Что выражает целевая функция
Целевая функция
Функция, связывающая цель (оптимизируемую переменную) с управляемыми переменными в задаче оптимизации.
В широком смысле целевая функция есть математическое выражение некоторого критерия качества одного объекта (решения, процесса и т.д.) в сравнении с другим. Примером критерия в теории статистических решений является среднеквадратический критерий точности аппроксимации. Цель – найти такие оценки, при которых целевая функция достигает минимума.
Важно, что критерий всегда привносится извне, и только после этого ищется правило решения, минимизирующее или максимизирующее целевую функцию.
См. также
Смотреть что такое «Целевая функция» в других словарях:
целевая функция — — [Я.Н.Лугинский, М.С.Фези Жилинская, Ю.С.Кабиров. Англо русский словарь по электротехнике и электроэнергетике, Москва, 1999 г.] целевая функция В экстремальных задачах — функция, минимум или максимум которой требуется найти. Это… … Справочник технического переводчика
Целевая функция — [target function] в экстремальных задачах функция, минимум или максимум которой требуется найти. Это ключевое понятие оптимального программирования. Найдя экстремум Ц.ф. и, следовательно, определив значения управляемых переменных, которые к нему… … Экономико-математический словарь
целевая функция — 3.1.8 целевая функция (business function): Набор процессов, обеспечивающих достижение конкретной цели деятельности. Источник: Р 50.1.041 2002: Инфор … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
целевая функция — tikslo funkcija statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. objective function vok. Zielfunktion, f rus. функция цели, f; целевая функция, f pranc. fonction de cible, f … Automatikos terminų žodynas
Целевая функция — функция, экстремальное значение которой ищется на допустимом множестве в задачах математического программирования (См. Математическое программирование) … Большая советская энциклопедия
ЦЕЛЕВАЯ ФУНКЦИЯ — функция цели название оптимизируемой функции в задачах математического программирования … Математическая энциклопедия
Целевая функция — (условное название, относительно корректно может быть применено только к системам, созданным с определенной целью человеком), в объективном мире не существует, там имеет место системообразующий фактор … Теоретические аспекты и основы экологической проблемы: толкователь слов и идеоматических выражений
Целевая функция потребления — [objective function in consumption] 1. Этим термином, а также несколькими равнозначными ему или почти равнозначными (функция уровня жизни, функция благосостояния, функция общественной полезности, функция потребления и др.) обозначают в… … Экономико-математический словарь
целевая функция потребления — 1. Этим термином, а также несколькими равнозначными ему или почти равнозначными (функция уровня жизни, функция благосостояния, функция общественной полезности, функция потребления и др.) обозначают в теоретических исследованиях целевую функцию… … Справочник технического переводчика
целевая функция автоматизированной медицинской системы — целевая функция АМС Совокупность действий автоматизированной медицинской системы, обеспечивающая эффективное выполнение заданной медицинской программы. [ГОСТ 27878 88] Тематики системы и комплексы медицинские Обобщающие термины системы и… … Справочник технического переводчика
2.2. Целевая функция (план)
Определение. Целевая функция – выражение, значение которого стремимся сделать максимальным или минимальным.
Целевая функция позволяет количественно сравнить два альтернативных решения. С математической точки зрения целевая функция описывает некоторую (N+1)-мерную поверхность.
1) Если имеется только один проектный параметр, то целевую функцию можно представить кривой на плоскости (рис. 1).
2) Если проектных параметров два, то целевая функция будет изображаться поверхностью в пространстве трех измерений (рис. 2).
Определение. При трех и более проектных параметрах поверхности, задаваемые целевой функцией, называются Гиперповерхностями и не поддаются изображению обычными средствами.
Целевая функция в ряде случаев может быть представлена:
только целыми значениями;
двумя значениями – да или нет (дискретная функция).
В каком бы виде ни была представлена целевая функция, она должна быть однозначной функцией проектных параметров.
В ряде задач оптимизации требуется введение более одной целевой функции. Иногда одна из них может оказаться несовместимой с другой. Примером служит проектирование самолетов, когда одновременно требуется обеспечить максимальную прочность, минимальный вес и минимальную стоимость. В таких случаях конструктор должен ввести систему приоритетов. В результате получается «функция компромисса», позволяющая в процессе оптимизации пользоваться одной составной целевой функцией.
Целевые функции. Выбор критериев
Следует отметить, что проектные параметры в некоторых источниках могут называться внутренними управляемыми параметрами.
Примерами целевой функции, часто встречающимися в инженерной практике, являются стоимость, вес, прочность, габариты, КПД. Если имеется только один проектный параметр, то целевую функцию можно представить кривой на плоскости ( рис.1 ). Если проектных параметров два, то целевая функция будет изображаться поверхностью в пространстве трех измерений ( рис.2 ). При трех и более проектных параметрах поверхности, задаваемые целевой функцией, называются гиперповерхностями и не поддаются изображению обычными средствами. Топологические свойства поверхности целевой функции играют большую роль в процессе оптимизации, так как от них зависит выбор наиболее эффективного алгоритма.
Рисунок 1. Одномерная целевая функция.
Рисунок 2. Двумерная целевая функция.
В ряде задач оптимизации требуется введение более одной целевой функции. Иногда одна из них может оказаться несовместимой с другой. Примером служит проектирование самолетов, когда одновременно требуется обеспечить максимальную прочность, минимальный вес и минимальную стоимость. В таких случаях конструктор должен ввести систему приоритетов и поставить в соответствие каждой целевой функции некоторый безразмерный множитель. В результате появляется «функция компромисса», позволяющая в процессе оптимизации пользоваться одной составной целевой функцией.
Рисунок 3. При изменении знака целевой функции на противоположный в задаче на минимум, превращает ее в задачу на максимум.
Следует отметить, что очень часто в связи с ограничениями оптимальное значение целевой функции достигается не там, где ее поверхность имеет нулевой градиент. Нередко лучшее решение соответствует одной из границ области проектирования.
Прямые и функциональные ограничения. Прямые ограничения имеют вид
Функциональные ограничения, как правило, представляют собой условия работоспособности выходных параметров, не вошедших в целевую функцию. Функциональные ограничения могут быть:
Прямые и функциональные ограничения формируют допустимую область поиска:
Если ограничения (2.1) и (2.2) совпадают с условиями работоспособности, то допустимую область называют также областью работоспособности ХР.
Локальный оптимум. Так называется точка пространства проектирования, в которой целевая функция имеет наибольшее значение по сравнению с ее значениями во всех других точках ее ближайшей окрестности. На рис.4 показана одномерная целевая функция, имеющая два локальных оптимума. Часто пространство проектирования содержит много локальных оптимумов и следует соблюдать осторожность, чтобы не принять первый из них за оптимальное решение задачи.
Рисунок 4. Произвольная целевая функция может иметь несколько локальных оптимумов.
Выбор критериев. Основная проблема постановки экстремальных задач заключается в формулировке целевой функции. Сложность выбора целевой функции состоит в том, что любой технический объект первоначально имеет векторный характер критериев оптимальности (многокритериальность). Причем улучшение одного из выходных параметров, как правило, приводит к ухудшению другого, так как все выходные параметры являются функциями одних и тех же управляемых параметров и не могут изменяться независимо друг от друга. Такие выходные параметры называют конфликтными параметрами.
Целевая функция должна быть одна (принцип однозначности). Сведение многокритериальной задачи к однокритериальной называют сверткой векторного критерия. Задача поиска его экстремума сводится к задаче математического программирования. В зависимости от того каким образом выбираются и объединяются выходные параметры, в скалярной функции качества, различают частные, аддитивные, мультипликативные, минимаксные, статистические критерии и другие критерии. В техническом задании на проектирование технического объекта указываются требования к основным выходным параметрам. Эти требования выражаются в виде конкретных числовых данных, диапазона их изменения, условия функционирования и допустимых минимальных или максимальных значений. Требуемые соотношения между выходными параметрами и техническими требованиями (ТТ) называют условиями работоспособности и записываются в виде:
Условия работоспособности имеют определяющее значение в разработке технических устройств, так как задачей проектирования является выбор проектного решения, в котором наилучшим образом выполняются все условия работоспособности во всем диапазоне изменения внешних параметров и при выполнении всех требований технического задания.
Целевую функцию в форме (2.1), выражающую аддитивный критерий, можно записать и в том случае, когда все или основные условия работоспособности имеют вид равенств. Тогда целевая функция
определяет среднеквадратичное приближение yj(X) к заданным техническим требованиям TTj.
Мультипликативный критерий может применяться в тех случаях, когда отсутствуют условия работоспособности типа равенств и выходные параметры не могут принимать нулевые значения. Тогда минимизируемая мультипликативная целевая функция имеет вид
Одним из наиболее существенных недостатков как аддитивного, так и мультипликативного критерия является неучет в постановке задачи технических требований, предъявляемых к выходным параметрам.
Использование частного критерия оптимизации в этих случаях сводится к замене непрерывных характеристик конечным множеством узловых точек и выбору одной из следующих целевых функций, подлежащих минимизации:
Введем количественную оценку степени выполнения j-го условия работоспособности, обозначим ее через zj и будем называть запасом работоспособности параметра yj. Расчет запаса по j-му выходному параметру можно выполнить различными способами, например,
Качество функционирования технической системы характеризуется вектором выходных параметров и, следовательно, вектором Z=(zm,zm,…,zm). Поэтому целевую функцию следует формировать как некоторую функцию ц(Z) вектора оценок. Например, если в качестве целевой функции рассматривается запас только того выходного параметра, который в данной точке X является наихудшим с позиций выполнения требований ТЗ, то
Естественно теперь поставить задачу о выборе такой стратегии поиска X, которая максимизировала бы минимальный из запасов, т. е.
Критерий оптимизации с целевой функцией (2.6) называют максиминным критерием.
Статистические критерии. Оптимизация при статистических критериях имеет целью получение максимальной вероятности Р выполнение работоспособности. Эту вероятность принимают в качестве целевой функции. Тогда имеем задачу
Возможны различные способы нормирования. В качестве примера рассмотрим способ логарифмического нормирования, достоинством которого является переход от абсолютных приращений параметров к относительным. В этом случае i-и управляемый параметр ui преобразуется в безразмерный хi следующим образом:
Нормирование выходных параметров можно выполнить с помощью весовых коэффициентов, как в аддитивом критерии, или переходом от уj к запасам работоспособности zj по (2.5).
Целевая функция
Смотреть что такое «Целевая функция» в других словарях:
Целевая функция — Функция, связывающая цель (оптимизируемую переменную) с управляемыми переменными в задаче оптимизации. В широком смысле целевая функция есть математическое выражение некоторого критерия качества одного объекта (решения, процесса и т.д.) в… … Википедия
целевая функция — — [Я.Н.Лугинский, М.С.Фези Жилинская, Ю.С.Кабиров. Англо русский словарь по электротехнике и электроэнергетике, Москва, 1999 г.] целевая функция В экстремальных задачах — функция, минимум или максимум которой требуется найти. Это… … Справочник технического переводчика
Целевая функция — [target function] в экстремальных задачах функция, минимум или максимум которой требуется найти. Это ключевое понятие оптимального программирования. Найдя экстремум Ц.ф. и, следовательно, определив значения управляемых переменных, которые к нему… … Экономико-математический словарь
целевая функция — 3.1.8 целевая функция (business function): Набор процессов, обеспечивающих достижение конкретной цели деятельности. Источник: Р 50.1.041 2002: Инфор … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
целевая функция — tikslo funkcija statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. objective function vok. Zielfunktion, f rus. функция цели, f; целевая функция, f pranc. fonction de cible, f … Automatikos terminų žodynas
ЦЕЛЕВАЯ ФУНКЦИЯ — функция цели название оптимизируемой функции в задачах математического программирования … Математическая энциклопедия
Целевая функция — (условное название, относительно корректно может быть применено только к системам, созданным с определенной целью человеком), в объективном мире не существует, там имеет место системообразующий фактор … Теоретические аспекты и основы экологической проблемы: толкователь слов и идеоматических выражений
Целевая функция потребления — [objective function in consumption] 1. Этим термином, а также несколькими равнозначными ему или почти равнозначными (функция уровня жизни, функция благосостояния, функция общественной полезности, функция потребления и др.) обозначают в… … Экономико-математический словарь
целевая функция потребления — 1. Этим термином, а также несколькими равнозначными ему или почти равнозначными (функция уровня жизни, функция благосостояния, функция общественной полезности, функция потребления и др.) обозначают в теоретических исследованиях целевую функцию… … Справочник технического переводчика
целевая функция автоматизированной медицинской системы — целевая функция АМС Совокупность действий автоматизированной медицинской системы, обеспечивающая эффективное выполнение заданной медицинской программы. [ГОСТ 27878 88] Тематики системы и комплексы медицинские Обобщающие термины системы и… … Справочник технического переводчика
Целевая функция
Целевая функция [target function] в экстремальных задачах — функция, минимум или максимум которой требуется найти. Это — ключевое понятие оптимального программирования. Найдя экстремум Ц.ф. и, следовательно, определив значения управляемых переменных, которые к нему приводят, мы тем самым находим оптимальное решение задачи. Таким образом, Ц.ф. выступает как критерий оптимальности решения задачи..
Различается ряд видов Ц.ф.: линейная, нелинейная, выпуклая, квадратичная и другие — в соответствии с формой математической зависимости, которую они отображают. Следует также выделить термин целевой функционал — он применяется обычно, если Ц.ф. задачи является функцией от некоторых функций-ограничений
Смотреть что такое «Целевая функция» в других словарях:
Целевая функция — Функция, связывающая цель (оптимизируемую переменную) с управляемыми переменными в задаче оптимизации. В широком смысле целевая функция есть математическое выражение некоторого критерия качества одного объекта (решения, процесса и т.д.) в… … Википедия
целевая функция — — [Я.Н.Лугинский, М.С.Фези Жилинская, Ю.С.Кабиров. Англо русский словарь по электротехнике и электроэнергетике, Москва, 1999 г.] целевая функция В экстремальных задачах — функция, минимум или максимум которой требуется найти. Это… … Справочник технического переводчика
целевая функция — 3.1.8 целевая функция (business function): Набор процессов, обеспечивающих достижение конкретной цели деятельности. Источник: Р 50.1.041 2002: Инфор … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
целевая функция — tikslo funkcija statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. objective function vok. Zielfunktion, f rus. функция цели, f; целевая функция, f pranc. fonction de cible, f … Automatikos terminų žodynas
Целевая функция — функция, экстремальное значение которой ищется на допустимом множестве в задачах математического программирования (См. Математическое программирование) … Большая советская энциклопедия
ЦЕЛЕВАЯ ФУНКЦИЯ — функция цели название оптимизируемой функции в задачах математического программирования … Математическая энциклопедия
Целевая функция — (условное название, относительно корректно может быть применено только к системам, созданным с определенной целью человеком), в объективном мире не существует, там имеет место системообразующий фактор … Теоретические аспекты и основы экологической проблемы: толкователь слов и идеоматических выражений
Целевая функция потребления — [objective function in consumption] 1. Этим термином, а также несколькими равнозначными ему или почти равнозначными (функция уровня жизни, функция благосостояния, функция общественной полезности, функция потребления и др.) обозначают в… … Экономико-математический словарь
целевая функция потребления — 1. Этим термином, а также несколькими равнозначными ему или почти равнозначными (функция уровня жизни, функция благосостояния, функция общественной полезности, функция потребления и др.) обозначают в теоретических исследованиях целевую функцию… … Справочник технического переводчика
целевая функция автоматизированной медицинской системы — целевая функция АМС Совокупность действий автоматизированной медицинской системы, обеспечивающая эффективное выполнение заданной медицинской программы. [ГОСТ 27878 88] Тематики системы и комплексы медицинские Обобщающие термины системы и… … Справочник технического переводчика