие геометрического места точек (ГМТ).

Геометрическое место точек, обладающих свойством «\( \displaystyle X\)» — такое множество точек, что все они обладают свойством «\( \displaystyle X\)» и никакие другие точки этим свойством не обладают.

Ну вот, например, является ли множество мячей – «геометрическим местом» круглых предметов? Нет, конечно, потому что бывают круглые …арбузы.

А является ли множество людей, «геометрическим местом», умеющих говорить? Тоже нет, потому что есть младенцы, которые говорить не умеют.

В жизни вообще сложно найти пример настоящего «геометрического места точек». В геометрии проще. Вот, к примеру, как раз то, что нам нужно:

Серединный перпендикуляр к отрезку является геометрическим местом точек, равноудалённых от концов отрезка.

Тут множество – это серединный перпендикуляр, а свойство «\( \displaystyle X\)» — это «быть равноудаленной (точкой) от концов отрезка».

Проверим? Итак, нужно удостовериться в двух вещах:

Проверим 1. Пусть точка \( \displaystyle M\) лежит на серединном перпендикуляре к отрезку \( \displaystyle AB\).

Что значит описанная окружность. Смотреть фото Что значит описанная окружность. Смотреть картинку Что значит описанная окружность. Картинка про Что значит описанная окружность. Фото Что значит описанная окружность

Соединим \( \displaystyle M\) с \( \displaystyle A\) и с \( \displaystyle B\).Тогда линия \( \displaystyle MK\) является медианой и высотой в \( \displaystyle \Delta AMB\).

Значит, \( \displaystyle \Delta AMB\) – равнобедренный, \( \displaystyle MA=MB\) – убедились, что любая точка \( \displaystyle M\), лежащая на серединном перпендикуляре, одинаково удалена от точек \( \displaystyle A\) и \( \displaystyle B\).

Теперь 2. Почти точно так же, но в другую сторону. Пусть точка \( \displaystyle M\) равноудалена от точек \( \displaystyle A\) и \( \displaystyle B\), то есть \( \displaystyle MA=MB\).

Что значит описанная окружность. Смотреть фото Что значит описанная окружность. Смотреть картинку Что значит описанная окружность. Картинка про Что значит описанная окружность. Фото Что значит описанная окружность

Возьмём \( \displaystyle K\) – середину \( \displaystyle AB\) и соединим \( \displaystyle M\) и \( \displaystyle K\). Получилась медиана \( \displaystyle MK\). Но \( \displaystyle \Delta AMB\) – равнобедренный по условию \( \displaystyle (MA=MB)\Rightarrow MK\) не только медиана, но и высота, то есть – серединный перпендикуляр. Значит, точка \( \displaystyle M\) — точно лежит на серединном перпендикуляре.

Всё! Полностью проверили тот факт, что серединный перпендикуляр к отрезку является геометрическим местом точек, равноудаленных от концов отрезка.

Это все хорошо, но не забыли ли мы об описанной окружности? Вовсе нет, мы как раз подготовили себе «плацдарм для нападения».

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *