Что значит критические точки функции
Критические точки, точки экстремумафункции
Содержимое разработки
Специализированная гимназия № 8 с обучением на трех языках имени М.Х. Дулати
Алгебра и начала анализа
Критические точки и
Л.С. Атанасян. Геометрия 10-11
Харченко Татьяна Викторовна
— знать определения критических точек и точек экстремума функции, условие существования экстремума функции.
Л.С. Атанасян. Геометрия 10-11
— Использует определение находит критические (стационарные) точки, используя определение;
— применяет необходимое и достаточное условие для определение точек экстремума функции.
Рассмотрим график функции в окрестностях выделенных точек
Рассмотрим график функции в окрестностях точек
Рассмотрим график функции в окрестностях точек
f( х 0 ) » width=»640″
-это точка х 0 из области определения функции, в окрестностях которой выполняется неравенство
-это точка х 0 из области определения функции, в окрестностях которой выполняется неравенство f(x)f( х 0 )
Внутренние точки области определения функции, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими точками .
внутренние точки области
определения, в которых f `(х 0 )=0.
критические точки- внутренние точки области
определения, в которых производная не существует.
А верна ли обратная теорема?
Если точка х 0 является точкой экстремума функции f и в этой точке существует производная f `(x) , то она либо равна нулю, либо не существует:
Необходимое условие экстремума .
Не в каждой своей критической точке функция обязательно имеет максимум или минимум
Достаточные условия существования экстремума в точке
Признак максимума функции.
Вопросы для закрепления
Необходимое и достаточное условие экстремума.
достаточно, чтобы при переходе через критическую точку х 0 производная меняла свой знак на противоположный.
Найдите точку минимума функции
Найдите точку максимума функции
Задания для самостоятельного решения
1А. (5б) Найдите критические точки функции. Выясните, какие из этих точек являются:
а) точками минимума; б) точками максимума.
Находит правильно производную
Находит критические точки
Расставляет верно знаки производной
Определяет точки минимума
Определяет точки максимума
Задания для самостоятельного решения
2Б. (6б) Найдите экстремумы функции:
Находит область определения
Находит правильно производную
Находит критические точки
Расставляет верно знаки производной
Определяет точки экстремума
Находит экстремумы функции
Задания для самостоятельного решения
3С.(7б)Найдите промежутки возрастания и убывания, точки экстремума функции:
Находит область определения
Находит критические точки
Расставляет знаки производной
Исследует поведение функции
Находит промежутки монотонности
Определяет точки экстремума
Дополнительные цифровые ресурсы
Ссылки на дополнительные ресурсы для самообразования
https:// bilimland.kz /ru/subject/algebra/10-klass/kriticheskie-tochki-dostatochnoe-uslovie-sushestvovaniya-ehkstremuma?mid=%info%
https:// www.yaklass.ru/ p/algebra/10-klass/proizvodnaia-9147/primenenie-proizvodnoi-dlia-issledovaniia-funktcii-na-monotonnost-i-ekstr_-11226
Рефлексия содержания учебного материала
Дорогие дети! Вы получили самое основное содержание по новой теме, другие материалы вы получите от своего учителя! Если у вас есть вопросы, вы их можете задать учителю! Удачи в освоении нового материала, наши юные друзья!
Построение графиков функций
Понятие функции
Функция — это зависимость y от x, где x является переменной или аргументом функции, а y — зависимой переменной или значением функции.
Задать функцию значит определить правило, в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:
Область определения — множество х, то есть область допустимых значений выражения, которое записано в формуле.
Например, для функции вида 
область определения выглядит так
Область значений — множество у, то есть это значения, которые может принимать функция.
Например, естественная область значений функции y = x² — это все числа больше либо равные нулю. Можно записать вот так: Е (у): у ≥ 0.
Понятие графика функции
Графиком функции y = f(x) называется множество точек (x; y), координаты которых связаны соотношением y = f(x). Само равенство y = f(x) называется уравнением данного графика.
График функции — это множество точек (x; y), где x — это аргумент, а y — значение функции, которое соответствует данному аргументу.
Проще говоря, график функции показывает множество всех точек, координаты которых можно найти, просто подставив в функцию любые числа вместо x.
Для примера возьмём самую простую функцию, в которой аргумент равен значению функции, то есть y = x.
В этом случае нам не придётся вычислять для каждого аргумента значение функции, так как они равны, поэтому у всех точек нашего графика абсцисса будет равна ординате.
Если мы последовательно от наименьшего значения аргумента к большему соединим отмеченные точки, то у нас получится прямая линия. Значит графиком функции y = x является прямая. На графике это выглядит так:
Надпись на чертеже y = x — это уравнение графика. Ставить надпись с уравнением на чертеже удобно, чтобы не запутаться в решении задач.
Важно отметить, что прямая линия бесконечна в обе стороны. Хоть мы и называем часть прямой графиком функции, на самом деле на чертеже изображена только малая часть графика.
Исследование функции
Важные точки графика функции y = f(x):
Стационарные точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю.
Критические точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю либо не существует. Стационарные точки являются подмножеством множества критических точек.
Экстремум в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума.
Нули функции — это значения аргумента, при которых функция равна нулю.
Асимптота — прямая, которая обладает таким свойством, что расстояние от точки графика функции до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат. По способам их отыскания выделяют три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные, наклонные.
Функция непрерывна в точке k, если предел функции в данной точке равен значению функции в этой точке: 
Если функция f(x) не является непрерывной в точке x = a, то говорят, что f(x) имеет разрыв в этой точке.
Если нам нужно построить график незнакомой функции, когда заранее невозможно представить вид графика, полезно применять схему исследования свойств функции. Она поможет составить представление о графике и приступить к построению по точкам.
Схема построения графика функции:
У нас есть отличные курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы!
Построение графика функции
Чтобы понять, как строить графики функций, потренируемся на примерах.
Задача 1. Построим график функции 
Упростим формулу функции:
Задача 2. Построим график функции
Выделим в формуле функции целую часть:
График функции — гипербола, сдвинутая на 3 вправо по x и на 2 вверх по y и растянутая в 10 раз по сравнению с графиком функции 
Выделение целой части — полезный прием, который применяется в решении неравенств, построении графиков и оценке целых величин.
Задача 3. По виду графика определить знаки коэффициентов общего вида функции y = ax2 + bx + c.
Вспомним, как параметры a, b и c определяют положение параболы.
Ветви вниз, следовательно, a 0.
Точка пересечения с осью Oy — c = 0.
Координата вершины 
, т.к. неизвестное число при делении на положительное дает отрицательный результат, то это число отрицательное, следовательно, b > 0.
Ветви вниз, следовательно, a 0.
Координата вершины 
, т.к. неизвестное число при делении на отрицательное дает в результате положительное, то это число отрицательное, следовательно, b
| x | y |
| 0 | -1 |
| 1 | 2 |
| x | y |
| 0 | 2 |
| 1 | 1 |
| x | y |
| 0 | 0 |
| 1 | 2 |
k = 2 > 0 — угол наклона к оси Ox острый, B = 0 — график проходит через начало координат.
Задача 5. Построить график функции 
Это дробно-рациональная функция. Область определения функции D(y): x ≠ 4; x ≠ 0.
Нули функции: 3, 2, 6.
Промежутки знакопостоянства функции определим с помощью метода интервалов.
Вертикальные асимптоты: x = 0, x = 4.
Если x стремится к бесконечности, то у стремится к 1. Значит, y = 1 — горизонтальная асимптота.
Вот так выглядит график:
Задача 6. Построить графики функций:
б) 
г) 
д) 
Когда сложная функция получена из простейшей через несколько преобразований, то преобразования графиков можно выполнить в порядке арифметических действий с аргументом.
а) 
Преобразование в одно действие типа f(x) + a.
Сдвигаем график вверх на 1:
б)
Сдвигаем график вправо на 1:
Сдвигаем график вправо на 1:
Сдвигаем график вверх на 2:
г) 
Преобразование в одно действие типа 
Растягиваем график в 2 раза от оси ординат вдоль оси абсцисс:
д) 
Чтобы выполнить преобразования, посмотрим на порядок действий: сначала умножаем, затем складываем, а уже потом меняем знак. Чтобы применить умножение ко всему аргументу модуля в целом, вынесем двойку за скобки в модуле.
Сжимаем график в два раза вдоль оси абсцисс:
Сдвигаем график влево на 1/2 вдоль оси абсцисс:
Отражаем график симметрично относительно оси абсцисс:
Что такое экстремумы функции: критические точки максимума и минимума
Из данной статьи читатель узнает о том, что такое экстремум функционального значения, а также об особенностях его использования в практической деятельности. Изучение такого концепта крайне важно для понимания основ высшей математики. Эта тема является основополагающей для более глубокого изучения курса.
Что такое экстремум?
В школьном курсе дается множество определений понятия «экстремум». Данная статья призвана дать самое глубокое и четкое представление о термине для несведущих в вопросе лиц. Итак, под термином понимают, насколько функциональный промежуток приобретает минимальное либо максимальное значение на том или ином множестве.
Экстремум – это и минимальное значение функции, и максимальное одновременно. Различают точку минимума и точку максимума, то есть крайние значения аргумента на графике. Основные науки, в которых используют данный концепт:
Точки экстремума играют важную роль в определении последовательности заданной функции. Система координат на графике в лучшем виде показывает изменение экстремального положения в зависимости от изменения функциональности.
Это интересно! Свойства натуральных логарифмов: график, основание, функции, предел, формулы и область определения
Экстремумы производной функции
Имеет также место такое явление, как «производная». Она необходима для определения точки экстремума. Важно не путать точки минимума либо максимума с наибольшим и наименьшим значением. Это разные понятия, хотя могут показаться похожими.
Производная функция
Значение функции является основным фактором для определения того, как найти точку максимума. Производная не образуется от значений, а исключительно от крайнего ее положения в том или ином его порядке.
Сама же по себе производная определяется на основе данных точек экстремума, а не наибольшего или наименьшего значения. В российских школах недостаточно четко проводят грань между этими двумя концептами, что влияет на понимание данной темы вообще.
Это интересно! Как определить определенные интегралы от нуля, константы и с доказательством
Острый экстремум
Давайте теперь рассмотрим такое понятие как «острый экстремум». На сегодняшний день выделяют острый минимум значения и острый максимум значения. Определение дано в соответствии с российской классификацией критических точек функции. Концепт точки экстремума лежит в основе нахождения критических точек на графике.
Острый экстремум Важно! Процесс нахождения точек острого экстремума функции называется дифференцированием и используется как в школьном курсе изучения алгебры и начала анализа, так и в ходе освоения высшей математики в университете.
Экстремальное значение функции
Для определения такого понятия прибегают к использованию теоремы Ферма. Она является важнейшей в ходе изучения крайних точек и дает четкое представление об их существовании в том или ином их виде. Для обеспечения экстремальности важно создать определенные условия для убывания либо возрастания на графике.
Для точного ответить на вопрос «как найти точку максимума», необходимо следовать таким положениям:
Экстремальное значение функции Внимание! Поиск критической точки функции возможен только в случае существования производной не менее второго порядка, что обеспечивается высокой долей наличия точки экстремума.
Необходимое условие экстремума функции
Для того чтобы существовал экстремум, важно, чтобы были как точки минимума, так и точки максимума. В случае если это правило соблюдено лишь частично, то условие существование экстремума нарушается.
Точки минимума и максимума
Каждая функция в любом положении должна быть продифференцирована с целью выявления ее новых значений. Важно понимать, что случай обращения точки в ноль не является основным принципом нахождения дифференцируемой точки.
Острый экстремум, также как и минимум функции – это крайне важный аспект решения математической задачи с использованием экстремальных значений. Для того чтобы лучше понимать данную составляющую, важно обратиться к табличным значениям по заданию функционала.