Что значит нестрогое неравенство

Неравенства

Неравенство — это запись, в которой числа, переменные или выражения соединены знаком

Виды неравенств и как они читаются:

a ba больше b;
aba меньше или равно b (a не больше b);
aba больше или равно b (a не меньше b).

Как видно из примеров, все неравенства состоят из двух частей: левой и правой, соединённых одним из знаков неравенства. В зависимости от знака, соединяющего части неравенств, их делят на строгие и нестрогие.

Рассмотрим основные правила сравнения в алгебре:

a aравносильные неравенства.

Свойства неравенств

Если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же число или вычесть из обеих частей одно и то же число, то получится равносильное неравенство.

Например, если a > b, то

Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное неравенство.

Например, если a > b, то

Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, то получится неравенство противоположное данному

Источник

Метод интервалов, решение неравенств

Что значит нестрогое неравенство. Смотреть фото Что значит нестрогое неравенство. Смотреть картинку Что значит нестрогое неравенство. Картинка про Что значит нестрогое неравенство. Фото Что значит нестрогое неравенство

Определение квадратного неравенства

Числовое неравенство — это такое неравенство, в записи которого по обе стороны от знака находятся числа или числовые выражения.

Решение — значение переменной, при котором неравенство становится верным.

Решить неравенство значит найти множество, для которых оно выполняется.

Квадратное неравенство выглядит так:

Что значит нестрогое неравенство. Смотреть фото Что значит нестрогое неравенство. Смотреть картинку Что значит нестрогое неравенство. Картинка про Что значит нестрогое неравенство. Фото Что значит нестрогое неравенство

Квадратное неравенство можно решить двумя способами:

Решение неравенства графическим методом

При решении квадратного неравенства необходимо найти корни соответствующего квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0. Чтобы найти корни, нужно найти дискриминант данного уравнения.

Как дискриминант влияет на корни уравнения:

Решение неравенства методом интервалов

Метод интервалов — это специальный алгоритм, который предназначен для решения рациональных неравенств.

Рациональное неравенство имеет вид f(x) ≤ 0, где f(x) — рациональная функция. При этом знак может быть любым: >, или ≥ — наносим штриховку над промежутками со знаками +.

Если неравенство со знаком

Плюс или минус: как определить знаки

Можно сделать вывод о знаках по значению старшего коэффициента a:

если a > 0, последовательность знаков: +, −, +,

если a 0, последовательность знаков: +, +,

Теперь мы знаем пошаговый алгоритм. Чтобы закрепить материал потренируемся на примерах и научимся использовать метод интервалов для квадратных неравенств.

Неравенство примет вид:

В этом весь смысл метода интервалов: определить интервалы значений переменной, на которых ситуация не меняется и рассматривать их как единое целое.

Отобразим эти данные на чертеже:

Что значит нестрогое неравенство. Смотреть фото Что значит нестрогое неравенство. Смотреть картинку Что значит нестрогое неравенство. Картинка про Что значит нестрогое неравенство. Фото Что значит нестрогое неравенство

2 3 — на этом интервале ситуация не изменяется. Значит нужно взять любое значение из этого интервала и подставить его в произведение. Например: х = 25.

Удовлетворяющие неравенству точки закрасим, а не удовлетворяющие — оставим пустыми.

Что значит нестрогое неравенство. Смотреть фото Что значит нестрогое неравенство. Смотреть картинку Что значит нестрогое неравенство. Картинка про Что значит нестрогое неравенство. Фото Что значит нестрогое неравенство

Пример 2. Применить метод интервалов для решения неравенства х2+4х+3

Источник

Метод интервалов: случай нестрогих неравенств

Сегодня мы узнаем, как использовать метод интервалов для решения нестрогих неравенств. Во многих учебниках нестрогие неравенства определяются следующим образом:

— это неравенство вида которое равносильно совокупности строгого неравенства и уравнения:

Что значит нестрогое неравенство. Смотреть фото Что значит нестрогое неравенство. Смотреть картинку Что значит нестрогое неравенство. Картинка про Что значит нестрогое неравенство. Фото Что значит нестрогое неравенство

В переводе на русский язык это значит, что нестрогое неравенство это объединение классического уравнения и строгого неравенства Другими словами, теперь нас интересуют не только положительные и отрицательные области на прямой, но и точки, где функция равна нулю.

Отрезки и интервалы: в чем разница?

Прежде чем решать нестрогие неравенства, давайте вспомним, чем интервал отличается от отрезка:

Чтобы не путать интервалы с отрезками, для них разработаны специальные обозначения: интервал всегда обозначается выколотыми точками, а отрезок — закрашенными. Например:

Что значит нестрогое неравенство. Смотреть фото Что значит нестрогое неравенство. Смотреть картинку Что значит нестрогое неравенство. Картинка про Что значит нестрогое неравенство. Фото Что значит нестрогое неравенство

На этом рисунке отмечен отрезок и интервал Обратите внимание: концы отрезка отмечены закрашенными точками, а сам отрезок обозначается квадратными скобками. С интервалом все иначе: его концы выколоты, а скобки — круглые.

Метод интервалов для нестрогих неравенств

К чему была вся эта лирика про отрезки и интервалы? Очень просто: для решения нестрогих неравенств все интервалы заменяются отрезками — и получится ответ. По существу, мы просто добавляем к ответу, полученному методом интервалов, границы этих самых интервалов. Сравните два неравенства:

Задача. Решите строгое неравенство:

Решаем методом интервалов. Приравниваем левую часть неравенства к нулю:

( x − 5)( x + 3) = 0;
x − 5 = 0 ⇒ x = 5;
x + 3 = 0 ⇒ x = −3;

Отмечаем полученные корни на координатной оси:

Что значит нестрогое неравенство. Смотреть фото Что значит нестрогое неравенство. Смотреть картинку Что значит нестрогое неравенство. Картинка про Что значит нестрогое неравенство. Фото Что значит нестрогое неравенство

Справа стоит знак плюс. В этом легко в этом убедиться, подставив миллиард в функцию:

Осталось выписать ответ. Поскольку нас интересуют положительные интервалы, имеем:

Задача. Решите нестрогое неравенство:

Начало такое же, как и для строгих неравенств: работает метод интервалов. Приравниваем левую часть неравенства к нулю:

( x − 5)( x + 3) = 0;
x − 5 = 0 ⇒ x = 5;
x + 3 = 0 ⇒ x = −3;

Отмечаем полученные корни на координатной оси:

Что значит нестрогое неравенство. Смотреть фото Что значит нестрогое неравенство. Смотреть картинку Что значит нестрогое неравенство. Картинка про Что значит нестрогое неравенство. Фото Что значит нестрогое неравенство

В предыдущей задаче мы уже выяснили, что справа стоит знак плюс. Напомню, в этом легко убедиться, подставив миллиард в функцию:

Осталось записать ответ. Поскольку неравенство нестрогое, а нас интересуют положительные значения, имеем:

Итак, основное отличие строгих и нестрогих неравенств:

Вот и вся разница! Просто запомните: в строгих неравенствах точки выколоты, а в нестрогих — закрашены.

Почему бесконечности всегда стоят в круглых скобках

У внимательного читателя наверняка возник вопрос: почему бесконечности отмечаются круглыми скобками даже в нестрогих неравенствах? Например, почему в последней задаче мы пишем

Что ж, это не опечатка. Бесконечность действительно обозначается круглой скобкой, даже если неравенство — нестрогое. Чтобы понять, почему так происходит, достаточно вспомнить определение бесконечности.

— это гипотетическое число, которое больше любого другого числа, участвующего в решении.

Трудность заключается в том, что нельзя работать с бесконечностью напрямую. Мы можем лишь приблизиться к ней, подставляя такие зверские числа, как 1 000 000 и даже 1 000 000 000. Но добраться до самой бесконечности все равно нельзя.

Именно поэтому бесконечность обозначают круглыми скобками. Ведь хотя бесконечность и ограничивает всю числовую прямую, сама она не принадлежит этой прямой.

Ситуация такая же, как с границами интервалов. Рассмотрим все числа из интервала:

Эта запись означает, что число не принадлежит интервалу, однако любое число, которое больше нуля и меньше единицы — принадлежит. В частности, этому интервалу принадлежат следующие числа:

Что значит нестрогое неравенство. Смотреть фото Что значит нестрогое неравенство. Смотреть картинку Что значит нестрогое неравенство. Картинка про Что значит нестрогое неравенство. Фото Что значит нестрогое неравенство

Попробуем отметить эти числа на координатной прямой. Поскольку каждое следующее число вдвое меньше предыдущего, нам придется несколько раз менять масштаб. Получим вроде этого:

Что значит нестрогое неравенство. Смотреть фото Что значит нестрогое неравенство. Смотреть картинку Что значит нестрогое неравенство. Картинка про Что значит нестрогое неравенство. Фото Что значит нестрогое неравенство

Что дает нам этот график? Оказывается, при достаточно крупном масштабе можно отметить любое число, сколь угодно близкое к нулю. При этом сам ноль никуда не денется — он остается недостижимой границей. Именно это и подразумевается, когда речь заходит о концах интервала.

То же самое происходит и с бесконечностью. Разница лишь в том, что масштаб надо не увеличивать, а уменьшать:

Что значит нестрогое неравенство. Смотреть фото Что значит нестрогое неравенство. Смотреть картинку Что значит нестрогое неравенство. Картинка про Что значит нестрогое неравенство. Фото Что значит нестрогое неравенство

Мы можем сколь угодно долго идти к бесконечности, но так и не достигнем ее. Вот почему бесконечности обозначают круглыми скобками, подобно границам интервала.

Примеры решения неравенств

В заключение кратко разберем два нестрогих неравенства. И если в первой задаче еще есть пояснения, то вторая задача будет оформлена именно так, как и надо оформлять настоящее решение.

Как обычно, приравниваем все к нулю:

( x + 8)( x − 3) = 0;
x + 8 = 0 ⇒ x = −8;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3.

Теперь рассматриваем функцию, которая находится в левой части неравенства:

Подставим в эту функцию бесконечность — получим выражение вида:

Чертим координатную ось, отмечаем корни и расставляем знаки:

Что значит нестрогое неравенство. Смотреть фото Что значит нестрогое неравенство. Смотреть картинку Что значит нестрогое неравенство. Картинка про Что значит нестрогое неравенство. Фото Что значит нестрогое неравенство

Поскольку мы решаем неравенство или, что то же самое, осталось записать ответ:

x (12 − 2 x )(3 x + 9) ≥ 0

x (12 − 2 x )(3 x + 9) = 0;
x = 0;
12 − 2 x = 0 ⇒ 2 x = 12 ⇒ x = 6;
3 x + 9 = 0 ⇒ 3 x = −9 ⇒ x = −3.

Что значит нестрогое неравенство. Смотреть фото Что значит нестрогое неравенство. Смотреть картинку Что значит нестрогое неравенство. Картинка про Что значит нестрогое неравенство. Фото Что значит нестрогое неравенство

x ≥ 6 ⇒ f ( x ) = x (12 − 2 x )(3 x + 9) → (+) · (−) · (+) = (−) x ∈ (−∞ −3] ∪ [0; 6].

Источник

Понятие неравенства, связанные определения

Неравенство – обратная сторона равенства. Материал данной статьи дает определение неравенства и начальную информацию о нем в разрезе математики.

Определение неравенства

Понятие неравенства, как и понятие равенства, связывается с моментом сравнения двух объектов. В то время как равенство означает «одинаковы», то неравенство, напротив, свидетельствует о различиях объектов, которые сравниваются. К примеру, Что значит нестрогое неравенство. Смотреть фото Что значит нестрогое неравенство. Смотреть картинку Что значит нестрогое неравенство. Картинка про Что значит нестрогое неравенство. Фото Что значит нестрогое неравенствои Что значит нестрогое неравенство. Смотреть фото Что значит нестрогое неравенство. Смотреть картинку Что значит нестрогое неравенство. Картинка про Что значит нестрогое неравенство. Фото Что значит нестрогое неравенство— одинаковые объекты или равные. Что значит нестрогое неравенство. Смотреть фото Что значит нестрогое неравенство. Смотреть картинку Что значит нестрогое неравенство. Картинка про Что значит нестрогое неравенство. Фото Что значит нестрогое неравенствои Что значит нестрогое неравенство. Смотреть фото Что значит нестрогое неравенство. Смотреть картинку Что значит нестрогое неравенство. Картинка про Что значит нестрогое неравенство. Фото Что значит нестрогое неравенство— объекты, отличающиеся друг от друга или неравные.

Неравенство объектов определяется по смысловой нагрузке такими словами, как выше – ниже (неравенство по признаку высоты); толще – тоньше (неравенство по признаку толщины); длиннее – короче (неравенство по признаку длины) и так далее.

Возможно рассуждать как о равенстве-неравенстве объектов в целом, так и о сравнении их отдельных характеристик. Допустим, заданы два объекта: Что значит нестрогое неравенство. Смотреть фото Что значит нестрогое неравенство. Смотреть картинку Что значит нестрогое неравенство. Картинка про Что значит нестрогое неравенство. Фото Что значит нестрогое неравенствои Что значит нестрогое неравенство. Смотреть фото Что значит нестрогое неравенство. Смотреть картинку Что значит нестрогое неравенство. Картинка про Что значит нестрогое неравенство. Фото Что значит нестрогое неравенство. Без сомнений, эти объекты не являются одинаковыми, т.е. в целом они не равны: по признаку размера и цвета. Но, в то же время, мы можем утверждать, что равны их формы – оба объекта являются кругами.

В контексте математики смысловая нагрузка неравенства сохраняется. Однако, в этом случае речь идет о неравенстве математических объектов: чисел, значений выражений, значений величин (длина, площадь и т.д.), векторов, фигур и т.п.

Не равно, больше, меньше

В зависимости от целей поставленной задачи ценным можем являться уже просто факт выяснения неравенства объектов, но обычно вслед за установлением факта неравенства происходит выяснение того, какая все же величина больше, а какая – меньше.

Значение слов «больше» и «меньше» нам интуитивно знакомо с самого начала нашей жизни. Очевидным является навык определять превосходство объекта по размеру, количеству и т.д. Но в конечном счете любое сравнение приводит нас к сравнению чисел, которые определяют некоторые характеристики сравниваемых объектов. По сути, мы выясняем, какое число больше, а какое – меньше.

Утром температура воздуха составила 10 градусов по Цельсию; в два часа дня этот показатель составил 15 градусов. На основе сравнения натуральных чисел мы можем утверждать, что значение температуры утром было меньше, чем ее значение в два часа дня (или в два часа дня температура увеличилась, стала больше, чем была температура утром).

Запись неравенств с помощью знаков

Существуют общепринятые обозначения для записи неравенств:

Подробнее их смысл разберем ниже. Дадим определение неравенств по виду их записи.

Строгие и нестрогие неравенства

Знаки строгих неравенств – это знаки «больше» и «меньше»: > и Неравенства, составленные с их помощью – строгие неравенства.

Верные и неверные неравенства

Верное неравенство – то неравенство, которое соответствует указанному выше смыслу неравенства. В ином случае оно является неверным.

Приведем простые примеры для наглядности:

Неравенство 5 ≠ 5 является неверным, поскольку на самом деле числа 5 и 5 равны.

Или такое сравнение:

Аналогичными по смыслу термину «верное неравенство» являются фразы «справедливое неравенство», «имеет место неравенство» и т.д.

Свойства неравенств

Опишем свойства неравенств. Очевидный факт, что объект никак не может быть неравным самому себе, и это есть первое свойство неравенства. Второе свойство звучит так: если первый объект не равен второму, то и второй не равен первому.

Опишем свойства, соответствующие знакам «больше» или «меньше»:

Знакам нестрогих неравенств также присущи некоторые свойства:

Двойные, тройные и т.п. неравенства

Источник

Простейшие неравенства

Простейшие линейные неравенства — это неравенства вида x>a; x≥a; x

Решение простейшего линейного неравенства можно изобразить на числовой прямой в виде числового промежутка и записать в виде интервала.

Неравенства бывают строгие и нестрогие.

Строгие неравенства — это неравенства со знаками больше (>) или меньше ( a или x≥a — лежит справа от точки a (штриховка идет от точки a вправо, на плюс бесконечность) (для запоминания можно использовать ассоциацию).

Скобка, соответствующая точке a строгого неравенства x>a или x

В нестрогом неравенстве x≥a или x≤a точка a — с квадратной скобкой.

Бесконечность и минус бесконечность в любом неравенстве всегда записываются с круглой скобкой.

Если обе скобки в записи круглые, числовой промежуток называется открытым. Концы открытого промежутка не являются решением неравенства и не включаются в ответ.

Конец промежутка с квадратной скобкой включается в ответ.

Запись промежутка всегда ведётся слева направо, от меньшего — к большему.

Решение простейших линейных неравенств схематически можно представить в виде схемы:

Что значит нестрогое неравенство. Смотреть фото Что значит нестрогое неравенство. Смотреть картинку Что значит нестрогое неравенство. Картинка про Что значит нестрогое неравенство. Фото Что значит нестрогое неравенство

Рассмотрим примеры решения простейших линейных неравенств.

Что значит нестрогое неравенство. Смотреть фото Что значит нестрогое неравенство. Смотреть картинку Что значит нестрогое неравенство. Картинка про Что значит нестрогое неравенство. Фото Что значит нестрогое неравенство12\]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

Читают: «икс больше двенадцати».

Неравенство нестрогое, на числовой прямой 12 изображаем выколотой точкой.

К знаку неравенства мысленно пририсовываем стрелочку: —>. Стрелочка указывает, что от 12 штриховка уходит вправо, к плюс бесконечности:

Что значит нестрогое неравенство. Смотреть фото Что значит нестрогое неравенство. Смотреть картинку Что значит нестрогое неравенство. Картинка про Что значит нестрогое неравенство. Фото Что значит нестрогое неравенство

Так как неравенство строгое и точка x=12 выколотая, в ответ 12 записываем с круглой скобкой.

Что значит нестрогое неравенство. Смотреть фото Что значит нестрогое неравенство. Смотреть картинку Что значит нестрогое неравенство. Картинка про Что значит нестрогое неравенство. Фото Что значит нестрогое неравенство

Читают: «икс принадлежит открытому промежутку от двенадцати до бесконечности».

Что значит нестрогое неравенство. Смотреть фото Что значит нестрогое неравенство. Смотреть картинку Что значит нестрогое неравенство. Картинка про Что значит нестрогое неравенство. Фото Что значит нестрогое неравенство

Читают: «икс больше минус трёх целых семи десятых»

Что значит нестрогое неравенство. Смотреть фото Что значит нестрогое неравенство. Смотреть картинку Что значит нестрогое неравенство. Картинка про Что значит нестрогое неравенство. Фото Что значит нестрогое неравенство

Что значит нестрогое неравенство. Смотреть фото Что значит нестрогое неравенство. Смотреть картинку Что значит нестрогое неравенство. Картинка про Что значит нестрогое неравенство. Фото Что значит нестрогое неравенство

Читают: «икс принадлежит промежутку от минус трёх целых семи десятых до бесконечности, включая минус три целых семь десятых».

Что значит нестрогое неравенство. Смотреть фото Что значит нестрогое неравенство. Смотреть картинку Что значит нестрогое неравенство. Картинка про Что значит нестрогое неравенство. Фото Что значит нестрогое неравенство

Читают: «икс меньше нуля целых двух десятых» (или «икс меньше чем нуль целых две десятых»).

Неравенство строгое, 0,2 на числовой прямой изображаем выколотой точкой. К знаку неравенства мысленно пририсовываем стрелочку: Что значит нестрогое неравенство. Смотреть фото Что значит нестрогое неравенство. Смотреть картинку Что значит нестрогое неравенство. Картинка про Что значит нестрогое неравенство. Фото Что значит нестрогое неравенство

Читают: «икс принадлежит открытому промежутку от минус бесконечности до нуля целых двух десятых».

Что значит нестрогое неравенство. Смотреть фото Что значит нестрогое неравенство. Смотреть картинку Что значит нестрогое неравенство. Картинка про Что значит нестрогое неравенство. Фото Что значит нестрогое неравенство

Читают: «икс меньше либо равен пяти».

Неравенство нестрогое, на числовой прямой 5 изображаем закрашенной точкой. К знаку неравенства мысленно пририсовываем стрелочку: ≤—. Направление штриховки — влево, к минус бесконечности:

Что значит нестрогое неравенство. Смотреть фото Что значит нестрогое неравенство. Смотреть картинку Что значит нестрогое неравенство. Картинка про Что значит нестрогое неравенство. Фото Что значит нестрогое неравенство

Неравенство нестрогое, точка закрашенная, 5 — с квадратной скобкой.

Что значит нестрогое неравенство. Смотреть фото Что значит нестрогое неравенство. Смотреть картинку Что значит нестрогое неравенство. Картинка про Что значит нестрогое неравенство. Фото Что значит нестрогое неравенство

Читают: «икс принадлежит промежутку от минус бесконечности до пяти, включая пять».

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *